2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册1.1锐角三角函数 同步练习
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a=5，b=12，c=13，下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tan∠DCB的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2018九上·金山期末）在Rt△ABC中， ， ， ， ，下列各式中正确的是（ ）
A． ； B． ； C． ； D． ．
6．（2018九上·长宁期末）在Rt ABC中，∠C=90°， ，AC= ，则AB的长可以表示为（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，∠C=90°，且两条直角边a，b满足a2﹣5ab+6b2=0，则tanA的值为（ ）
A．5或6 B．2 C．3 D．2或3
8．Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA= ，那么tanA等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2016九下·杭州开学考）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（ ）
A． B．1 C． D．
10．（2017九上·大庆期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，那么sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列式子：①a=c sinB，②a=c cosB，③a=c tanB，④a= ，必定成立的是 ．
12．（2018九上·杜尔伯特期末）用不等号“＞”或“＜”连接：sin50° cos50°．
13．（2018·潮南模拟）如图所示方格纸中每个小正方形的边长为1，其中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC= ．
14．△ABC中，∠C=90°，tanA= ，则sinA+cosA= ．
15．阅读理解：已知∠A、∠B是Rt△ABC的两个锐角，锐角∠A的邻边与对边的比值叫做锐角∠A的余切，记作cotA，记cotA= ，已知tanB= ，则cotB的值等于 ．
16．如图，P是∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sin（90°﹣α）= ．
三、综合题
17．（2018九上·肥西期中）已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC= ．
（1）求点B的坐标；
（2）在x轴上找一点D，连接BD使得△ABD与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标．
18．如图，E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上.
（1）求证：△ABF∽△DFE；
（2）若sin∠DFE= ，求tan∠EBC的值.
19．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP=40°，∠FBP=20°，PB=m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP=α，∠FBP=β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
20．（2017九上·黑龙江月考）如图，在等边△ABC 内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将线段AD绕点A旋转到AE，使∠DAE=∠BAC，连接EC．
（1）求CE的长；
（2）求cos∠CDE的值．
21．在如图的直角三角形中，我们知道sinα= ，cosα= ，tanα= ，∴sin2α+cos2α= + = = =1．即一个角的正弦和余弦的平方和为1．
（1）请你根据上面的探索过程，探究sinα，cosα与tanα之间的关系；
（2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知α为锐角，且tanα= ，求 的值．
22．如图
（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）
若∠α=45°，则sinα cosα；若∠α＜45°，则sinα cosα；若∠α＞45°，则sinα cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设BC=x，则AB=3x，
由勾股定理得，AC= =2 x，
则tanB= =2 ，
故答案为：A．
【分析】根据已知条件可设BC=x，则AB=3x，再由勾股定理可将AC用x表示出来，最后根据锐角三角函数的定义可求得tanB的值。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意∵∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a=5，b=12，c=13，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°．
∴sinA= ，cosA= ，tanA= ，cosB= ．
故A、B、D错误，选C．
【分析】在△ABC中，根据勾股定理的逆定理可判断∠C=90°，再根据求出∠A的锐角三角函数值即可得解。
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作DE⊥BC于E，
由直角三角形的性质，得
AB=2CD=2BD=10．
由勾股定理，得
BC=8，
由等腰三角形的性质，得
CE= BC=4，
由勾股定理，得
DE= =3，
tan∠DCB= = ．
故答案为：D．
【分析】作DE⊥BC于E，由直角三角形和等腰三角形的性质可求AB和CE的长，再根据锐角三角函数的定义可求tan∠DCB的值。
4．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，
∴AC= = =2 ，
∴cosC= = = ．
故答案为：B．
【分析】先将△ABC转化为直角三角形ADC，用勾股定理求出AC的长，则cosC的值可求。
5．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠C=90°，
∴cosA= ，sinA= ，tanA= ，cotA= ，
∴c·cosA=b，c·sinA=a，b·tanA=a，a·cotA=b，
∴只有选项C正确，
故答案为：C.
【分析】根据三角函数的定义进行判断即可。
6．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】Rt ABC中，∠C=90°，∴cos = ，
∵ ，AC= ，
∴cosα= ，
∴AB= ，
故答案为：A.
【分析】依据锐角三角函数的定义求解即可，在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边的比值．
7．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：a2﹣5ab+6b2=0，
（a﹣2b）（a﹣3b）=0，
a﹣2b=0，a﹣3b=0，
a=2b，a=3b，
当a=2b时，tanA= = =2，
当a=3b时，tanA= =3，
故答案为：D．
【分析】利用因式分解法求出方程a=2b，a=3b，然后根据正切函数的定义，分两种情况，分别求出tanA的值。
8．【答案】A
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边的长度分别为a、b、c。
∵cosA= 知，设b=3x，则c=5x，根据a2+b2=c2得a=4x．
∴tanA= = = ．
故选A．
【分析】根据cosA= 设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值．
9．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE=90°．
∴BE∥AC．
∵AB=BD，
∴AC=2BE．
又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x，
∴tanA= = = ，
故A符合题意.
