2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册3.2圆的对称性 同步练习
一、单选题
1．如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的圆心角相等 B．这两条弦所对的弧相等
C．这两条弦所对的弦心距相等 D．以上说法都不对
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】选项A、B、C成立的前提都是在同圆或等圆中．故答案为：D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得，A、B、C选项都不对，缺少了前提条件“在同圆或等圆中”。
2．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么 与 的数量关系是（ ）
A． = B． ＞
C． ＜ D．无法确定
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】证明：连接AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴ = ．
故答案为：A．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC=∠ACB，再根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等进行判断。
3．（2019九上·鄞州期末）如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，点B在⊙O上，cosB= ，则下列量中，值会发生变化的量是（ ）
A．∠B的度数 B．BC的长 C．AC的长 D．的长
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵cosB=，
∴∠B度数不变，
∴AC的长和弧ABC的长都不会变，
∴A、C、D的值都不会改变，
故答案为：B.
【分析】圆周角一定，则该角所对的弦长和弧长都不变，从而得出答案.
4．（2018九上·绍兴期中）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，则BC与AC的关系是（ ）
A．弧BC= 弧AC B．弧BC= 弧AC
C．弧BC=弧AC D．不能确定
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，
∵把半圆沿弦AC折叠，AC 恰好经过点O，
∴OD=OE，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90 ，
∴OD∥BC，
∵OA=OB，
∴OD=BC，
∴BC=OE=OB=OC，
∴∠COB=60°，
∴∠AOC=120°，
∴弧BC=弧AC，
【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=OE，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=BC，求得∠COB=60°，得到∠AOC=120°，于是得到结论。
5．（2019九上·光明期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，AE=2，则弦CD的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE= CD，
在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，
∵AE=2，AB=10，
∴OC=5，OE=3，
∴CE=4，
∴CD=8，
故答案为：C．
【分析】连接OC，利用直径垂直平分弦以及勾股定理解出CD的长度。
6．（2018九上·惠山期中）以下命题：①直径相等的圆是等圆；②长度相等弧是等弧；③相等的弦所对的弧也相等；④圆的对称轴是直径；其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】圆的认识；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】①直径相等的圆是等圆，符合等圆的性质，故本小题正确；
②长度相等弧不一定是等弧，故本小题错误；
③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，故本小题错误；
④圆的对称轴是直径所在的直线，故本小题错误．
故答案为：D．
【分析】①由圆的半径决定圆的大小可得，直径相等的圆是等圆；
②能够完全重合的弧是等弧可得长度相等弧不一定是等弧；
③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，；
④圆的对称轴是直径所在的直线。
7．（2018九上·苏州月考）如图， ， ， 是 的三等分点， 分别交 ， 于点 ， ，则下列结论正确的个数有（ ）
① ； ② ；
③ ； ④ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】连结AC、BD，
∵ ， 是 的三等分点，
∴ ，
∴AC=CD=DB，且∠AOC= ×90°=30°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=75°，
∵ ，OA=OB，
∴∠OAB=45°，
又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，
∴∠AEC=∠OCA=75°，
∴AE=AC，
同理可证BF=BD，
∴AE=BF=CD.
由此可得，①②③正确.
故答案为：C.
【分析】连结AC、BD，根据已知C、D是弧AB上的三等分点，可证得AC=CD=DB，求出∠AOC的度数，再求出∠OCA=∠AEC=75°，利用等角对等边，可证得AE=AC，然后证明BF=BD，即可证得正确结论的个数。
8．（2018·夷陵模拟）已知AB，CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么与的关系是（ ）
A．AB=CD B．AB>CD C．AB【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和等圆的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小.
故答案为：D.
