2023年高考一轮复习 第八节　函数与方程 教案

第八节　函数与方程
教学目标：
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(函数零点存在定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
3．二次函数图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无
零点个数 _2_ _1_ _0_
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．
(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
(4)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
1．(人教A版必修第一册P155·T2改编)函数y＝f(x)的图象是一个连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为(　 )
x 1 2 3 4 5 6
y 126.1 15.15 －3.92 16.78 －45.6 －232.64
A.2 B．3 C．4 D．5
解析：选B　由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点．
2．(人教A版必修第一册P143·例1改编)函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为(　 )
A．－2 B．－ C. D．2
解析：选B　由题意知，f(1)＝＋a＝0，解得a＝－.
3．(苏教版必修第一册P237·T8改编)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　 )
A．2 B．－2,0 C. D．0
解析：选D　当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝(舍去)．综上，函数的零点为0.
4．(湘教版必修第一册P126·例1改编)函数f(x)＝ln x＋x－，则函数f(x)的零点所在区间是(　 )
A. B. C. D．(1,2)
解析：选C　易知函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f＝ln＋＝ln，又(3)4＝81e<44＝256，∴f＝ln<0，∵f(1)＝ln 1＋1－＝>0，∴函数f(x)的零点所在的区间为.
5．函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则k的取值范围是________．
答案：
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　函数零点存在定理的理解　
[题点全训]
1．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则(　 )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
解析：选D　因为函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，所以尽管f(－1)f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．
2．(多选)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法错误的有(　 )
A．若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)>0，则可能存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)<0，则可能不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0
解析：选ABD　取f(x)＝x2－1，区间取为[－2,2]，满足f(－2)f(2)>0，但是f(x)在[－2,2]内存在两个零点－1,1，故A说法错误，C说法正确；取f(x)＝sin x，区间取为，满足ff＝×＝－<0，但是f(x)在内存在三个零点π，2π，3π，故B说法错误；根据函数零点存在定理可知，D说法错误．
[一“点”就过]
对函数零点存在定理的理解
存在性 当函数y＝f(x)满足定理的条件时，函数在区间(a，b)内至少存在一个零点
唯一性 在满足定理的条件下，若函数f(x)在区间(a，b)上又是单调函数，则该函数在区间(a，b)内只有一个零点
不可逆性 若函数f(x)在区间(a，b)有零点，不一定有f(x)的图象是一条连续不断的曲线，也不一定有f(a)f(b)<0成立
基础点(二)　函数判断零点所在区间　
[题点全训]
1．函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　 )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B　函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据函数零点存在定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内．
2．(2021·石嘴山三模)方程2x＝2－x的根所在区间是(　 )
A．(－1,0) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1)
解析：选D　令f(x)＝2x＋x－2，因为f(0)＝20＋0－2＝－1＜0，f(1)＝21＋1－2＝1＞0，所以f(0)f(1)＜0，由函数零点存在定理知，D正确．
3．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　 )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
解析：选D　f(x)的定义域为{x|x>0}，f′(x)＝－＝，令f′(x)>0 x>3，f′(x)<0 00，f(1)＝>0，f(e)＝－1＜0，∴f(x)在内无零点．在(1，e)内有零点．
[一“点”就过]
确定函数零点所在区间的常用方法
利用函数零点存在定理 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点
数形结合法 通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点　判断函数零点的个数　
[典例]　(2021·北京高考)已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论：
(1)若k＝0，则f(x)有两个零点；
(2) k＜0，使得f(x)有一个零点；
(3) k＜0，使得f(x)有三个零点；
(4) k＞0，使得f(x)有三个零点．
以上正确结论的序号是__________．
[解析]　f(x)＝|lg x|－kx－2，可转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2的交点问题．对于(1)，当k＝0时，|lg x|＝2，有两个交点，如图a所示，(1)正确；对于(2)，存在k＜0，使y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，如图b所示，(2)正确；
对于(3)，若k＜0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2最多有2个交点，如图c所示，(3)错误；对于(4)，当k＞0时，过点(0,2)存在函数g(x)＝lg x(x＞1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，如图d所示，故(4)正确．
[答案]　(1)(2)(4)
[方法技巧]　函数零点个数的判定方法
直接求零点 令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点
利用函数零点存在定理 利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点
图象法 画两个函数的图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点
[针对训练]
1．函数f(x)＝的零点个数为(　 )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选D　依题意，当x>0时，作出函数y＝ln x与y＝x2－2x的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点；当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点．综上，函数f(x)有3个零点．故选D.
