2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册3.3垂径定理 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·三门期中）如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥AC，AC=2
∴AD=AC=1，∠ODA=90°
∵OE∥AC
∴∠DAO=∠EOF
∵EF⊥AB
∴∠EFO=∠ODA=90°
在△ADO和△OFE中
∴△ADO≌△OFE（AAS）
∴OF=AD=1
故答案为：C
【分析】利用垂径定理求出AD的长，再证明△ADO≌△OFE，利用全等三角形的性质，可证得OF=AD，即可得出OF的长。
2．（2018九上·湖州期中）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故选：D.
【分析】如图连接OB、OD，根据等弦所对的劣弧相等得出弧AB=弧CD，故①正确；根据垂径定理得出AM=MB，CN=ND，根据的呢过量代换得出BM=DN，然后利用HL判断出Rt△OMB≌Rt△OND，根据全等三角形对应边相等得出OM=ON，故②正确；然后再利用HL判断出Rt△OPM≌Rt△OPN根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，进而根据等式的性质得出PA=PC，故③正确，总上所述即可得出答案。
3．（2018九上·宁波期中）已知点E在半径为5的⊙O上运动，AB是⊙O的弦且AB=8，则使△ABE的面积为8 的点E共有（ ）个
A． 1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OB，过点O作OC⊥AB，交AB于点C，交圆O于点E3，
∵OA=OB=5，
∴AC=BC=4，
∴OC= ，
∴CE3=5-3=2.
∵ ，h为E到AB的距离，
∴h=2.
∴符合题意的有3个点.
故答案为：C.
【分析】由△ABE的面积为8且AB=8，可求得点E到AB的距离；只要圆上的点到直线AB的距离为2即符合题意.
4．（2018九上·宁波期中）下列命题正确的个数是（ ）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直于弦的直线必过圆心；④垂直于弦的直径平分弦所对的弧.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，故①正确；
②平分弦的直径平分弦所对的弧，反例：直径也是弦，当两条直径互相平分，但不一定平分一条直径所对应的弧，故②错误；
③垂直于弦的直线必过圆心，不一定，故③错误；
④垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故④正确.
故答案为：B.
【分析】①是定理，需要理解和熟记；②平分“弦”，弦有规定：不是直径；③弦有无数条直线与它垂直，并不一定过圆心；④是垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，中的一部分，需要理解和熟记.
5．（2018九上·江阴期中）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(，a)(a＞2)，半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2 ，则a的值是（ ）
A．2 B．2＋ C．2 D．2＋
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】过P点作PE⊥AB于E，连接PA并延长PA交x轴于点C．
∵PE⊥AB，AB=2∴AE= AB=1，
∵PA= ，
在Rt△PAE中，由勾股定理得：PE=1，
∴PE=AE，∴∠PAE=45°，
∵函数y=x的图象与y轴的夹角为45°，
∴y轴∥PA，∴∠PCO=90°，
∴A点的横坐标为 ，
∵A点在直线y=x上，
∴A点的纵坐标为 ，
∴PC=2 ，
∴a=2 .
故答案为：A.
