2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册3.6直线与圆的位置关系 同步练习
一、单选题
1．（2019八上·越秀期中）到三角形三边的距离相等的点是（ ）
A．三角形三条高的交点 B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条角平分线的交点 D．不存在这个点
2．（2018九上·兴化期中）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．和半径垂直的直线是圆的切线
C．一个三角形只有一个外接圆
D．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
3．（2018九上·苏州月考）如图，已知⊙ 为正三角形 的内切圆， 为切点，四边形 是⊙ 的内接正方形， ，则正三角形 的边长为（ ）
A．4 B． C． D．
4．（2019九上·鱼台期末）如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．（2018九上·三门期中）如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2=8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A．3次 B．5次 C．6次 D．7次
6．（2018·无锡）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A，D，G三点的圆O与边AB，CD分别交于点E，点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2018九上·无锡月考）如图为 和一圆的重叠情形，此圆与直线 相切于 点，且与 交于另一点 ．若 ， ，则 的度数为何（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
8．（2018九上·泰州月考）已知 和 外切于 ， 是 和 的外公切线， ， 为切点，若 ， ，则 到 的距离是（ ）
A． B． C． D．
9．（人教版九年级数学上册 第二十四章圆 单元检测a卷）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．4 B．8 C．4或6 D．4或8
10．（2019九上·鄞州期末）在 Rt△ABC ，∠C=90°，AB=6．△ABC的内切圆半径为1，则△ABC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
二、填空题
11．（2018九上·宜城期中）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作 当 与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 ．
12．（2018九上·泰州期中）如图， PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，C是⊙O上一点(P与A、B不重合)，若∠P＝52°，则∠ACB= 度.
13．（2018·大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 ．
14．（2019九上·龙湖期末）设O为△ABC的内心，若∠A=48°，则∠BOC= .
15．（2018九上·扬州月考）一块 余料，已知 ， ， ，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 ．
16．（2018九上·苏州月考）如图，在 中， ， ，点 在边 上，以点 为圆心作⊙ .当⊙ 恰好同时与边 ， 相切时，⊙ 的半径长为 .
三、综合题
17．（2018九上·兴化期中）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（2，8），且与x轴相切于点B.
图① 图②
（1）当x＞0，y=5时，求x的值；
（2）当x = 6时，求⊙P的半径；
（3）求y关于x的函数表达式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象（不必列表，画草图即可）.
18．（2018九上·桥东期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系并证明；
（2）若⊙O的半径为2，AC=3，求BD的长度．
19．（2018九上·东台期中）如图，已知直线 的函数表达式为 ，它与 轴、 轴的交点分别为A、B两点.
（1）求点A、B的坐标；
（2）设F是 轴上一动点，⊙P经过点B且与 轴相切于点F，设⊙P的圆心坐标为P(x，y)，求y与 之间的函数关系；
（3）是否存在这样的⊙P，既与 轴相切，又与直线 相切于点B？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由.
20．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.5 三角形的内切圆 同步训练）已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
（1）若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
（2）若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
21．（2018·潮州模拟）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC交于点E（保留作图痕迹，不写作法，请标明字母）；
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，CD的长是
22．（人教版九年级数学上册 24.2.2 直线和圆的位置关系（一） 同步练面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）与B（x2，y2），如果满足x1+x2=0，y1﹣y2=0，其中x1≠x2，则称点A与点B互为反等点．已知：点C（3，4）
（1）下列各点中， 点C互为反等点；
D（﹣3，﹣4），E（3，4），F（﹣3，4）
（2）已知点G（﹣5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的横坐标xP的取值范围；
（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．
23．（2017·荆州）如图在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q．
（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；
（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：到三角形三边的距离相等的点是：三角形三条角平分线的交点．
故答案为：C．
【分析】三角形的内心：三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
2．【答案】C
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；切线的判定；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】A、不共线的三点确定一个圆,所以A不符合题意;
B、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线,所以B不符合题意;
C、一个三角形只有一个外接圆,所以C符合题意;
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等,所以D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】不在同一直线上的三点确定一个圆，过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线,；一个三角形只有一个外接圆,，但一个圆可以有无数个内接三角形；三角形的内心就是三内角平分线的交点，该点到三角形三边的距离相等,根据性质即可一一得出判断。
3．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，连接OD、OE、OC，
∵四边形 是⊙ 的内接正方形，
∴EF=ED= ，∠EOD=90°，
∴OD=OE=1；
∵⊙ O 为正三角形 ABC 的内切圆
∴∠ODC=90°，∠OCD=30°，
∴OC=2，CD= ；
∵ 为正三角形 的内心，
∴ 也为正三角形 的外心，
∴AD=2CD=2 .
故答案为：C.
【分析】连接OD、OE、OC，根据已知条件：四边形 EFGD 是⊙ O 的内接正方形，⊙ O 为正三角形 ABC 的内切圆，就可求出OD、OE、OC、CD的长，及∠OCD的度数，由此可得出点O是△ABC的内心和外心，然后根据AD=2CD，求出AD的长。
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：设AT交⊙O于点D，连结BD，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ATB=45°，BT是⊙O切线，
∴△BDT和△ABD都为等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AD=BD=TD=AB=，
∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积，
∴S阴=S△BDT=××=1.
故答案为：B.
