2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册2.5二次函数与一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2019九上·杭州月考）抛物线 与 轴的交点坐标是（ ）
A．(0， 1) B．(1， 0) C．(0， -1) D．(0， 0)
2．（2019九上·杭州月考）如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A，B，C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（ ）
A．a+b=﹣1 B．a﹣b=﹣1 C．b＜2a D．ac＜0
3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的四组对应值如表所示
x 6.15 6.18 6.21 6.24
y 0.02 -0.01 0.02 0.11
则方程ax2+bx+c=0的根的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
4．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（ ）
A．无解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=4
5．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（ ）
A．2012 B．2013 C．2014 D．2015
6．（2018九上·仙桃期中）如图，抛物线 与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作 ，将 向左平移得到 ， 与x轴交于点B、D，若直线 与 、 共有3个不同的交点，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
7．下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，下确的是（ ）
A．没有交点
B．只有一个交点，且它位于y轴右侧
C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧
8．二次函数y=x2+2x﹣m2+1的图像与直线y=1的公共点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
9．根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（ ）
A．x2＋3x－1＝0 B．x2＋3x＋1＝0
C．3x2＋x－1＝0 D．x2－3x＋1＝0
10．（2018·大庆模拟）“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2018九上·绍兴月考）二次函数 与两坐标轴的三个交点确定的三角形的面积是 ．
12．（2018九上·湖州期中）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你所确定的b的值是 ．
13．（2018九上·宁波期中）若抛物线y=2 +x+c与坐标轴有两个交点，则字母c应满足的条件是 ．
14．（2018九上·宁县期中）若函数 的图像与x轴有且只有一个交点，则a的值为 .
15．（2018九上·防城港期中）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的两根为 ．
16．二次函数y＝x2＋ax＋a与x轴的交点分别是A(x1，0)、B(x2，0)，且x1＋x2－x1x2＝－10，则抛物线的顶点坐标是 ．
三、解答题
17．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为 ．
（注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣ ，顶点坐标为（﹣ ， ）
18．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．
（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）当m取何值时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．
19．（2018九上·南昌期中）已知一元二次方程x2+x﹣2=0有两个不相等的实数根，即x1=1，x2=﹣2．
（1）求二次函数y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标；
（2）若二次函数y=﹣x2+x+a与x轴有一个交点，求a的值．
20．（2018九上·三门期中）已知：二次函数y=﹣2x2+4x+m+1，与x轴的公共点为A，B．
（1）如果A与B重合，求m的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点：
①当m=﹣1时，求线段AB上整点的个数；
②若设抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）整点的个数为n，当1＜n≤8时，结合函数的图象，求m的取值范围．
21．（2018九上·宁波期中）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=(x-1)2-4，AB为半圆的直径，求这个“果圆”被y轴截得的CD的长．
22．（2018·南京）已知二次函数 （ 为常数）.
（1）求证：不论 为何值，该函数的图象与 轴总有公共点；
（2）当 取什么值时，该函数的图象与 轴的交点在 轴的上方？
23．根据下列要求，解答相关问题．
（1）请补全以下求不等式 的解集的过程：
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y= ；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y= 的图象（只画出大致图象即可）；
②求得界点，标示所需：当 时，求得方程 的解为；并用虚线标示出函数y= 图象中 ＜0的部分；
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式 ＜0的解集为．
（2）请你利用上面求不等式解集的过程，求不等式 -3≥0的解集．
24．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
t（秒） 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 6
X（米） 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 …
y（米） 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …
（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x﹣3）2+k．
①用含a的代数式表示k；
②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】当x=0时，y=1，故抛物线与y轴的交点坐标是（0，1），
故答案为：A.