【分析】过P点作PE⊥AB于E，连接PA并延长PA交x轴于点C．根据垂径定理得出AE的长，进而根据勾股定理算出PE的长，故PE=AE，根据等腰直角三角形的性质得出∠PAE=45°，函数y=x的图象与y轴的夹角为45°，根据同位角相等，两直线平行得出y轴∥PA，根据平行线的性质得出∠PCO=90°，根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同得出A点的横坐标为 ，又A点在直线y=x上，故A点的纵坐标为 ，根据线段的和差算出PC的长，从而得出答案。
6．（2018九上·无锡月考）如图 ，把圆形井盖卡在角尺〔角的两边互相垂直，一边有刻度）之间，即圆与两条直角边相切，现将角尺向右平移 ，如图 ， 边与圆的两个交点对应 的长为 ，则可知井盖的直径是（ ）
A．25cm B．30cm C．50cm D．60cm
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】过O作OB⊥OA于B，交⊙O于点E，连接OC．如下所示：
设井盖的直径为2xcm，则BE=10cm，BO=（x﹣10）cm，BC=20cm，CO=xcm．
在Rt△BCO中，根据勾股定理得：CO2=BC2+BO2，
代入得：x2=202+（x﹣10）2，
解得：x=25，
则井盖的直径是50cm．
故答案为：C．
【分析】过O作OB⊥OA于B，交⊙O于点E，连接OC．设设井盖的直径为2xcm，用含x的代数式表示出BO，CO，再利用勾股定理，在Rt△BCO中，建立关于x的方程，求出方程的解，就可得出井盖的直径。
7．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册第3章 圆的基本性质 单元检测a卷）在半径为5 cm的⊙O中，弦AB的长为6 cm，当弦AB的两个端点A，B在⊙O上滑动时，AB的中点在滑动过程中所经过的路线为（ ）
A．正方形 B．直线 C．圆 D．多边形
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解： 如图
AB的中点C在滑动过程中所经过的路线为圆，理由如下：
连接OA，OC，OB
∵OA=OB，C为AB的中点，∴OC⊥AB，
∴AC=BC=
在Rt△BOC中，由勾股定理得出OC=4cm，
∴不管AB如何移动OC都是4cm，
故，AB的中点C在滑动过程中所经过的路线为以点O为圆心，4cm为半径的圆
故答案为：C
【分析】根据垂径定理可知：圆心到线段AB的中点的距离为4cm，则AB的中点所经过的路线是以O为圆心，4cm为半径的圆。
8．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（ ）
A．10 cm B．10cm C．10 cm D．8 cm
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点O作OM⊥EF交EF于M.
设OF=xcm，
由题意知，⊙O和BC相切，则H，O，G三点在一条直线上.
∵EF＝CD＝16
根据垂定定理得MF=8，
在RtΔOMF中，
OF2=+，
x2=82+(16-x)2解得x=10
故答案为：B．
【分析】过点O作OM⊥EF交EF于M .由垂径定理可求得MF=EF，在RtΔOMF中，用勾股定理即可求解。
9．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O切线交OE的延长线于点F，已知BC=8，DE=2，则⊙O的半径为（ ）
A．8 B．5 C．2.5 D．6
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为x，
∵E点是的中点，O点是圆心，
∴OD⊥BC，DC= BC=4，
在Rt△ODC中，OD=x﹣2，
∴OD2+DC2=OC2
∴（x﹣2）2+42=x2
∴x=5，即⊙O的半径为5；
故答案为：B
【分析】由垂径定理可得DC=BC，在Rt△ODC中，用勾股定理即可求解。
10．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（1） 同步练习）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，
则有r2=52+（r-1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：C
【分析】由垂径定理可得AD=BD=AB，由题意可得OD=OE-DE=OA-1，在直角三角形ADO中，用勾股定理可列方程求解半径OA的长，则直径=2OA。
二、填空题
11．（2018九上·金华期中）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD
∴AM=AB=×8=4
∵直径CD=10
∴OA=5
如图1，连接OA
在Rt△OAM中，
OM=
∴CM=OM+OC=3+5=8
在Rt△AMC中，
AC=；
如图2，在Rt△OAM中，
OM=
在Rt△AMC中，
AC=
故答案为：或
【分析】利用垂径定理求出AM，再分情况讨论（如图1、2），连接OA利用勾股定理求出OM、CM的长，再在Rt△AMC中，利用勾股定理求出AC的长。
12．（2018九上·兴化期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．
【答案】（2，0）
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】根据题意可知：圆心既在线段AB的垂直平分线上，又在线段BC的垂直平分线上，因为B点坐标为（4，4），C点坐标为（6，2），所以圆弧所在圆的圆心坐标为（2，0）．
【分析】根据垂径定理，一个圆的圆心一定在任意一条弦的垂直平分线上，故只需要作出任意两条弦的垂直平分线，其交点就是所求的圆心，根据方格纸的特点即可读出其坐标。
13．（2018九上·桥东期中）如图，某种鱼缸的主视图可视为弓形，该鱼缸装满水时的最大深度CD为18cm，半径OC为13cm，则鱼缸口的直径AB= cm.