【分析】设AT交⊙O于点D，连结BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，再由切线性质结合已知条件得△BDT和△ABD都为等腰直角三角形，由S阴=S△BDT计算即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵ ⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，
设O1O2交⊙O1于点M
∴PM=8-3-1=4
∴圆O1与以P为圆心，4为半径的圆外切
∴有5次，依次是O1在正方形ABCD外，与边AD相切；O1在正方形ABCD内，与边AD相切；O1在正方形ABCD内，与边CD相切；O1在正方形ABCD内，与边CD相切；O1在正方形ABCD外，与边BC相切；
故答案为：B
【分析】根据⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，
设O1O2交⊙O1于点M，求出PM的长，就可得出圆O1与以P为圆心，4为半径的圆相外切，即可得出结果。
6．【答案】C
【知识点】矩形的性质；切线的判定
【解析】【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，
∵G是BC的中点，
∴AG=DG，
∴GH垂直平分AD，
∴点O在HG上，
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴BC与圆O相切；
∵OG=OD，
∴点O不是HG的中点，
∴圆心O不是AC与BD的交点；
而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，
∴AF与DE的交点是圆O的圆心；
∴（1）错误，（2）（3）正确．
故答案为：C．
【分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，根据中点的定义得出AG=DG，根据矩形的性质判断出GH垂直平分AD，根据垂径定理得出点O在HG上，根据平行线的性质判断出HG⊥BC，故BC与圆O相切；根据同圆半径相等及大角对大边得出点O不是HG的中点，根据矩形的对称性得出圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，故AF与DE的交点是圆O的圆心。
7．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；切线的性质
【解析】【解答】设圆心为O，连接CO，并延长交⊙O于点E，连接DE，DO．
∵∠A=70°，∠B=60°，
∴∠ACB=50°．
∵此圆与直线BC相切于C点，
∴∠BCE=90°，∴∠ACB+∠ACE=90°．
∵CE为直径，∴∠EDC=90°，
∴∠DCE+∠E=90°，
∴∠ACB=∠E．
∵∠COD=2∠E，
∴∠COD=2∠ACB=100°，
∴弧CD的度数=∠COD=100°．
故答案为：C．
【分析】利用三角形内角和定理，求出∠ACB的度数，设圆心为O，连接CO，并延长交⊙O于点E，连接DE，DO，利用切线的性质，可证得∠BCE=90°，就可求出∠ACE的度数，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠DOC的度数，再根据弧的度数和它所对的圆心角的度数相等，就可求出结果。
8．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】如图，
∵AB是⊙O1和⊙O2的外公切线，∴∠O1AB=∠O2BA=90°，
∵O1A=O1M，O2B=O2M，
∴∠O1AM=∠O1MA，∠O2BM=∠O2MB，
∴∠BAM+∠AMO1=90°，∠ABM+∠BMO2=90°，
∴∠AMB=∠BMO2+∠AMO1=90°，
∴AM⊥BM，
∵MA=4cm，MB=3cm，
∴由勾股定理得，AB=5cm，
由三角形的面积公式，M到AB的距离是 .故答案为：B.
【分析】利用切线的性质去证明∠AMB=90°，就可得出△ABM是直角三角形，再利用直角三角形的两种面积公式，就可求出M到AB的距离。
9．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
【解析】【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P1只能在直线CD的左侧，
∴P1E⊥CD
又∵∠AOD=30°，r=1cm
∴在△OEP1中OP1=2cm
又∵OP=6cm
∴P1P=4cm
∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1=4（秒），
或P1P=8cm
∴圆P到达圆P1需要时间为：8÷1=8（秒），
∴⊙P与直线CD相切时，时间为4或8秒．
故答案为：D
【分析】根据题意可知P1E与CD垂直，根据题意求出OP1=2，然后分点P1在点O左边和右边两种情况求解即可.
10．【答案】B
【知识点】切线的性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：连结OA、OB、OC、OD、OE、OF（如图），
∵⊙O是 △ABC的内切圆 ，切点分别为D、E、F，
∴OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，BE=BF，AD=AE，
∴∠ODC=∠ACB=∠OFC=90°，
∵OD=DC，
∴四边形ODCF为正方形，
∴OD=DC=CF=OF=1，
∵BE=BF，AD=AE，AE+BE=AB=6，
∴AD+BF=6，
∴C △ABC =AD+DC+CF+FB+BE+AE=6+1+1+6=14.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理得BE=BF，AD=AE，即AE+BE=AD+BF=6，由切线性质得∠ODC=∠ACB=∠OFC=90°，根据正方形的判定得四边形ODCF为正方形，从而得DC=CF=1，根据三角形周长计算即可.
