人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 27.2.1 相似三角形的判定 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·邛崃期中）如图，在 中， ， ， ，将 沿图示中的虚线 剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.∵ , ,
∴ ∽ ;
B.∵ , ,
∴ ∽ ;
D.∵ 在同一个圆上，
∴ ,
又∵ ,
∴ , ,
∴ ∽ ;
故剪下的三角形与原三角形不相似的是C.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断 ，即可求解.
2．（2020九上·江西期中）下列各组长度的线段（单位： ）中，成比例线段的是（ ）
A．1，2，3，4 B．1，2，3，5 C．2，3，4，5 D．2，3，4，6
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A.1：2≠3：4，故四条线段不成比例，不合题意；
B. 1：2≠3：5，故四条线段不成比例，不合题意；
C.2：3≠4：5，故四条线段不成比例，不合题意；
D. 2：3=4：6，故四条线段成比例，符合题意；
故答案为：D．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．
3．（2020九上·射洪期中）已知四条线段a,b,c,d是成比例线段，即 ＝ ，下列说法错误的是（ ）
A．ad=bc B． ＝
C． ＝ D． ＝
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵四条线段a，b，c，d是成比例线段，即 ＝ ，
∴A．利用内项之积等于外项之积，ad=bc，不符合题意，
B．利用内项之积等于外项之积，a（b+d）=b（a+c），ab+ad=ab+bc，即ad=bc，不符合题意，
C．∵ = ，∴ ＝ ，符合题意，
D．∵ ＝ ，∴ ＝ ，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据比例的性质分别将原式变形，然后判断即可.
4．（2020九上·青神期中）下列判断中，错误的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；
C、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等、两角分别相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.
5．（2020九上·宁阳期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD：BD=5：3，CF=6，则DE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： DE∥BC，EF∥AB
四边形BFED是平行四边形
DE∥BC AD：BD=5：3
又EF∥AB
又 CF=6
即DE=10
故答案为：C
【分析】根据DE∥BC，EF∥AB，判断出 ，在根据DE∥BC，EF∥AB，便可以找到分的线段成比例。 ， ，便可求解了．
6．（2020九上·东阿期中）下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A=∠D，∠B=∠F B． 且∠B=∠D
C． D． 且∠A=∠D
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： 、 ， ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出 ，故此选项不合题意；
、 ，且 ，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
、 ，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出 ，故此选项不合题意；
、 且 ，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出 ，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．
7．（2020九上·青山期中）如图所示，在 ABCD.BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．
∴共有5对，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形
8．（2019·徐汇模拟）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ADC＝∠ACB B．
C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD AB
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.由∠ADC=∠ACB，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
B.由 不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；
C.由∠ACD=∠B，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
D.由AC2=AD AB，即 ，且∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析 △ACD与△ABC中有一公共角A与公共边AC，根据两个三角形相似的判定定理将选项带进去即可排除，选出答案。
9．（2018·梧州）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ）
A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】如图，过点 D作 DF∥CA 交 BE于 F，
∵DF∥CE，
∴ = ，
而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD，
∴ = ，则 CE= DF，
∵DF∥AE，
∴ = ，
∵AG：GD=4：1，
∴ = ，则 AE=4DF，
∴ = ，
故答案为：D．
【分析】如图，过点 D作 DF∥CA 交 BE于 F，根据平行线分线段成比例得出，而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD，故 CE= DF，再根据平行线分线段成比例得出，又AG：GD=4：1，故AE=4DF，从而得出答案。
二、填空题
10．（2020九上·北京期中）如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC．如果 ，AC＝10，那么EC＝ ．
【答案】4
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
∵AC=10，
∴EC= = =4，
故答案为4．
【分析】由DE∥BC，推出 , 可得EC= , 由此即可解决问题．
11．（2020九上·射洪期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝ 时，△CPQ与△CBA相似．
【答案】4.8或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】①CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以 ＝ ，
即 ＝ ，
解得t＝4.8；
②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以 ＝ ，
即 ＝ ，
解得t＝ .