2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　 )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C　因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点．当x>0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f(x)有1个零点．根据对称性知，当x<0时，函数f(x)也有1个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽略二次项系数为零)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为(　 )
A．－ B．0 C. D．0或－
解析：选D　当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，故f(x)只有一个零点为－1.当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.综上有a＝0或－.
2．(忽略零点存在定理的条件)设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得到f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根所在区间为(　 )
A．(2,2.25) B．(2.25,2.5)
C．(2.5,2.75) D．(2.75,3)
解析：选C　因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由函数零点存在定理知，方程的根所在区间为(2.5,2.75)．
二、融会贯通应用创新题
3．(借助数学文化)我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢．”翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇．这个问题体现了古代对数列问题的研究．现将墙的厚度改为200尺，则至少需要多少天时间才能打穿？(　 )
A．6 B．7 C．8 D．9
解析：选C　设需要n天时间才能打穿，则＋≥200，化简并整理得2n－－199≥0，令f(n)＝2n－－199，则f(7)＝27－－199<0，f(8)＝28－－199>0，又f(n)在[1，＋∞)上单调递增，∴f(n)在(7,8)内存在一个零点，∴至少需要8天时间才能打通．
4．(结合新定义问题)对于定义在R上的函数y＝f(x)，若存在非零实数x0，使函数y＝f(x)在(－∞，x0)和(x0，＋∞)上均有零点，则称x0为函数y＝f(x)的一个“折点”．下列四个函数中存在“折点”的是(　 )
A．f(x)＝3|x－1|＋2 B．f(x)＝lg(|x|＋2 021)
C．f(x)＝－x－1 D．f(x)＝x2＋2mx－1
解析：选D　因为f(x)＝3|x－1|＋2＞2恒成立，所以函数f(x)不存在零点，所以函数f(x)不存在“折点”，故A错误．因为|x|＋2 021≥2 021，所以函数f(x)＝lg(|x|＋2 021)不存在零点，所以函数f(x)不存在“折点”，故B错误．对于函数f(x)＝－x－1，f′(x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)，当f′(x)＞0时，x＜－1或x＞1；当f′(x)＜0时，－1＜x＜1，所以函数f(x)＝－x－1在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．又f(－1)＝－＜0，所以函数f(x)＝－x－1只有一个零点，所以函数f(x)不存在“折点”，故C错误．对于函数f(x)＝x2＋2mx－1＝(x＋m)2－m2－1，由于f(－m)＝－m2－1≤－1，所以f(x)有两个零点，结合二次函数图象的性质可知该函数一定有“折点”，故D正确．故选D.
5．(强化开放思维)函数f(x)满足以下条件：①f(x)的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)不是单调函数；④f(x)恰有2个零点．请写出函数f(x)的一个解析式________．
解析：例如，函数f(x)＝－x2＋|x|＋1，理由如下：函数f(x)的定义域是R，有f(－x)＝－(－x)2＋|－x|＋1＝－x2＋|x|＋1＝f(x)，则f(x)是偶函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－x2＋x＋1图象的对称轴为x＝，故f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，))上单调递增，在上单调递减，图象如图所示．由图得f(x)恰有2个零点．故答案为f(x)＝－x2＋|x|＋1.
答案：f(x)＝－x2＋|x|＋1(答案不唯一)
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．(多选)方程(x2－4)＝0的解可以是(　 )
A．x＝－2 B．x＝－
C．x＝ D．x＝2
解析：选CD　由题意，方程(x2－4)＝0，则x2－4＝0或2x－1＝0，解得x＝±2或x＝，又由2x－1≥0，解得x≥，所以方程(x2－4)＝0的解为x＝2或x＝.
2．(2021·清华附中高三模拟)函数f(x)＝ln x＋x－6的零点一定位于区间(　 )
A．(2,3) B．(3,4) C．(4,5) D．(5,6)
解析：选C　由题意得f(x)＝ln x＋x－6为连续函数，且在(0，＋∞)上单调递增，f(2)＝ln 2－4<0，f(3)＝ln 3－3<0，f(4)＝ln 4－2ln e－1＝0，根据函数零点存在定理，f(4)f(5)<0，所以零点一定位于区间(4,5)．
3．(2022·成都名校联考)下列函数在区间(－1,1)内有零点且单调递增的是(　 )
A．y＝0.3x－ B．y＝x3＋1
C．y＝log(－x) D．y＝3x－1
解析：选D　对于A，y＝0.3x－在(－1,1)上单调递减，不符合题意；对于B，y＝x3＋1在(－1,1)上单调递增，令y＝x3＋1＝0，解得x＝－1，不符合题意；对于C，log(－x)在[0,1)上没有定义，不符合题意；对于D，y＝3x－1在(－1,1)上有零点x＝0，且在(－1,1)上单调递增，符合题意．故选D.