【分析】根据在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，抓住此题中关键的已知条件：AB，CD是两个不同圆的弦且AB=CD，即可得出答案。
9．把一张圆纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧AB的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接OA、OB，作OM⊥AB于M，如图，
根据折叠的性质得OM= OA，
在Rt△OAM中，∵sinA= = ，
∴∠A=30°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠AOB=120°，
∴弧AB的度数是120°．
故选A．
【分析】连接OA、OB，作OM⊥AB于M，如图，利用折叠的性质得OM等于半径的一半，再在Rt△OAM中利用三角函数可得到∠A=30°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和求出∠AOB的度数，再利用圆心角、弧、弦的关系得到弧AB的度数．
10．（2017·青山模拟）如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，∵ = = ，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO= ×（180°﹣78°）=51°．
故选：A．
【分析】由 = = ，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
二、填空题
11．如图，点A、B把⊙O分成 两条弧，则∠AOB= ．
【答案】80°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∠AOB=360°× =80°．故答案为：80°
【分析】根据弧的度数等于其所对的圆心角的度数即可算出答案。
12．（2018·毕节）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为 ．
【答案】30°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图，连接OC．
∵AB是直径，弧AC=弧CD=弧BD，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°﹣60°=30°．
故答案为30°
【分析】如图，连接OC．根据等弧所对的圆心角相等，且等于其所对的弧的度数，即可得出∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，根据有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形得出△AOC是等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都相等得出∠A=60°，根据三角形的内角和即可算出答案。
13．如图，在⊙O中，C，D分别是OA，OB的中点，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在⊙O上．下列结论：①MC＝ND；② ；③四边形MCDN是正方形；④MN＝ AB，其中正确的结论是 (填序号)．
【答案】①②④
【知识点】矩形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图，连接OM，ON.
Rt△OCM中，OM=2OC，所以∠OMC=30°，所以∠COM=60°，
同理∠DON=60°，所以∠MON=60°.
易证△OMC≌△OND，则①正确；
∠AOM=∠MON=∠NOB=60°，所以 ，所以②正确；
四边形MCDN是矩形，不能得到它的两条邻边相等，所以③错误；
因为MN=CD，而CD= AB，所以MN= AB，所以④正确.
故答案为①②④.
【分析】连接OM，ON，由已知条件可得OC=OA=OM，根据直角三角形的性质可得∠OMC=30°，则∠COM=60°，易得∠MON=60°.易证△OMC≌△OND，根据全等三角形的性质可得①MC＝ND；②根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AM=弧MN=弧BN；③四边形MCDN是矩形；④由③得MN=CDAB。
14．如图，圆心角∠AOB＝20°，将 旋转n°得到 ，则 的度数是 度．
【答案】20
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：弦AB=弦CD，所以 的度数还是20°
【分析】根据定理在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求解。
15．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD= ．
【答案】125°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，
∴∠BOC=140°，∠ACO=（180°-40°）÷2=70°，
∵D是BC弧的中点，
∴∠COD=70°，
∴∠OCD=（180°-70°）÷2=55°，
∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，
故答案为：125°．
【分析】要求∠ACD的度数，由题意连接OD，只需求得∠ACO和∠OCD的度数即可。由题意根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求解。
16．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是 上的点，且有 ，则∠OCG= ．
【答案】30°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵ = = = = = ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG=30°，
∴∠COG=∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOG=120°，
∵OC=OG，∴∠OCG=∠OGC= （180°-120°）=30°.
故答案为30°
【分析】由题意根据性质在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求解。
三、解答题
17．（2018九上·金华期中）已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD．
【答案】证明：∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB－∠COB=∠COD－∠COB，∴∠AOC=∠BOD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，可得出∠AOB=∠COD，再证明∠AOC=∠BOD即可。
18．（2018九上·台州期中）已知，如图，AD=BC.求证：AB=CD
.