【答案】24
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】连接OA，
则OD=CD－OC=18－13=5，在直角三角形OAD中，OA=13，OD=5，根据勾股定理可得：AD=12，所以AB=24，故答案为：24.
【分析】连接OA，在直角三角形OAD中，利用勾股定理算出AD的长，再根据垂径定理即可得出AB的长。
14．（2018九上·南京期中）如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB 的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 .
【答案】 －1
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接DM，
∵D为EF的中点，
∴DM⊥EF，
∴点D在以A为圆心，OM为直径的圆上运动，
∴当CD经过圆心A时，CD有最小值，
连接CM，
∵C为弧AB 的中点，
∴CM⊥AM，
∴AC= = ，
∴CD的最小值为 －1.
【分析】连接DM，根据垂径定理DM⊥EF，格努圆周角定理点D在以A为圆心，OM为直径的圆上运动，故当CD经过圆心A时，CD有最小值，连接CM，根据垂径定理得出CM⊥AM，根据勾股定理算出AC的长，最后根据线段的和差即可算出CD的最小值。
15．（2018九上·江苏月考）点P是半径为5的⊙O内点，OP=3，在过点P的所有弦中，弦长为整数的弦的条数为 条。
【答案】4
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】如图， CD为过P点的直径，AB是与OP垂直的弦，连OA，
则过点P的所有⊙O的弦中CD最长，AB最短，并且CD=10，
∵OP⊥AB，
∴AB=2AP，
在Rt△OAP中，OP=3，OA=5，
∴AP= ，
∴AB=2AP=8，
∴过点P的弦中弦长可以为整数9，由圆的对称性得到弦长为9的弦有两条，
∴在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数共有4条．
【分析】如图， CD为过P点的直径，AB是与OP垂直的弦，连OA，则过点P的所有⊙O的弦中CD最长，AB最短，并且CD=10，根据垂径定理得出AB=2AP，根据勾股定理算出AP，从而得出AB，从而得出过点P的弦中弦长可以为整数9，由圆的对称性得到弦长为9的弦有两条，进而得出答案在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数共有4条．
16．（2018九上·衢州期中）如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 ；点E在运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
【答案】；
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；垂径定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AG，∵G(0，1)
∴OG=1，又AG=2
∴AO=
∵OC⊥AB
∴AB=2AO=
连接AC，过点G作GH⊥AC于点H，延长HG交AE 于点F，此时GF就是最短的，
∵C（0，3）
∴OC=3
根据勾股定理得AC=
∵CF⊥AE
∴HF=，
在Rt△CGH中，CG=OC-OG=3-1=2，CH=，
∴GH=
∴GF=HF-GH=
【分析】首先根据G点的坐标，得出OG的长，根据勾股定理算出AO的长，根据垂径定理即可得出AB的长；连接AC，过点G作GH⊥AC于点H，延长HG交AE 于点F，此时GF就是最短的，根据勾股定理得AC的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出HF的长，根据勾股定理算出GH的长，最后根据线段的和差即可算出答案。
三、解答题
17．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（二） 同步练习）如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，求直尺的宽．
【答案】解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．
∴DM= ．
∵DE=8（cm）
∴DM=4（cm）
在Rt△ODM中，∵OD=OC=5（cm），
∴OM= = =3（cm）
∴直尺的宽度为3cm．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】过点O作OM⊥DE于点M，连接OD，由垂径定理可知DM= DE=4，在Rt△ODM中借助勾股定理即可解答。
18．（2018九上·湖州期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图所示）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AB于E，
则CE=DE，AE=BE．
∴AE－CE=BE－DE即AC=BD
（2）解：连接OC，OA由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，∴OE=6∴CE= AE=
∴AC=AE-CE=8-2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）过点O作OE⊥AB于E，根据垂径定理得出CE=DE，AE=BE，根据等式的性质，等量减去等量差相等即可得出结论；
（2）连接OC，OA，根据勾股定理算出CE，AE的长，再根据AC=AE-CE即可算出答案。
19．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.4 圆心角（2） 同步练习）如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE=OF，求证：AB=CD．
【答案】解：如图，∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=BE，CF=DF，在△OBE与△ODF中， ，∴△OBE≌△ODF（HL），∴BE=DF，2BE=2DF，即AB=CD.
