初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.2.1 点和圆的位置关系
一、基础巩固
1．（2019·紫金模拟）若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2019·吴兴模拟）抢凳子是小时候常玩的游戏，人围成圈将凳子放在中间，主持人开始敲鼓，此时人围着凳子按同一方向转圈.当敲击声停止时，就要抢坐在凳子上，因为凳子数量少于玩游戏的总人数，未抢坐到凳子上的玩家淘汰下场.现在甲、乙、丙3位同学准备玩抢凳子的游戏，谁先抢坐到凳子上谁获胜.如图，三人已站定，主持人要在他们中间放一个凳子，为使游戏公平，凳子应放在图中三角形的 （ ）
A．三条高的交点 B．重心
C．内心 D．外心
3．（2019·江北模拟）下列尺规作图中，能确定圆心的是（ ）
①如图1，在圆上任取三个点A，B，C，分别作弦AB，BC的垂直平分线，交点O即为圆心；②如图2，在圆上任取一点B，以B为圆心，小于直径长为半径画弧交圆于A，C两点，连结AB，BC，作∠ABC的平分线交圆于点D，作弦BD的垂直平分线交BD于点O，点O即为圆心；③如图3，在圆上截取弦AB=CD，连结AB，BC，CD，分别作∠ABC与∠DCB的平分线，交点O即为圆心．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2019·嘉兴模拟）若圆的半径是 ，圆心的坐标是 ，点 的坐标是 ，则点 与 的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O外或⊙O上
5．（2019·衡水模拟）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（ ）
A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
6．（2019八下·温州期末）用反证法证明“如果lal>a，那么a<0．”是真命题时，第一步应先假设 ．
7．（2019·西安模拟）如图，用尺规作出△ABC的外接圆⊙O，保留作图痕迹，不写作法．
二、强化提升
8．（2019·河池模拟）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE、CD，PN、BF下列结论：①△ABE≌△DBC；②∠DFA＝60°；③△BPN为等边三角形；④若∠1＝∠2，则FB平分∠AFC.其中结论正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2019·拱墅模拟）如图，点O1是△ABC的外心，以AB为直径作⊙O恰好过点O1，若AC＝2，BC＝4 ，则AO1的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．2
10．（2019·港南模拟）如图， 中， 是 内部的一个动点，且满足 ,则线段 长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE．
求证：
（1）
AB＝AF；
（2）
A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．
三、真题演练
12．（2019·常州）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例.反例中的n可以为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
13．（2018·广元）平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 cm．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为6，
点P在⊙O内 ，
∴OP＜6.
故答案为：A .
【分析】要想判断点和圆的位置关系，主要确定点和圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆的距离为d，圆的半径为r，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内；据此判断即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】 解：依题可得：
要使每个小朋友到凳子的距离相等，而每个小朋友在三角形的角处，到三角形三个顶点距离相等的点是三角形外接圆的圆心，即外心.
故答案为：D.
【分析】三角形外心：三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心，外心到三顶点的距离相等，依此即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】垂径定理；三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】 解：∵ 如图1， 弦AB，BC的垂直平分线，交点O，
∴OA=OB=OC
∴点O就是过点A、B、C三点的圆的圆心，故①能确定圆心O；
∵ 如图2，在圆上任取一点B，以B为圆心，小于直径长为半径画弧交圆于A，C两点，
∴AB=CB
∵∠ABC的角平分线交圆O于点D
∴BD垂直平分AC
∴BD是直径，
∵ 弦BD的垂直平分线交BD于点O
∴点O是圆心，故②能确定圆心；
∵ 如图3，在圆上截取弦AB=CD，连结AB，BC，CD，分别作∠ABC与∠DCB的平分线，
两角平分线的交点O不能证明是圆心，故③不能确定点O是圆心；
故答案为：A.