【分析】根据抛物线与y轴相交，横坐标为0可求解。
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】A、由图象可知，当x=1时，y＞0，即a+b＞0，不符合题意；
B、由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标为（0，c），
又因为OC=OA=1，
所以C（0，1），A（-1，0），
把它代入y=ax2+bx+c，
即a （-1）2+b （-1）+1=0，
即a-b+1=0，
所以a-b=-1，符合题意．
C、由图象可知，- ＜-1，解得b＞2a，不符合题意；
D、由图象可知，抛物线开口向上，所以a＞0；又因为c=1，所以ac＞0，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】由图象和题意可知，点A（-1，0），点C（0，1）。
（1）由图象可知，当x=1时，y＞0，即a+b＞0；
（2）由图象和题意可知，当x=-1时，a-b+1=0，即a-b=-1；
（3）由图象和题意可知，对称轴x=，即b＞2a；
（4）由图象和题意可知，抛物线开口向上，所以a＞0；又因为c=OC=1，所以ac＞0。
3．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：利用图表中数据可得出二次函数的大体图象，如图所示：
即图象与x轴交点个数为2个，即方程ax2+bx+c=0的根的个数是2．
故答案为：C．
【分析】利用图表中数据可得出二次函数的近似图象，由图象可以看出抛物线与x轴有2个交点，即方程ax2+bx+c=0的根的个数是2．
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：如图，
∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（﹣1，0），（4，0），
∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4．
故答案为：D．
【分析】根据函数y=x2+ax+b与x轴的交点的横坐标就是方程x2+ax+b=0的解，观察图象即可求解。
5．【答案】D
【知识点】代数式求值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1=0，
解得 m2﹣m=1．
∴m2﹣m+2014=1+2014=2015．
故答案为：D．
【分析】将交点的坐标代入函数解析式，可得出m2﹣m=1，再整体代入求值。
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】 抛物线 与x轴交于点A、B，
∴ =0，
∴x1=5，x2=9，
，
抛物线向左平移4个单位长度后的解析式 ，
当直线 过B点，有2个交点，
，
，
当直线 与抛物线 相切时，有2个交点，
，
，
相切，
，
，
如图，
若直线 与 、 共有3个不同的交点，
-- ，
故答案为：C．
【分析】由抛物线与x轴相较于A、B两点，可令y=0，得到关于x的一元二次方程，解方程即可求得A、B的坐标；再根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求得抛物线c2的解析式；当直线 过B点，有2个交点，令y=0，可求得m的值；当直线 与抛物线 相切时，有2个交点，此时可得关于x的一元二次方程，由根的判别式可求得m的值；综合两种情况即可求得m的范围。
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：当y＝0时，ax2－2ax+1＝0，
∵a＞1，∴△＝4a2－4a＝4a(a－1)＞0，
∴方程ax2－2ax+1＝0有两个实数根，则抛物线与x轴有两个交点，
∵x＝ ＞0，
∴抛物线与x轴的两个交点均在y轴的右侧，
故答案为：D
【分析】计算的值可判断的图象与x轴交点的个数；再根据和已知条件a＞1可判断这两根的符号，即两个交点所在的位置。
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：x2+2x﹣m2+1=1，即 ，
∵△=4+4 ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴两个函数的交点为两个， 故答案为：C．
【分析】二次函数y=x2+2x﹣m2+1的图像与直线y=1的公共点个数是即是方程x2+2x﹣m2+1=1的根的个数，先计算判别式的值大于 0，可知方程有两个不等实数根，所以图像与直线有两个交点。
9．【答案】A
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】要求y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，令y=0，x2＋3x－1=0，解出x写出坐标即可，一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点坐标相对应，所以根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出x2＋3x－1=0的近似解
故答案为：A.
【分析】根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，就是求x2＋3x－1=0的根即可解答此题。
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：依题意，画出函数y=（x-a）（x-b）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．
方程1-（x-a）（x-b）=0
转化为（x-a）（x-b）=1，
方程的两根是抛物线y=（x-a）（x-b）与直线y=1的两个交点．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．
综上所述，可知m＜a＜b＜n．
故答案为：A．
【分析】由题意可知，关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根即为直线y=1和抛物线y=（x-a）（x-b）的两个交点的横坐标的值，a、b即为抛物线y=（x-a）（x-b）与x轴的两个交点的值。于是根据题意可画出函数y=（x-a）（x-b）的图象和直线y=1即可判断a、b、m、n的大小关系。
11．【答案】6
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∵抛物线y=x2+2x 3=(x 1)(x+3)，
它与坐标轴的三个交点分别是：(1，0)，( 3，0)，(0， 3)；
∴该三角形的面积为
故答案为：6.
【分析】根据抛物线与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，求出抛物线与坐标轴的三个交点坐标，根据三角形的面积公式即可算出答案。
12．【答案】如图 （答案不惟一）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：把点(0，－3)代入抛物线y=x2+bx+c得出c=-3，
∴y=x2+bx 3，
∵使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，
∴把x=1代入y=x2+bx 3得：y=1+b 3<0
把x=3代入y=x2+bx 3得：y=9+3b 3>0，
∴ 2即在 2故答案为：-(在 2【分析】把（0，-3）代入抛物线的解析式求出c的值，分别把x=1和x=3代入解析式即可得出关于b的不等式组，求出答案即可．
13．【答案】c= 或0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2 +x+c与坐标轴有两个交点，且与y轴的交点为点（0，c），
∴当c=0时，符合题意；
当c≠0时，抛物线y=2 +x+c与x轴只有一个交点，
令y=0，得2 +x+c=0，
则 ，
解得
故答案为：c= 或0.