11．【答案】3或
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当 与直线CD相切时，设 PC=PM=x ，
在 中， ，
，
，
， ；
如图2中当 与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则 ，四边形PKDC是矩形，
，
， ，
在 中， ，
综上所述，BP的长为3或 ．
【分析】由于点P在BC上，点M在AB上，故不能与BC，AB相切，可能与CD，AD相切，故需要分类讨论：如图1中，当 与直线CD相切时，设 PC=PM=x ，根据勾股定理建立方程，求解即可得出x的值，即PC的长，进而根据BP=BC-PC即可算出答案；如图2中当 与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则 ，四边形PKDC是矩形，故PM=PK=CD=2BM，然后根据勾股定理算出PB，综上所述即可算出PB的长。
12．【答案】64或116
【知识点】多边形内角与外角；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，
∴∠OAP=∠OBP=90°（切线的性质）．
∵∠P=52°（已知），
∴∠AOB=180°-∠P=128°（四边形的内角和定理），
∴∠ACB= ∠AOB=64°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）．
同理可得出：当C点在劣弧AB上时，∠ACB的度数为：180°-64°=116°．
故答案为：64或116．
【分析】连接OA、OB，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，由四边形的内角和可求∠AOB的度数，再根据圆周角定理可得∠ACB= ∠AOB，即可求出。
13．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，∴k= ，则直线y= ，
∵y= 向上平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y= +m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，当x=0时，y=m；当y=0时，x= ，
∴A（ ，0），B（0，m），即OA= ，OB=m，
在Rt△OAB中，AB= ，
过点O作OC⊥AB交于点C，
∵S△ABO= OC AB= OA OB，
∴OC= ，
∵由直线l与⊙O相交，则OC＜⊙O半径，即 ＜6，解得m＜ ．
故答案为： ．
【分析】由点A的坐标易求得直线 的表达式，则向上平移m个单位以后得到y= +m（m＞0），∵⊙O与该直线相交，则用m表示出点O到该直线的距离，由该距离要小于半径6，即可解得m的取值范围．
14．【答案】114°
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，O为△ABC的内心，
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=（180°-∠A）=66°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-66°=114°。
故答案为：114°。
【分析】因为内心是三角形内角平分线的交点，故∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=（180°-∠A），再根据三角形的内角和定理即可求得。
15．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】∵AB=5cm，BC=13cm，AC=12cm，
∴BC2=AB2+AC2.
∴△ABC为直角三角形，∠A=90°.
设△ABC的内切圆的半径为rcm，
则AB×AC=(AB+AC+BC)r，
即×5×12=(5+12+13)r，
解得：r=2，
∴圆的最大面积是22π=4π(cm2).
故答案为：4π.
【分析】利用勾股定理的逆定理，可证得△ABC为直角三角形，要使余料裁剪成一个圆形材料，且圆的面积要最大，因此△ABC的内切圆的的面积才最大，利用同一个三角形的面积相等，可建立关于r的方程AB×AC=(AB+AC+BC)r，代入计算，可求出r的值。
16．【答案】
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】作AH⊥BC于H，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，连接CD，如图，设 D的半径为r，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH= BC=5，
在Rt△ABH中，根据勾股定理求得AH=12，
∵⊙D同时与边AC、BC相切，
∴DE=DF=r，
∵S△ABC=S△ADC+S△DBC，
∴ AH BC= DE BC+ DF AC，
即 ×10 r+ ×13×r= ×10×12，
∴r= ，
即当 D恰好同时与边AC、BC相切时，此时 D的半径长为 ．
故答案为： ．
【分析】作AH⊥BC于H，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，连接CD，如图，设 D的半径为r，利用等腰三角形三线合一的性质，可求出BH、CH，再在Rt△ABH中，根据勾股定理求得AH，由已知⊙D同时与边AC、BC相切，可得出DE=DF=r，然后利用S△ABC=S△ADC+S△DBC，建立关于r的方程，解方程求出r的值即可。
17．【答案】（1）解： 由y=5，得到P（x，5），连接AP，PB， ∵圆P与x轴相切， ∴PB⊥x轴， 即PB=5， 由AP=PB，由勾股定理得，x=2+ =2+4=6， ∴x=6
（2）解： 由x=6，得到P（6，y），连接AP，PB， ∵圆P与x轴相切， ∴PB⊥x轴，即PB=y，由AP=PB，得到 =y， 解得：y=5，则圆P的半径为5
（3）解： 同（2），由AP=PB，得到（x﹣2）2+（8﹣y）2=y2， 整理得： = ， 即图象为抛物线， 画出函数图象，如图②所示；
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【分析】（1） 连接AP，PB， 根据切线的性质得出 PB⊥x轴， 即PB=5， 由AP=PB，根据两点间的距离公式即可建立方程，求解即可；
（2） 连接AP，PB ，根据切线的性质得出 PB⊥x轴，即PB=y，由AP=PB， 根据两点间的距离公式即可建立方程，求解即可；
（3）根据切线的性质得出 PB⊥x轴，即PB=y，由AP=PB， 然后根据两点间的距离公式即可建立方程，即可得出y与x的函数关系式，根据描点法即可求出画出其图像。
18．【答案】（1）解：BC与⊙O相切，证明如下： 连接OD， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD， 又∵OD=OA， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠CAD=∠ODA， ∴OD∥AC， ∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC， 又∵BC过半径OD的外端点D， ∴BC与⊙O相切
（2）解：由（1）知OD∥AC， ∴△BDO∽△BCA， ∴ ， ∵⊙O的半径为2， ∴DO=OE=2，AE=4， ∴ ， ∴BE=2， ∴BO=4， ∴在Rt△BDO中，BD= ．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） BC与⊙O相切，证明如下： 连接OD， 根据角平分线的定义，得出 ∠BAD=∠CAD， 根据等边对等角得出 ∠OAD=∠ODA， 故 ∠CAD=∠ODA， 根据内错角相等二直线平行得出OD∥AC， 根据二直线平行同位角相等得出∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC， 又BC过半径OD的外端点D， 故BC与⊙O相切 ；