故答案为：A．
【分析】过B作BE∥AC交CD于E．由题意可得AC=2BE，由cot∠BCD=3，可设BE=x，则BC=3x，AC=2x，在Rt△ABC中可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】作AB⊥x轴于B，如图，
∵点A的坐标为（3，4），
∴OB＝3，AB＝4，
∴OA＝ ＝5，
在Rt△AOB中，sinα＝ ＝ ．
故答案为：D．
【分析】由点A的坐标可知OA、AB与OB的长，由∠AOB的正弦定义即可求得。
11．【答案】②
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，
∴sinB= ，
∴b=c sinB，故①错误；
cosB= ，
∴a=c cosB，故②正确；
tanB= ，
∴b=a tanB，故③错误；
tanB= ，
∴a= ，故④错误．
故答案为②．
【分析】根据锐角三角函数的意义可判断正误。
12．【答案】＞
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵cos50°=sin40°，sin50°＞sin40°，
∴sin50°＞cos50°．
故答案为：＞．
【分析】先把50°的余弦转化为正弦函数，然后根据正弦函数的性质角度越大函数值也越大可得结果.
13．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，连接AC.
∵
∴
解得： 故sin∠ABC
故答案为：
【分析】要求sin∠ABC，先把∠ABC放在直角三角形中，过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，根据正方形网格的边长可求出△ABC的三边，再利用面积相等法求出AD，即可求出sin∠ABC。
14．【答案】
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵tanA= ，
∴设AB=3x，则BC=4x，
AC=5x，
则有：sinA+cosA= + = + = ，
故答案为： ．
【分析】根据tanA= 和三角函数的定义画出图形，进而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cosA的值．
15．【答案】
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图所示：
∵tanB= = ，
∴cotB= = ．
故答案是： ．
【分析】根据正切和余切之间的关系可求解。
16．【答案】
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：由勾股定理，得
OP= =5．
由一个角的余弦等于它余角的正弦，得
sin（90°﹣α）=cosα= ，
故答案为： ．
【分析】首先根据已知条件由勾股定理求OP，再由一个角的余弦等于它余角的正弦可求解。
17．【答案】（1）解：∵点A（﹣3，0），C（1，0），
∴AC=4，
则BC=tan∠BAC×AC= ×4=3，
∴B点坐标为（1，3）
（2）解：如图，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，在Rt△ABC和Rt△ADB中，∵∠BAC=∠DAB，∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D点为所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC= ，
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷ = ，
∴OD=OC+CD= ，∴D（ ，0）．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）根据A，C两点的坐标，求出AC的长，根据正切函数的定义，由BC=tan∠BAC×AC即可算出BC的长，再根据垂直于x轴的直线上的点的坐标特点即可求出B点的坐标；
（2）如图，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出Rt△ABC∽Rt△ADB，故D点为所求，根据相似洗手间的对应角相等得出∠ADB=∠ABC，根据等角的同名三角函数值相等得出tan∠ADB=tan∠ABC=，进而根据正切函数的定义，由CD=BC÷tan∠ADB算出CD的长，再根据OD=OC+CD算出OD的长，最后根据x轴上的点的坐标特点即可求出D点的坐标。
18．【答案】（1）证明：由题意可得∠A=∠D=∠C=∠BFE=90°，∴∠ABF=90°-∠AFB，
∠DFE=180°-∠BFE-∠AFB=90°-∠AFB=∠ABF，∴△ABF∽△DFE.
（2）解：由折叠可得FB=BC，EF=EC，∵sin∠DFE= ，∴ 即EF=3DE.∴AB=CD=DE+EC=DE+EF=4DE，DF= =DE× =2 DE.
∵△ABF∽△DFE，∴ 即FB= = =3 DE.
又∵FB=BC，EF=EC，在Rt△BCE中，∴tan∠EBC= = = = .