4．已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为x1，x2，x3，则(　 )
A．x1C．x2解析：选C　作出y＝x与y1＝，y2＝－ex，y3＝－ln x的图象如图所示，可知选C.
5．方程4sin πx＝在[－2，4]内根的个数为(　 )
A．6 B．7 C．5 D．8
解析：选D　由原方程得2sin πx＝，在同一坐标系中作出两函数y＝2sin πx和y＝的图象，如图．
由图可知，两函数的图象在[－2,4]上共有8个交点，即原方程在[－2，4]内有8个根．故选D.
6．已知函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]的所有零点之和为________．
解析：当x≤0时，x＋1＝0，x＝－1，由f(x)＝－1，可得x＋1＝－1或log2x＝－1，∴x＝－2或x＝；当x>0时，log2x＝0，x＝1，由f(x)＝1，可得x＋1＝1或log2x＝1，∴x＝0或x＝2.∴函数y＝f[f(x)]的所有零点为－2，，0,2，∴所有零点的和为－2＋＋0＋2＝.
答案：
7．已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2，则函数f(x)在R上的零点的个数是________．
解析：当x>0时，令2x－x2＝0，解得x＝2或x＝4；根据奇函数的对称性，当x<0时，f(x)的零点是x＝－2，x＝－4；又f(0)＝0，所以f(x)在R上共有5个零点．
答案：5
8.如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次.
解析：第1次取中点把焊点数减半为＝32，第2次取中点把焊点数减半为＝16，…，第6次取中点把焊点数减半为＝1，所以至多需要检测的次数是6.
答案：6
9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b，c∈R)，且f(1)＝－，求证：函数f(x)在(0,2)内至少有一个零点．
证明：∵f(1)＝a＋b＋c＝－，∴b＝－－c，∴f(2)＝4a＋2b＋c＝4a＋2×＋c＝a－c，又f(0)＝c，∴f(2)＋f(0)＝a－c＋c＝a>0，∴f(2)与f(0)中至少有一个为正，又∵f(1)＝－<0，∴f(1)f(0)<0或f(1)f(2)<0，∴函数f(x)在(0,2)内至少有一个零点．
10．求下列函数的零点的个数：
(1)f(x)＝x3＋x－1；
(2)f(x)＝ex＋2x＋3.
解：(1)∵f(0)＝－1<0，f(1)＝1＋1－1＝1>0，∴f(0)f(1)<0，∴f(x)在(0,1)内有零点．又∵f(x)＝x3＋x－1在R上是增函数，∴f(x)在R上有且只有一个零点．
(2)∵f(－2)＝e－2－4＋3＝－1<0，f(0)＝4>0，∴函数f(x)＝ex＋2x＋3在区间(－2,0)内有零点，又∵f(x)＝ex＋2x＋3在R上是增函数，∴f(x)＝ex＋2x＋3在R上有且只有一个零点．
二、重点难点培优训练
1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数且满足f(2－x)＝f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝－x2＋2x－1，则函数g(x)＝f(x)－log(|x|－1)的零点个数为(　 )
A．0 B．2 C．3 D．4
解析：选D　由题意知，f(2－x)＝f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为2，由g(x)＝f(x)－log(|x|－1)＝0可得f(x)＝log(|x|－1)，所以将函数g(x)的零点个数转化为函数f(x)的图象与h(x)＝log(|x|－1)的图象交点个数，对于h(x)＝log(|x|－1)，定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，因为h(－x)＝log(|－x|－1)＝log(|x|－1)＝h(x)，所以h(x)＝log(|x|－1)为偶函数，所以画出f(x)和h(x)在y轴右侧的图象如图所示，有2个交点，
所以f(x)的图象与h(x)＝log(|x|－1)的图象交点个数为4，即g(x)＝f(x)－log(|x|－1)的零点个数为4，故选D.