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】由题意用斜边直角边定理易证△OBE≌△ODF，所以可得BE=DF，根据垂径定理可得AE=BE，CF=DF，则结论可得证。
20．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．
【答案】解：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD∴四边形ACDB是矩形∵CD=16cm，PE=4cm∴PA=8cm，BP=8cm，在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2即OA2=82+（OA﹣4）2解得：OA=10．答：这种铁球的直径为20cm．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】连接OA、OE，设OE与AB交于点P，由由题意根据易证四边形ACDB是矩形；由垂径定理和已知条件可求得AP和BP的长，在Rt△OAP中，用勾股定理即可求OA的长。
21．（2018·白云模拟）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧
（1）用直尺和圆规作出 所在圆的圆心O； 要求保留作图痕迹，不写作法
（2）若 的中点C到弦AB的距离为 ，求 所在圆的半径．
【答案】（1）解：如图1，
点O为所求
（2）解：连接 交AB于D，如图2，
为 的中点，
，
，
设 的半径为r，则 ，
在 中， ，
，解得 ，
即 所在圆的半径是50m．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】本题考查了垂径定理的推论、勾股定理及尺规作图，是常考题型，利用尺规作图作出过不在同一直线上三点确定一个圆，关键是确定圆心，在弧上任取一点C，连接AC、BC，分别作它们的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心，然后根据垂径定理的推论勾股定理求出半径即可.本题主要考查的是学生的基本作图的能力.
22．（2018九上·绍兴期中）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．
（1）弦长AB等于 （结果保留根号）；
（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数．
【答案】（1）
（2）解：如图所示，连接OA，
因为OA=OB，OA=OD，所以
∠OAB=∠OBA=30°，
∠OAD=∠ODA=20°
∴∠CAD=50°
∴∠OCB=50°+20°=70°
∴∠BOD=∠OCB+∠B=100°
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E
∴AB=2BE，∠BEO=90°
∵OB=2，∠B=30°
∴OE=OB=1
∴BE==
∴AB=2
故答案为：2
【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可得出AB=2BE，∠BEO=90°，在Rt△BOE中，利用直角三角形的性质求出OE的长，再利用勾股定理求出BE的长，即可得出AB的长。
（2）连接OA，利用等边对等角，可求出∠OAD和∠OAB，再利用三角形的外角的性质，可求出∠BOD的度数。
23．（2017九上·东台月考）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
【答案】（1）解：先作弦AB的垂直平分线，再在弧AB上任取一点C，连接AC，然后作弦AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，以OA为半径画圆即为所求图形.如图.
（2）解：过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB，
∴BD=AB，
又∵AB=16cm，
∴BD=8cm，
又∵ED=4cm，
设半径为xcm，则OD=（x-4）cm，
在Rt△BOD中，
∴（x-4）2+82=x2，
∴x=10，
故答案为：10cm.
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）如图所示，先作AB的垂直平分线，再在弧AB上任取一点C，连接AC，然后作AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，再以OA为半径画圆即可.
（2）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB，由垂径定理得BD=AB=8cm，在Rt△BOD中，由勾股定理得（x-4）2+82=x2，从而求出半径.