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）考查运用“AA”判定两个三角形相似；
（2）在Rt△BCE中，tan∠EBC=，则需要求出EC与BC；由sin∠DFE= ，可得EF=3DE，由EF=EC，可得AB=4DE，从而由勾股定理用DE表示出DF；由（1）可知△ABF∽△DFE，从而求出FB，而FB=BC，EC=EF，即可求出tan∠EBC。
19．【答案】（1）解：在Rt△BPE中，sin∠EBP= =sin40°
在Rt△BPF中，sin∠FBP= =sin20°
又sin40°＞sin20°
∴PE＞PF
（2）解：根据（1）得
sin∠EBP= =sinα，sin∠FBP= =sinβ
又∵α＞β
∴sinα＞sinβ
∴PE＞PF
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
20．【答案】（1）解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵线段AD绕点A旋转到AE，使∠DAE=∠BAC
∴AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC∴△ABD≌△CAE∴CE=BD=6
（2）解：∵AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=5，
过E点作EH⊥CD于H，如图，
设DH=x，则CH=4﹣x，
在Rt△DHE中，EH2=52﹣x2，
在Rt△CHE中，EH2=62﹣（4﹣x）2，
∴52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x= ，∴DH= ，
在Rt△EDH中，cos∠HDE= ，
即∠CDE的余弦值为
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAC=60°，根据旋转的性质得出AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，根据等式的性质得出∠DAB=∠EAC，然后由SAS判断出△ABD≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等得出CE=BD=6；
（2）首先根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形判断出△ADE为等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出DE=AD=5，过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4﹣x，根据勾股定理得出EH2=52﹣x2，EH2=62﹣（4﹣x）2，从而得出方程，求解得出x的值，即DH的长，然后根据余弦函数的定义即可得出cos∠HDE的值。
21．【答案】（1）解：∵sinα= ，cosα= ，tanα= ，
∴ = = ，则tanα=
（2）解：∵tanα= ，
∴ = ，
∴2sinα=cosα，
∴ = =﹣
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）利用sinα= ，cosα= ，tanα= ，即可得出sinα，cosα与tanα之间的关系；（2）利用（1）中所求得出2sinα=cosα，进而代入原式求出即可．
22．【答案】（1）解：在图（1）中，令AB1=AB2=AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC= ，sin∠B2AC= ，sin∠B3AC= ，
而 ＞ ＞ ．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C=90°，
cos∠B1AC= ，cos∠B2AC= ，cos∠B3AC= ，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴ ＞ ＞ ．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC
（2）解：sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°
（3）=；＜；＞
（4）解：cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：（（3）若∠α=45°，则sinα=cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
【分析】（1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小．（2）根据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，只需比较角的大小．（3）根据概念以及等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论．（4）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较．
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册1.1锐角三角函数 同步练习
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设BC=x，则AB=3x，
由勾股定理得，AC= =2 x，
则tanB= =2 ，
故答案为：A．
【分析】根据已知条件可设BC=x，则AB=3x，再由勾股定理可将AC用x表示出来，最后根据锐角三角函数的定义可求得tanB的值。
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a=5，b=12，c=13，下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意∵∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a=5，b=12，c=13，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°．
∴sinA= ，cosA= ，tanA= ，cosB= ．
故A、B、D错误，选C．
【分析】在△ABC中，根据勾股定理的逆定理可判断∠C=90°，再根据求出∠A的锐角三角函数值即可得解。
3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tan∠DCB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作DE⊥BC于E，
由直角三角形的性质，得
AB=2CD=2BD=10．
由勾股定理，得
BC=8，
由等腰三角形的性质，得
CE= BC=4，
由勾股定理，得
DE= =3，
tan∠DCB= = ．
故答案为：D．
【分析】作DE⊥BC于E，由直角三角形和等腰三角形的性质可求AB和CE的长，再根据锐角三角函数的定义可求tan∠DCB的值。
4．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，
∴AC= = =2 ，
∴cosC= = = ．
故答案为：B．
【分析】先将△ABC转化为直角三角形ADC，用勾股定理求出AC的长，则cosC的值可求。
5．（2018九上·金山期末）在Rt△ABC中， ， ， ， ，下列各式中正确的是（ ）
A． ； B． ； C． ； D． ．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠C=90°，
∴cosA= ，sinA= ，tanA= ，cotA= ，
∴c·cosA=b，c·sinA=a，b·tanA=a，a·cotA=b，
∴只有选项C正确，
故答案为：C.
【分析】根据三角函数的定义进行判断即可。
6．（2018九上·长宁期末）在Rt ABC中，∠C=90°， ，AC= ，则AB的长可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】Rt ABC中，∠C=90°，∴cos = ，
∵ ，AC= ，
∴cosα= ，
∴AB= ，
故答案为：A.
