深圳市南山外国语学校（集团）高级中学
2021—2022学年第二学期期中考试
数 学
本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在一组样本数据为的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 某班有名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在分以上的人数为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
5. “石头 剪刀 布"，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本 朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界游戏规则是：“石头"胜"剪刀” “剪刀”胜“布” “布”胜“石头”，若所出的拳相同，则为和局.小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头 剪刀 布”游戏比赛，则小华经过三局获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
6. 为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
7. 从中不放回地依次取个数，事件为“第一次取到的是奇数”，为“第二次取到的是的整数倍”，则（ ）
A． B． C． D．
8. 设定义在上的函数的导函数为，已知，且，则满足不等式的实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得分，有选错的得分。
9. 某人工智能公司近年的利润情况如下表所示：已知变量与之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ）
第年 1 2 3 4 5
利润/亿元 2 3 4 5 7
A．该人工智能公司这年的利润的平均值小于 B．
C．变量与之间的线性相关系数 D．预测该人工智能公司第年的利润约为亿元
10. 甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有2个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．两两互斥 B． C．事件与事件相互独立 D．
11. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
12. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极小值点
B．函数有且只有个零点
C．存在正整数，使得恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分.
13. 已知随机变量，且，则 .
14. 若展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式的常数项是 .
15. 函数的最小值为 .
16. 已知，且，记随机变量为中的最小值，则 .
四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题分）把五个数字组成无重复数字的五位数.
（1）可以组成多少个五位偶数？
（2）可以组成多少个不相邻的五位数？
（3）可以组成多少个数字按由大到小顺序排列的五位数？
18.（本小题分）已知甲箱的产品中有件正品和件次品，乙箱的产品中有件正品和件次品.
（1）若从甲箱中取出件产品，求在件产品中有一件是正品的条件下，另一件是次品的概率；
（2）若从两箱中随机选择一箱，然后从中取出件产品，求取到一件正品的概率.
19.（本小题分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：
使用年限（单位：年） 1 2 3 4 5 6 7
失效费（单位：万元） 2.90 3.30 3.60 4.40 4.80 5.20 5.90
（1）由上表数据分析，是否可用线性回归模型拟合与的关系．请用相关系数加以说明；（精确到）
（2）求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．
参考公式：相关系数．
线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计计算公式：，．
参考数据：，，．
20.（本小题分）已知函数.
（1）若函数在点处切线的斜率为，求实数的值；
（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.
21.（本小题分）每年的月日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了名高一学生进行在线调查，得到了这名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）为进一步了解这名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人.记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列；
（2）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生日平均阅读时间在(单位：小时)内的概率，其中.求当最大时，的取值.
22.（本小题分）已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有个零点．参 考 答 案
一、单选题.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、多选题.
题号 9 10 11 12
答案
三、填空题.
13. 14. 15. 16.
四、解答题.
17.【解析】（1）；
（2）；
（3）.
18.【解析】（1）设两件产品中有一件是正品，两件产品中有一件是次品
（2）设取到甲箱，取到一件正品
19.【解析】（1）由题意，知，，
．
∴结合参考数据知：．
因为与的相关系数近似为0.99，所以与的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合与的关系．
（2）∵，
∴．
∴关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程，得．
∴估算该种机械设备使用10年的失效费为7.3万元．
20.【解析】（1），而，即，解得.
（2），于是.
因为函数在上是减函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立.
又因为函数的定义域为，所以有在[上恒成立.
于是有，设，则，所以有
，，
当时，有最大值，于是要使在上恒成立，只需，
即实数的取值范围是.
21.【解析】（1）由分层抽样性质知，从阅读时间在中抽取5人，从阅读时间在中抽取4人，从阅读时间在中抽取1人，
从该10人中抽取3人，则的可能取值为0,1,2,3，
，，
，，
则的分布列为
0 1 2 3
（2）由概率和为1得：，
解得：.
学生日平均阅读时间在的概率，则，
当时，最大.
22.【解析】（1）由题意知：定义域为：且
令，
，
在上单调递减，在上单调递减
在上单调递减
又，
，使得
当时，；时，
即在上单调递增；在上单调递减
则为唯一的极大值点
即：在区间上存在唯一的极大值点.
（2）由（1）知：，
①当时，由（1）可知在上单调递增
在上单调递减
又
为在上的唯一零点
②当时，在上单调递增，在上单调递减
又
在上单调递增，此时，不存在零点
又
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，此时不存在零点
③当时，单调递减，单调递减
在上单调递减
又，
即，又在上单调递减
在上存在唯一零点
④当时，，
即在上不存在零点
综上所述：有且仅有个零点