【分析】利用线段垂直平分线的性质，易证OA=OB=OC，根据三角形外接圆的定义证得点O是圆心，可对①作出判断；由作图可知AB=CD，再由∠ABC的角平分线交圆O于点D，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得BD垂直平分AC，利用垂径定理可知BD是直径，然后根据 弦BD的垂直平分线交BD于点O ，可确定点O时是圆心，可对②作出判断；根据图3的作图不能证明点O是圆心，可对③作出判断，综上所述可得出结论。
4．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由勾股定理得：OP= =5．
∵圆O的半径为5，∴点P在圆O上．
故答案为：C
【分析】利用勾股定理求出点P到圆心的距离OP，再根据点与圆的位置关系，就可得出点P与圆O的位置关系。
5．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】∵O是△ABC的外心，∴OA=OB=OC，∵四边形OCDE是正方形，∴OC=OE=CD=ED，∴O是△ABE的外心；∵OA=OE≠OD，∴O不是△AED的外心。
故答案为：B
【分析】此题主要考查外心的定义，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，即OA=OB=OC，再根据正方形的性质，OC=OE=CD=ED，可知，OA=OB=OE，所以点O是△ABE的外心，而OD为正方形OCDE的对角线，不可能与OE相等，所以点O不是△AED的外心。
6．【答案】a≥0
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 如果>a，那么a<0．”是真命题时 ,用反证法证明第一步应假设a≥0.
故答案为：a≥0
【分析】用反正法证明命题应先假设结论的反面成立，本题结论a<0的反面应是a≥0.
7．【答案】解：如图，⊙O为所作．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作一条直线，再分别以B、A为圆心，以大于BA的长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作一条直线，与第一条直线相交于点O，以O为圆心，以AO的长为半径作圆，⊙O为所作．
8．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；确定圆的条件
【解析】【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，
∴∠ABE＝∠DBC，∠PBN＝60°，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠DFA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°，
∴②正确；
在△ABP和△DBN中，
，
∴△ABP≌△DBN（ASA），
∴BP＝BN，
∴△BPN为等边三角形，
∴③正确；
∵∠DFA＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∴∠AFC+∠PBN＝180°，
∴P、B、N、F四点共圆，
∵BP＝BN，
∴弧BP=弧BN，
∴∠BFP＝∠BFN，
即FB平分∠AFC；
∴④正确；
故答案为：A。
【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，根据等式的性质及平角的定义得出∠ABE＝∠DBC，∠PBN＝60°，从而利用SAS判断出△ABE≌△DBC，根据全等三角形的对应角相等得出∠BAE＝∠BDC，根据三角形的内角和得出∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，根据三角形外角定理及等量代换得出∠DFA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°；然后利用ASA判断出△ABP≌△DBN，根据全等三角形的对应边相等得出BP＝BN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△BPN为等边三角形；根据平角的定义得出∠AFC＝120°，又∠DBE=60°，故∠AFC+∠PBN＝180°，根据确定圆的条件得出P、B、N、F四点共圆，根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出弧BP=弧BN，根据等弧所对的圆周角相等得出∠BFP＝∠BFN，即FB平分∠AFC，综上所述即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：作△ABC的外接圆，连接AO1、BO1，如图所示，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AO1B＝90°，
由圆周角定理得：∠ACB＝ （360°﹣90°）＝135°，
延长AC交⊙O于D，
∴∠BCD＝45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠D＝90°，
∴CD＝BD＝ BC＝4，
∴AD＝AC+CD＝6，
∴AB＝ ，
∵点O1是△ABC的外心，
∴AO1＝BO1，
∵∠AO1B＝90°，
∴AO1＝ AB＝ ，
故答案为：B.
【分析】作△ABC的外接圆，连接AO1、BO1，延长AC交⊙O于D，如图所示，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AO1B＝90°，∠D=90°，利用圆周角定理求出∠ACB的度数，利用等腰直角三角形的性质求出CD＝BD＝ BC＝4，从而求出AD，利用勾股定理求出AB的长.根据三角形外心的性质可得AO1＝BO1，利用等腰直角三角形的性质求出AO1的长.
10．【答案】C
【知识点】圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP =90°，
∴∠APB=90°，
∴OP=OA=OB，
∴点P在以AB为直径的 O上，连接OC交于 O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC= ,
∴PC=OC-OP=5-3=2，
故答案为：C.
【分析】设AB的中点为O,由题意可得∠APB=90°，OP=OA=OB，点P在以AB为直径的 O上，连接OC交于 O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出OC，即可求出线段 长的最小值 .
