2023年高考一轮复习第二节　函数的单调性与最大(小)值 教案(含答案）

第二节　函数的单调性与最大(小)值
教学目标：
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，此时称f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 x∈I，都有f(x)≤M； x0∈I，使得f(x0)＝M x∈I，都有f(x)≥M； x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
1．与函数单调性有关的常用结论
(1)若 x1，x2∈D(x1≠x2)，则
①>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0) f(x)在区间D上单调递增．
②<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0) f(x)在区间D上单调递减．
(2)y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)和(0,1)．
(3)y＝ax＋(a>0，b>0)的单调递增区间为和，单调递减区间为和.
(4)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(5)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
2．掌握以下几个注意点
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域．
(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N M.
1．(人教A版必修第一册P79·T3改编)(多选)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　 )
A．y＝－x B．y＝x2－x
C．y＝－x2－2x D．y＝ex
答案：AC
2．(苏教版必修第一册P111·例1改编)函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是(　 )
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
答案：A
3．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)A. B.
C. D．
解析：选B　由题设得解得－1≤x<.
4．(人教B版必修第一册P103·T5改编)函数f(x)＝在区间[1,5]上的最大值为________，最小值为________．
解析：f(x)在[1,5]上是减函数，所以最大值为f(1)＝＝3，最小值为f(5)＝＝.
答案：3　
5．(北师大版必修第一册P62练习改编)已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5,20]上单调，则实数k的取值范围是________．
解析：易知f(x)＝x2－2kx＋4的图象的对称轴为x＝k，由题意可得k≤5或k≥20.
答案：(－∞，5]∪[20，＋∞)
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点　确定函数的单调性或单调区间　
[题点全训]
1．函数f(x)＝ 的单调增区间是(　 )
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
解析：选B　由题意，可得x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)＝的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，二次函数y＝x2－2x－3的对称轴为直线x＝1，且在(－∞，－1]∪[3，＋∞)上的单调递增区间为[3，＋∞)，根据复合函数的单调性，可知函数f(x)＝的单调增区间是[3，＋∞)．
2．(多选)下列是函数f(x)＝|x2－6x＋8|的单调减区间的是(　 )
A．(－∞，2) B．(－∞，3)
C．[3,4] D．(2,3)
解析：选AC　因为f(x)＝|x2－6x＋8|＝
函数图象如图所示．由图可知函数f(x)的单调减区间为(－∞，2)和(3,4)．
3．(多选)在下列函数中，满足对任意x1，x2∈(1，＋∞)，<0的是(　 )
A．f(x)＝－2(x－1)2－2
B．f(x)＝3x＋5
C．f(x)＝1＋
D．f(x)＝|x－4|
解析：选AC　若对任意x1，x2∈(1，＋∞)，<0，则由单调性定义可知，函数f(x)在区间(1，＋∞)上为减函数．对于A，f(x)＝－2(x－1)2－2，其图象开口向下，对称轴为直线x＝1，故f(x)在区间(1，＋∞)上为减函数，满足题意；对于B，f(x)＝3x＋5为一次函数，且k＝3>0，故f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，不满足题意；对于C，f(x)＝1＋在(1，＋∞)上为减函数，满足题意；对于D，f(x)＝|x－4|＝显然函数在区间(1,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故不满足题意．
4．用定义法证明函数f(x)＝x2－在(0，＋∞)上单调递增．
证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨设x10，则(x1－x2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＋))<0，所以f(x1)[一“点”就过]
判断函数的单调性或单调区间的方法
定义法 一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论
图象法 若函数f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定函数的单调区间
导数法 先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间
性质法 对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断
复合法 对于复合函数，先将函数f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　函数单调性的应用　
考法1　比较大小
[例1]　已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　 )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
[解析]　因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<f>f(e)，即b>a>c.
[答案]　D
[方法技巧]
利用函数的单调性比较大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较．对于选择题、填空题，通常选用数形结合的方法进行求解．　　
考法2　解不等式
[例2]　定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　 )
A．[－1,2) B．[0,2)
C．[0,1) D．[－1,1)
[解析]　因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数f(x)在[－2,2]上单调递增，所以－2≤2a－2[答案]　C
[方法技巧]
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．　　
考法3　求参数的值或范围
[例3]　已知函数y＝log (6－ax＋x2)在[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．
[解析]　设u＝6－ax＋x2，∵y＝logu是减函数，∴函数u在[1,2]上是减函数．∵u＝6－ax＋x2的对称轴为直线x＝，∴≥2，且u>0在[1,2]上恒成立．∴解得4≤a<5，∴实数a的取值范围为[4,5)．
[答案]　[4,5)
[方法技巧]
利用函数单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意每段端点值的大小．　　
[针对训练]
1．若函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　 )
A. B.
C. D．
解析：选D　当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.综上所述，得－≤a≤0.故选D.