2．(多选)已知实数x1，x2为函数f(x)＝x－|log2(x－1)|的两个零点，则下列结论正确的是(　 )
A．(x1－2)(x2－2)∈(－∞，0)
B．(x1－1)(x2－1)∈(0,1)
C．(x1－1)(x2－1)＝1
D．(x1－1)(x2－1)∈(1，＋∞)
解析：选AB　令f(x)＝0，则x＝|log2(x－1)|，分别作出y＝x与y＝|log2(x－1)|的图象，如图所示．
由图可得13．设函数fn(x)＝xn＋x－1，其中n∈N*，且n≥2.给出下列三个结论：
①函数f3(x)在区间内不存在零点；
②函数f4(x)在区间内存在唯一零点；
③设xn(n>4)为函数fn(x)在区间内的零点，则xn其中所有正确结论的序号为________．
解析：对于①，f3(x)＝x3＋x－1，f3＝＋－1<0，f3(1)＝1>0，由函数零点存在定理可知，函数f3(x)在区间内存在零点，①错误；对于②，函数f4(x)＝x4＋x－1在区间上为增函数，且f4＝＋－1<0，f4(1)＝1>0，所以函数f4(x)在区间内存在唯一零点，②正确；对于③，由于函数fn(x)＝xn＋x－1在区间上为增函数，当x∈时，fn＋1(x)－fn(x)＝xn＋1－xn＝xn(x－1)<0，由于xn(n>4)为函数fn(x)在区间内的零点，则fn(xn)＝0，所以fn＋1(xn)答案：②③
阶段综合·融会建模　
综合考法一　由函数零点存在情况求参数范围
[典例]　(1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　 )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C. D．
(2)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　 )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析]　(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t∈.即a∈.
(2)令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.
[答案]　(1)D　(2)C
[方法技巧]　
由函数零点个数或所在区间求参数的方法
直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围
分离参数法 先将参数分离，然后将原问题转化成求函数值域的问题加以解决
数形结合法 将函数解析式(方程)适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质及图象求解
[针对训练]
1．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　 )
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
解析：选C　由题意，知函数f(x)在(1,2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1,2)内，所以即解得02．已知函数f(x)＝若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则实数m的取值范围是(　 )
A．(0,2) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－2,0) D．(－2,0)∪(2，＋∞)
解析：选B　结合f(x)的图象，分情况讨论，当m>0时，要使f(x)＝b有三个不同的根，则 0综合考法二　函数的零点和问题
[典例]　(多选)已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，且x1A．x1＋x2＝2
B．x3x4＝1
C．0D．0[解析]　函数f(x)＝的图象如图所示，设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则0[答案]　BCD
求函数多个零点(或方程的根)的和的策略
求函数的多个零点(或方程的根以及直线y＝m与函数图象的多个交点横坐标)的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征(这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称、直线的对称等)．　　
[针对训练]
(2022·贵阳四校联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
解析：因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝－2对称，又f(x－4)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋4)，所以f(x－4)＝f(x＋4)，f(x)＝f(x＋8)，所以f(x)是周期为8的周期函数．因为奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递增，所以f(x)在区间[－2,2]上单调递增，在区间[－6，－2]上单调递减，画出f(x)的大致图象如图所示．作出直线y＝m(m>0)．不妨设x1答案：－8
综合考法三　嵌套函数的零点问题
[典例]　(1)已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))的零点个数为(　 )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(2022·哈尔滨三中高三一模)已知函数f(x)＝若F(x)＝f2(x)－2af(x)＋的零点个数为4，则实数a的取值范围为(　 )
A.∪
B.
C.∪(2，＋∞)
D.
[解析]　(1)令f(x)＝t，当f(t)＝0时，解得t＝或t＝－1.在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)，y＝－1，y＝的图象如图所示，观察可知，y＝f(x)的图象与直线y＝－1有1个交点，与直线y＝有2个交点，则y＝f(f(x))的零点个数为3.
(2)f(x)的图象如图所示．令f(x)＝t，因为F(x)＝f2(x)－2af(x)＋有4个不同的零点，故t2－2at＋＝0有解，设为t1，t2，其中t1，t2均不为零且t1t2＝.由题设可得关于x的方程f(x)＝t1和f(x)＝t2共有4个不同的解，故或或所以解得a>.
