课件17张PPT。 3.2 函数模型及其应用
—3.2.1 几类不同增长的函数模型第一课时2008年10月第三章 函数的应用教学任务分析：
1、借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；
2、结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义；
3、恰当运用函数的三种表示方法（解析法、图象、表格），并借助信息技术解决一些实际问题；
4、收集一些社会生活中普遍使用的 函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数），了解函数模型的广泛运用。
教学重点与难点:
重点：转化（实际问题-数学问题）、比较（几种函数增长差异）、体会（不同函数模型增长的含义）。
难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题引例： 某种细胞分裂时，由1个分裂成两个，两个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是 。第一次第二次第三次y = 2x2x 可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口。这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气。整个２０世纪中期，澳大利亚的灭兔行动从未停止过。 1859年，有人从欧洲带了几只兔子进入澳洲。由于兔子在澳大利亚没有天敌，而且澳洲牧草茂盛，兔子数量不断翻番(呈指数增长）。不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只。澳大利亚兔子“爆炸” 例题探讨：例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比
前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？思考 比较三种方案每天回报量
(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量 评价标准 哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。思考一：确定选择投资方案的原则思考二：确定研究投资方案的入手角度 我们先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。解：设第x天所得回报为y元，则
方案一：每天回报40元: y=40 ( x∈N* )方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元： y=10x ( x∈N* )方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番： y=0.4×2x-1 ( x∈N* ) 比较三种方案每天回报量图112-1从每天的回报量来看： 第1~4天，方案一最多： 第5~8天，方案二最多：
第9天以后，方案三最多；有人认为投资1~4天选择方案一；5~8天选择方案二；9天以后选择方案三？累计回报表结论投资1~6天，应选择方案一；
投资7天，应选择方案一或方案二；
投资8~10天，应选择方案二；
投资11天（含11天）以上，应选择方案三。(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量百万富翁碰上了“指数爆炸”
某一天，百万富翁汤姆与其好友迈克订了个合同，合同期为31天。
迈克说：我将在整整一个月中每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的两倍。
汤姆说：真的？！你说话算数？他欣喜若狂。 合同开始生效了。第一天，汤姆只出1分钱，收入10万元；第二天，汤姆只出2分钱，收入10万元；第三天，汤姆只出4分钱，收入10万元……到了第10天，汤姆共得100万元，而总共才付出5元多；到了第20天，汤姆共得200万元，而总共才付出5000多元。
汤姆想：要是合同再多订两个月、三个月该多好！ 可从25天起，情况发生了转变。第25天，汤姆需支出达16万多，收入仅10万；到了第30天，汤姆发现自己已经破产了……从例1我们可以体会到：
不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异。当自变量变得很大时，指数型函数比一次函数增长的速度要快得多.（指数爆炸）例题的启示解决实际问题的步骤：实际问题读懂问题抽象概括数学模型数学模型的解还原说明实际问题的解演算推理例2、为了实现1000万元利润的目标，你的助手为你公司制定了一个激励销售部门的奖励方案：
在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y(万元)随着销售利润 x(万元)的增加而增加，但奖金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.
现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x
你认为,哪个模型能符合公司的要求？10≤x≤1000y≤5y≤25%x 例题探讨：一、读懂问题，抽象概括（用数学语言表述题目
条件和要求）二、演算、推理要求一:当10≤x≤1000时，y≤5(1)、由函数图象可以看出，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合资金不超过5万元的要求。模型y=log7x+1结论：只有模型y=log7x+1符合要求一:
当10≤x≤1000时，y≤5要求二:当10≤x≤1000时，y≤25%x令f(x)= log7x+1-0.25x， x∈ [10,1000].利用计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此 f(x)即 log7x+1<0.25x所以，当x∈ [10,1000]，三、还原说明综上所述，模型y= log7x+1确实能符合公司的全部要求。小结实际
问题读懂问题将问题
抽象化数学
模型解决
问题基础过程关键目的作业:作业本55页
3.2.1几类不同增长的函数模型2.几种常见函数的增长情况没有增长匀速增长“爆炸”增长“缓慢”增长