11．【答案】（1） 证明：∠ABF＝∠ADC＝120°﹣∠ACD＝120°﹣∠DEC
＝120°﹣（60°+∠ADE）＝60°﹣∠ADE，
而∠F＝60°﹣∠ACF，
因为∠ACF＝∠ADE，
所以∠ABF＝∠F，所以AB＝AF．
（2） 证明：四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD＝∠ACD，
又DE＝DC，所以∠DCE＝∠DEC＝∠AEB，
所以∠ABD＝∠AEB，
所以AB＝AE．
∵AB＝AF，
∴AB＝AF＝AE，即A是三角形BEF的外心．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出 ∠ABF＝∠ADC，根据三角形的内角和得出 ∠ADC＝120°﹣∠ACD，根据等边对等角得出 ∠ADC＝ 120°﹣∠DEC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出 ∠DEC= 60°+∠ADE，故 ∠ABF= 60°﹣∠ADE， 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出 ∠F＝60°﹣∠ACF，根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠ACF＝∠ADE， 所以∠ABF＝∠F，根据等角对等边得出AB＝AF；
（2）根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠ABD＝∠ACD，根据等边对等角及对顶角相等得出 ∠DCE＝∠DEC＝∠AEB，故 ∠ABD＝∠AEB，根据等角对等边得出 AB＝AE，又 AB＝AF，故 AB＝AF＝AE，即A是三角形BEF的外心．
12．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，
所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2.
故答案为：A.
【分析】将各选项中n的值代入只要满足n2-1≥0，即可得出选项。
13．【答案】4或2
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】①当点P在圆的外面的时候，
如图，PA的长是P到⊙O的最长距离，PB的长是P到⊙O的最短距离，
∵圆外一点P到⊙O的最长距离为6cm，最短距离为2cm，
∴圆的直径是6﹣2=4（cm），
∴圆的半径是2cm．
②当点P在圆的里面的时候
圆的直径是6+2=8（cm），
圆的半径是4cm．
故答案为：2或4．
【分析】根据点与圆的位置关系，分点在圆外与点在圆内两种情况，①当点P在圆的外面的时候，圆的直径是6﹣2=4（cm），半径是2cm，②当点P在圆的里面的时候，圆的直径是6+2=8（cm），圆的半径是4cm．综上所述即可得出答案。
1 / 1初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.2.1 点和圆的位置关系
一、基础巩固
1．（2019·紫金模拟）若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为6，
点P在⊙O内 ，
∴OP＜6.
故答案为：A .
【分析】要想判断点和圆的位置关系，主要确定点和圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆的距离为d，圆的半径为r，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内；据此判断即可.
2．（2019·吴兴模拟）抢凳子是小时候常玩的游戏，人围成圈将凳子放在中间，主持人开始敲鼓，此时人围着凳子按同一方向转圈.当敲击声停止时，就要抢坐在凳子上，因为凳子数量少于玩游戏的总人数，未抢坐到凳子上的玩家淘汰下场.现在甲、乙、丙3位同学准备玩抢凳子的游戏，谁先抢坐到凳子上谁获胜.如图，三人已站定，主持人要在他们中间放一个凳子，为使游戏公平，凳子应放在图中三角形的 （ ）
A．三条高的交点 B．重心
C．内心 D．外心
【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】 解：依题可得：
要使每个小朋友到凳子的距离相等，而每个小朋友在三角形的角处，到三角形三个顶点距离相等的点是三角形外接圆的圆心，即外心.
故答案为：D.
【分析】三角形外心：三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心，外心到三顶点的距离相等，依此即可得出答案.
3．（2019·江北模拟）下列尺规作图中，能确定圆心的是（ ）
①如图1，在圆上任取三个点A，B，C，分别作弦AB，BC的垂直平分线，交点O即为圆心；②如图2，在圆上任取一点B，以B为圆心，小于直径长为半径画弧交圆于A，C两点，连结AB，BC，作∠ABC的平分线交圆于点D，作弦BD的垂直平分线交BD于点O，点O即为圆心；③如图3，在圆上截取弦AB=CD，连结AB，BC，CD，分别作∠ABC与∠DCB的平分线，交点O即为圆心．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】垂径定理；三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】 解：∵ 如图1， 弦AB，BC的垂直平分线，交点O，
∴OA=OB=OC
∴点O就是过点A、B、C三点的圆的圆心，故①能确定圆心O；
∵ 如图2，在圆上任取一点B，以B为圆心，小于直径长为半径画弧交圆于A，C两点，
∴AB=CB
∵∠ABC的角平分线交圆O于点D
∴BD垂直平分AC
∴BD是直径，
∵ 弦BD的垂直平分线交BD于点O
∴点O是圆心，故②能确定圆心；
∵ 如图3，在圆上截取弦AB=CD，连结AB，BC，CD，分别作∠ABC与∠DCB的平分线，
两角平分线的交点O不能证明是圆心，故③不能确定点O是圆心；
故答案为：A.
