人教A版（2019）数学必修第二册 8.5 空间直线、平面的平行

人教A版（2019）数学必修第二册 8.5 空间直线、平面的平行
一、单选题
1．（2019高一上·中山月考）平行于同一平面的两条直线的位置关系（　　）
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行、相交或异面
2．（2018高一上·洛阳月考）若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（　　）
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面
3．（2019高三上·吉林月考）如图，正方体 中， ， ， ， 分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面 平行的是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
4．（2018高二上·西宁月考）如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（　　）
A．MN∥PD B．MN∥PA
C．MN∥AD D．以上均有可能
5．（2018高一下·长阳期末）如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．下列说法中正确的个数是（　　）
①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；④如果α∥β，a∥α，那么a∥β.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2017·宁波模拟）如图，在直二面角A﹣BD﹣C中，△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD中点E，将△ABE沿BE翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是（　　）
A．BC与平面A1BE内某直线平行 B．CD∥平面A1BE
C．BC与平面A1BE内某直线垂直 D．BC⊥A1B
8．（2018高一下·伊春期末） 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题：
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；⑥
其中正确的命题是（　　）
A．①②③ B．①④⑤ C．①④ D．①③④
9．正方体 的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E=1，平面α∥平面BC1E（平面α是图中阴影平面），若平面α∩平面AA1B1B=A1F，则AF的长为 （　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
10．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列结论中错误的为（　　）
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
11．（2018·南阳模拟）如图，在棱长为1的正方体 中，点 ， 分别是棱 ， 的中点， 是侧面 内一点，若 ，则线段 长度的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
12．（2018高一下·双鸭山期末）在正四棱柱 中，顶点 到对角线 和到平面 的距离分别为 和 ，则下列命题中正确的是（　　）
A．若侧棱的长小于底面的变长，则 的取值范围为
B．若侧棱的长小于底面的变长，则 的取值范围为
C．若侧棱的长大于底面的变长，则 的取值范围为
D．若侧棱的长大于底面的变长，则 的取值范围为
二、填空题
13．（2020·广东模拟）在正方体 的12条棱中，与平面 平行的棱共有　 　条.
14．（2019高一上·柳州月考）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是　 　．
15．（2019高二上·定远期中）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C, C1B1，C1D1的中点，点H在四边形A1ADD1的边及其内部运动，则H满足条件　 　时，有BH∥平面MNP.
16．如图所示， 是棱长为a的正方体，M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP＝ ，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝　 　．
三、解答题
17．（2019高一上·中山月考）如图，在四棱锥 中， ， ， 为棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）试判断 与平面 是否平行？并说明理由.
18．（2019高一下·梅河口月考）如图所示，四棱锥 中， ( 是四棱锥 的高), 为线段 上一点， , 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
19．（2018高一下·黑龙江期末）如图， 是边长为3的正方形， 平面 ， 平面 ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）在 上是否存在一点 ，使平面 将几何体 分成上下两部分的体积比为 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由.
20．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．
（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】根据线面平行的位置关系及线线位置关系的分类及定义，可由已知两直线平行于同一平面，得到两直线的位置关系:
若a∥α，且b∥α
则a与b可能平行，也可能相交，也有可能异面
故平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行或相交或异面
故答案为：D
【分析】利用平行的性质结合分类讨论的方法得出平行于同一平面的两条直线的位置关系。
2．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：分别在两个互相平行的平面内的两条直线，没有公共点，故平行或异面，
故答案为：D．
【分析】由已知得到分别在两个互相平行的平面内的两条直线没有公共点，即可得结论.
3．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】首先四个选项的直线都不在平面 内，由中点及正方体的性质知 ， ， ，∴直线 ， ， 都与平面 平行，剩下的只有 不与平面 平行．实际上过 作 的平行线，这条平行线在平面 内且与 相交（它们都在平面 内）．
故选：C．
【分析】根据线面平行的判定定理判断．
4．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】∵MN∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA，MN 平面PAC，
∴MN∥PA.
故答案为：B.
【分析】根据线面平行的性质有MN∥PA。
5．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】对于①，取NP中点G，由三角形中位线性质易证MG∥AB，再根据线面平行的判定定理可知①正确；对于④，易证NP∥AB，根据线面平行的判定定理可知④正确，故答案为：B.