2．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　 )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)解析：选A　因为函数f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)，因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，所以f(π)>f(－3)>f(－2)．
3．已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1,1)，则不等式f(1－m)解析：由已知得f(x)＝则f(x)在(－1,1)上单调递减，∴解得0答案：(0,1)
不会应用含参分段函数的单调性
解决分段函数的单调性问题常不会对分段点左右两端函数的单调性进行分析，对函数的单调性理解不够透彻．对于分段函数的单调性，要考虑分段点左右单调性一致，注意端点处的衔接情况．
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[典例]　已知函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为________．
[解析]　要使f(x)在R上单调递增，必须满足三条：第一条：f(x)在(－∞，1)上单调递增；
第二条：f(x)在(1，＋∞)上单调递增；第三条：(x2－2ax)|x＝1≥(x＋1)|x＝1.作出大致图象如图所示．结合图象可知解得a≤－.故实数a的取值范围为.
[答案]　
对于分段函数在定义域上具有单调性求参数范围的题目(常常分两段)，如f(x)＝解法如下：当函数在全体实数上单调递增(递减)时，需有①由g(x)单调递增(递减)列出关于参数的不等式，②由h(x)单调递增(递减)列出关于参数的不等式，③由h(x0)≤g(x0)(h(x0)≥g(x0))得到参数的不等式，将以上关于参数的不等式联立求解即可．　　
[针对训练]
设函数f(x)＝若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为(　 )
A．[－1,2) B．[－1,0] C．[1,2] D．[1，＋∞)
解析：选C　函数f(x)＝若x＞1，可得f(x)＝x＋1＞2.由f(x)＝2|x－a|，可得f(x)在(a，＋∞)上单调递增，在(－∞，a)上单调递减．由于f(1)是f(x)的最小值，若a＜1，x≤1，则f(x)在x＝a处取得最小值，不符合题意；若a≥1，x≤1，则f(x)在x＝1处取得最小值，且2a－1≤2，解得1≤a≤2.综上可得，a的取值范围为[1,2]．
重难点(二)　求函数的最值　
[典例]　(1)函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
(2)已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________．
(3)函数f(x)＝2x2－的最小值为________．
[解析]　(1)(单调性法)由于y＝x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.
(2)(利用单调性和基本不等式求解)因为函数y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以当x≤1时，f(x)min＝f(0)＝0.当x>1时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立，此时f(x)min＝2－6.又2－6<0，所以f(x)min＝2－6.
(3)(换元法)令 ＝t，t≥1，则x2＝t2－1，
∴y＝2(t2－1)－t＝2t2－t－2(t≥1)．
∵y＝2t2－t－2(t≥1)的对称轴t＝，
∴ymin＝2×12－1－2＝－1，
∴函数f(x)的最小值为－1.
[答案]　(1)3　(2)2－6　(3)－1
[方法技巧]　求函数最值的5种常用方法
单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值
图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值
基本不等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件，然后用基本不等式求出最值
导数法 先求出导函数，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值
换元法 对于比较复杂的函数，可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值
[针对训练]
1．已知a∈R，函数f(x)＝x＋－a在区间[1,4]上的最小值为5，则实数a的值为______；函数f(x)的值域是______．
解析：由题可得，函数f(x)在[1,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝2＋2－a＝4－a＝5，解得a＝－1.所以f(x)max＝max{f(1)，f(4)}＝6.所以函数的值域为[5,6]．
答案：－1　[5,6]
2．函数y＝x＋的最大值为________．
解析：由1－x2≥0，可得－1≤x≤1.可令x＝cos θ，θ∈[0，π]，则y＝cos θ＋sin θ＝sin，θ∈[0，π]，所以－1≤y≤，故原函数的最大值为.