【分析】利用线段垂直平分线的性质，易证OA=OB=OC，根据三角形外接圆的定义证得点O是圆心，可对①作出判断；由作图可知AB=CD，再由∠ABC的角平分线交圆O于点D，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得BD垂直平分AC，利用垂径定理可知BD是直径，然后根据 弦BD的垂直平分线交BD于点O ，可确定点O时是圆心，可对②作出判断；根据图3的作图不能证明点O是圆心，可对③作出判断，综上所述可得出结论。
4．（2019·嘉兴模拟）若圆的半径是 ，圆心的坐标是 ，点 的坐标是 ，则点 与 的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O外或⊙O上
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由勾股定理得：OP= =5．
∵圆O的半径为5，∴点P在圆O上．
故答案为：C
【分析】利用勾股定理求出点P到圆心的距离OP，再根据点与圆的位置关系，就可得出点P与圆O的位置关系。
5．（2019·衡水模拟）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（ ）
A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】∵O是△ABC的外心，∴OA=OB=OC，∵四边形OCDE是正方形，∴OC=OE=CD=ED，∴O是△ABE的外心；∵OA=OE≠OD，∴O不是△AED的外心。
故答案为：B
【分析】此题主要考查外心的定义，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，即OA=OB=OC，再根据正方形的性质，OC=OE=CD=ED，可知，OA=OB=OE，所以点O是△ABE的外心，而OD为正方形OCDE的对角线，不可能与OE相等，所以点O不是△AED的外心。
6．（2019八下·温州期末）用反证法证明“如果lal>a，那么a<0．”是真命题时，第一步应先假设 ．
【答案】a≥0
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 如果>a，那么a<0．”是真命题时 ,用反证法证明第一步应假设a≥0.
故答案为：a≥0
【分析】用反正法证明命题应先假设结论的反面成立，本题结论a<0的反面应是a≥0.
7．（2019·西安模拟）如图，用尺规作出△ABC的外接圆⊙O，保留作图痕迹，不写作法．
【答案】解：如图，⊙O为所作．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作一条直线，再分别以B、A为圆心，以大于BA的长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作一条直线，与第一条直线相交于点O，以O为圆心，以AO的长为半径作圆，⊙O为所作．
二、强化提升
8．（2019·河池模拟）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE、CD，PN、BF下列结论：①△ABE≌△DBC；②∠DFA＝60°；③△BPN为等边三角形；④若∠1＝∠2，则FB平分∠AFC.其中结论正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；确定圆的条件
【解析】【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，
∴∠ABE＝∠DBC，∠PBN＝60°，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠DFA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°，
∴②正确；
在△ABP和△DBN中，
，
∴△ABP≌△DBN（ASA），
∴BP＝BN，
∴△BPN为等边三角形，
∴③正确；
∵∠DFA＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∴∠AFC+∠PBN＝180°，
∴P、B、N、F四点共圆，
∵BP＝BN，
∴弧BP=弧BN，
∴∠BFP＝∠BFN，
即FB平分∠AFC；
∴④正确；
故答案为：A。
【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，根据等式的性质及平角的定义得出∠ABE＝∠DBC，∠PBN＝60°，从而利用SAS判断出△ABE≌△DBC，根据全等三角形的对应角相等得出∠BAE＝∠BDC，根据三角形的内角和得出∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，根据三角形外角定理及等量代换得出∠DFA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°；然后利用ASA判断出△ABP≌△DBN，根据全等三角形的对应边相等得出BP＝BN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△BPN为等边三角形；根据平角的定义得出∠AFC＝120°，又∠DBE=60°，故∠AFC+∠PBN＝180°，根据确定圆的条件得出P、B、N、F四点共圆，根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出弧BP=弧BN，根据等弧所对的圆周角相等得出∠BFP＝∠BFN，即FB平分∠AFC，综上所述即可得出答案。
9．（2019·拱墅模拟）如图，点O1是△ABC的外心，以AB为直径作⊙O恰好过点O1，若AC＝2，BC＝4 ，则AO1的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：作△ABC的外接圆，连接AO1、BO1，如图所示，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AO1B＝90°，
由圆周角定理得：∠ACB＝ （360°﹣90°）＝135°，
延长AC交⊙O于D，
∴∠BCD＝45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠D＝90°，
∴CD＝BD＝ BC＝4，
∴AD＝AC+CD＝6，
∴AB＝ ，
∵点O1是△ABC的外心，
∴AO1＝BO1，
∵∠AO1B＝90°，
∴AO1＝ AB＝ ，
故答案为：B.