【分析】判断AB∥平面MNP，关键是在平面MNP中找出与直线AB平行的直线，利用直线与平面平行的判定定理求解。
6．【答案】A
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】(1)错误.平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有1条或2条或3条交线.(2)错误.如果a，b是两条直线，a∥b，那么直线a有可能在经过b的平面内.(3)错误.直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行.(4)错误.如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a β.
故答案为：A.
【分析】利用平面与平面平行的判定与性质，分别判断即可得出结论。
7．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：连结CE，当平面A1BE与平面BCE重合时，BC 平面A1BE，
∴平面A1BE内必存在与BC平行和垂直的直线，故A，C可能成立；
在平面BCD内过B作CD的平行线BF，使得BF=CD，
连结EF，则当平面A1BE与平面BEF重合时，BF 平面A1BE，
故平面A1BE内存在与BF平行的直线，即平面A1BE内存在与CD平行的直线，
∴CD∥平面A1BE，故C可能成立．
若BC⊥A1B，又A1B⊥A1E，则A1B为直线A1E和BC的公垂线，
∴A1B＜CE，
设A1B=1，则经计算可得CE= ，
与A1B＜CE矛盾，故D不可能成立．
故选D．
【分析】构造平面BCE，平面BFE，则可判断A，B，C，使用假设法判断D．
8．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】①由平行传递公理知正确；②两条直线平行一个平面，这两条直线可能平行、相交或异面，②错误；③两个平面与一条直线平行，这两个平面可能相交或平行，③错误；④平面平行传递公理，正确；⑤错误，也可能 ；⑥错误，也可能 ；则①④正确，
故答案为：C.
【分析】对于立几命题，分析由符号语言表示的含义结合对应公理和定理进行判断①由平行传递公理知正确；②两条直线平行一个平面，这两条直线可能平行、相交或异面，②错误；③两个平面与一条直线平行，这两个平面可能相交或平行，③错误；④平面平行传递公理，正确；⑤错误，也可能 a α ；⑥错误，也可能 a α ；则①④正确.
9．【答案】A
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】因为平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B=A1F，
平面BC1E∩平面AA1B1B=BE，所以A1F∥BE.又A1E∥BF，
所以A1EBF是平行四边形，所以A1E=BF=2，所以AF=1.
故答案为：A.
【分析】由面面平行的性质得到线线平行，于是A1EBF是平行四边形，再求AF的长。
10．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】依题意得MN∥PQ，MN∥平面ABC，又MN、AC 平面ACD，且MN与AC无公共点，因此有MN∥AC，AC∥平面MNPQ.同理，BD∥PN.又截面MNPQ是正方形，因此有AC⊥BD，直线PM与BD所成的角是45°.综上所述，其中错误的是C.
故答案为：C．
【分析】由于截面PQMN是正方形，根据线面平行的判定，得到线面平行，再对各选项进行判断。
。
11．【答案】B
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：如下图所示，分别取棱 的中点M、N，连MN， ，
∵ 分别为所在棱的中点，则 ，
∴MN∥EF，又MN 平面AEF，EF 平面AEF，
∴MN∥平面AEF．
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又 平面AEF，AE 平面AEF，
∴ ∥平面AEF，
又 ，
∴平面 ∥平面AEF．
∵P是侧面 内一点，且 ∥平面AEF，
∴点P必在线段MN上．
在 中， ．
同理，在 中，可得 ，
∴ 为等腰三角形．
当点P为MN中点O时， ，此时 最短；点P位于M、N处时， 最长．
∵ ， ．
∴线段 长度的取值范围是 ．
故答案为：B．
【分析】本题关键在于找出平面使得该平面平行平面AEF，计算出，即可得出答案。
12．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】设侧棱长是 ， 底面的变长是 ，点 到对角线 的距离 即为直角三角形 斜边 上的高， ，点 到平面 的距离分别 即为直角三角形 斜边 上的高，
若侧棱的长小于底面的变长，
即 ，
A，B错误；
若侧棱的长大于底面的变长，
即 ，
故答案为：C
【分析】设侧棱长是 b， 底面的变长是 a，点 B1到对角线 BD1的距离 h 即为直角三角形 △B1BD1 斜边 BD1上的高，得到点 B1到平面 A1BCD1的距离分别 d 即为直角三角形 △B1BA斜边B1A 上的高，得到，若侧棱的长小于底面的变长时，可判断A、B错误，若侧棱的长大于底面的变长，可判断C是正确的。
13．【答案】2
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：根据题意画图,
观察图象可知：
在正方体 的 条棱中,
与平面 平行的为棱 与棱 .