综上所述，当t＝4.8或 时，△CPQ与△CBA相似．
【分析】分两种情况①△CPQ∽△CBA，②△CPQ∽△CAB，利用相似三角形的性质分别解答即可.
12．（2020九上·上海月考） 的边长分别为 的边长分别 ，则 与 （选填“一定”“不一定” “一定不”）相似
【答案】不一定
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ 的边长分别为 的边长分别 ，
∴两个三角形对应边的比分别为：
，
当a=b=c时， ，这两个三角形相似，
当a≠b≠c时， ，这两个三角形不相似，
∴ 与 不一定相似，
故答案为：不一定．
【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可．
13．如图所示，在△ABC中，已知BD＝2DC，AM＝3MD，过M作直线交AB，AC于P，Q两点．则 ＝ ．
【答案】4
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过点B作NB⊥PQ于点N，过点D作DG⊥PQ于点G，过点C作CH⊥PQ于点H，
∴BN∥AK
∵AM=3MD，
∴
设DG=a，则AK=3a，
设BN=x，CH=y
∵AK∥BN
∴
∴
∵AK∥CH
∴
∴
由BD=2CD，可得
∴3a=2y+x
原式=
故答案为：4.
【分析】过点B作NB⊥PQ于点N，过点D作DG⊥PQ于点G，过点C作CH⊥PQ于点H，设它们的长度分别为x，3a，a，y，利用平行线分线段成比例，即可推出结论。
三、解答题
14．（2020九上·武功月考）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2=BC·BE.
证明：△BCD∽△BDE.
【答案】证明：∵BD平分∠ABC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴△BCD∽△BDE.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据角平分线的定义可得 ，由 可得 ，根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似即可得△BCD∽△BDE.
15．（2020九上·江西期中）如图，直线 ，直线 相交于点 ，且分别与直线 相交于点 和点 ，已知 ， ， ， ，求 的长度．
【答案】解：∵b//c，
∵ ， ， ，
∴
∵b//a，
∵ ， ，
∴
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
16．（2020九上·上海月考）已知：如图， 中，点 分别在边 上，且 与 交于点 与 交于点 ．求证：点 是线段 的中点．
【答案】证明：设AM与DE相交于N，
∵DE∥BC，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△ANE∽△AMC，
∴
∴ ，
∴BM=CM，
即点M是线段BC的中点．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】设AM与DE相交于N，由平行线分线段成比例可证得 ，则BM=CM即可得证．
17．（2020九上·合肥月考）如图，把一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的边BC上，并且使一条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q，请写出一对相似三角形，并加以证明（图中不添加字幕和线段）
【答案】解： ,
证明:∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°,
∵∠QPD=90°,
∴∠QPB+∠BQP=90°,
∠QPB+∠DPC=90°,
∴∠DPC=∠POB,
∴ .
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠C=90°，得出∠QPB+∠BQP=90°，再由∠QPD=90°，得出 ∠QPB+∠DPC=90°，从而得出∠DPC=∠POB，即可证出 BQP∽ CDP.
四、综合题
18．（2019九上·锦州期末）如图1，在正方形ABCD中，E是边BC上的点，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，过点C作CG∥EF交BA（或其延长线）于点G，连接DF，FG.
（1）FG与CE的数量关系是 ，位置关系是 .
（2）如图2，若点E是CB延长线上的点，其它条件不变.
①（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断，并给予证明；
②DE，DF分别交BG于点M，N，若BC＝2BE，求 .
【答案】（1）FG＝EC；FG∥EC
（2）解：①结论不变.
理由：延长CE到H.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠CBG＝∠DCE＝90°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠FEH+∠DEC＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
∵CG∥EF，
∴∠GCB＝∠FEH＝∠EDC，
∴△GCB≌△EDC（ASA），
∴CG＝DE，
∵EF＝DE，
∴CG＝EF，∵CG∥EF，
∴四边形ECGF是平行四边形，
∴FG＝EC，FG∥EC.