【答案】解：证明：，
，
，
即，
．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，由AD=BC，可证得弧AD=弧BC，再证明弧DC=弧AB，就可证得结论。
19．（2018九上·邗江期中）如图： ，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD=CE．
【答案】证明：连接OC，如图所示：在⊙O中，∵∴∠AOC=∠BOC∵OA=OB， 分别是半径 和 的中点∴OD=OE，又∵OC=OC∴△COD≌△COE(SAS)∴CD=CE
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接OC，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可证得∠AOC=∠BOC，再利用SAS证明△COD≌△COE，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。
20．如图，CD为⊙O直径，以C点为圆心，CO为半径作弧，交⊙O于A、B两点，求证：AD=BD=BA．
【答案】证明：∵CA=CB=CO，∴OB=BC=OC=OA=AC，∴△OBC和△OAC都是等边三角形，∴∠BCO=∠ACO=60°，∠BOC=∠AOC=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ADB=60°，∴∠ACD=∠BCD=∠ADB，∴ ，∴AD=BD=BA
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据同圆的半径相等及等量代换得出OB=BC=OC=OA=AC，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△OBC和△OAC都是等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60°得出∠BCO=∠ACO=60°，∠BOC=∠AOC=60°，根据角的和差得出∠AOB=120°，根据圆周角定理得出∠ADB=60°，故∠ACD=∠BCD=∠ADB，根据在同圆中，相等的圆周角所对的相等得出AD=BD=BA。
21．如图，AB，CD，EF都是☉O的直径，且∠1=∠2=∠3，求证：AC=EB=DF.
【答案】解：在☉O中，∵∠1=∠2=∠3，
又∵AB，CD，EF都是☉O的直径，
∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.
∴ = = ，
∴AC=EB=DF.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据“在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等”可知，要证AC=EB=DF，只需证弧DF=弧AC=弧EB即可，而要证这三段弧相等，需证它们所对的圆心角相等，即∠FOD=∠AOC=∠BOE，由题中的已知条件∠1=∠2=∠3即可求解。
22．如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
【答案】（1）证明：过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，
∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON，∴AB=CD
（2）解：如图2所示，由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴DN=CN=AM=BM，在Rt△EON与Rt△EOM中，∵ ，
∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），
∴NE=ME，
∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，
即AE=CE，∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，
∵∠BED=60°，OE平分∠BED，∴∠NEO= ∠BED=30°，∴ON= OE=1，
在Rt△EON中，由勾股定理得：NE= ，
∴DE﹣AE=2NE=2
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由已知条件用角平分线的性质可得OM=ON，再根据在同圆和等圆中，相等的弦心距所对的弦相等可得AB=CD；
（2）由（1）知，OM=ON，AB=CD，结合已知条件用斜边直角边易证Rt△EON≌Rt△EOM，所以NE=ME，∠NEO=∠MEO=∠NEM，于是易得AE=CE，由线段的构成可得DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，而在Rt△EON中，由勾股定理可求得NE的长，则DE﹣AE的长可求解。
23．如图， 的半径为5，弦 于E， ．
（1）求证： ；
（2）若 于F， 于G，试说明四边形OFEG是正方形．
【答案】（1）证明： ，
，
，即 ，
（2）解：四边形OFEG是正方形理由如下：如图，连接OA、OD． ， ， ，
四边形OFEG是矩形， ， ．
， ． ， ，
≌ ，
．
矩形OFEG是正方形
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AB=弧CD，这相等的两段弧减去公共的弧BC，可得弧AC=弧BD，则AC=BD；
（2）连接OA、OD．有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OFEG是矩形，由垂径定理可得DF=CD，AG=AB，结合已知条件用斜边直角边定理可证△OFD≌△OGA，根据全等三角形的性质可得OF=OG，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得矩形OFEG是正方形。
24．我们学习了“圆心角、弧、弦的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距(弦心距指从圆心到弦的距离，如图1中的OC、OC′，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度)中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图2，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B、C、D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若角的顶点P在圆上，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．
【答案】（1）证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则∠OMB＝∠OND＝90°.
又∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON.