故答案为：
【分析】根据题意画图,由图象可得与平面 不相交的棱即为平行的棱.
14．【答案】①②③④
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】展开图可以折成如图（1）所示的正方体．
在正方体中，连接AN，如图（2）所示，因为AB∥MN，且AB＝MN，所以四边形ABMN是平行四边形．所以BM∥AN．因为AN 平面DE，BM 平面DE，所以BM∥平面DE．同理可证CN∥平面AF，所以①②正确；如图（3）所示，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，进而得到平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．
故答案为①②③④
【分析】还原得正方体ABCD﹣EFMN，可得BM在右侧面与左侧面ED平行，即可判断①；
CN与BE平行，可判断②；运用面面平行的判定定理可判断③④．
15．【答案】 线段
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】H∈线段A1D.理由如下，
连接A1B，A1D，BD，CB1,
因为M，N分别是C1C, C1B1的中点，
所以MN∥CB1，
因为CD∥A1B1，且CD＝A1B1，
所以四边形CDA1B1是平行四边形，所以CB1∥DA1，
所以MN∥DA1，
又MN 平面A1BD，DA1 平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD.
同理可证PN∥平面A1BD，
又MN 平面MNP，PN 平面MNP，MN∩PN＝N，
所以平面A1BD∥平面MNP.
又因为BH 平面A1BD，所以BH∥平面MNP.
故答案为： 线段 .
【分析】本题利用正方体的结构特征结合已知条件，结合线面平行的判定定理，用线线平行证出线面平行。
16．【答案】
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ，
易知DP＝DQ＝ ，故PQ＝ DP＝ ．
故答案为：
【分析】根据线面平行的性质，由MN∥平面AC得MN∥PQ，再由三角形中的关系求长度。
17．【答案】（1）证明：取PC的中点F，连接EF，BF，
则 ，且 ，
又因为 ， ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
则 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）解： 与平面 不平行.
假设 面 ，
设 ，连结 ，
则平面 平面 ，
又 平面 ， 所以 .
所以，在 中有 ，
由 为 的中点可得 ，即 .
因为 ，所以 ，这与 矛盾，
所以假设错误， 与平面 不平行.
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）可结合中位线定理证明，取PC的中点F，连接EF，BF，先证明四边形 为平行四边形，可得 ，即可得证；（2）可采用反证法，假设 与平面 平行，先证 为 中点，再通过相似三角形可得 ，即证出矛盾，故不成立
18．【答案】（1）证明：取BC的中点为E，联结ME,NE，
结合AD=3,且AM=2MD，可得MA=2，而BC=4,得到BE=2，结合AM平行BE，可得四边形ABEM为平行四边形， 结合性质，得到ME平行AB，而N为PC的中点，结合三角形中位线定理，得到NE平行PB，结合平面与平面平行判定，得到平面ENM平行平面PAB，而MN包含在平面ENM，结合性质，得到MN 平面PAB
（2）解：对三角形ABC而言，AC=3,AB=3,CB=4，利用余弦定理，得到
，结合
得到 ，所以 ，结合平面PAB垂直平面ABCD，而 ,得到三角形PAB为直角三角形，得到PA垂直平面ABCD，该三棱锥高为 2，所以体积为
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）根据面面平行的性质，证明面面平行，两平面没有公共点，结合线面平行的定义，即可证明线面平行；
（2）根据余弦定理，结合面积公式，得到三棱锥的高，即可求出相应的体积.
19．【答案】（1）解：∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，∴ 平面 ，
∵ 是正方形， ，∴ 平面 ，
∵ ， 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 .
（2）解：假设存在一点 ，过 作 交 于 ，连接 ，
，
设 ，则 ，
设 到 的距离为 ，则 ， ，
∴ ，解得 ，即存在点 且 满足条件
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）熟练掌握面面平行的性质，一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，即在平面ABF中找到两条相交直线AB，AF与平面DCE平行，即可得出答案。
（2）根据题意首先假设存在G点，使用数据表示出上下面积，结合上下体积之比，即可得出答案。
20．【答案】（1）证明：因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D 平面C1BD，AB1 平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1 平面AB1D1，B1D1 平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.
（2）证明：如图，设A1C1与B1D1交于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.