【分析】抛物线始终与y轴有一个交点（0，c），分当c=0时和c≠0时进行分类讨论.
14．【答案】-1或-2或1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】∵函数y=（a+1）x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为一次函数时，a+1=0，解得：a=-1，
当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4（a+1）×2a=0，
解得：a1=-2，a2=1，
故答案为：-1或-2或1．
【分析】由已知可知，此函数可能是一次函数也可能是二次函数，因此分两种情况讨论：当函数为一次函数时，a+1=0；当函数为一次函数时，a+1=0，分别求出a的值。
15．【答案】x1=-1，x2=3
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的一交点坐标为（-1，0），对称轴方程为x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标与（-1，0）关于直线x=1对称，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标（3，0）．
∴方程ax2+bx+c=0的两根为：x1=-1，x2=3．
故答案是：x1=-1，x2=3
【分析】由图象可知：抛物线与x轴的一交点坐标为（-1，0），对称轴方程为x=1，根据抛物线的对称性即可得出抛物线与x轴的另一交点坐标（3，0）．根据一元二次方程与二次函数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根，就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴两交点的横坐标，从而即可得出答案。
16．【答案】（- ，- ）
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵二次函数y=x2+ax+a与x轴的交点分别是A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1+x2=-a，x1x2=a，
∴由x1+x2-x1x2=-10，得
-a-a=-10，
解得a=5，
则二次函数的解析式为：y=x2+5x+5=（x+ ）2- ，
∴抛物线的顶点坐标是（- ，- ）．
故答案为：（- ，- ）
【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2、x1x2，再代入建立关于a的方程，求出a的值，然后将a的值代入抛物线的解析式，就可求出其顶点坐标。
17．【答案】（1）解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）
∴
解得
∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3
y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4
∴顶点D（1，4）
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）∵B（3，0），D（1，4）
∴中点H的坐标为（2，2）其关于y轴的对称点H′坐标为（﹣2，2）
连接H′D与y轴交于点P，则PD+PH最小
且最小值为：
=
∴答案：
【分析】（1）由题意用待定系数法即可求二次函数的解析式；并将抛物线的解析式配成顶点式即可求得顶点D的坐标；
（2）根据 点H为BD的中点 可求得点H的坐标；并找出点关H于y轴的对称点H′的坐标，连接H′D与y轴的交点即为点P；此时PD+PH最小且最小值可用两点间的距离公式求解。
18．【答案】（1）解：由题意得：A、B、C三点的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣3）、（4，5）；
设该二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，
由题意得：
，
解得：a=1，b=﹣2，c=﹣3，
∴该抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3．
（2）解：由（1）知：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为x=1．
（3）解：由题意得：x2﹣2x﹣3=m，
即x2﹣2x﹣3﹣m=0①，
若该方程组有两个不相等的实数根，
则必有△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣3﹣m）＞0，
解得：m＞﹣4．
即当m＞﹣4时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）
由题意得：A、B、C三点的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣3）、（4，5）； 用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）根据公式
将解析式配成顶点式，可求得 此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3） 由题意得：x2﹣2x﹣3=m， 化为一般形式后，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则
可得关于m的不等式，解不等式即可求解。
19．【答案】（1）解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，即
∴二次函数 与 轴的交点坐标为
（2）解：∵二次函数 与 轴有一个交点，
令 ， 有两个相等的实数根，
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与x轴交点的横坐标就是其函数值为0的时候所得的一元二次方程的解，从而得出答案；
（2）抛物线与x轴只有一个交点，故其函数值为0的时候所得一元二次方程有两个相等的实数根，故其根的判别式应该等于0，从而列出方程求解得出a的值。
20．【答案】（1）解：∵A与B重合，
∴二次函数y=﹣2x2+4x+m+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴方程﹣2x2+4x+m+1=0有两个相等的实数根，
∴△=42+4×2（m+1）=24+8m=0，
解得：m=﹣3．
∴如果A与B重合，m的值为3
（2）解：①当m=﹣1时，原二次函数为
y=﹣2x2+4x+m+1=﹣2x2+4x，
令y=﹣2x2+4x=0，则x1=0，x2=2，
∴线段AB上的整点有（2，0）、（1，0）和（0，0）．
故当m=﹣1时，线段AB上整点的个数有3个．
②二次函数y=﹣2x2+4x+m+1=﹣2（x﹣1）2+m+3
由点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）如图
∵1＜n≤8 ∴0＜m+3≤3 ∴﹣3＜m≤0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据点A与点B重合，可知二次函数y=﹣2x2+4x+m+1的图象与x轴只有一个公共点，由b2-4ac=0，建立关于m的方程，求出方程的解，就可得出m的值。
（2）①由m=-1，可得出函数解析式，再由y-0，解关于x的方程，就可得出抛物线与x轴的交点坐标，即可写出线段AB上的整数点。
②由点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界），根据n的取值范围，就可求出m的取值范围。
21．【答案】解：连结CM，
当y=0时，（x-1）2-4=0，
解得x1=-1，x2=3.