（2）根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出 △BDO∽△BCA ，根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式即可算出BE的长，从而得出OB的长，根据勾股定理即可算出BD的长。
19．【答案】（1）解： A点坐标为(﹣4，0)，B点坐标为(0，3)
（2）解： 过点P作PD⊥y轴于D，如图1， 则PD=|x|，BD=|3﹣y|， ∵⊙P经过点B且与x轴相切于点F， ∴PB=PF=y， 在Rt△BDP中， ∴PB2=PD2+BD2， ∴y2=x2+(3﹣y)2， ∴y= x2+
（3）解： 存在. 如图2，∵⊙P与x轴相切于点F，且与直线l相切于点B， ∴AB=AF， ∵AB2=OA2+OB2=52， ∴AF=5， ∵AF=|x+4|， ∴|x+4|=5， ∴x=1或x=﹣9， 当x=1时，y= ， 当x=﹣9时，y= =15， ∴点 的坐标为(1， )或(﹣9，15)
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】（1）因为直线L 与 轴、 轴的交点分别为A、B两点，所以分别令y=0和x=0，解方程即可求得点A、B的坐标；
（2）过点P作PD⊥y轴于D，Rt△BDP中， 由勾股定理可得，PB2=PD2+BD2，将PB、PD、BD代入整理即可求得y与 之间的函数关系 ；
（3）由⊙P与x轴相切于点F，且与直线l相切于点B可得， AF=|x+4|，则|x+4|=5，解方程可得x的值，再将求得的x的值代入（2）中求得的二次函数解析式计算即可求解。
20．【答案】（1）解：连接OD，OF
在Rt△ABC，∠C=90 ，AC=12cm，BC=9cm；
根据勾股定理AB==15cm；
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴OD⊥AC，OF⊥BC
∴∠ODC=∠OFC=∠C=90°，
∵OD=OF，
∴四边形OFCD是正方形
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴AD=AE，CD=CF，BE=BF；
则CD=CF=(AC+BC AB)；
∴r=(12+9 15)=3
∴⊙O的半径r为3cm
（2）解：当AC=b，BC=a，AB=c时
由（1）的解答过程可知
CD=CF=(AC+BC AB)
即：r=(a+b c).
∴O的半径r为：(a+b c)
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再根据正方形的判定定理，证明四边形OFCD是正方形，由切线长定理证得AD=AE，CD=CF，BE=BF，从而可得出CD=CF=(AC+BC AB)，就可求出结果。
（2）由（1）的解答过程，可知CD=CF=(AC+BC AB)，代入即可。
21．【答案】（1）解：如图，⊙C，点D、E为所作；
（2）
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定
【解析】【解答】（2）∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
在Rt△BCD中，BD= BC= ，
∴CD= BD= ．
故答案为： ．
【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点，然后以点C为圆心，CD为半径作图即可；
（2）利用切线的性质得∠ADC=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系求出AC的值，在Rt△ACD中计算出∠ACD=60°，进而求得CD的长．
22．【答案】（1）F
（2）解：由于点C与点F互为反等点．
又因为点P，Q是线段CG上的反等点，
所以点P的横坐标xP的取值范围为：﹣3≤xP≤3，且xp≠0．
（3）解：如图所示，
当⊙O与CG相离时，此时⊙O与线段CG没有互为反等点；
当⊙O与CG相切时，此时r=4，⊙O与线段CG没有互为反等点；
⊙O与CG相交于点C时，此时r= =5．⊙O与线段CG有互为反等点；
当r＞4，时，⊙O与线段CG有一个交点或者没有交点，
所以没有互为反等点．
综上当4＜r≤5时，⊙O与线段CG有两个交点，这两个交点互为反等点．
【知识点】直线与圆的位置关系；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）解：因为3+（﹣3）=0，4﹣4=0
所以点（﹣3，4）与点（3，4）互为相反等点．
故答案为：点F
【分析】（1）根据互为反等点的定义解答即可。
（2） 因为点P，Q是线段CG上的反等点，所以P、Q点的横坐标小于等于C点横坐标3，又因为是两个点，所以P点横坐标不能为0，故 点P的横坐标xP的取值范围为：﹣3≤xp≤3，且xp≠0 。
（3）因为⊙O与线段CG的两个交点互为反等点 ，所以⊙O与线段有两个交点，⊙O与CG只有相交才有两个交点，又因为线段CG，当⊙O的半径大于OC后，圆O开始与线段CG又只有一个交点不符合存在两个互为反等点的交点，故 4＜r≤5时，⊙O与线段CG有两个交点，这两个交点互为反等点。
23．【答案】（1）证明：如图1中，连接QP．
在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，
∴AB= =5，
∵AP=4t，AQ=5t，
∴ = = ，∵∠PAQ=∠BAO，
∴△PAQ∽△BAO，
∴∠APQ=∠AOB=90°，
∴QP⊥AB，
∴AB是⊙O的切线
（2）解：①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．
易知PQ=DQ=3t，CQ= 3t= ，
∵OC+CQ+AQ=4，
∴m+ t+5t=4，
∴m=4﹣ t．
②如图3中，当直线CM在⊙O的右侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．
∵OC+AQ﹣CQ=4，
∴m+5t﹣ t=4，
∴m=4﹣ t
（3）解：存在．理由如下：
如图4中，当⊙Q在y则的右侧与y轴相切时，3t+5t=4，t= ，
由（2）可知，m=﹣ 或 ．
如图5中，当⊙Q在y则的左侧与y轴相切时，5t﹣3t=4，t=2，
由（2）可知，m=﹣ 或 ．
综上所述，满足条件的点C的坐标为（﹣ ，0）或（ ，0）或（﹣ ，0）或（ ，0）
【知识点】直线与圆的位置关系；切线的性质；相似三角形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）只要证明△PAQ∽△BAO，即可推出∠APQ=∠AOB=90°，推出QP⊥AB，推出AB是⊙O的切线；（2）分两种情形求解即可：①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．②如图3中，当直线CM在⊙O的右侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．分别列出方程即可解决问题．（3）分两种情形讨论即可，一共有四个点满足条件．
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册3.6直线与圆的位置关系 同步练习
一、单选题
1．（2019八上·越秀期中）到三角形三边的距离相等的点是（ ）
A．三角形三条高的交点 B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条角平分线的交点 D．不存在这个点
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：到三角形三边的距离相等的点是：三角形三条角平分线的交点．
故答案为：C．
【分析】三角形的内心：三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