24．（2019九上·海淀期中）生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O为圆心AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为0.8a，顶棚到路面的距离是3.2a，点B到路面的距离为2a．请你求出路面的宽度l．（用含a的式子表示）
【答案】解：如图，连接OC，AB交CD于E，
由题意知：AB=0.8a+3.2a+2a=6a，
所以OC=OB=3a，
OE=OB-BE=3a-2a=a，
由题意可知：AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CD=2CE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE= = =2 a，
∴CD=2CE=4 a，
所以路面的宽度l为4 a．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】结合图形，计算圆的半径R，在
Rt△OCE中利用勾股定理计算CE，根据垂径定理即可得出答案。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册3.3垂径定理 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·三门期中）如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2018九上·湖州期中）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2018九上·宁波期中）已知点E在半径为5的⊙O上运动，AB是⊙O的弦且AB=8，则使△ABE的面积为8 的点E共有（ ）个
A． 1 B．2 C．3 D．4
4．（2018九上·宁波期中）下列命题正确的个数是（ ）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直于弦的直线必过圆心；④垂直于弦的直径平分弦所对的弧.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2018九上·江阴期中）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(，a)(a＞2)，半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2 ，则a的值是（ ）
A．2 B．2＋ C．2 D．2＋
6．（2018九上·无锡月考）如图 ，把圆形井盖卡在角尺〔角的两边互相垂直，一边有刻度）之间，即圆与两条直角边相切，现将角尺向右平移 ，如图 ， 边与圆的两个交点对应 的长为 ，则可知井盖的直径是（ ）
A．25cm B．30cm C．50cm D．60cm
7．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册第3章 圆的基本性质 单元检测a卷）在半径为5 cm的⊙O中，弦AB的长为6 cm，当弦AB的两个端点A，B在⊙O上滑动时，AB的中点在滑动过程中所经过的路线为（ ）
A．正方形 B．直线 C．圆 D．多边形
8．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（ ）
A．10 cm B．10cm C．10 cm D．8 cm
9．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O切线交OE的延长线于点F，已知BC=8，DE=2，则⊙O的半径为（ ）
A．8 B．5 C．2.5 D．6
10．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（1） 同步练习）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
二、填空题
11．（2018九上·金华期中）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为 ．
12．（2018九上·兴化期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．
13．（2018九上·桥东期中）如图，某种鱼缸的主视图可视为弓形，该鱼缸装满水时的最大深度CD为18cm，半径OC为13cm，则鱼缸口的直径AB= cm.
14．（2018九上·南京期中）如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB 的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 .
15．（2018九上·江苏月考）点P是半径为5的⊙O内点，OP=3，在过点P的所有弦中，弦长为整数的弦的条数为 条。
16．（2018九上·衢州期中）如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 ；点E在运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
三、解答题
17．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（二） 同步练习）如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，求直尺的宽．
18．（2018九上·湖州期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图所示）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
19．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.4 圆心角（2） 同步练习）如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE=OF，求证：AB=CD．
20．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．
21．（2018·白云模拟）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧
（1）用直尺和圆规作出 所在圆的圆心O； 要求保留作图痕迹，不写作法
（2）若 的中点C到弦AB的距离为 ，求 所在圆的半径．
22．（2018九上·绍兴期中）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．
（1）弦长AB等于 （结果保留根号）；
（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数．
23．（2017九上·东台月考）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
24．（2019九上·海淀期中）生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O为圆心AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为0.8a，顶棚到路面的距离是3.2a，点B到路面的距离为2a．请你求出路面的宽度l．（用含a的式子表示）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥AC，AC=2
∴AD=AC=1，∠ODA=90°
∵OE∥AC
∴∠DAO=∠EOF
∵EF⊥AB
∴∠EFO=∠ODA=90°
在△ADO和△OFE中
∴△ADO≌△OFE（AAS）
∴OF=AD=1
故答案为：C
【分析】利用垂径定理求出AD的长，再证明△ADO≌△OFE，利用全等三角形的性质，可证得OF=AD，即可得出OF的长。
2．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故选：D.
【分析】如图连接OB、OD，根据等弦所对的劣弧相等得出弧AB=弧CD，故①正确；根据垂径定理得出AM=MB，CN=ND，根据的呢过量代换得出BM=DN，然后利用HL判断出Rt△OMB≌Rt△OND，根据全等三角形对应边相等得出OM=ON，故②正确；然后再利用HL判断出Rt△OPM≌Rt△OPN根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，进而根据等式的性质得出PA=PC，故③正确，总上所述即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OB，过点O作OC⊥AB，交AB于点C，交圆O于点E3，
∵OA=OB=5，
∴AC=BC=4，
∴OC= ，
∴CE3=5-3=2.
∵ ，h为E到AB的距离，
∴h=2.
∴符合题意的有3个点.
故答案为：C.