[答案]　(1)C　(2)D
(1)一般地，判断形如f(g(x))的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时，可采用换元法，先令g(x)＝t，求解当f(t)＝0时t的值，然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)＝t时，x的值的个数即为f(g(x))的零点个数．解答时注意数形结合，侧重对函数f(x)与g(x)图象性质的分析．
(2)解决此类问题往往应用函数的图象，作函数的图象必须关注其关键点(位置)和发展趋势、渐近线等，尤其当作图比例较大时，由于画的是局部图象，若关注度不够或疏忽，就会导致错误．　　
[针对训练]
1．(多选)定义域和值域均为[－a，a](常数a＞0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，则下列说法正确的有(　 )
A．方程f(g(x))＝0有两正数解和一负数解
B．方程g(f(x))＝0最多只有三个解
C．方程f(f(x))＝0可能存在五个解
D．方程g(g(x))＝0有且仅有一个解
解析：选ABCD　设f(x)的零点分别为x1，x2，x3，则x1＜x2＜0＜x3，设g(x)的零点为x4，x4＞0.f(g(x))＝0，即g(x)＝x1，有一个解为正数，g(x)＝x2，有一个解为正数，g(x)＝x3，有一个解为负数，故A正确；g(f(x))＝0，则f(x)＝x4，根据图象知：函数最多有三个交点，故B正确；f(f(x))＝0，即f(x)＝x1，可能为一个解，f(x)＝x2，可能为三个解，f(x)＝x3，可能为一个解，故C正确；g(g(x))＝0，故g(x)＝x4，方程有且仅有一个解，故D正确．
2．(2021·杭州高三二模)设a∈R，函数f(x)＝若函数y＝f[f(x)]恰有3个零点，则实数a的取值范围为(　 )
A．(－2,0) B．(0,1) C．[－1,0) D．(0,2)
解析：选A　当a≥0时，f(x)的大致图象如图1，此时令f[f(x)]＝0，可得f(x)＝1，观察图象可解得x＝0或x＝2，即方程有2个根，则此时y＝f[f(x)]只有2个零点，不合题意；当a<0时，f(x)的大致图象如图2，
此时令f[f(x)]＝0，可得f(x)＝1或f(x)＝a，由图2易知f(x)＝a恰有一根，则需满足f(x)＝1有两根，而x＝0和x＝2均为f(x)＝1的根，则需满足x<0时，f(x)max<1，又x<0时，f(x)＝－x2＋ax的图象的对称轴为x＝，则f(x)max＝f＝<1，解得－2[课时验收评价]
1．已知关于x的方程ax＋6＝2x在区间(1,2)内有解，则实数a的取值范围是(　 )
A．(－4，－1) B．[－4，－1]
C. D．
解析：选A　根据题意可得ax＝2x－6，故转化为函数y＝ax和y＝2x－6的图象的交点，如图所示，易知当y＝ax过(1，－4)点时，a＝－4，当y＝ax过(2，－2)点时，a＝－1，所以a的取值范围是(－4，－1)．
2．已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则m的取值范围是(　 )
A．(－5，－4) B.
C. D．(－5，－2)
解析：选C　令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，因为f(x)＝0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，所以即解不等式组可得－3．若函数f(x)＝存在2个零点，则实数m的取值范围为(　 )
A．[－3,0) B．[－1,0) C．[0,1) D．[－3，＋∞)
解析：选A　因为函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，所以函数f(x)存在2个零点，当且仅当f(x)在(－∞，1]上有一个零点．当x≤1时，f(x)＝0 m＝－3x，即函数y＝－3x在(－∞，1]上的图象与直线y＝m有一个公共点，在同一坐标系内作出直线y＝m和函数y＝－3x(x≤1)的图象，如图．而y＝－3x在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x<0，则要使直线y＝m和函数y＝－3x(x≤1)的图象有一个公共点，需－3≤m<0.
4．(2022·重庆八中段考)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－1恰有一个零点，则实数k的取值范围是(　 )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选B　因为f(x)＝且y＝ln x和y＝ln(2－x)的图象关于直线x＝1对称，则可作出当x≥1时f(x)的图象，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，由对称性得f(2－x)的图象，f(2－x)在(－∞，1)上单调递减．又因为f(2－x)＋k的图象是f(2－x)的图象上下平行移动得到的，所以若y＝f(x)－1恰有一个零点，即y＝f(x)与y＝1的图象只有一个交点，则交点的横坐标x＝e≥1，所以k≥1，故选B.
