高三数列模拟考题型练习（含解析）

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高三模考题型练习
1．（2022·湖北·黄冈中学二模）数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项；(2)求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)当时，，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，可得，且，
所以，数列从第二项开始成以为公比的等比数列，则，
因为不满足，故.
(2)解：，
当时，；
当时，，①
，…②
①②得：，
所以，，
又也满足，所以.
2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知数列满足：对任意，有.
(1)求数列的通项公式;(2)设，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
(1)解：当时，，故，
当时，，则
，
故，当时，上式亦满足；综上， ；
(2)解：因为
，
，
.
3．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知数列是等差数列，且，，分别是公比为2的等比数列中的第3，4，6项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若数列通项公式为，求的前100项和.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)设数列的首项为，公差为，
则，，
，
因为，，分别是公比为2的等比数列中的第3，4，6项，
所以，解得：，
所以的通项公式为：，、
因为，又是公比为2的等比数列，
所以的通项公式为：；
(2)，
4．（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）已知数列的前项和为，其中，当时，成等差数列.
(1)求数列的通项公式.
(2)记数列的前项和，求证：.
【答案】(1)；(2)证明见解析．
【解析】(1)依题意，当时，，
故，
由得，
故数列是以1为首项，4为公比的等比数列，
则；
(2)依题意，，
故，
∵，∴，即．
5．（2022·河北唐山·三模）已知正项数列满足．
(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)由已知，
即．
又，故，即（且）．
所以，当时，
当时，．所以．
(2)当时，．
．
法二：．
.
6．（2022·湖南衡阳·三模）已知等差数列的前项和为，且，，公比为2的等比数列满足．
(1)求数列、的通项公式；
(2)求数列的前项和，及使得对恒成立的最大正整数．
【答案】(1)，；(2)2022
【解析】(1)设等差数列的公差为，则，解得，
所以，
∵，则．
(2)因为，
则，①
，②
①-②得
，
因此，．
对恒成立，即，
又因为，所以单调递增，
所以的最小值为，
即，，，
所以最大正整数为2022．
7．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）已知等差数列公差不为零，，，数列各项均为正数，，.
(1)求数列、的通项公式；
(2)若恒成立，求实数的最小值．
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)解：设等差数列的公差为，
因为，即，解得，
所以，，
因为，所以，，
因为，所以，，又，所以，，所以，，
所以，是以为首项，为公比的等比数列，故.
(2)解：因为，，所以，，即恒成立，
设，则，
当时，；当时，；当时，.
所以，或时，为的最大项．
所以，，故实数的最小值为．
8．（2022·湖北·模拟预测）已知数列前项和，的前项之积.
(1)求与的通项公式.
(2)把数列和的公共项由小到大排成的数列为，求的值.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)解：（1）由，
当时，当时，，
当时，上式也成立，所以，
由，当时，，
当时，，当时，上式也成立，
所以；
(2)解：设
，，为得正整数倍，
故当为奇数时，，故公共项为，
∴，，，，…构成首项为2，公比为4的等比数列，
则.
9．（2022·辽宁·三模）已知是公比为2的等比数列，为数列的前n项和，且.
(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为，所以.
因为是公比为2的等比数列，所以，
所以，故.
(2)
当时，；
当时，
.
综上，
10．（2022·全国·模拟预测）已知等差数列满足，且，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)设等差数列的公差为d，
因为，，成等比数列，所以，
整理得，又因为，所以，，
又，即15d＝15，
所以，所以；
(2)解：由（1）知，，
所以，
．
11．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知数列前项和为，若，且成等差数列．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)记数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】(1)，
因为成等差数列，所以，
所以，且，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
(2)由（1）知.
.
一方面，；
另一方面，，
是递增数列，所以.
综上所述，.
12．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知正项数列的前项积为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】(1)∵，且，∴，
∵，∴，∴得，则，
∵当时，，得，∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列．
(2)由(1)知：，即．
∴
．
13．（2022·山东省实验中学模拟预测）已知是数列的前n项和，，且当时，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，若，求正整数n的值．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由题意知当时，，
∴，整理得，
由，
∴，
经检验，也符合．
∴当时，．
由也满足，
∴数列的通项公式为．
(2)由（1）得，
∴．
由，得.
14．（2022·全国·模拟预测）已知首项为1的数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前n项和为，求使得成立的最小正整数n的值．
【答案】(1)(2)5
【解析】(1)依题意，，
故，
因为，所以，
又，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，．
当时，，
又当n＝1时，也满足上式，所以．
(2)依题意，，
所以，①
．②
由①－②得，则．
令，则，即．
令，易知，
当时，，又，，故．
综上，使得成立的最小正整数n的值为5．
15．（2022·全国·模拟预测）已知数列是各项均为正数的等比数列，，，成等差数列，，非零数列的前n项和为，，且．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)设数列的公比为q．
因为，，成等差数列，
所以，所以，解得或．
因为数列的各项均为正数，所以，所以．
又，所以．因为，，
当时，，所以．当时，，所以．
又，所以．当n为奇数时，，
当时，，符合上式；当n为偶数时，，
所以
(2)设数列前n项和为，
由（1）得，故，
所以，①
，②
由①-②得，
所以，
故．
16．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前2n项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由题意，当时，，因为①，则②，可得，
所以数列的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列.因为，，
所以当为奇数时，；当n为偶数时，.
综上，
(2)由（1）得∴
.
17．（2022·全国·模拟预测）设数列满足，.
(1)证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【解析】(1)解：因为，所以.
又因为，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
则，即.
(2)解：由（1）知，则，
，①
所以，②
①②两式相减可得，
所以.
18．（2022·云南曲靖·二模（文））已知数列满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)当n为偶数时，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)证明：因为，，
所以，
所以数列是首项为4，公比为4的等比数列；
(2)由（1）可得，即，
则
.
当n为偶数时，，
则
.
19．（2022·安徽马鞍山·三模（理））设数列的各项均为正数，前n项和为，满足．
(1)求的通项公式；
(2)设，的前n项和为，求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)由，得，，
两式相减得，整理得．
因为，所以，即数列是公差为2的等差数列，
由，解得，所以的通项公式为．
(2)由（1）知，，
则
所以
因为
所以
20．（2022·广东·三模）已知数列{}的前n项和，，，.
(1)计算的值，求{}的通项公式；
(2)设，求数列{}的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】(1)当时，，解得
由题知 ①
②
由②①得，
因为，所以
所以数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列；偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列；
当n为奇数时，
当n为偶数时，所以的通项公式.
(2)
由（1）可得.
当n为偶数时，
当n为奇数时，
当时，
当时，
经检验，也满足上式，
所以当n为奇数时，
综上，数列的前n项和
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