【分析】由△ABE的面积为8且AB=8，可求得点E到AB的距离；只要圆上的点到直线AB的距离为2即符合题意.
4．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，故①正确；
②平分弦的直径平分弦所对的弧，反例：直径也是弦，当两条直径互相平分，但不一定平分一条直径所对应的弧，故②错误；
③垂直于弦的直线必过圆心，不一定，故③错误；
④垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故④正确.
故答案为：B.
【分析】①是定理，需要理解和熟记；②平分“弦”，弦有规定：不是直径；③弦有无数条直线与它垂直，并不一定过圆心；④是垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，中的一部分，需要理解和熟记.
5．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】过P点作PE⊥AB于E，连接PA并延长PA交x轴于点C．
∵PE⊥AB，AB=2∴AE= AB=1，
∵PA= ，
在Rt△PAE中，由勾股定理得：PE=1，
∴PE=AE，∴∠PAE=45°，
∵函数y=x的图象与y轴的夹角为45°，
∴y轴∥PA，∴∠PCO=90°，
∴A点的横坐标为 ，
∵A点在直线y=x上，
∴A点的纵坐标为 ，
∴PC=2 ，
∴a=2 .
故答案为：A.
【分析】过P点作PE⊥AB于E，连接PA并延长PA交x轴于点C．根据垂径定理得出AE的长，进而根据勾股定理算出PE的长，故PE=AE，根据等腰直角三角形的性质得出∠PAE=45°，函数y=x的图象与y轴的夹角为45°，根据同位角相等，两直线平行得出y轴∥PA，根据平行线的性质得出∠PCO=90°，根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同得出A点的横坐标为 ，又A点在直线y=x上，故A点的纵坐标为 ，根据线段的和差算出PC的长，从而得出答案。
6．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】过O作OB⊥OA于B，交⊙O于点E，连接OC．如下所示：
设井盖的直径为2xcm，则BE=10cm，BO=（x﹣10）cm，BC=20cm，CO=xcm．
在Rt△BCO中，根据勾股定理得：CO2=BC2+BO2，
代入得：x2=202+（x﹣10）2，
解得：x=25，
则井盖的直径是50cm．
故答案为：C．
【分析】过O作OB⊥OA于B，交⊙O于点E，连接OC．设设井盖的直径为2xcm，用含x的代数式表示出BO，CO，再利用勾股定理，在Rt△BCO中，建立关于x的方程，求出方程的解，就可得出井盖的直径。
7．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解： 如图
AB的中点C在滑动过程中所经过的路线为圆，理由如下：
连接OA，OC，OB
∵OA=OB，C为AB的中点，∴OC⊥AB，
∴AC=BC=
在Rt△BOC中，由勾股定理得出OC=4cm，
∴不管AB如何移动OC都是4cm，
故，AB的中点C在滑动过程中所经过的路线为以点O为圆心，4cm为半径的圆
故答案为：C
【分析】根据垂径定理可知：圆心到线段AB的中点的距离为4cm，则AB的中点所经过的路线是以O为圆心，4cm为半径的圆。
8．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点O作OM⊥EF交EF于M.
设OF=xcm，
由题意知，⊙O和BC相切，则H，O，G三点在一条直线上.
