2.2.2直线的两点式方程与2.2.3直线一般式方程课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
第二章
2.2.2直线的两点式方程
直线的两点式方程
学习目标
1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围．
2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．
3．会用中点坐标公式求线段的中点坐标．
新课程标准
1．掌握直线的两点式方程和截距式方程．(数学抽象)
2．会选择适当的方程形式求直线方程．(数学抽象)
3．能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题．(数学运算)
学习重难点
重点:直线方程两点式.
难点:求解直线方程.
复习回顾
直线方程名称 已知 条件
直线方程
使用范围
点斜式
斜截式
点P0(x0，y0)和斜率k
斜率k和直线在y轴上的截距为b
y－y0＝k(x－x0)
y = k x +b
斜率必须存在
直线方程的形式
斜率不存在时，直线方程x＝x0
直线的斜截式方程
思考
已知直线l经过两点，(其中，)，因为两点确定一条直线，所以直线l是唯一确定的．也就是说，对于直线l上的任意一点，它的坐标与点，的坐标之间具有唯一确定的关系，这一关系是什么呢？
由经过两点，的直线的斜率公式可以求出直线l的斜率，因此我们可以利用直线的点斜式方程来解决问题.
当时，经过两点，的直线的斜率. 任取，中的一点，例如，取点，由直线的点斜式方程，得，
当时，上式可写为.
就是经过两点，(其中，）的直线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.
直线的斜截式方程
注意
1
如果或，则直线没有两点式方程.
注意
2
当时，直线垂直于轴，直线方程为，即;
注意
3
当时，直线垂直于y轴，直线方程为，即.
例题精讲 ——例1
我们把直线l与轴的交点(，0)的横坐标叫做直线在轴上的截距,
此时直线在y轴上的截距是b．
方程由直线l在两条坐标轴上的截距与b确定，我们把方程叫做直线的截距式方程，简称截距式.
解析：将两点A(,0)，B(0,b)的坐标代入两点式，
得，
即.
如图，已知直线l与轴的交点为A(，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中≠0，b≠0. 求直线l的方程.
例题精讲 ——例2
已知△ABC的三个顶点A(，0)，B(3， 3)，C(0，2)，求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线 AM所在直线的方程.
例题精讲 ——例2
已知△ABC的三个顶点A(，0)，B(3， 3)，C(0，2)，求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线 AM所在直线的方程.
解:如图，过B(3，3)，C(0，2)的两点式方程为，
整理得.这就是边BC所在直线的方程.
边BC上的中线是顶点A与边BC中点M所连线段,由中点坐标公式，可得点M的坐标为，即.
过A(5，0)，M两点的直线方程为，
整理可得x＋13y+5=0.这就是边 BC上中线AM所在直线的方程.
课堂检测
1.求经过下列两点的直线的两点式方程:
(1) (2，1)，; (2) A(0，5)，B(5，0).
课堂检测
2.根据下列条件求直线的截距式方程，并画出图形:
(1）在轴、y轴上的截距分别是2，3;
(2)在轴、y轴上的截距分别是5，6.
课堂检测
3.根据下列条件,求直线的方程:
(1)过点（0,5)，且在两坐标轴上的截距之和为2;
(2)过点（5，0)，且在两坐标轴上的截距之差为2.
第二章
2.2.3直线的一般式方程
直线的一般式方程
任意一条直线l，在其上任取一点(，)，当直线l的斜率为k时（此时直线的倾斜角α≠90°)，其直线的方程为，这是关于，的二元一次方程.
当直线l的斜率不存在，即直线l的倾斜角α=90°时，直线的方程为.
上述方程可以认为是关于，的二元一次方程，因为此时方程中的系数为0.
方程和都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程表示.
(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程表示吗
思考
分类讨论时，常按和分类，这样可以做到不重不漏.
直线的一般式方程
对于任意一个二元一次方程，(A，B不同时为0)，如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线.
当B≠0时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线.
当B=0时，A≠0，方程可变形为，它表示过点（，0)，且垂直于轴的直线.
由上可知，关于，的二元一次方程都表示一条直线.
(2)任意一个关于，的二元一次方程都表示一条直线吗
思考
直线的一般式方程
对于任意一个二元一次方程，(A，B不同时为0)，如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线.
当B≠0时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线.
当B=0时，A≠0，方程可变形为，它表示过点（，0)，且垂直于轴的直线.
由上可知，关于，的二元一次方程都表示一条直线.
我们把关于，的二元一次方程(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.
直线的一般式方程
探究
在方程 中，A，B，C为何值时，方程表示的直线: ①平行于轴？平行于轴？ 与轴重合？④与轴重合？
①平行于轴的直线，纵坐标不变，横坐标取全体实数，所以B≠0，A=0，C≠0；
②当A≠0，B=0，C≠0时，直线平行于轴;
③当B≠0，A=0，C=0时，与轴重合.
④当A≠0，B=0，C=0时，与轴重合.
例题精讲 ——例1
已知直线经过点A(6，4)，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.
解:经过点A(6， 4)，斜率为的直线的点斜式方程是：
，
化为一般式，得.
例题精讲 ——例2
把直线l的一般式方程化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形.
分析：求直线l在轴上的截距，即求直线l与轴交点的横坐标，只要在直线l的方程中令=0即可得的值.
例题精讲 ——例2
把直线l的一般式方程化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形.
解:把直线l的一般式方程化为斜截式.
因此，直线l的斜率k，它在y轴上的截距是3.
在直线l的方程中，令y=0，得，
即直线l在轴上的截距是.
由上面可得直线l与轴、y轴的交点分别为A (,0)，B(0,3)，
过A，B两点作直线，就得直线l.
在直角坐标系中画直线时，通常找出直线与两条坐标轴的交点，然后连接这两个点.
课堂检测
1．根据下列条件,写出直线的方程,并把它化为一般式:
(1)经过点A(8，2)，斜率是，
(2)经过点B(4，2)平行于轴;
(3)经过点，；
(4)在轴、 轴的截距分别是，3.
课堂检测
2．求下列直线的斜率以及在y轴上的截距，并画出图形:
(1); (2);
(3)x＋2y=0; (4)7x 6y＋4=0.
课堂检测
3.已知直线l的方程是Ax＋By＋C=0.
(1)当B≠0时,直线l的斜率是多少？当B=0时呢？
(2)系数A，B，C取什么值时，方程Ax＋By＋C=0表示经过原点的直线？
求直线方程时方程形式的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程．
(2)已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距．
(3)已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程．
(4)已知直线上两点时，通常选用两点式方程．
课堂小结