霍林郭勒市2021-2022学年高二下学期期中考试
（理科数学）
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（共12小题,每小题5分，共60分，给出的四个选项中只有一项是符合要求的.）
1.复数，则（ ）
. .2 .1 .
2.一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（ ）
A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒
3.下列有关命题的说法正确的是（ ）
A. 命题“，均有”的否定是：“，使得”
B. “”是“”成立的充分不必要条件
C. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
D. 若“”为真命题，则“”也为真命题
4.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.观察下列各式：，则（ ）
（A）28 （B）76 （C）123 （D）199
6.疫情期间以网课的方式进行授课，某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时间（小时）进行统计，服从正态分布N（9，12），则100名同学中，每天学习时间超过10小时的人数为（ ）（四舍五入保留整数）参考数据：P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9973．
A．15 B．16 C．31 D．32
7.过椭圆 的左焦点作轴的垂线交椭圆于点， 为右焦点，若，则椭圆的离心率为 ( )
A． B． C． D．
8.3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（ ）
A．576 B．432 C．388 D．216
9.在的展开式中,的系数为（ ）
A.800 B.810 C.820 D.830
10.过双曲线（，）的左焦点F作圆O：的两条切线，切点分别为A、B，双曲线的左顶点为C，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
11.正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长和高均为2，点D为侧棱CC1的中点，连接，，则点C1到平面ABD的距离为（ ）
A. B. C. D.
12.已知抛物线，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A、B两点（A、B均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. D. 4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
13.（）9的展开式中的常数项为 ．
14.________.
15.某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）
16.已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是____________．
三、解答题（共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题满分10分）随着高等级公路的迅速发展，公路绿化受到高度重视，需要大量各种苗木．某苗圃培植场对100棵“天竺桂”的移栽成活量y（单位：棵）与在前三个月内浇水次数x间的关系进行研究，根据以往的记录，整理相关的数据信息如图所示：
（1）结合图中前4个矩形提供的数据，利用最小二乘法求y关于x的回归直线方程；
（2）用表示（1）中所求的回归直线方程得到的100棵“天竺桂”的移栽成活量的估计值，当图中余下的矩形对应的数据组(xi，yi)的残差的绝对值| yi－|≤5，则回归直线方程有参考价值，试问：（1）中所得到的回归直线方程有参考价值吗？
（3）预测100棵“天竺桂”移栽后全部成活时，在前三个月内浇水的最佳次数．
附：回归直线方程为，其中， ．
18.(本小题满分12分）微信语音正成为手机一族重要的联系方式，为了解某市微信语音的使用情况，某公司随机抽查了100名微信语音用户，得到如下数据：
每天使用微信语音次数 1 2 3 4 5 6及以上
30岁及以下人数 3 3 4 7 8 30
30岁以上人数 4 5 6 4 6 20
合计 7 8 10 11 14 50
（1)如果认为每天使用超过3次微信语音的用户是“喜欢使用微信语音”，完成下面2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为“喜欢使用微信语音”与年龄有关？
不喜欢使用微信语音 喜欢使用微信语音 合计
30岁及以下人数
30岁以上人数
合计
（2)每天使用6次及以上微信语音的人称为“微信语音达人”，视频率为概率，在该市所有“微信语音达人”中随机抽取3名用户．
①抽取的3名用户，既有30岁及以下的“微信语音达人”又有30岁以上“微信语音达人”的概率；
②为鼓励30岁以上用户使用微信语音，对抽取的30岁以上“微信语音达人”，每人奖励100元话费，记奖励总金额为X,求X的数学期望及方差。
附： 其中n＝a＋b＋c＋d.
P (K2 ≥ k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19.(本小题满分12分）
高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.
（Ⅰ）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；
（Ⅱ）设为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求的分布列和数学期望．
20.(本小题满分12分）
已知在多面体ABCDE中，，，，，且平面平面ABC.
（1）设点F为线段BC的中点，试证明EF⊥平面ABC；
（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60°，求二面角的余弦值.
21. (本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，设动点M到坐标原点的距离与到x轴
的距离分别为d1，d2，且，记动点M的轨迹为Ω.
（1）求Ω的方程；
（2）设过点(0,－2)的直线l与Ω相交于A，B两点，当△AOB的面积最大时，求|AB|.
22. (本小题满分12分）已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求f(x)在内的单调区间.
（2）设函数，证明：.霍林郭勒市2021-2022学年高二下学期期中考试试卷答案
1--12：ACBAC BBBBC CC
13.672 14. 15.影视配音 16.（1，+∞）
17.（1）试题解析：（1）由所给数据计算得，，
，，
∴，，∴ ，，
所以回归直线方程是．
（2）当时，，则 ，
∴可以认为所得到的回归直线方程是有参考价值的．
（3）预测100棵“天竺桂”移栽后全部成活，则由，得，
则预测100棵“天竺桂”移栽后全部成活时，在前三个月内浇水的最佳次数为7次．
18.
D(x)=7200
19.解：（Ⅰ）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件A，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件B.由于事 件A、B相互独立，
且, . …………………2分
所以选出的4人均考《数学解题思想与方法》的概率为
…………………………… 4分
（Ⅱ）设可能的取值为0,1,2,3.得
,
,
…………… 8分
的分布列为
0 1 2 3
P
∴ 的数学期望 ………12分
20.【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
∵在中，∴.
∴由平面平面，且交线为得平面.
∵，分别为，的中点，∴，且.
又，，∴，且.
∴四边形为平行四边形.∴，∴平面.
（2）∵平面，，
∴以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，.
∵平面，∴直线与平面所成的角为.
∴.∴.
可取平面的法向量，
设平面的法向量，，，
则，取，则，.∴，
∴，∴二面角的余弦值为.
21.解：（1）设，则，，
则，故的方程为（或）.
（2）依题意当轴不合题意，故设直线：，设，，
将代入，得，
当，即时，，，
从而，
从点到直线的距离，所以的面积，
设，则，，
当且仅当，即（满足）时等号成立，
所以当的面积最大时，，.
22.（1）解：因为，所以.
又，所以.
当时，；当时，.
所以在内的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）证明：由（1）知.
设函数，则.
当时，；当时，.所以，
所以.
设函数，则，设，
则，令，得，则，
所以，从而増函数，则.
因此，故.