∵OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距，
∴AB＝CD
（2）解：上述结论成立．
当点P在⊙O上时，由(1)知OM＝ON，
∵OM、ON分别是弦PB、PD的弦心距，
∴PB＝PD，即AB＝CD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，由角平分线的性质可得OM＝ON，则根据在同圆和等圆中，相等的弦心距所对的弦相等可得AB=CD；
（2）上述结论成立。根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系定理即可求解。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册3.2圆的对称性 同步练习
一、单选题
1．如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的圆心角相等 B．这两条弦所对的弧相等
C．这两条弦所对的弦心距相等 D．以上说法都不对
2．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么 与 的数量关系是（ ）
A． = B． ＞
C． ＜ D．无法确定
3．（2019九上·鄞州期末）如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，点B在⊙O上，cosB= ，则下列量中，值会发生变化的量是（ ）
A．∠B的度数 B．BC的长 C．AC的长 D．的长
4．（2018九上·绍兴期中）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，则BC与AC的关系是（ ）
A．弧BC= 弧AC B．弧BC= 弧AC
C．弧BC=弧AC D．不能确定
5．（2019九上·光明期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，AE=2，则弦CD的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．（2018九上·惠山期中）以下命题：①直径相等的圆是等圆；②长度相等弧是等弧；③相等的弦所对的弧也相等；④圆的对称轴是直径；其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2018九上·苏州月考）如图， ， ， 是 的三等分点， 分别交 ， 于点 ， ，则下列结论正确的个数有（ ）
① ； ② ；
③ ； ④ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2018·夷陵模拟）已知AB，CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么与的关系是（ ）
A．AB=CD B．AB>CD C．AB9．把一张圆纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧AB的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
10．（2017·青山模拟）如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
二、填空题
11．如图，点A、B把⊙O分成 两条弧，则∠AOB= ．
12．（2018·毕节）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为 ．
13．如图，在⊙O中，C，D分别是OA，OB的中点，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在⊙O上．下列结论：①MC＝ND；② ；③四边形MCDN是正方形；④MN＝ AB，其中正确的结论是 (填序号)．
14．如图，圆心角∠AOB＝20°，将 旋转n°得到 ，则 的度数是 度．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD= ．
16．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是 上的点，且有 ，则∠OCG= ．
三、解答题
17．（2018九上·金华期中）已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD．
18．（2018九上·台州期中）已知，如图，AD=BC.求证：AB=CD
.
19．（2018九上·邗江期中）如图： ，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD=CE．
20．如图，CD为⊙O直径，以C点为圆心，CO为半径作弧，交⊙O于A、B两点，求证：AD=BD=BA．
21．如图，AB，CD，EF都是☉O的直径，且∠1=∠2=∠3，求证：AC=EB=DF.
22．如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
23．如图， 的半径为5，弦 于E， ．
（1）求证： ；
（2）若 于F， 于G，试说明四边形OFEG是正方形．
24．我们学习了“圆心角、弧、弦的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距(弦心距指从圆心到弦的距离，如图1中的OC、OC′，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度)中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图2，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B、C、D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若角的顶点P在圆上，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】选项A、B、C成立的前提都是在同圆或等圆中．故答案为：D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得，A、B、C选项都不对，缺少了前提条件“在同圆或等圆中”。
2．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】证明：连接AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴ = ．
故答案为：A．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC=∠ACB，再根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等进行判断。
3．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵cosB=，
∴∠B度数不变，
∴AC的长和弧ABC的长都不会变，
∴A、C、D的值都不会改变，
故答案为：B.
【分析】圆周角一定，则该角所对的弦长和弧长都不变，从而得出答案.
4．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，
∵把半圆沿弦AC折叠，AC 恰好经过点O，
∴OD=OE，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90 ，
∴OD∥BC，
∵OA=OB，
∴OD=BC，
∴BC=OE=OB=OC，
∴∠COB=60°，
∴∠AOC=120°，
∴弧BC=弧AC，
【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=OE，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=BC，求得∠COB=60°，得到∠AOC=120°，于是得到结论。
5．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE= CD，
在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，
∵AE=2，AB=10，
∴OC=5，OE=3，
∴CE=4，
∴CD=8，
故答案为：C．
【分析】连接OC，利用直径垂直平分弦以及勾股定理解出CD的长度。
6．【答案】D
【知识点】圆的认识；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】①直径相等的圆是等圆，符合等圆的性质，故本小题正确；
②长度相等弧不一定是等弧，故本小题错误；
③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，故本小题错误；
④圆的对称轴是直径所在的直线，故本小题错误．
故答案为：D．
【分析】①由圆的半径决定圆的大小可得，直径相等的圆是等圆；
②能够完全重合的弧是等弧可得长度相等弧不一定是等弧；
③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，；
④圆的对称轴是直径所在的直线。
7．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】连结AC、BD，
∵ ， 是 的三等分点，
∴ ，
∴AC=CD=DB，且∠AOC= ×90°=30°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=75°，
∵ ，OA=OB，
∴∠OAB=45°，
又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，
∴∠AEC=∠OCA=75°，
∴AE=AC，
同理可证BF=BD，
∴AE=BF=CD.