2．（2018九上·兴化期中）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．和半径垂直的直线是圆的切线
C．一个三角形只有一个外接圆
D．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
【答案】C
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；切线的判定；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】A、不共线的三点确定一个圆,所以A不符合题意;
B、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线,所以B不符合题意;
C、一个三角形只有一个外接圆,所以C符合题意;
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等,所以D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】不在同一直线上的三点确定一个圆，过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线,；一个三角形只有一个外接圆,，但一个圆可以有无数个内接三角形；三角形的内心就是三内角平分线的交点，该点到三角形三边的距离相等,根据性质即可一一得出判断。
3．（2018九上·苏州月考）如图，已知⊙ 为正三角形 的内切圆， 为切点，四边形 是⊙ 的内接正方形， ，则正三角形 的边长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，连接OD、OE、OC，
∵四边形 是⊙ 的内接正方形，
∴EF=ED= ，∠EOD=90°，
∴OD=OE=1；
∵⊙ O 为正三角形 ABC 的内切圆
∴∠ODC=90°，∠OCD=30°，
∴OC=2，CD= ；
∵ 为正三角形 的内心，
∴ 也为正三角形 的外心，
∴AD=2CD=2 .
故答案为：C.
【分析】连接OD、OE、OC，根据已知条件：四边形 EFGD 是⊙ O 的内接正方形，⊙ O 为正三角形 ABC 的内切圆，就可求出OD、OE、OC、CD的长，及∠OCD的度数，由此可得出点O是△ABC的内心和外心，然后根据AD=2CD，求出AD的长。
4．（2019九上·鱼台期末）如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：设AT交⊙O于点D，连结BD，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ATB=45°，BT是⊙O切线，
∴△BDT和△ABD都为等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AD=BD=TD=AB=，
∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积，
∴S阴=S△BDT=××=1.
故答案为：B.
【分析】设AT交⊙O于点D，连结BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，再由切线性质结合已知条件得△BDT和△ABD都为等腰直角三角形，由S阴=S△BDT计算即可得出答案.
5．（2018九上·三门期中）如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2=8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A．3次 B．5次 C．6次 D．7次
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵ ⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，
设O1O2交⊙O1于点M
∴PM=8-3-1=4
∴圆O1与以P为圆心，4为半径的圆外切
∴有5次，依次是O1在正方形ABCD外，与边AD相切；O1在正方形ABCD内，与边AD相切；O1在正方形ABCD内，与边CD相切；O1在正方形ABCD内，与边CD相切；O1在正方形ABCD外，与边BC相切；
故答案为：B
【分析】根据⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，
设O1O2交⊙O1于点M，求出PM的长，就可得出圆O1与以P为圆心，4为半径的圆相外切，即可得出结果。
6．（2018·无锡）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A，D，G三点的圆O与边AB，CD分别交于点E，点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】矩形的性质；切线的判定
【解析】【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，
∵G是BC的中点，
∴AG=DG，
∴GH垂直平分AD，
∴点O在HG上，
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴BC与圆O相切；
∵OG=OD，
∴点O不是HG的中点，
∴圆心O不是AC与BD的交点；
而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，
∴AF与DE的交点是圆O的圆心；
∴（1）错误，（2）（3）正确．
故答案为：C．
【分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，根据中点的定义得出AG=DG，根据矩形的性质判断出GH垂直平分AD，根据垂径定理得出点O在HG上，根据平行线的性质判断出HG⊥BC，故BC与圆O相切；根据同圆半径相等及大角对大边得出点O不是HG的中点，根据矩形的对称性得出圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，故AF与DE的交点是圆O的圆心。
7．（2018九上·无锡月考）如图为 和一圆的重叠情形，此圆与直线 相切于 点，且与 交于另一点 ．若 ， ，则 的度数为何（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；切线的性质
【解析】【解答】设圆心为O，连接CO，并延长交⊙O于点E，连接DE，DO．
∵∠A=70°，∠B=60°，
∴∠ACB=50°．
∵此圆与直线BC相切于C点，
∴∠BCE=90°，∴∠ACB+∠ACE=90°．
∵CE为直径，∴∠EDC=90°，
∴∠DCE+∠E=90°，
∴∠ACB=∠E．
∵∠COD=2∠E，
∴∠COD=2∠ACB=100°，
∴弧CD的度数=∠COD=100°．
故答案为：C．
【分析】利用三角形内角和定理，求出∠ACB的度数，设圆心为O，连接CO，并延长交⊙O于点E，连接DE，DO，利用切线的性质，可证得∠BCE=90°，就可求出∠ACE的度数，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠DOC的度数，再根据弧的度数和它所对的圆心角的度数相等，就可求出结果。
8．（2018九上·泰州月考）已知 和 外切于 ， 是 和 的外公切线， ， 为切点，若 ， ，则 到 的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】如图，
∵AB是⊙O1和⊙O2的外公切线，∴∠O1AB=∠O2BA=90°，
∵O1A=O1M，O2B=O2M，
∴∠O1AM=∠O1MA，∠O2BM=∠O2MB，
∴∠BAM+∠AMO1=90°，∠ABM+∠BMO2=90°，
∴∠AMB=∠BMO2+∠AMO1=90°，
∴AM⊥BM，
∵MA=4cm，MB=3cm，
∴由勾股定理得，AB=5cm，
由三角形的面积公式，M到AB的距离是 .故答案为：B.