【分析】作△ABC的外接圆，连接AO1、BO1，延长AC交⊙O于D，如图所示，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AO1B＝90°，∠D=90°，利用圆周角定理求出∠ACB的度数，利用等腰直角三角形的性质求出CD＝BD＝ BC＝4，从而求出AD，利用勾股定理求出AB的长.根据三角形外心的性质可得AO1＝BO1，利用等腰直角三角形的性质求出AO1的长.
10．（2019·港南模拟）如图， 中， 是 内部的一个动点，且满足 ,则线段 长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP =90°，
∴∠APB=90°，
∴OP=OA=OB，
∴点P在以AB为直径的 O上，连接OC交于 O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC= ,
∴PC=OC-OP=5-3=2，
故答案为：C.
【分析】设AB的中点为O,由题意可得∠APB=90°，OP=OA=OB，点P在以AB为直径的 O上，连接OC交于 O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出OC，即可求出线段 长的最小值 .
11．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE．
求证：
（1）
AB＝AF；
（2）
A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．
【答案】（1） 证明：∠ABF＝∠ADC＝120°﹣∠ACD＝120°﹣∠DEC
＝120°﹣（60°+∠ADE）＝60°﹣∠ADE，
而∠F＝60°﹣∠ACF，
因为∠ACF＝∠ADE，
所以∠ABF＝∠F，所以AB＝AF．
（2） 证明：四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD＝∠ACD，
又DE＝DC，所以∠DCE＝∠DEC＝∠AEB，
所以∠ABD＝∠AEB，
所以AB＝AE．
∵AB＝AF，
∴AB＝AF＝AE，即A是三角形BEF的外心．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出 ∠ABF＝∠ADC，根据三角形的内角和得出 ∠ADC＝120°﹣∠ACD，根据等边对等角得出 ∠ADC＝ 120°﹣∠DEC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出 ∠DEC= 60°+∠ADE，故 ∠ABF= 60°﹣∠ADE， 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出 ∠F＝60°﹣∠ACF，根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠ACF＝∠ADE， 所以∠ABF＝∠F，根据等角对等边得出AB＝AF；
（2）根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠ABD＝∠ACD，根据等边对等角及对顶角相等得出 ∠DCE＝∠DEC＝∠AEB，故 ∠ABD＝∠AEB，根据等角对等边得出 AB＝AE，又 AB＝AF，故 AB＝AF＝AE，即A是三角形BEF的外心．
三、真题演练
12．（2019·常州）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例.反例中的n可以为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，
所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2.
故答案为：A.
【分析】将各选项中n的值代入只要满足n2-1≥0，即可得出选项。
13．（2018·广元）平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 cm．
【答案】4或2
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】①当点P在圆的外面的时候，
如图，PA的长是P到⊙O的最长距离，PB的长是P到⊙O的最短距离，
∵圆外一点P到⊙O的最长距离为6cm，最短距离为2cm，
∴圆的直径是6﹣2=4（cm），
∴圆的半径是2cm．
②当点P在圆的里面的时候
圆的直径是6+2=8（cm），
圆的半径是4cm．
故答案为：2或4．
【分析】根据点与圆的位置关系，分点在圆外与点在圆内两种情况，①当点P在圆的外面的时候，圆的直径是6﹣2=4（cm），半径是2cm，②当点P在圆的里面的时候，圆的直径是6+2=8（cm），圆的半径是4cm．综上所述即可得出答案。
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