由此可得，①②③正确.
故答案为：C.
【分析】连结AC、BD，根据已知C、D是弧AB上的三等分点，可证得AC=CD=DB，求出∠AOC的度数，再求出∠OCA=∠AEC=75°，利用等角对等边，可证得AE=AC，然后证明BF=BD，即可证得正确结论的个数。
8．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和等圆的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小.
故答案为：D.
【分析】根据在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，抓住此题中关键的已知条件：AB，CD是两个不同圆的弦且AB=CD，即可得出答案。
9．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接OA、OB，作OM⊥AB于M，如图，
根据折叠的性质得OM= OA，
在Rt△OAM中，∵sinA= = ，
∴∠A=30°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠AOB=120°，
∴弧AB的度数是120°．
故选A．
【分析】连接OA、OB，作OM⊥AB于M，如图，利用折叠的性质得OM等于半径的一半，再在Rt△OAM中利用三角函数可得到∠A=30°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和求出∠AOB的度数，再利用圆心角、弧、弦的关系得到弧AB的度数．
10．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，∵ = = ，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO= ×（180°﹣78°）=51°．
故选：A．
【分析】由 = = ，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
11．【答案】80°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∠AOB=360°× =80°．故答案为：80°
【分析】根据弧的度数等于其所对的圆心角的度数即可算出答案。
12．【答案】30°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图，连接OC．
∵AB是直径，弧AC=弧CD=弧BD，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°﹣60°=30°．
故答案为30°
【分析】如图，连接OC．根据等弧所对的圆心角相等，且等于其所对的弧的度数，即可得出∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，根据有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形得出△AOC是等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都相等得出∠A=60°，根据三角形的内角和即可算出答案。
13．【答案】①②④
【知识点】矩形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图，连接OM，ON.
Rt△OCM中，OM=2OC，所以∠OMC=30°，所以∠COM=60°，
同理∠DON=60°，所以∠MON=60°.
易证△OMC≌△OND，则①正确；
∠AOM=∠MON=∠NOB=60°，所以 ，所以②正确；
四边形MCDN是矩形，不能得到它的两条邻边相等，所以③错误；
因为MN=CD，而CD= AB，所以MN= AB，所以④正确.
故答案为①②④.
【分析】连接OM，ON，由已知条件可得OC=OA=OM，根据直角三角形的性质可得∠OMC=30°，则∠COM=60°，易得∠MON=60°.易证△OMC≌△OND，根据全等三角形的性质可得①MC＝ND；②根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AM=弧MN=弧BN；③四边形MCDN是矩形；④由③得MN=CDAB。
14．【答案】20
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：弦AB=弦CD，所以 的度数还是20°
【分析】根据定理在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求解。
15．【答案】125°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，
∴∠BOC=140°，∠ACO=（180°-40°）÷2=70°，
∵D是BC弧的中点，
∴∠COD=70°，
∴∠OCD=（180°-70°）÷2=55°，
∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，
故答案为：125°．
【分析】要求∠ACD的度数，由题意连接OD，只需求得∠ACO和∠OCD的度数即可。由题意根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求解。
16．【答案】30°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵ = = = = = ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG=30°，
∴∠COG=∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOG=120°，
∵OC=OG，∴∠OCG=∠OGC= （180°-120°）=30°.