∴A(-1，0)，B(3，0)
∴AB=4，
又∵M为AB的中点，∴M（1，0）
∴OM=1，CM=2，∴CO= .
当x=0时y=-3，∴OD=3
∴CD=3+
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆的认识
【解析】【分析】易知CD=OC+OD，由抛物线y=(x-1)2-4，令x=0可求出抛物线与y轴的交点D的坐标，可得OD的长；连接OM，则需要求出OM，MC，才能由勾股定理求出OC.
22．【答案】（1）证明：当 时， .解得 ， .
当 ，即 时，方程有两个相等的实数根；当 ，即 时，方程有两个不相等的实数根.
所以，不论 为何值，该函数的图象与 轴总有公共点
（2）解：当 时， ，即该函数的图象与 轴交点的纵坐标是 .
当 ，即 时，该函数的图象与 轴的交点在 轴的上方
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线与x轴交点的坐标特点，将 y = 0代入抛物线的解析式，得出一个关于x的方程，求解得出x的值， x 1 = 1 ， x 2 = m + 3 .当 m + 3 = 1 ，即 m = 2 时，方程有两个相等的实数根；当 m + 3 ≠ 1 ，即 m ≠ 2 时，方程有两个不相等的实数根.从而得出结论；不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点；
（2）根据抛物线与y轴交点的坐标特点，将 yx= 0代入抛物线的解析式得出 y = 2 m + 6 ，即该函数的图象与 y 轴交点的纵坐标是 2 m + 6 .根据抛物线的图像与系数之间的关系，由函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方得出关于m的不等式，求解得出m的取值范围。
23．【答案】（1）解：二次函数y=x2-2x的图象如图1所示，∵二次函数y=x2-2x与x轴交于O（0，0），A（2，0），∴方程x2-2x=0的解为x=0或2．
由图象可知x2-2x＜0的解集为0＜x＜2．
故答案为x=0或2，0＜x＜2．
（2）解：函数y=x2-2x-3的图象如图2所示，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴不等式x2-2x-3≥0的解集，由图象可知，x≥3或x≤-1．
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）先利用描点法画出二次函数y=x2-2x的图像，再求出抛物线y=x2-2x与x轴的两交点坐标，观察函数图象，写出x2-2x＜0的解集。
（2）先画出函数y=x2-2x-3的图象，观察函数图象，要使 x 2 2 x -3≥0即y≥0，就是观察x轴上方的图像，根据抛物线与x轴的两交点坐标，写出其解集。
24．【答案】（1）解：由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度
（2）解：由表格中数据，可得y是x的二次函数，可设y=a（x﹣1）2+0.45，
将（0，0.25）代入，可得：a=﹣ ，
则y=﹣ （x﹣1）2+0.45，
当y=0时，0=﹣ （x﹣1）2+0.45，
解得：x1= ，x2=﹣ （舍去），
即乒乓球与端点A的水平距离是 m
（3）解：①由（2）得乒乓球落在桌面上时，对应点为：（ ，0），代入y=a（x﹣3）2+k，得（ ﹣3）2a+k=0，化简得：k=﹣ a；
②由题意可得，扣杀路线在直线y= x上，由①得，y=a（x﹣3）2﹣ a，
令a（x﹣3）2﹣ a= x，整理得：20ax2﹣（120a+2）x+175a=0，当△=（120a+2）2﹣4×20a×175a=0时符合题意，解方程得：a1= ，a2= ，当a1= 时，求得x=﹣ ，不符合题意，舍去；当a2= 时，求得x= ，符合题意
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由表格中数据可知，乒乓球达到最大高度是0.45米，且此时对应的t的值为0.4，即t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；
（2）因为乒乓球运行的路线是抛物线，所以由表格中的信息可设y=a（x﹣1）2+0.45，将表格中的任意一组值代入解析式即可求出解析式，再令y=0解方程组即可求解；
（3）①由（2）得乒乓球落在桌面上时，对应点为：，代入解析式y=a（x﹣3）2+k可得k与a的关系式；
②将①求得的k=﹣a代入y=a（x﹣3）2+k可得y=a（x﹣3）2﹣a，联立解方程组y=x和y=a（x﹣3）2-a即可求解。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册2.5二次函数与一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2019九上·杭州月考）抛物线 与 轴的交点坐标是（ ）
A．(0， 1) B．(1， 0) C．(0， -1) D．(0， 0)
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】当x=0时，y=1，故抛物线与y轴的交点坐标是（0，1），
故答案为：A.