②如图2﹣1中，延长AG到H，使得AH＝AD，连接DH，BD，在BC上截取一点K，使得BK＝HN，连接MK，DK.
∵AH＝AD＝AB，DA⊥BH，
∴DH＝DB，∠HDB＝90°，
∵BK＝HN，∠H＝∠DBK＝45°，
∴△NHD≌△KBD（SAS），
∴DN＝DK，∠HDN＝∠BDK，
∴∠HDB＝∠NDK＝90°，
∵∠MDN＝45°，
∴∠NDM＝∠KDM＝45°，
∵DM＝DM，
∴△NDM≌△KDM，
∴MN＝MK，设BC＝a，MN＝b，
∵BC＝2BE，
∴EB＝ a，
∵BM∥CD，
∴ ，
∴BM＝ a，
∵BK＝NH＝2a﹣ a﹣b＝ a﹣b，
在Rt△BMK中，∵MK2＝BM2+BK2，
∴b2＝（ a）2+（ a﹣b）2，
整理得： ＝ ，
∴ .
故答案为：（1）FG＝EC，FG∥EC.（2）①结论不变，见解析，② .
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：（1）结论：FG＝EC，FG∥EC.
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠CBG＝∠DCE＝90°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠FEB+∠DEC＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEB＝∠EDC，
∵CG∥EF，
∴∠GCB＝∠FEB＝∠EDC，
∴△GCB≌△EDC（ASA），
∴CG＝DE，
∵EF＝DE，
∴CG＝EF，∵CG∥EF，
∴四边形ECGF是平行四边形，
∴FG＝EC，FG∥EC.
【分析】（1）结论：FG=EC，FG∥EC.证明四边形ECGF是平行四边形即可.（2）①结论不变.证明四边形ECGF是平行四边形即可.②如图2-1中，延长AG到H，使得AH=AD，连接DH，BD，在BC上截取一点K，使得BK=HN，连接MK，DK.首先证明MB=BK，设BC=a，MN=b，求出BM，BK，在Rt△BMK中，利用勾股定理即可解决问题.
1 / 1人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 27.2.1 相似三角形的判定 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·邛崃期中）如图，在 中， ， ， ，将 沿图示中的虚线 剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020九上·江西期中）下列各组长度的线段（单位： ）中，成比例线段的是（ ）
A．1，2，3，4 B．1，2，3，5 C．2，3，4，5 D．2，3，4，6
3．（2020九上·射洪期中）已知四条线段a,b,c,d是成比例线段，即 ＝ ，下列说法错误的是（ ）
A．ad=bc B． ＝
C． ＝ D． ＝
4．（2020九上·青神期中）下列判断中，错误的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
5．（2020九上·宁阳期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD：BD=5：3，CF=6，则DE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2020九上·东阿期中）下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A=∠D，∠B=∠F B． 且∠B=∠D
C． D． 且∠A=∠D
7．（2020九上·青山期中）如图所示，在 ABCD.BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
8．（2019·徐汇模拟）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ADC＝∠ACB B．
C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD AB
9．（2018·梧州）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ）
A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
二、填空题
10．（2020九上·北京期中）如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC．如果 ，AC＝10，那么EC＝ ．
11．（2020九上·射洪期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝ 时，△CPQ与△CBA相似．
12．（2020九上·上海月考） 的边长分别为 的边长分别 ，则 与 （选填“一定”“不一定” “一定不”）相似
13．如图所示，在△ABC中，已知BD＝2DC，AM＝3MD，过M作直线交AB，AC于P，Q两点．则 ＝ ．
三、解答题
14．（2020九上·武功月考）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2=BC·BE.
证明：△BCD∽△BDE.
15．（2020九上·江西期中）如图，直线 ，直线 相交于点 ，且分别与直线 相交于点 和点 ，已知 ， ， ， ，求 的长度．
16．（2020九上·上海月考）已知：如图， 中，点 分别在边 上，且 与 交于点 与 交于点 ．求证：点 是线段 的中点．
17．（2020九上·合肥月考）如图，把一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的边BC上，并且使一条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q，请写出一对相似三角形，并加以证明（图中不添加字幕和线段）
四、综合题
18．（2019九上·锦州期末）如图1，在正方形ABCD中，E是边BC上的点，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，过点C作CG∥EF交BA（或其延长线）于点G，连接DF，FG.