【分析】依据锐角三角函数的定义求解即可，在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边的比值．
7．在△ABC中，∠C=90°，且两条直角边a，b满足a2﹣5ab+6b2=0，则tanA的值为（ ）
A．5或6 B．2 C．3 D．2或3
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：a2﹣5ab+6b2=0，
（a﹣2b）（a﹣3b）=0，
a﹣2b=0，a﹣3b=0，
a=2b，a=3b，
当a=2b时，tanA= = =2，
当a=3b时，tanA= =3，
故答案为：D．
【分析】利用因式分解法求出方程a=2b，a=3b，然后根据正切函数的定义，分两种情况，分别求出tanA的值。
8．Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA= ，那么tanA等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边的长度分别为a、b、c。
∵cosA= 知，设b=3x，则c=5x，根据a2+b2=c2得a=4x．
∴tanA= = = ．
故选A．
【分析】根据cosA= 设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值．
9．（2016九下·杭州开学考）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE=90°．
∴BE∥AC．
∵AB=BD，
∴AC=2BE．
又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x，
∴tanA= = = ，
故A符合题意.
故答案为：A．
【分析】过B作BE∥AC交CD于E．由题意可得AC=2BE，由cot∠BCD=3，可设BE=x，则BC=3x，AC=2x，在Rt△ABC中可求出答案.
10．（2017九上·大庆期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，那么sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】作AB⊥x轴于B，如图，
∵点A的坐标为（3，4），
∴OB＝3，AB＝4，
∴OA＝ ＝5，
在Rt△AOB中，sinα＝ ＝ ．
故答案为：D．
【分析】由点A的坐标可知OA、AB与OB的长，由∠AOB的正弦定义即可求得。
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列式子：①a=c sinB，②a=c cosB，③a=c tanB，④a= ，必定成立的是 ．
【答案】②
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，
∴sinB= ，
∴b=c sinB，故①错误；
cosB= ，
∴a=c cosB，故②正确；
tanB= ，
∴b=a tanB，故③错误；
tanB= ，
∴a= ，故④错误．
故答案为②．
【分析】根据锐角三角函数的意义可判断正误。
12．（2018九上·杜尔伯特期末）用不等号“＞”或“＜”连接：sin50° cos50°．
【答案】＞
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵cos50°=sin40°，sin50°＞sin40°，
∴sin50°＞cos50°．
故答案为：＞．
【分析】先把50°的余弦转化为正弦函数，然后根据正弦函数的性质角度越大函数值也越大可得结果.
13．（2018·潮南模拟）如图所示方格纸中每个小正方形的边长为1，其中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC= ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，连接AC.
∵
∴
解得： 故sin∠ABC
故答案为：
【分析】要求sin∠ABC，先把∠ABC放在直角三角形中，过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，根据正方形网格的边长可求出△ABC的三边，再利用面积相等法求出AD，即可求出sin∠ABC。
14．△ABC中，∠C=90°，tanA= ，则sinA+cosA= ．
【答案】
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵tanA= ，
∴设AB=3x，则BC=4x，
AC=5x，
则有：sinA+cosA= + = + = ，
故答案为： ．
【分析】根据tanA= 和三角函数的定义画出图形，进而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cosA的值．
15．阅读理解：已知∠A、∠B是Rt△ABC的两个锐角，锐角∠A的邻边与对边的比值叫做锐角∠A的余切，记作cotA，记cotA= ，已知tanB= ，则cotB的值等于 ．
【答案】
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图所示：
∵tanB= = ，
∴cotB= = ．
故答案是： ．
【分析】根据正切和余切之间的关系可求解。
16．如图，P是∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sin（90°﹣α）= ．
【答案】
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：由勾股定理，得
OP= =5．
由一个角的余弦等于它余角的正弦，得
sin（90°﹣α）=cosα= ，
故答案为： ．
【分析】首先根据已知条件由勾股定理求OP，再由一个角的余弦等于它余角的正弦可求解。
三、综合题
17．（2018九上·肥西期中）已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC= ．
（1）求点B的坐标；
（2）在x轴上找一点D，连接BD使得△ABD与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标．
【答案】（1）解：∵点A（﹣3，0），C（1，0），
∴AC=4，
则BC=tan∠BAC×AC= ×4=3，
∴B点坐标为（1，3）
（2）解：如图，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，在Rt△ABC和Rt△ADB中，∵∠BAC=∠DAB，∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D点为所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC= ，
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷ = ，
∴OD=OC+CD= ，∴D（ ，0）．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）根据A，C两点的坐标，求出AC的长，根据正切函数的定义，由BC=tan∠BAC×AC即可算出BC的长，再根据垂直于x轴的直线上的点的坐标特点即可求出B点的坐标；
（2）如图，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出Rt△ABC∽Rt△ADB，故D点为所求，根据相似洗手间的对应角相等得出∠ADB=∠ABC，根据等角的同名三角函数值相等得出tan∠ADB=tan∠ABC=，进而根据正切函数的定义，由CD=BC÷tan∠ADB算出CD的长，再根据OD=OC+CD算出OD的长，最后根据x轴上的点的坐标特点即可求出D点的坐标。
18．如图，E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上.