【分析】根据抛物线与y轴相交，横坐标为0可求解。
2．（2019九上·杭州月考）如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A，B，C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（ ）
A．a+b=﹣1 B．a﹣b=﹣1 C．b＜2a D．ac＜0
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】A、由图象可知，当x=1时，y＞0，即a+b＞0，不符合题意；
B、由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标为（0，c），
又因为OC=OA=1，
所以C（0，1），A（-1，0），
把它代入y=ax2+bx+c，
即a （-1）2+b （-1）+1=0，
即a-b+1=0，
所以a-b=-1，符合题意．
C、由图象可知，- ＜-1，解得b＞2a，不符合题意；
D、由图象可知，抛物线开口向上，所以a＞0；又因为c=1，所以ac＞0，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】由图象和题意可知，点A（-1，0），点C（0，1）。
（1）由图象可知，当x=1时，y＞0，即a+b＞0；
（2）由图象和题意可知，当x=-1时，a-b+1=0，即a-b=-1；
（3）由图象和题意可知，对称轴x=，即b＞2a；
（4）由图象和题意可知，抛物线开口向上，所以a＞0；又因为c=OC=1，所以ac＞0。
3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的四组对应值如表所示
x 6.15 6.18 6.21 6.24
y 0.02 -0.01 0.02 0.11
则方程ax2+bx+c=0的根的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：利用图表中数据可得出二次函数的大体图象，如图所示：
即图象与x轴交点个数为2个，即方程ax2+bx+c=0的根的个数是2．
故答案为：C．
【分析】利用图表中数据可得出二次函数的近似图象，由图象可以看出抛物线与x轴有2个交点，即方程ax2+bx+c=0的根的个数是2．
4．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（ ）
A．无解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=4
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：如图，
∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（﹣1，0），（4，0），
∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4．
故答案为：D．
【分析】根据函数y=x2+ax+b与x轴的交点的横坐标就是方程x2+ax+b=0的解，观察图象即可求解。
5．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（ ）
A．2012 B．2013 C．2014 D．2015
【答案】D
【知识点】代数式求值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1=0，
解得 m2﹣m=1．
∴m2﹣m+2014=1+2014=2015．
故答案为：D．
【分析】将交点的坐标代入函数解析式，可得出m2﹣m=1，再整体代入求值。
6．（2018九上·仙桃期中）如图，抛物线 与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作 ，将 向左平移得到 ， 与x轴交于点B、D，若直线 与 、 共有3个不同的交点，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】 抛物线 与x轴交于点A、B，
∴ =0，
∴x1=5，x2=9，
，
抛物线向左平移4个单位长度后的解析式 ，
当直线 过B点，有2个交点，
，
，
当直线 与抛物线 相切时，有2个交点，
，
，
相切，
，
，
如图，
若直线 与 、 共有3个不同的交点，
-- ，
故答案为：C．
【分析】由抛物线与x轴相较于A、B两点，可令y=0，得到关于x的一元二次方程，解方程即可求得A、B的坐标；再根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求得抛物线c2的解析式；当直线 过B点，有2个交点，令y=0，可求得m的值；当直线 与抛物线 相切时，有2个交点，此时可得关于x的一元二次方程，由根的判别式可求得m的值；综合两种情况即可求得m的范围。
7．下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，下确的是（ ）
A．没有交点
B．只有一个交点，且它位于y轴右侧
C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧
【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：当y＝0时，ax2－2ax+1＝0，
∵a＞1，∴△＝4a2－4a＝4a(a－1)＞0，
∴方程ax2－2ax+1＝0有两个实数根，则抛物线与x轴有两个交点，
∵x＝ ＞0，
∴抛物线与x轴的两个交点均在y轴的右侧，
故答案为：D
【分析】计算的值可判断的图象与x轴交点的个数；再根据和已知条件a＞1可判断这两根的符号，即两个交点所在的位置。
8．二次函数y=x2+2x﹣m2+1的图像与直线y=1的公共点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：x2+2x﹣m2+1=1，即 ，
∵△=4+4 ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴两个函数的交点为两个， 故答案为：C．
【分析】二次函数y=x2+2x﹣m2+1的图像与直线y=1的公共点个数是即是方程x2+2x﹣m2+1=1的根的个数，先计算判别式的值大于 0，可知方程有两个不等实数根，所以图像与直线有两个交点。
9．根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（ ）
A．x2＋3x－1＝0 B．x2＋3x＋1＝0
C．3x2＋x－1＝0 D．x2－3x＋1＝0
【答案】A
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】要求y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，令y=0，x2＋3x－1=0，解出x写出坐标即可，一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点坐标相对应，所以根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出x2＋3x－1=0的近似解
故答案为：A.