（1）FG与CE的数量关系是 ，位置关系是 .
（2）如图2，若点E是CB延长线上的点，其它条件不变.
①（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断，并给予证明；
②DE，DF分别交BG于点M，N，若BC＝2BE，求 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.∵ , ,
∴ ∽ ;
B.∵ , ,
∴ ∽ ;
D.∵ 在同一个圆上，
∴ ,
又∵ ,
∴ , ,
∴ ∽ ;
故剪下的三角形与原三角形不相似的是C.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断 ，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A.1：2≠3：4，故四条线段不成比例，不合题意；
B. 1：2≠3：5，故四条线段不成比例，不合题意；
C.2：3≠4：5，故四条线段不成比例，不合题意；
D. 2：3=4：6，故四条线段成比例，符合题意；
故答案为：D．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．
3．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵四条线段a，b，c，d是成比例线段，即 ＝ ，
∴A．利用内项之积等于外项之积，ad=bc，不符合题意，
B．利用内项之积等于外项之积，a（b+d）=b（a+c），ab+ad=ab+bc，即ad=bc，不符合题意，
C．∵ = ，∴ ＝ ，符合题意，
D．∵ ＝ ，∴ ＝ ，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据比例的性质分别将原式变形，然后判断即可.
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；
C、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等、两角分别相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： DE∥BC，EF∥AB
四边形BFED是平行四边形
DE∥BC AD：BD=5：3
又EF∥AB
又 CF=6
即DE=10
故答案为：C
【分析】根据DE∥BC，EF∥AB，判断出 ，在根据DE∥BC，EF∥AB，便可以找到分的线段成比例。 ， ，便可求解了．
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： 、 ， ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出 ，故此选项不合题意；
、 ，且 ，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
、 ，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出 ，故此选项不合题意；
、 且 ，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出 ，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．
∴共有5对，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.由∠ADC=∠ACB，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
B.由 不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；
C.由∠ACD=∠B，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
D.由AC2=AD AB，即 ，且∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析 △ACD与△ABC中有一公共角A与公共边AC，根据两个三角形相似的判定定理将选项带进去即可排除，选出答案。
9．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】如图，过点 D作 DF∥CA 交 BE于 F，
∵DF∥CE，
∴ = ，
而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD，
∴ = ，则 CE= DF，
∵DF∥AE，
∴ = ，
∵AG：GD=4：1，
∴ = ，则 AE=4DF，
∴ = ，
故答案为：D．
【分析】如图，过点 D作 DF∥CA 交 BE于 F，根据平行线分线段成比例得出，而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD，故 CE= DF，再根据平行线分线段成比例得出，又AG：GD=4：1，故AE=4DF，从而得出答案。
10．【答案】4
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
∵AC=10，
∴EC= = =4，
故答案为4．
【分析】由DE∥BC，推出 , 可得EC= , 由此即可解决问题．
11．【答案】4.8或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】①CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以 ＝ ，
即 ＝ ，
解得t＝4.8；
②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以 ＝ ，
即 ＝ ，
解得t＝ .
综上所述，当t＝4.8或 时，△CPQ与△CBA相似．
【分析】分两种情况①△CPQ∽△CBA，②△CPQ∽△CAB，利用相似三角形的性质分别解答即可.
12．【答案】不一定
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ 的边长分别为 的边长分别 ，
∴两个三角形对应边的比分别为：
，
当a=b=c时， ，这两个三角形相似，
当a≠b≠c时， ，这两个三角形不相似，
∴ 与 不一定相似，
故答案为：不一定．
【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可．
13．【答案】4
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过点B作NB⊥PQ于点N，过点D作DG⊥PQ于点G，过点C作CH⊥PQ于点H，
∴BN∥AK
∵AM=3MD，
∴
设DG=a，则AK=3a，
设BN=x，CH=y
∵AK∥BN
∴
∴
∵AK∥CH
∴
∴
由BD=2CD，可得
∴3a=2y+x
原式=
故答案为：4.