答案：
3．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
解析：在同一坐标系中作出函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图中实线所示．易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
答案：1
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽视复合函数单调性的性质)函数f(x)＝的单调递增区间是(　 )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．[1,3] D．[－1,1]
解析：选D　设z＝3＋2x－x2，则y＝，由3＋2x－x2≥0，解得－1≤x≤3，由于z＝3＋2x－x2在[－1,1]上单调递增，在(1,3]上单调递减，又y＝在定义域上单调递增，可得f(x)＝的单调递增区间为[－1,1]．
2．(忽略抽象函数的定义域)设a∈R，已知函数y＝f(x)是定义在[－4,4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，则a的取值范围是(　 )
A．[－4,1) B．(1,4] C．(1,2] D．[－5,2]
解析：选C　∵函数y＝f(x)是定义在[－4,4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，∴－4≤a＋1<2a≤4，解得13．(混淆“单调区间”和“在区间上单调”)
(1)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是________．
(2)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)因为函数f(x)的单调递减区间为(－∞，4]，且函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，所以1－a＝4，即a＝－3.
(2)因为函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，所以1－a≥4，即a≤－3.
答案：(1){－3}　(2)(－∞，－3]
4．(误用基本不等式求最值)函数f(x)＝＋1的最小值为________．
解析：f(x)＝＋1＝＋1＝＋＋1，令t＝，t∈[，＋∞)，则函数f(x)可转化为g(t)＝t＋＋1，t∈[，＋∞)．令u(t)＝t＋(t≥)，则由u(t)在[，＋∞)上单调递增可知，u(t)≥＋＝，则g(t)≥＋1.故函数f(x)的最小值为＋1.
答案：＋1
二、融会贯通应用创新题
5．(衔接高等数学)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数．例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]的值域为(　 )
A．{0} B．{－1,0}
C．{－2，－1,0} D．{－1,0,1}
解析：选B　由函数f(x)＝1－－＝－，因为ex＋1>1，所以－1<－<0，－<－<，所以－6．(结合新定义问题)如果函数y＝f(x)在区间I上是减函数，而函数y＝在区间I上是增函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓减函数”，区间I叫“缓减区间”．可以证明函数f(x)＝＋(a>0，b>0)的单调递增区间为(－∞，－]，[，＋∞)；单调递减区间为[－，0)，(0，]．若函数h(x)＝x2－2x＋1是区间I上的“缓减函数”，则下列区间中为函数h(x)的“缓减区间”的是(　 )
A．(0,2] B．(0，] C. D．[1，]
解析：选C　对于h(x)＝x2－2x＋1，单调递减区间是(－∞，2]；对于y＝＝＋－2，单调递增区间是(－∞，－ ]和[，＋∞)，h(x)＝x2－2x＋1的“缓减区间”为(－∞，－]和[，2]，只有C中的 [，2]，其他都不包含在上述区间中的任意一个之内，故选C.
7．(体现开放探究)写出一个值域为(－∞，1)，在区间(－∞，＋∞)上单调递增的函数f(x)＝__________.
解析：f(x)＝1－x，理由如下：∵y＝x为R上的减函数，且x>0，∴f(x)＝1－x为R上的增函数，且f(x)＝1－x<1，∴f(x)＝1－x∈(－∞，1)，故答案为1－x.
答案：1－x(答案不唯一)
8．(体现开放探究)能使“函数f(x)＝x|x－1|在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0,2]”是真命题的一个区间I为________．
解析：已知f(x)＝所以f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．又f(0)＝f(1)＝0，f＝<2，f(2)＝2，则符合题意的一个区间I可以为[0,2]．(答案不唯一)
答案：[0,2](答案不唯一)
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　 )
A．f(x)＝－x B．f(x)＝x
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝
解析：选D　函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝x是指数函数，底数0<<1，所以函数f(x)在R上是减函数；函数f(x)＝x2是二次函数，在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数；函数f(x)＝＝x是幂函数，指数>0，所以函数f(x)在R上是增函数．故选D.
2．函数y＝的单调递减区间为(　 )
A. B.
C．[0，＋∞) D．(－∞，－3]
解析：选D　由题意，x2＋3x≥0，可得x≤－3或x≥0，函数y＝的定义域为(－∞，－3]∪[0，＋∞)．令t＝x2＋3x，则外层函数y＝在[0，＋∞)上单调递增，内层函数t＝x2＋3x在(－∞，－3]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以，函数y＝的单调递减区间为(－∞，－3]．
3．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　 )
A．f(x1)<0，f(x2)<0
B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0
D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：选B　因为函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，
所以当x1∈(1,2)时，f(x1)当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，
即f(x1)<0，f(x2)>0.故选B.