【分析】根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，就是求x2＋3x－1=0的根即可解答此题。
10．（2018·大庆模拟）“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：依题意，画出函数y=（x-a）（x-b）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．
方程1-（x-a）（x-b）=0
转化为（x-a）（x-b）=1，
方程的两根是抛物线y=（x-a）（x-b）与直线y=1的两个交点．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．
综上所述，可知m＜a＜b＜n．
故答案为：A．
【分析】由题意可知，关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根即为直线y=1和抛物线y=（x-a）（x-b）的两个交点的横坐标的值，a、b即为抛物线y=（x-a）（x-b）与x轴的两个交点的值。于是根据题意可画出函数y=（x-a）（x-b）的图象和直线y=1即可判断a、b、m、n的大小关系。
二、填空题
11．（2018九上·绍兴月考）二次函数 与两坐标轴的三个交点确定的三角形的面积是 ．
【答案】6
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∵抛物线y=x2+2x 3=(x 1)(x+3)，
它与坐标轴的三个交点分别是：(1，0)，( 3，0)，(0， 3)；
∴该三角形的面积为
故答案为：6.
【分析】根据抛物线与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，求出抛物线与坐标轴的三个交点坐标，根据三角形的面积公式即可算出答案。
12．（2018九上·湖州期中）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你所确定的b的值是 ．
【答案】如图 （答案不惟一）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：把点(0，－3)代入抛物线y=x2+bx+c得出c=-3，
∴y=x2+bx 3，
∵使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，
∴把x=1代入y=x2+bx 3得：y=1+b 3<0
把x=3代入y=x2+bx 3得：y=9+3b 3>0，
∴ 2即在 2故答案为：-(在 2【分析】把（0，-3）代入抛物线的解析式求出c的值，分别把x=1和x=3代入解析式即可得出关于b的不等式组，求出答案即可．
13．（2018九上·宁波期中）若抛物线y=2 +x+c与坐标轴有两个交点，则字母c应满足的条件是 ．
【答案】c= 或0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2 +x+c与坐标轴有两个交点，且与y轴的交点为点（0，c），
∴当c=0时，符合题意；
当c≠0时，抛物线y=2 +x+c与x轴只有一个交点，
令y=0，得2 +x+c=0，
则 ，
解得
故答案为：c= 或0.
【分析】抛物线始终与y轴有一个交点（0，c），分当c=0时和c≠0时进行分类讨论.
14．（2018九上·宁县期中）若函数 的图像与x轴有且只有一个交点，则a的值为 .
【答案】-1或-2或1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】∵函数y=（a+1）x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为一次函数时，a+1=0，解得：a=-1，
当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4（a+1）×2a=0，
解得：a1=-2，a2=1，
故答案为：-1或-2或1．
【分析】由已知可知，此函数可能是一次函数也可能是二次函数，因此分两种情况讨论：当函数为一次函数时，a+1=0；当函数为一次函数时，a+1=0，分别求出a的值。
15．（2018九上·防城港期中）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的两根为 ．
【答案】x1=-1，x2=3
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的一交点坐标为（-1，0），对称轴方程为x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标与（-1，0）关于直线x=1对称，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标（3，0）．
∴方程ax2+bx+c=0的两根为：x1=-1，x2=3．
故答案是：x1=-1，x2=3
【分析】由图象可知：抛物线与x轴的一交点坐标为（-1，0），对称轴方程为x=1，根据抛物线的对称性即可得出抛物线与x轴的另一交点坐标（3，0）．根据一元二次方程与二次函数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根，就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴两交点的横坐标，从而即可得出答案。
16．二次函数y＝x2＋ax＋a与x轴的交点分别是A(x1，0)、B(x2，0)，且x1＋x2－x1x2＝－10，则抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】（- ，- ）
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵二次函数y=x2+ax+a与x轴的交点分别是A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1+x2=-a，x1x2=a，
∴由x1+x2-x1x2=-10，得
-a-a=-10，
解得a=5，
则二次函数的解析式为：y=x2+5x+5=（x+ ）2- ，
∴抛物线的顶点坐标是（- ，- ）．
故答案为：（- ，- ）
【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2、x1x2，再代入建立关于a的方程，求出a的值，然后将a的值代入抛物线的解析式，就可求出其顶点坐标。
三、解答题
17．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为 ．
（注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣ ，顶点坐标为（﹣ ， ）
【答案】（1）解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）
∴
解得
∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3
y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4
∴顶点D（1，4）
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）∵B（3，0），D（1，4）
∴中点H的坐标为（2，2）其关于y轴的对称点H′坐标为（﹣2，2）
连接H′D与y轴交于点P，则PD+PH最小
且最小值为：
=
∴答案：
【分析】（1）由题意用待定系数法即可求二次函数的解析式；并将抛物线的解析式配成顶点式即可求得顶点D的坐标；
（2）根据 点H为BD的中点 可求得点H的坐标；并找出点关H于y轴的对称点H′的坐标，连接H′D与y轴的交点即为点P；此时PD+PH最小且最小值可用两点间的距离公式求解。
18．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．
（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）当m取何值时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．
【答案】（1）解：由题意得：A、B、C三点的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣3）、（4，5）；
设该二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，
由题意得：
，
解得：a=1，b=﹣2，c=﹣3，
∴该抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3．
（2）解：由（1）知：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为x=1．
（3）解：由题意得：x2﹣2x﹣3=m，
即x2﹣2x﹣3﹣m=0①，
若该方程组有两个不相等的实数根，
则必有△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣3﹣m）＞0，
解得：m＞﹣4．
即当m＞﹣4时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）
由题意得：A、B、C三点的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣3）、（4，5）； 用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）根据公式
将解析式配成顶点式，可求得 此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3） 由题意得：x2﹣2x﹣3=m， 化为一般形式后，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则
可得关于m的不等式，解不等式即可求解。
19．（2018九上·南昌期中）已知一元二次方程x2+x﹣2=0有两个不相等的实数根，即x1=1，x2=﹣2．
（1）求二次函数y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标；
（2）若二次函数y=﹣x2+x+a与x轴有一个交点，求a的值．
【答案】（1）解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，即
∴二次函数 与 轴的交点坐标为
（2）解：∵二次函数 与 轴有一个交点，
令 ， 有两个相等的实数根，
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与x轴交点的横坐标就是其函数值为0的时候所得的一元二次方程的解，从而得出答案；
（2）抛物线与x轴只有一个交点，故其函数值为0的时候所得一元二次方程有两个相等的实数根，故其根的判别式应该等于0，从而列出方程求解得出a的值。
20．（2018九上·三门期中）已知：二次函数y=﹣2x2+4x+m+1，与x轴的公共点为A，B．
（1）如果A与B重合，求m的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点：
①当m=﹣1时，求线段AB上整点的个数；
②若设抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）整点的个数为n，当1＜n≤8时，结合函数的图象，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵A与B重合，
∴二次函数y=﹣2x2+4x+m+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴方程﹣2x2+4x+m+1=0有两个相等的实数根，
∴△=42+4×2（m+1）=24+8m=0，
解得：m=﹣3．
∴如果A与B重合，m的值为3
（2）解：①当m=﹣1时，原二次函数为
y=﹣2x2+4x+m+1=﹣2x2+4x，
令y=﹣2x2+4x=0，则x1=0，x2=2，
∴线段AB上的整点有（2，0）、（1，0）和（0，0）．
故当m=﹣1时，线段AB上整点的个数有3个．
②二次函数y=﹣2x2+4x+m+1=﹣2（x﹣1）2+m+3
由点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）如图
∵1＜n≤8 ∴0＜m+3≤3 ∴﹣3＜m≤0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据点A与点B重合，可知二次函数y=﹣2x2+4x+m+1的图象与x轴只有一个公共点，由b2-4ac=0，建立关于m的方程，求出方程的解，就可得出m的值。
（2）①由m=-1，可得出函数解析式，再由y-0，解关于x的方程，就可得出抛物线与x轴的交点坐标，即可写出线段AB上的整数点。
②由点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界），根据n的取值范围，就可求出m的取值范围。
21．（2018九上·宁波期中）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=(x-1)2-4，AB为半圆的直径，求这个“果圆”被y轴截得的CD的长．
【答案】解：连结CM，
当y=0时，（x-1）2-4=0，
解得x1=-1，x2=3.
∴A(-1，0)，B(3，0)
∴AB=4，
又∵M为AB的中点，∴M（1，0）
∴OM=1，CM=2，∴CO= .
当x=0时y=-3，∴OD=3
∴CD=3+
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆的认识
【解析】【分析】易知CD=OC+OD，由抛物线y=(x-1)2-4，令x=0可求出抛物线与y轴的交点D的坐标，可得OD的长；连接OM，则需要求出OM，MC，才能由勾股定理求出OC.