因为AO1 平面AB1D1，
所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．
下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1CA∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1CA∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，
即A1E＝EF.同理，CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）结合 正方体的结构特征，可以证明平面AB1D1内有两条相交直线都∥平面C1BD.得证；
（2）通过面面平行的性质，证明出平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F，再在三角形中由中点的性质证明。
1 / 1人教A版（2019）数学必修第二册 8.5 空间直线、平面的平行
一、单选题
1．（2019高一上·中山月考）平行于同一平面的两条直线的位置关系（　　）
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行、相交或异面
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】根据线面平行的位置关系及线线位置关系的分类及定义，可由已知两直线平行于同一平面，得到两直线的位置关系:
若a∥α，且b∥α
则a与b可能平行，也可能相交，也有可能异面
故平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行或相交或异面
故答案为：D
【分析】利用平行的性质结合分类讨论的方法得出平行于同一平面的两条直线的位置关系。
2．（2018高一上·洛阳月考）若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（　　）
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：分别在两个互相平行的平面内的两条直线，没有公共点，故平行或异面，
故答案为：D．
【分析】由已知得到分别在两个互相平行的平面内的两条直线没有公共点，即可得结论.
3．（2019高三上·吉林月考）如图，正方体 中， ， ， ， 分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面 平行的是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】首先四个选项的直线都不在平面 内，由中点及正方体的性质知 ， ， ，∴直线 ， ， 都与平面 平行，剩下的只有 不与平面 平行．实际上过 作 的平行线，这条平行线在平面 内且与 相交（它们都在平面 内）．
故选：C．
【分析】根据线面平行的判定定理判断．
4．（2018高二上·西宁月考）如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（　　）
A．MN∥PD B．MN∥PA
C．MN∥AD D．以上均有可能
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】∵MN∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA，MN 平面PAC，
∴MN∥PA.
故答案为：B.
【分析】根据线面平行的性质有MN∥PA。
5．（2018高一下·长阳期末）如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】对于①，取NP中点G，由三角形中位线性质易证MG∥AB，再根据线面平行的判定定理可知①正确；对于④，易证NP∥AB，根据线面平行的判定定理可知④正确，故答案为：B.
【分析】判断AB∥平面MNP，关键是在平面MNP中找出与直线AB平行的直线，利用直线与平面平行的判定定理求解。
6．下列说法中正确的个数是（　　）
①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；④如果α∥β，a∥α，那么a∥β.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】(1)错误.平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有1条或2条或3条交线.(2)错误.如果a，b是两条直线，a∥b，那么直线a有可能在经过b的平面内.(3)错误.直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行.(4)错误.如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a β.
故答案为：A.
【分析】利用平面与平面平行的判定与性质，分别判断即可得出结论。
7．（2017·宁波模拟）如图，在直二面角A﹣BD﹣C中，△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD中点E，将△ABE沿BE翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是（　　）
A．BC与平面A1BE内某直线平行 B．CD∥平面A1BE
C．BC与平面A1BE内某直线垂直 D．BC⊥A1B
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：连结CE，当平面A1BE与平面BCE重合时，BC 平面A1BE，
∴平面A1BE内必存在与BC平行和垂直的直线，故A，C可能成立；
在平面BCD内过B作CD的平行线BF，使得BF=CD，
连结EF，则当平面A1BE与平面BEF重合时，BF 平面A1BE，
故平面A1BE内存在与BF平行的直线，即平面A1BE内存在与CD平行的直线，
∴CD∥平面A1BE，故C可能成立．
若BC⊥A1B，又A1B⊥A1E，则A1B为直线A1E和BC的公垂线，
∴A1B＜CE，
设A1B=1，则经计算可得CE= ，
与A1B＜CE矛盾，故D不可能成立．
故选D．
【分析】构造平面BCE，平面BFE，则可判断A，B，C，使用假设法判断D．
8．（2018高一下·伊春期末） 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题：
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；⑥
其中正确的命题是（　　）
A．①②③ B．①④⑤ C．①④ D．①③④
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】①由平行传递公理知正确；②两条直线平行一个平面，这两条直线可能平行、相交或异面，②错误；③两个平面与一条直线平行，这两个平面可能相交或平行，③错误；④平面平行传递公理，正确；⑤错误，也可能 ；⑥错误，也可能 ；则①④正确，
故答案为：C.
【分析】对于立几命题，分析由符号语言表示的含义结合对应公理和定理进行判断①由平行传递公理知正确；②两条直线平行一个平面，这两条直线可能平行、相交或异面，②错误；③两个平面与一条直线平行，这两个平面可能相交或平行，③错误；④平面平行传递公理，正确；⑤错误，也可能 a α ；⑥错误，也可能 a α ；则①④正确.