【分析】利用切线的性质去证明∠AMB=90°，就可得出△ABM是直角三角形，再利用直角三角形的两种面积公式，就可求出M到AB的距离。
9．（人教版九年级数学上册 第二十四章圆 单元检测a卷）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．4 B．8 C．4或6 D．4或8
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
【解析】【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P1只能在直线CD的左侧，
∴P1E⊥CD
又∵∠AOD=30°，r=1cm
∴在△OEP1中OP1=2cm
又∵OP=6cm
∴P1P=4cm
∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1=4（秒），
或P1P=8cm
∴圆P到达圆P1需要时间为：8÷1=8（秒），
∴⊙P与直线CD相切时，时间为4或8秒．
故答案为：D
【分析】根据题意可知P1E与CD垂直，根据题意求出OP1=2，然后分点P1在点O左边和右边两种情况求解即可.
10．（2019九上·鄞州期末）在 Rt△ABC ，∠C=90°，AB=6．△ABC的内切圆半径为1，则△ABC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【知识点】切线的性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：连结OA、OB、OC、OD、OE、OF（如图），
∵⊙O是 △ABC的内切圆 ，切点分别为D、E、F，
∴OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，BE=BF，AD=AE，
∴∠ODC=∠ACB=∠OFC=90°，
∵OD=DC，
∴四边形ODCF为正方形，
∴OD=DC=CF=OF=1，
∵BE=BF，AD=AE，AE+BE=AB=6，
∴AD+BF=6，
∴C △ABC =AD+DC+CF+FB+BE+AE=6+1+1+6=14.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理得BE=BF，AD=AE，即AE+BE=AD+BF=6，由切线性质得∠ODC=∠ACB=∠OFC=90°，根据正方形的判定得四边形ODCF为正方形，从而得DC=CF=1，根据三角形周长计算即可.
二、填空题
11．（2018九上·宜城期中）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作 当 与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 ．
【答案】3或
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当 与直线CD相切时，设 PC=PM=x ，
在 中， ，
，
，
， ；
如图2中当 与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则 ，四边形PKDC是矩形，
，
， ，
在 中， ，
综上所述，BP的长为3或 ．
【分析】由于点P在BC上，点M在AB上，故不能与BC，AB相切，可能与CD，AD相切，故需要分类讨论：如图1中，当 与直线CD相切时，设 PC=PM=x ，根据勾股定理建立方程，求解即可得出x的值，即PC的长，进而根据BP=BC-PC即可算出答案；如图2中当 与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则 ，四边形PKDC是矩形，故PM=PK=CD=2BM，然后根据勾股定理算出PB，综上所述即可算出PB的长。
12．（2018九上·泰州期中）如图， PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，C是⊙O上一点(P与A、B不重合)，若∠P＝52°，则∠ACB= 度.
【答案】64或116
【知识点】多边形内角与外角；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，
∴∠OAP=∠OBP=90°（切线的性质）．
∵∠P=52°（已知），
∴∠AOB=180°-∠P=128°（四边形的内角和定理），
∴∠ACB= ∠AOB=64°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）．
同理可得出：当C点在劣弧AB上时，∠ACB的度数为：180°-64°=116°．
故答案为：64或116．
【分析】连接OA、OB，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，由四边形的内角和可求∠AOB的度数，再根据圆周角定理可得∠ACB= ∠AOB，即可求出。
13．（2018·大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，∴k= ，则直线y= ，
∵y= 向上平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y= +m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，当x=0时，y=m；当y=0时，x= ，
∴A（ ，0），B（0，m），即OA= ，OB=m，
在Rt△OAB中，AB= ，
过点O作OC⊥AB交于点C，
∵S△ABO= OC AB= OA OB，
∴OC= ，
∵由直线l与⊙O相交，则OC＜⊙O半径，即 ＜6，解得m＜ ．
故答案为： ．
【分析】由点A的坐标易求得直线 的表达式，则向上平移m个单位以后得到y= +m（m＞0），∵⊙O与该直线相交，则用m表示出点O到该直线的距离，由该距离要小于半径6，即可解得m的取值范围．
14．（2019九上·龙湖期末）设O为△ABC的内心，若∠A=48°，则∠BOC= .
【答案】114°
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，O为△ABC的内心，
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=（180°-∠A）=66°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-66°=114°。
故答案为：114°。
【分析】因为内心是三角形内角平分线的交点，故∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=（180°-∠A），再根据三角形的内角和定理即可求得。
15．（2018九上·扬州月考）一块 余料，已知 ， ， ，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】∵AB=5cm，BC=13cm，AC=12cm，
∴BC2=AB2+AC2.
∴△ABC为直角三角形，∠A=90°.
设△ABC的内切圆的半径为rcm，
则AB×AC=(AB+AC+BC)r，
即×5×12=(5+12+13)r，
解得：r=2，
∴圆的最大面积是22π=4π(cm2).
故答案为：4π.