22．（2018·南京）已知二次函数 （ 为常数）.
（1）求证：不论 为何值，该函数的图象与 轴总有公共点；
（2）当 取什么值时，该函数的图象与 轴的交点在 轴的上方？
【答案】（1）证明：当 时， .解得 ， .
当 ，即 时，方程有两个相等的实数根；当 ，即 时，方程有两个不相等的实数根.
所以，不论 为何值，该函数的图象与 轴总有公共点
（2）解：当 时， ，即该函数的图象与 轴交点的纵坐标是 .
当 ，即 时，该函数的图象与 轴的交点在 轴的上方
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线与x轴交点的坐标特点，将 y = 0代入抛物线的解析式，得出一个关于x的方程，求解得出x的值， x 1 = 1 ， x 2 = m + 3 .当 m + 3 = 1 ，即 m = 2 时，方程有两个相等的实数根；当 m + 3 ≠ 1 ，即 m ≠ 2 时，方程有两个不相等的实数根.从而得出结论；不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点；
（2）根据抛物线与y轴交点的坐标特点，将 yx= 0代入抛物线的解析式得出 y = 2 m + 6 ，即该函数的图象与 y 轴交点的纵坐标是 2 m + 6 .根据抛物线的图像与系数之间的关系，由函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方得出关于m的不等式，求解得出m的取值范围。
23．根据下列要求，解答相关问题．
（1）请补全以下求不等式 的解集的过程：
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y= ；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y= 的图象（只画出大致图象即可）；
②求得界点，标示所需：当 时，求得方程 的解为；并用虚线标示出函数y= 图象中 ＜0的部分；
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式 ＜0的解集为．
（2）请你利用上面求不等式解集的过程，求不等式 -3≥0的解集．
【答案】（1）解：二次函数y=x2-2x的图象如图1所示，∵二次函数y=x2-2x与x轴交于O（0，0），A（2，0），∴方程x2-2x=0的解为x=0或2．
由图象可知x2-2x＜0的解集为0＜x＜2．
故答案为x=0或2，0＜x＜2．
（2）解：函数y=x2-2x-3的图象如图2所示，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴不等式x2-2x-3≥0的解集，由图象可知，x≥3或x≤-1．
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）先利用描点法画出二次函数y=x2-2x的图像，再求出抛物线y=x2-2x与x轴的两交点坐标，观察函数图象，写出x2-2x＜0的解集。
（2）先画出函数y=x2-2x-3的图象，观察函数图象，要使 x 2 2 x -3≥0即y≥0，就是观察x轴上方的图像，根据抛物线与x轴的两交点坐标，写出其解集。
24．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
t（秒） 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 6
X（米） 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 …
y（米） 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …
（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x﹣3）2+k．
①用含a的代数式表示k；
②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值．
【答案】（1）解：由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度
（2）解：由表格中数据，可得y是x的二次函数，可设y=a（x﹣1）2+0.45，
将（0，0.25）代入，可得：a=﹣ ，
则y=﹣ （x﹣1）2+0.45，
当y=0时，0=﹣ （x﹣1）2+0.45，
解得：x1= ，x2=﹣ （舍去），
即乒乓球与端点A的水平距离是 m
（3）解：①由（2）得乒乓球落在桌面上时，对应点为：（ ，0），代入y=a（x﹣3）2+k，得（ ﹣3）2a+k=0，化简得：k=﹣ a；
②由题意可得，扣杀路线在直线y= x上，由①得，y=a（x﹣3）2﹣ a，
令a（x﹣3）2﹣ a= x，整理得：20ax2﹣（120a+2）x+175a=0，当△=（120a+2）2﹣4×20a×175a=0时符合题意，解方程得：a1= ，a2= ，当a1= 时，求得x=﹣ ，不符合题意，舍去；当a2= 时，求得x= ，符合题意
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由表格中数据可知，乒乓球达到最大高度是0.45米，且此时对应的t的值为0.4，即t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；
（2）因为乒乓球运行的路线是抛物线，所以由表格中的信息可设y=a（x﹣1）2+0.45，将表格中的任意一组值代入解析式即可求出解析式，再令y=0解方程组即可求解；
（3）①由（2）得乒乓球落在桌面上时，对应点为：，代入解析式y=a（x﹣3）2+k可得k与a的关系式；
②将①求得的k=﹣a代入y=a（x﹣3）2+k可得y=a（x﹣3）2﹣a，联立解方程组y=x和y=a（x﹣3）2-a即可求解。
1 / 1