【分析】过点B作NB⊥PQ于点N，过点D作DG⊥PQ于点G，过点C作CH⊥PQ于点H，设它们的长度分别为x，3a，a，y，利用平行线分线段成比例，即可推出结论。
14．【答案】证明：∵BD平分∠ABC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴△BCD∽△BDE.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据角平分线的定义可得 ，由 可得 ，根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似即可得△BCD∽△BDE.
15．【答案】解：∵b//c，
∵ ， ， ，
∴
∵b//a，
∵ ， ，
∴
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
16．【答案】证明：设AM与DE相交于N，
∵DE∥BC，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△ANE∽△AMC，
∴
∴ ，
∴BM=CM，
即点M是线段BC的中点．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】设AM与DE相交于N，由平行线分线段成比例可证得 ，则BM=CM即可得证．
17．【答案】解： ,
证明:∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°,
∵∠QPD=90°,
∴∠QPB+∠BQP=90°,
∠QPB+∠DPC=90°,
∴∠DPC=∠POB,
∴ .
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠C=90°，得出∠QPB+∠BQP=90°，再由∠QPD=90°，得出 ∠QPB+∠DPC=90°，从而得出∠DPC=∠POB，即可证出 BQP∽ CDP.
18．【答案】（1）FG＝EC；FG∥EC
（2）解：①结论不变.
理由：延长CE到H.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠CBG＝∠DCE＝90°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠FEH+∠DEC＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
∵CG∥EF，
∴∠GCB＝∠FEH＝∠EDC，
∴△GCB≌△EDC（ASA），
∴CG＝DE，
∵EF＝DE，
∴CG＝EF，∵CG∥EF，
∴四边形ECGF是平行四边形，
∴FG＝EC，FG∥EC.
②如图2﹣1中，延长AG到H，使得AH＝AD，连接DH，BD，在BC上截取一点K，使得BK＝HN，连接MK，DK.
∵AH＝AD＝AB，DA⊥BH，
∴DH＝DB，∠HDB＝90°，
∵BK＝HN，∠H＝∠DBK＝45°，
∴△NHD≌△KBD（SAS），
∴DN＝DK，∠HDN＝∠BDK，
∴∠HDB＝∠NDK＝90°，
∵∠MDN＝45°，
∴∠NDM＝∠KDM＝45°，
∵DM＝DM，
∴△NDM≌△KDM，
∴MN＝MK，设BC＝a，MN＝b，
∵BC＝2BE，
∴EB＝ a，
∵BM∥CD，
∴ ，
∴BM＝ a，
∵BK＝NH＝2a﹣ a﹣b＝ a﹣b，
在Rt△BMK中，∵MK2＝BM2+BK2，
∴b2＝（ a）2+（ a﹣b）2，
整理得： ＝ ，
∴ .
故答案为：（1）FG＝EC，FG∥EC.（2）①结论不变，见解析，② .
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：（1）结论：FG＝EC，FG∥EC.
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠CBG＝∠DCE＝90°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠FEB+∠DEC＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEB＝∠EDC，
∵CG∥EF，
∴∠GCB＝∠FEB＝∠EDC，
∴△GCB≌△EDC（ASA），
∴CG＝DE，
∵EF＝DE，
∴CG＝EF，∵CG∥EF，
∴四边形ECGF是平行四边形，
∴FG＝EC，FG∥EC.
【分析】（1）结论：FG=EC，FG∥EC.证明四边形ECGF是平行四边形即可.（2）①结论不变.证明四边形ECGF是平行四边形即可.②如图2-1中，延长AG到H，使得AH=AD，连接DH，BD，在BC上截取一点K，使得BK=HN，连接MK，DK.首先证明MB=BK，设BC=a，MN=b，求出BM，BK，在Rt△BMK中，利用勾股定理即可解决问题.
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