（1）求证：△ABF∽△DFE；
（2）若sin∠DFE= ，求tan∠EBC的值.
【答案】（1）证明：由题意可得∠A=∠D=∠C=∠BFE=90°，∴∠ABF=90°-∠AFB，
∠DFE=180°-∠BFE-∠AFB=90°-∠AFB=∠ABF，∴△ABF∽△DFE.
（2）解：由折叠可得FB=BC，EF=EC，∵sin∠DFE= ，∴ 即EF=3DE.∴AB=CD=DE+EC=DE+EF=4DE，DF= =DE× =2 DE.
∵△ABF∽△DFE，∴ 即FB= = =3 DE.
又∵FB=BC，EF=EC，在Rt△BCE中，∴tan∠EBC= = = = .
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）考查运用“AA”判定两个三角形相似；
（2）在Rt△BCE中，tan∠EBC=，则需要求出EC与BC；由sin∠DFE= ，可得EF=3DE，由EF=EC，可得AB=4DE，从而由勾股定理用DE表示出DF；由（1）可知△ABF∽△DFE，从而求出FB，而FB=BC，EC=EF，即可求出tan∠EBC。
19．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP=40°，∠FBP=20°，PB=m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP=α，∠FBP=β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
【答案】（1）解：在Rt△BPE中，sin∠EBP= =sin40°
在Rt△BPF中，sin∠FBP= =sin20°
又sin40°＞sin20°
∴PE＞PF
（2）解：根据（1）得
sin∠EBP= =sinα，sin∠FBP= =sinβ
又∵α＞β
∴sinα＞sinβ
∴PE＞PF
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
20．（2017九上·黑龙江月考）如图，在等边△ABC 内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将线段AD绕点A旋转到AE，使∠DAE=∠BAC，连接EC．
（1）求CE的长；
（2）求cos∠CDE的值．
【答案】（1）解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵线段AD绕点A旋转到AE，使∠DAE=∠BAC
∴AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC∴△ABD≌△CAE∴CE=BD=6
（2）解：∵AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=5，
过E点作EH⊥CD于H，如图，
设DH=x，则CH=4﹣x，
在Rt△DHE中，EH2=52﹣x2，
在Rt△CHE中，EH2=62﹣（4﹣x）2，
∴52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x= ，∴DH= ，
在Rt△EDH中，cos∠HDE= ，
即∠CDE的余弦值为
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAC=60°，根据旋转的性质得出AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，根据等式的性质得出∠DAB=∠EAC，然后由SAS判断出△ABD≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等得出CE=BD=6；
（2）首先根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形判断出△ADE为等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出DE=AD=5，过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4﹣x，根据勾股定理得出EH2=52﹣x2，EH2=62﹣（4﹣x）2，从而得出方程，求解得出x的值，即DH的长，然后根据余弦函数的定义即可得出cos∠HDE的值。
21．在如图的直角三角形中，我们知道sinα= ，cosα= ，tanα= ，∴sin2α+cos2α= + = = =1．即一个角的正弦和余弦的平方和为1．
（1）请你根据上面的探索过程，探究sinα，cosα与tanα之间的关系；
（2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知α为锐角，且tanα= ，求 的值．
【答案】（1）解：∵sinα= ，cosα= ，tanα= ，
∴ = = ，则tanα=
（2）解：∵tanα= ，
∴ = ，
∴2sinα=cosα，
∴ = =﹣
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）利用sinα= ，cosα= ，tanα= ，即可得出sinα，cosα与tanα之间的关系；（2）利用（1）中所求得出2sinα=cosα，进而代入原式求出即可．
22．如图
（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）
若∠α=45°，则sinα cosα；若∠α＜45°，则sinα cosα；若∠α＞45°，则sinα cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
【答案】（1）解：在图（1）中，令AB1=AB2=AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC= ，sin∠B2AC= ，sin∠B3AC= ，
而 ＞ ＞ ．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C=90°，
cos∠B1AC= ，cos∠B2AC= ，cos∠B3AC= ，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴ ＞ ＞ ．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC
（2）解：sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°
（3）=；＜；＞
（4）解：cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：（（3）若∠α=45°，则sinα=cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
【分析】（1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小．（2）根据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，只需比较角的大小．（3）根据概念以及等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论．（4）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较．
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