4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都单调递减，则a的取值范围是(　 )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(0,1]
解析：选D　因为g(x)＝在区间[1,2]上单调递减，所以a>0.因为函数f(x)＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，所以a≤1.故满足题意的a的取值范围是(0,1]．
5．已知函数f(x)＝若f(a2－3)≥f(－2a)，则实数a的取值范围是(　 )
A．(－∞，1] B.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
C．(－∞，1]∪[3，＋∞) D．[－3,1]
解析：选D　当x≤0时，f(x)＝3e－x单调递减；当x>0时，f(x)＝－4x＋3单调递减．又3e0＝－4×0＋3，则函数y＝f(x)在R上连续，则函数y＝f(x)在R上单调递减．由f(a2－3)≥f(－2a)，可得a2－3≤－2a，即a2＋2a－3≤0，解得－3≤a≤1.因此，实数a的取值范围是[－3,1]．
6．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是________．
解析：易知f(x)在上单调递减，即f(－2)为最大值，且为2－＝.
答案：
7．已知函数y＝(k>0)在[4,6]上的最大值为1，则k的值是________．
解析：当k>0时，函数y＝在[4,6]上单调递减，所以函数y＝(k>0)在x＝4处取得最大值，最大值为＝1，解得k＝2.
答案：2
8．能说明“若函数f(x)和g(x)在R上都单调递增，则h(x)＝f(x)g(x)在R上单调递增”为假命题的函数f(x)和g(x)的解析式分别是________、________.
解析：根据题意，“若函数f(x)和g(x)在R上都单调递增，则h(x)＝f(x)g(x)在R上单调递增”为假命题，即函数f(x)，g(x)在R上均为增函数，而函数h(x)＝f(x)g(x)在R上不是增函数，可考虑f(x)，g(x)均为一次函数，可取f(x)＝x，g(x)＝x，则函数f(x)和g(x)在R上都单调递增，但函数h(x)＝f(x)g(x)＝x2在R上不是增函数．
答案：f(x)＝x　g(x)＝x(答案不唯一)
9．已知函数f(x)＝.
(1)写出函数f(x)的定义域和值域；
(2)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f(x)在x∈[2,8]上的最大值和最小值．
解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．又f(x)＝1＋，所以值域为{y|y≠1}．
(2)证明：由题意可设00，x2－x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数．在x∈[2,8]上，f(x)的最大值为f(2)＝2，最小值为f(8)＝.
10．已知函数f(x)＝a－.
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)解：(1)f(0)＝a－＝a－1.
(2)f(x)在R上单调递增．证明如下：
∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝，∵y＝2x在R上单调递增且x10,2x2＋1>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－＝－a＋，解得a＝1.∴f(ax)二、重点难点培优训练
1．已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m，n都是实数．如果不等式f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是(　 )
A．m－n<0 B．m－n>0
C．m＋n<0 D．m＋n>0
解析：选A　设F(x)＝f(x)－f(－x)，
由于f(x)是R上的减函数，
∴f(－x)是R上的增函数，－f(－x)是R上的减函数，
∴F(x)是R上的减函数，
∴当mF(n)，
即f(m)－f(－m)>f(n)－f(－n)成立．
因此，当f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立时，不等式m－n<0一定成立，故选A.
2．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)(　 )
A．(－1,2)
B．(－∞，－1)∪[4，＋∞)
C．(1,4)
D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
解析：选D　由函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f(x＋1)＜1即为f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x1∈， x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是(　 )
A. B.∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．∪
解析：选A　∵ x1∈， x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，∴f(x)max≤g(x)max，∵f(x)＝x＋在上单调递减，∴f(x)max＝f＝；∵g(x)＝2x＋a在[2,3]上单调递增，∴g(x)max＝g(3)＝8＋a，∴8＋a≥，解得a≥，即实数a的取值范围为.
4．设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，F(x)＝
(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
解：(1)∵f(－1)＝0，∴b＝a＋1.
由f(x)≥0恒成立，知a>0且方程ax2＋bx＋1＝0中
Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，∴a＝1.
从而f(x)＝x2＋2x＋1.∴F(x)＝
(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，
∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，
由g(x)在[－2,2]上是单调函数，
知－≤－2或－≥2，得k≤－2或k≥6.
即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．