故答案为30°
【分析】由题意根据性质在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求解。
17．【答案】证明：∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB－∠COB=∠COD－∠COB，∴∠AOC=∠BOD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，可得出∠AOB=∠COD，再证明∠AOC=∠BOD即可。
18．【答案】解：证明：，
，
，
即，
．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，由AD=BC，可证得弧AD=弧BC，再证明弧DC=弧AB，就可证得结论。
19．【答案】证明：连接OC，如图所示：在⊙O中，∵∴∠AOC=∠BOC∵OA=OB， 分别是半径 和 的中点∴OD=OE，又∵OC=OC∴△COD≌△COE(SAS)∴CD=CE
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接OC，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可证得∠AOC=∠BOC，再利用SAS证明△COD≌△COE，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。
20．【答案】证明：∵CA=CB=CO，∴OB=BC=OC=OA=AC，∴△OBC和△OAC都是等边三角形，∴∠BCO=∠ACO=60°，∠BOC=∠AOC=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ADB=60°，∴∠ACD=∠BCD=∠ADB，∴ ，∴AD=BD=BA
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据同圆的半径相等及等量代换得出OB=BC=OC=OA=AC，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△OBC和△OAC都是等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60°得出∠BCO=∠ACO=60°，∠BOC=∠AOC=60°，根据角的和差得出∠AOB=120°，根据圆周角定理得出∠ADB=60°，故∠ACD=∠BCD=∠ADB，根据在同圆中，相等的圆周角所对的相等得出AD=BD=BA。
21．【答案】解：在☉O中，∵∠1=∠2=∠3，
又∵AB，CD，EF都是☉O的直径，
∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.
∴ = = ，
∴AC=EB=DF.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据“在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等”可知，要证AC=EB=DF，只需证弧DF=弧AC=弧EB即可，而要证这三段弧相等，需证它们所对的圆心角相等，即∠FOD=∠AOC=∠BOE，由题中的已知条件∠1=∠2=∠3即可求解。
22．【答案】（1）证明：过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，
∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON，∴AB=CD
（2）解：如图2所示，由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴DN=CN=AM=BM，在Rt△EON与Rt△EOM中，∵ ，
∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），
∴NE=ME，
∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，
即AE=CE，∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，
∵∠BED=60°，OE平分∠BED，∴∠NEO= ∠BED=30°，∴ON= OE=1，
在Rt△EON中，由勾股定理得：NE= ，
∴DE﹣AE=2NE=2
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由已知条件用角平分线的性质可得OM=ON，再根据在同圆和等圆中，相等的弦心距所对的弦相等可得AB=CD；
（2）由（1）知，OM=ON，AB=CD，结合已知条件用斜边直角边易证Rt△EON≌Rt△EOM，所以NE=ME，∠NEO=∠MEO=∠NEM，于是易得AE=CE，由线段的构成可得DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，而在Rt△EON中，由勾股定理可求得NE的长，则DE﹣AE的长可求解。
23．【答案】（1）证明： ，
，
，即 ，
（2）解：四边形OFEG是正方形理由如下：如图，连接OA、OD． ， ， ，
四边形OFEG是矩形， ， ．
， ． ， ，
≌ ，
．
矩形OFEG是正方形
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AB=弧CD，这相等的两段弧减去公共的弧BC，可得弧AC=弧BD，则AC=BD；
（2）连接OA、OD．有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OFEG是矩形，由垂径定理可得DF=CD，AG=AB，结合已知条件用斜边直角边定理可证△OFD≌△OGA，根据全等三角形的性质可得OF=OG，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得矩形OFEG是正方形。
24．【答案】（1）证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则∠OMB＝∠OND＝90°.
又∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON.
∵OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距，
∴AB＝CD
（2）解：上述结论成立．
当点P在⊙O上时，由(1)知OM＝ON，
∵OM、ON分别是弦PB、PD的弦心距，
∴PB＝PD，即AB＝CD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，由角平分线的性质可得OM＝ON，则根据在同圆和等圆中，相等的弦心距所对的弦相等可得AB=CD；
（2）上述结论成立。根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系定理即可求解。
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