∵EF＝CD＝16
根据垂定定理得MF=8，
在RtΔOMF中，
OF2=+，
x2=82+(16-x)2解得x=10
故答案为：B．
【分析】过点O作OM⊥EF交EF于M .由垂径定理可求得MF=EF，在RtΔOMF中，用勾股定理即可求解。
9．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为x，
∵E点是的中点，O点是圆心，
∴OD⊥BC，DC= BC=4，
在Rt△ODC中，OD=x﹣2，
∴OD2+DC2=OC2
∴（x﹣2）2+42=x2
∴x=5，即⊙O的半径为5；
故答案为：B
【分析】由垂径定理可得DC=BC，在Rt△ODC中，用勾股定理即可求解。
10．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，
则有r2=52+（r-1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：C
【分析】由垂径定理可得AD=BD=AB，由题意可得OD=OE-DE=OA-1，在直角三角形ADO中，用勾股定理可列方程求解半径OA的长，则直径=2OA。
11．【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD
∴AM=AB=×8=4
∵直径CD=10
∴OA=5
如图1，连接OA
在Rt△OAM中，
OM=
∴CM=OM+OC=3+5=8
在Rt△AMC中，
AC=；
如图2，在Rt△OAM中，
OM=
在Rt△AMC中，
AC=
故答案为：或
【分析】利用垂径定理求出AM，再分情况讨论（如图1、2），连接OA利用勾股定理求出OM、CM的长，再在Rt△AMC中，利用勾股定理求出AC的长。
12．【答案】（2，0）
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】根据题意可知：圆心既在线段AB的垂直平分线上，又在线段BC的垂直平分线上，因为B点坐标为（4，4），C点坐标为（6，2），所以圆弧所在圆的圆心坐标为（2，0）．
【分析】根据垂径定理，一个圆的圆心一定在任意一条弦的垂直平分线上，故只需要作出任意两条弦的垂直平分线，其交点就是所求的圆心，根据方格纸的特点即可读出其坐标。
13．【答案】24
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】连接OA，
则OD=CD－OC=18－13=5，在直角三角形OAD中，OA=13，OD=5，根据勾股定理可得：AD=12，所以AB=24，故答案为：24.
【分析】连接OA，在直角三角形OAD中，利用勾股定理算出AD的长，再根据垂径定理即可得出AB的长。
14．【答案】 －1
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接DM，
∵D为EF的中点，
∴DM⊥EF，
∴点D在以A为圆心，OM为直径的圆上运动，
∴当CD经过圆心A时，CD有最小值，
连接CM，
∵C为弧AB 的中点，
∴CM⊥AM，
∴AC= = ，
∴CD的最小值为 －1.
【分析】连接DM，根据垂径定理DM⊥EF，格努圆周角定理点D在以A为圆心，OM为直径的圆上运动，故当CD经过圆心A时，CD有最小值，连接CM，根据垂径定理得出CM⊥AM，根据勾股定理算出AC的长，最后根据线段的和差即可算出CD的最小值。
15．【答案】4
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】如图， CD为过P点的直径，AB是与OP垂直的弦，连OA，
则过点P的所有⊙O的弦中CD最长，AB最短，并且CD=10，
∵OP⊥AB，
∴AB=2AP，
在Rt△OAP中，OP=3，OA=5，
∴AP= ，
∴AB=2AP=8，
∴过点P的弦中弦长可以为整数9，由圆的对称性得到弦长为9的弦有两条，
∴在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数共有4条．
【分析】如图， CD为过P点的直径，AB是与OP垂直的弦，连OA，则过点P的所有⊙O的弦中CD最长，AB最短，并且CD=10，根据垂径定理得出AB=2AP，根据勾股定理算出AP，从而得出AB，从而得出过点P的弦中弦长可以为整数9，由圆的对称性得到弦长为9的弦有两条，进而得出答案在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数共有4条．
16．【答案】；
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；垂径定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AG，∵G(0，1)
∴OG=1，又AG=2
∴AO=
∵OC⊥AB
∴AB=2AO=
连接AC，过点G作GH⊥AC于点H，延长HG交AE 于点F，此时GF就是最短的，
∵C（0，3）
∴OC=3
根据勾股定理得AC=
∵CF⊥AE
∴HF=，
在Rt△CGH中，CG=OC-OG=3-1=2，CH=，
∴GH=
∴GF=HF-GH=
【分析】首先根据G点的坐标，得出OG的长，根据勾股定理算出AO的长，根据垂径定理即可得出AB的长；连接AC，过点G作GH⊥AC于点H，延长HG交AE 于点F，此时GF就是最短的，根据勾股定理得AC的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出HF的长，根据勾股定理算出GH的长，最后根据线段的和差即可算出答案。
17．【答案】解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．
∴DM= ．
∵DE=8（cm）
∴DM=4（cm）
在Rt△ODM中，∵OD=OC=5（cm），
∴OM= = =3（cm）
∴直尺的宽度为3cm．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】过点O作OM⊥DE于点M，连接OD，由垂径定理可知DM= DE=4，在Rt△ODM中借助勾股定理即可解答。
18．【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AB于E，
则CE=DE，AE=BE．
∴AE－CE=BE－DE即AC=BD
（2）解：连接OC，OA由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，∴OE=6∴CE= AE=
∴AC=AE-CE=8-2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）过点O作OE⊥AB于E，根据垂径定理得出CE=DE，AE=BE，根据等式的性质，等量减去等量差相等即可得出结论；
（2）连接OC，OA，根据勾股定理算出CE，AE的长，再根据AC=AE-CE即可算出答案。
19．【答案】解：如图，∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=BE，CF=DF，在△OBE与△ODF中， ，∴△OBE≌△ODF（HL），∴BE=DF，2BE=2DF，即AB=CD.