9．正方体 的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E=1，平面α∥平面BC1E（平面α是图中阴影平面），若平面α∩平面AA1B1B=A1F，则AF的长为 （　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】因为平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B=A1F，
平面BC1E∩平面AA1B1B=BE，所以A1F∥BE.又A1E∥BF，
所以A1EBF是平行四边形，所以A1E=BF=2，所以AF=1.
故答案为：A.
【分析】由面面平行的性质得到线线平行，于是A1EBF是平行四边形，再求AF的长。
10．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列结论中错误的为（　　）
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】依题意得MN∥PQ，MN∥平面ABC，又MN、AC 平面ACD，且MN与AC无公共点，因此有MN∥AC，AC∥平面MNPQ.同理，BD∥PN.又截面MNPQ是正方形，因此有AC⊥BD，直线PM与BD所成的角是45°.综上所述，其中错误的是C.
故答案为：C．
【分析】由于截面PQMN是正方形，根据线面平行的判定，得到线面平行，再对各选项进行判断。
。
11．（2018·南阳模拟）如图，在棱长为1的正方体 中，点 ， 分别是棱 ， 的中点， 是侧面 内一点，若 ，则线段 长度的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：如下图所示，分别取棱 的中点M、N，连MN， ，
∵ 分别为所在棱的中点，则 ，
∴MN∥EF，又MN 平面AEF，EF 平面AEF，
∴MN∥平面AEF．
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又 平面AEF，AE 平面AEF，
∴ ∥平面AEF，
又 ，
∴平面 ∥平面AEF．
∵P是侧面 内一点，且 ∥平面AEF，
∴点P必在线段MN上．
在 中， ．
同理，在 中，可得 ，
∴ 为等腰三角形．
当点P为MN中点O时， ，此时 最短；点P位于M、N处时， 最长．
∵ ， ．
∴线段 长度的取值范围是 ．
故答案为：B．
【分析】本题关键在于找出平面使得该平面平行平面AEF，计算出，即可得出答案。
12．（2018高一下·双鸭山期末）在正四棱柱 中，顶点 到对角线 和到平面 的距离分别为 和 ，则下列命题中正确的是（　　）
A．若侧棱的长小于底面的变长，则 的取值范围为
B．若侧棱的长小于底面的变长，则 的取值范围为
C．若侧棱的长大于底面的变长，则 的取值范围为
D．若侧棱的长大于底面的变长，则 的取值范围为
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】设侧棱长是 ， 底面的变长是 ，点 到对角线 的距离 即为直角三角形 斜边 上的高， ，点 到平面 的距离分别 即为直角三角形 斜边 上的高，
若侧棱的长小于底面的变长，
即 ，
A，B错误；
若侧棱的长大于底面的变长，
即 ，
故答案为：C
【分析】设侧棱长是 b， 底面的变长是 a，点 B1到对角线 BD1的距离 h 即为直角三角形 △B1BD1 斜边 BD1上的高，得到点 B1到平面 A1BCD1的距离分别 d 即为直角三角形 △B1BA斜边B1A 上的高，得到，若侧棱的长小于底面的变长时，可判断A、B错误，若侧棱的长大于底面的变长，可判断C是正确的。
二、填空题
13．（2020·广东模拟）在正方体 的12条棱中，与平面 平行的棱共有　 　条.
【答案】2
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：根据题意画图,
观察图象可知：
在正方体 的 条棱中,
与平面 平行的为棱 与棱 .
故答案为：
【分析】根据题意画图,由图象可得与平面 不相交的棱即为平行的棱.
14．（2019高一上·柳州月考）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是　 　．
【答案】①②③④
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】展开图可以折成如图（1）所示的正方体．
在正方体中，连接AN，如图（2）所示，因为AB∥MN，且AB＝MN，所以四边形ABMN是平行四边形．所以BM∥AN．因为AN 平面DE，BM 平面DE，所以BM∥平面DE．同理可证CN∥平面AF，所以①②正确；如图（3）所示，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，进而得到平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．
故答案为①②③④
【分析】还原得正方体ABCD﹣EFMN，可得BM在右侧面与左侧面ED平行，即可判断①；
CN与BE平行，可判断②；运用面面平行的判定定理可判断③④．
15．（2019高二上·定远期中）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C, C1B1，C1D1的中点，点H在四边形A1ADD1的边及其内部运动，则H满足条件　 　时，有BH∥平面MNP.