【分析】利用勾股定理的逆定理，可证得△ABC为直角三角形，要使余料裁剪成一个圆形材料，且圆的面积要最大，因此△ABC的内切圆的的面积才最大，利用同一个三角形的面积相等，可建立关于r的方程AB×AC=(AB+AC+BC)r，代入计算，可求出r的值。
16．（2018九上·苏州月考）如图，在 中， ， ，点 在边 上，以点 为圆心作⊙ .当⊙ 恰好同时与边 ， 相切时，⊙ 的半径长为 .
【答案】
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】作AH⊥BC于H，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，连接CD，如图，设 D的半径为r，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH= BC=5，
在Rt△ABH中，根据勾股定理求得AH=12，
∵⊙D同时与边AC、BC相切，
∴DE=DF=r，
∵S△ABC=S△ADC+S△DBC，
∴ AH BC= DE BC+ DF AC，
即 ×10 r+ ×13×r= ×10×12，
∴r= ，
即当 D恰好同时与边AC、BC相切时，此时 D的半径长为 ．
故答案为： ．
【分析】作AH⊥BC于H，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，连接CD，如图，设 D的半径为r，利用等腰三角形三线合一的性质，可求出BH、CH，再在Rt△ABH中，根据勾股定理求得AH，由已知⊙D同时与边AC、BC相切，可得出DE=DF=r，然后利用S△ABC=S△ADC+S△DBC，建立关于r的方程，解方程求出r的值即可。
三、综合题
17．（2018九上·兴化期中）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（2，8），且与x轴相切于点B.
图① 图②
（1）当x＞0，y=5时，求x的值；
（2）当x = 6时，求⊙P的半径；
（3）求y关于x的函数表达式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象（不必列表，画草图即可）.
【答案】（1）解： 由y=5，得到P（x，5），连接AP，PB， ∵圆P与x轴相切， ∴PB⊥x轴， 即PB=5， 由AP=PB，由勾股定理得，x=2+ =2+4=6， ∴x=6
（2）解： 由x=6，得到P（6，y），连接AP，PB， ∵圆P与x轴相切， ∴PB⊥x轴，即PB=y，由AP=PB，得到 =y， 解得：y=5，则圆P的半径为5
（3）解： 同（2），由AP=PB，得到（x﹣2）2+（8﹣y）2=y2， 整理得： = ， 即图象为抛物线， 画出函数图象，如图②所示；
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【分析】（1） 连接AP，PB， 根据切线的性质得出 PB⊥x轴， 即PB=5， 由AP=PB，根据两点间的距离公式即可建立方程，求解即可；
（2） 连接AP，PB ，根据切线的性质得出 PB⊥x轴，即PB=y，由AP=PB， 根据两点间的距离公式即可建立方程，求解即可；
（3）根据切线的性质得出 PB⊥x轴，即PB=y，由AP=PB， 然后根据两点间的距离公式即可建立方程，即可得出y与x的函数关系式，根据描点法即可求出画出其图像。
18．（2018九上·桥东期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系并证明；
（2）若⊙O的半径为2，AC=3，求BD的长度．
【答案】（1）解：BC与⊙O相切，证明如下： 连接OD， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD， 又∵OD=OA， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠CAD=∠ODA， ∴OD∥AC， ∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC， 又∵BC过半径OD的外端点D， ∴BC与⊙O相切
（2）解：由（1）知OD∥AC， ∴△BDO∽△BCA， ∴ ， ∵⊙O的半径为2， ∴DO=OE=2，AE=4， ∴ ， ∴BE=2， ∴BO=4， ∴在Rt△BDO中，BD= ．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） BC与⊙O相切，证明如下： 连接OD， 根据角平分线的定义，得出 ∠BAD=∠CAD， 根据等边对等角得出 ∠OAD=∠ODA， 故 ∠CAD=∠ODA， 根据内错角相等二直线平行得出OD∥AC， 根据二直线平行同位角相等得出∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC， 又BC过半径OD的外端点D， 故BC与⊙O相切 ；
（2）根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出 △BDO∽△BCA ，根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式即可算出BE的长，从而得出OB的长，根据勾股定理即可算出BD的长。
19．（2018九上·东台期中）如图，已知直线 的函数表达式为 ，它与 轴、 轴的交点分别为A、B两点.
（1）求点A、B的坐标；
（2）设F是 轴上一动点，⊙P经过点B且与 轴相切于点F，设⊙P的圆心坐标为P(x，y)，求y与 之间的函数关系；
（3）是否存在这样的⊙P，既与 轴相切，又与直线 相切于点B？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解： A点坐标为(﹣4，0)，B点坐标为(0，3)
（2）解： 过点P作PD⊥y轴于D，如图1， 则PD=|x|，BD=|3﹣y|， ∵⊙P经过点B且与x轴相切于点F， ∴PB=PF=y， 在Rt△BDP中， ∴PB2=PD2+BD2， ∴y2=x2+(3﹣y)2， ∴y= x2+
（3）解： 存在. 如图2，∵⊙P与x轴相切于点F，且与直线l相切于点B， ∴AB=AF， ∵AB2=OA2+OB2=52， ∴AF=5， ∵AF=|x+4|， ∴|x+4|=5， ∴x=1或x=﹣9， 当x=1时，y= ， 当x=﹣9时，y= =15， ∴点 的坐标为(1， )或(﹣9，15)
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】（1）因为直线L 与 轴、 轴的交点分别为A、B两点，所以分别令y=0和x=0，解方程即可求得点A、B的坐标；
（2）过点P作PD⊥y轴于D，Rt△BDP中， 由勾股定理可得，PB2=PD2+BD2，将PB、PD、BD代入整理即可求得y与 之间的函数关系 ；
（3）由⊙P与x轴相切于点F，且与直线l相切于点B可得， AF=|x+4|，则|x+4|=5，解方程可得x的值，再将求得的x的值代入（2）中求得的二次函数解析式计算即可求解。
20．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.5 三角形的内切圆 同步训练）已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
（1）若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
（2）若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
【答案】（1）解：连接OD，OF
在Rt△ABC，∠C=90 ，AC=12cm，BC=9cm；
根据勾股定理AB==15cm；
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴OD⊥AC，OF⊥BC
∴∠ODC=∠OFC=∠C=90°，
∵OD=OF，
∴四边形OFCD是正方形
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴AD=AE，CD=CF，BE=BF；
则CD=CF=(AC+BC AB)；
∴r=(12+9 15)=3
∴⊙O的半径r为3cm
（2）解：当AC=b，BC=a，AB=c时
由（1）的解答过程可知
CD=CF=(AC+BC AB)
即：r=(a+b c).