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】由题意用斜边直角边定理易证△OBE≌△ODF，所以可得BE=DF，根据垂径定理可得AE=BE，CF=DF，则结论可得证。
20．【答案】解：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD∴四边形ACDB是矩形∵CD=16cm，PE=4cm∴PA=8cm，BP=8cm，在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2即OA2=82+（OA﹣4）2解得：OA=10．答：这种铁球的直径为20cm．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】连接OA、OE，设OE与AB交于点P，由由题意根据易证四边形ACDB是矩形；由垂径定理和已知条件可求得AP和BP的长，在Rt△OAP中，用勾股定理即可求OA的长。
21．【答案】（1）解：如图1，
点O为所求
（2）解：连接 交AB于D，如图2，
为 的中点，
，
，
设 的半径为r，则 ，
在 中， ，
，解得 ，
即 所在圆的半径是50m．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】本题考查了垂径定理的推论、勾股定理及尺规作图，是常考题型，利用尺规作图作出过不在同一直线上三点确定一个圆，关键是确定圆心，在弧上任取一点C，连接AC、BC，分别作它们的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心，然后根据垂径定理的推论勾股定理求出半径即可.本题主要考查的是学生的基本作图的能力.
22．【答案】（1）
（2）解：如图所示，连接OA，
因为OA=OB，OA=OD，所以
∠OAB=∠OBA=30°，
∠OAD=∠ODA=20°
∴∠CAD=50°
∴∠OCB=50°+20°=70°
∴∠BOD=∠OCB+∠B=100°
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E
∴AB=2BE，∠BEO=90°
∵OB=2，∠B=30°
∴OE=OB=1
∴BE==
∴AB=2
故答案为：2
【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可得出AB=2BE，∠BEO=90°，在Rt△BOE中，利用直角三角形的性质求出OE的长，再利用勾股定理求出BE的长，即可得出AB的长。
（2）连接OA，利用等边对等角，可求出∠OAD和∠OAB，再利用三角形的外角的性质，可求出∠BOD的度数。
23．【答案】（1）解：先作弦AB的垂直平分线，再在弧AB上任取一点C，连接AC，然后作弦AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，以OA为半径画圆即为所求图形.如图.
（2）解：过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB，
∴BD=AB，
又∵AB=16cm，
∴BD=8cm，
又∵ED=4cm，
设半径为xcm，则OD=（x-4）cm，
在Rt△BOD中，
∴（x-4）2+82=x2，
∴x=10，
故答案为：10cm.
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）如图所示，先作AB的垂直平分线，再在弧AB上任取一点C，连接AC，然后作AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，再以OA为半径画圆即可.
（2）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB，由垂径定理得BD=AB=8cm，在Rt△BOD中，由勾股定理得（x-4）2+82=x2，从而求出半径.
24．【答案】解：如图，连接OC，AB交CD于E，
由题意知：AB=0.8a+3.2a+2a=6a，
所以OC=OB=3a，
OE=OB-BE=3a-2a=a，
由题意可知：AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CD=2CE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE= = =2 a，
∴CD=2CE=4 a，
所以路面的宽度l为4 a．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】结合图形，计算圆的半径R，在
Rt△OCE中利用勾股定理计算CE，根据垂径定理即可得出答案。
1 / 1