5．已知函数f(x)＝与g(x)＝kx＋1，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有n个零点x1，x2，…，xn，则x1＋x2＋…＋xn的值为(　 )
A．0 B．1 C．n D．2n
解析：选A　函数f(－x)＝＝，则f(－x)＋f(x)＝＋＝2，可得f(x)的图象关于(0,1)中心对称，易知g(x)的图象也关于(0,1)中心对称，可得f(x)和g(x)图象的交点关于(0,1)中心对称，∵F(x)＝f(x)－g(x)有n个零点x1，x2，…，xn，则可得x1，x2，…，xn是f(x)和g(x)图象的交点的横坐标，不妨设x16．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a(x＋3)有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　 )
A．(－∞，4－2) B．(4－2，4＋2)
C．(0,4－2 ] D．(0,4－2)
解析：选D　方程f(x)＝a(x＋3)有四个不同的实数根，可转化为函数y＝f(x)与y＝a(x＋3)的图象有四个不同的交点，易知直线y＝a(x＋3)恒过点(－3,0)．作出函数f(x)的大致图象，如图所示．结合函数图象，可知a>0且直线y＝a(x＋3)与曲线y＝－x2－2x，x∈[－2,0]有两个不同的公共点，所以方程x2＋(2＋a)x＋3a＝0在[－2,0]内有两个不等的实数根．令g(x)＝x2＋(2＋a)x＋3a，则实数a满足解得0≤a<4－2，又a>0，所以实数a的取值范围是(0,4－2)，故选D.
7．已知函数f(x)＝若关于x的方程f[f(x)]＝0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是(　 )
A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(0,1)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析：选B　令u＝f(x)，则f(u)＝0.①当a＝0时，若u≤0，f(u)＝0；若u>0，f(u)＝log2u＝0，得u＝1.所以由f[f(x)]＝0，得f(x)≤0或f(x)＝1.如图所示．满足f(x)≤0的x有无数个，方程f(x)＝1只有一个解，不合乎题意；②当a≠0时，若u≤0，则f(u)＝a·2u≠0；若u>0，f(u)＝log2u＝0，得u＝1.所以由f[f(x)]＝0，得f(x)＝1，当x>0时，由f(x)＝log2x＝1，可得x＝2，因为关于x的方程f[f(x)]＝0有且只有一个实数根，则方程f(x)＝1在x∈(－∞，0]时无解，当a>0且x≤0时，f(x)＝a·2x∈(0，a]，故08．设函数f(x)＝g(x)＝[f(x)]2＋bf(x)＋c，如果函数g(x)有5个不同的零点，则(　 )
A．b<－2且c>0 B．b>－2且c<0
C．b<－2且c＝0 D．b≥－2且c>0
解析：选C　由题意，得f(x)为偶函数，其图象如图所示．令t＝f(x)可知，当t＝0时，x＝0，当t>2时，有4个不同的x值与之对应，由于函数g(x)有5个不同零点，必有一个零点为0，即g(0)＝c＝0，解得c＝0，另一个零点t>2，故由根与系数的关系得－b＝0＋t>2，解得b<－2.
9．已知函数f(x)＝2x＋log2x＋b在区间上有零点，则实数b的取值范围是________．
解析：易知函数f(x)＝2x＋log2x＋b在区间，4上单调递增，又∵函数f(x)在区间上有零点，∴f<0，f(4)>0，即1－1＋b<0,8＋2＋b>0，得－10答案：(－10,0)
10．已知函数f(x)＝|x2－3x－4|－a有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)＝0仅有两个不同零点，等价转化为函数y＝|x2－3x－4|与y＝a的图象有2个交点，画出函数y＝|x2－3x－4|的图象和直线y＝a如图，可得a＝0或a>g＝，即a∈∪{0}．
答案：∪{0}
11．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝函数f(x)＝－ex＋2e，g(x)＝ex，h(x)＝min{f(x)，g(x)}，若函数Q(x)＝h(x)－k有两个零点，则k的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝－ex＋2e单调递减，g(x)＝ex单调递增，且f(1)＝e＝g(1)，
故h(x)＝min{f(x)，g(x)}＝作出函数h(x)的图象如图所示．函数Q(x)＝h(x)－k有两个零点等价于函数h(x)的图象与直线y＝k有2个交点，由图可知，k∈(0，e)．
答案：(0，e)
12．函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝m(m<0)有且只有两个不相等的实根x1，x2，则x1＋x2的值是________．
解析：画出f(x)＝的图象如图，
因为f(x)＝m(m<0)有且只有两个不等实根，即函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个不同交点，由图象可得，－1答案：3