∴O的半径r为：(a+b c)
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再根据正方形的判定定理，证明四边形OFCD是正方形，由切线长定理证得AD=AE，CD=CF，BE=BF，从而可得出CD=CF=(AC+BC AB)，就可求出结果。
（2）由（1）的解答过程，可知CD=CF=(AC+BC AB)，代入即可。
21．（2018·潮州模拟）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC交于点E（保留作图痕迹，不写作法，请标明字母）；
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，CD的长是
【答案】（1）解：如图，⊙C，点D、E为所作；
（2）
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定
【解析】【解答】（2）∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
在Rt△BCD中，BD= BC= ，
∴CD= BD= ．
故答案为： ．
【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点，然后以点C为圆心，CD为半径作图即可；
（2）利用切线的性质得∠ADC=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系求出AC的值，在Rt△ACD中计算出∠ACD=60°，进而求得CD的长．
22．（人教版九年级数学上册 24.2.2 直线和圆的位置关系（一） 同步练面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）与B（x2，y2），如果满足x1+x2=0，y1﹣y2=0，其中x1≠x2，则称点A与点B互为反等点．已知：点C（3，4）
（1）下列各点中， 点C互为反等点；
D（﹣3，﹣4），E（3，4），F（﹣3，4）
（2）已知点G（﹣5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的横坐标xP的取值范围；
（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．
【答案】（1）F
（2）解：由于点C与点F互为反等点．
又因为点P，Q是线段CG上的反等点，
所以点P的横坐标xP的取值范围为：﹣3≤xP≤3，且xp≠0．
（3）解：如图所示，
当⊙O与CG相离时，此时⊙O与线段CG没有互为反等点；
当⊙O与CG相切时，此时r=4，⊙O与线段CG没有互为反等点；
⊙O与CG相交于点C时，此时r= =5．⊙O与线段CG有互为反等点；
当r＞4，时，⊙O与线段CG有一个交点或者没有交点，
所以没有互为反等点．
综上当4＜r≤5时，⊙O与线段CG有两个交点，这两个交点互为反等点．
【知识点】直线与圆的位置关系；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）解：因为3+（﹣3）=0，4﹣4=0
所以点（﹣3，4）与点（3，4）互为相反等点．
故答案为：点F
【分析】（1）根据互为反等点的定义解答即可。
（2） 因为点P，Q是线段CG上的反等点，所以P、Q点的横坐标小于等于C点横坐标3，又因为是两个点，所以P点横坐标不能为0，故 点P的横坐标xP的取值范围为：﹣3≤xp≤3，且xp≠0 。
（3）因为⊙O与线段CG的两个交点互为反等点 ，所以⊙O与线段有两个交点，⊙O与CG只有相交才有两个交点，又因为线段CG，当⊙O的半径大于OC后，圆O开始与线段CG又只有一个交点不符合存在两个互为反等点的交点，故 4＜r≤5时，⊙O与线段CG有两个交点，这两个交点互为反等点。
23．（2017·荆州）如图在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q．
（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；
（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：如图1中，连接QP．
在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，
∴AB= =5，
∵AP=4t，AQ=5t，
∴ = = ，∵∠PAQ=∠BAO，
∴△PAQ∽△BAO，
∴∠APQ=∠AOB=90°，
∴QP⊥AB，
∴AB是⊙O的切线
（2）解：①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．
易知PQ=DQ=3t，CQ= 3t= ，
∵OC+CQ+AQ=4，
∴m+ t+5t=4，
∴m=4﹣ t．
②如图3中，当直线CM在⊙O的右侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．
∵OC+AQ﹣CQ=4，
∴m+5t﹣ t=4，
∴m=4﹣ t
（3）解：存在．理由如下：
如图4中，当⊙Q在y则的右侧与y轴相切时，3t+5t=4，t= ，
由（2）可知，m=﹣ 或 ．
如图5中，当⊙Q在y则的左侧与y轴相切时，5t﹣3t=4，t=2，
由（2）可知，m=﹣ 或 ．
综上所述，满足条件的点C的坐标为（﹣ ，0）或（ ，0）或（﹣ ，0）或（ ，0）
【知识点】直线与圆的位置关系；切线的性质；相似三角形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）只要证明△PAQ∽△BAO，即可推出∠APQ=∠AOB=90°，推出QP⊥AB，推出AB是⊙O的切线；（2）分两种情形求解即可：①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．②如图3中，当直线CM在⊙O的右侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．分别列出方程即可解决问题．（3）分两种情形讨论即可，一共有四个点满足条件．
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