【答案】 线段
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】H∈线段A1D.理由如下，
连接A1B，A1D，BD，CB1,
因为M，N分别是C1C, C1B1的中点，
所以MN∥CB1，
因为CD∥A1B1，且CD＝A1B1，
所以四边形CDA1B1是平行四边形，所以CB1∥DA1，
所以MN∥DA1，
又MN 平面A1BD，DA1 平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD.
同理可证PN∥平面A1BD，
又MN 平面MNP，PN 平面MNP，MN∩PN＝N，
所以平面A1BD∥平面MNP.
又因为BH 平面A1BD，所以BH∥平面MNP.
故答案为： 线段 .
【分析】本题利用正方体的结构特征结合已知条件，结合线面平行的判定定理，用线线平行证出线面平行。
16．如图所示， 是棱长为a的正方体，M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP＝ ，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝　 　．
【答案】
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ，
易知DP＝DQ＝ ，故PQ＝ DP＝ ．
故答案为：
【分析】根据线面平行的性质，由MN∥平面AC得MN∥PQ，再由三角形中的关系求长度。
三、解答题
17．（2019高一上·中山月考）如图，在四棱锥 中， ， ， 为棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）试判断 与平面 是否平行？并说明理由.
【答案】（1）证明：取PC的中点F，连接EF，BF，
则 ，且 ，
又因为 ， ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
则 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）解： 与平面 不平行.
假设 面 ，
设 ，连结 ，
则平面 平面 ，
又 平面 ， 所以 .
所以，在 中有 ，
由 为 的中点可得 ，即 .
因为 ，所以 ，这与 矛盾，
所以假设错误， 与平面 不平行.
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）可结合中位线定理证明，取PC的中点F，连接EF，BF，先证明四边形 为平行四边形，可得 ，即可得证；（2）可采用反证法，假设 与平面 平行，先证 为 中点，再通过相似三角形可得 ，即证出矛盾，故不成立
18．（2019高一下·梅河口月考）如图所示，四棱锥 中， ( 是四棱锥 的高), 为线段 上一点， , 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明：取BC的中点为E，联结ME,NE，
结合AD=3,且AM=2MD，可得MA=2，而BC=4,得到BE=2，结合AM平行BE，可得四边形ABEM为平行四边形， 结合性质，得到ME平行AB，而N为PC的中点，结合三角形中位线定理，得到NE平行PB，结合平面与平面平行判定，得到平面ENM平行平面PAB，而MN包含在平面ENM，结合性质，得到MN 平面PAB
（2）解：对三角形ABC而言，AC=3,AB=3,CB=4，利用余弦定理，得到
，结合
得到 ，所以 ，结合平面PAB垂直平面ABCD，而 ,得到三角形PAB为直角三角形，得到PA垂直平面ABCD，该三棱锥高为 2，所以体积为
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）根据面面平行的性质，证明面面平行，两平面没有公共点，结合线面平行的定义，即可证明线面平行；
（2）根据余弦定理，结合面积公式，得到三棱锥的高，即可求出相应的体积.
19．（2018高一下·黑龙江期末）如图， 是边长为3的正方形， 平面 ， 平面 ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）在 上是否存在一点 ，使平面 将几何体 分成上下两部分的体积比为 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，∴ 平面 ，
∵ 是正方形， ，∴ 平面 ，
∵ ， 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 .
（2）解：假设存在一点 ，过 作 交 于 ，连接 ，
，
设 ，则 ，
设 到 的距离为 ，则 ， ，
∴ ，解得 ，即存在点 且 满足条件
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）熟练掌握面面平行的性质，一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，即在平面ABF中找到两条相交直线AB，AF与平面DCE平行，即可得出答案。
（2）根据题意首先假设存在G点，使用数据表示出上下面积，结合上下体积之比，即可得出答案。
20．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．
（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.
【答案】（1）证明：因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D 平面C1BD，AB1 平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1 平面AB1D1，B1D1 平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.
（2）证明：如图，设A1C1与B1D1交于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.
因为AO1 平面AB1D1，
所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．
下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1CA∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1CA∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，
即A1E＝EF.同理，CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）结合 正方体的结构特征，可以证明平面AB1D1内有两条相交直线都∥平面C1BD.得证；
（2）通过面面平行的性质，证明出平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F，再在三角形中由中点的性质证明。
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