初中数学青岛版九年级上学期 第1章 1.4图形的位似
一、单选题
1．（2019九上·简阳期末）下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法错误的是（ ）
A．位似图形一定是相似图形
B．相似图形不一定是位似图形
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
3．下列说法中正确的有（ ）
①位似图形一定是相似图形；
②相似图形一定是位似图形；
③两个全等的位似图形的位似中心在两个图形之间或在这两个图形的公共边上；
④全等图形一定是位似图形，且位似比为1：1；
⑤若图形a与图形b是位似图形，图形b与图形c是位似图形，则图形a与图形c也一定是位似图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2020·河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形 的位似图形是（ ）
A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
5．（2020·九江模拟）将铁丝围成的△ABC铁框平行地面（水平）放置，并在灯泡的垂直照射下，在地面上的影子是△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′之间是属于（ ）
A．对称变换 B．平移变换 C．位似变换 D．旋转变换
6．（2020·五莲模拟）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ，那么点B′的坐标是（ ）
A．（－2，3） B．（2，－3）
C．（3，－2）或（－2，3） D．（－2，3）或（2，－3）
7．（2020九上·镇平期末）如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019九上·定边期中）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2019·营口模拟）如图，△ABC中AB两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1.设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（2019九上·深圳期末）按如下方法，将△ABC的三边缩小的原来的 ，如图，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形②△ABC与△DEF是相似图形③△ABC与△DEF的周长比为1：2④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2020·青白江模拟）如图，以点O为位似中心，将 放大后得到 ， ，则 ．
12．（2020九下·镇江月考）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且 = ，已知点A（﹣1，0），点C（ ，1），则A'C'= .
13．（2019·百色）如图， 与 是以坐标原点 为位似中心的位似图形，若点 ， ， 则 的面积为 .
14．（2018·抚顺）如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的 ，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）．
①若点A（ ，3），则A′的坐标为 ；
②△ABC与△A′B′C′的相似比等于 ；
③若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积= ．
16．如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为
17．（2017九下·沂源开学考）如图，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为 ．
18．如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为
三、作图题
19．（2020九下·贵港模拟）如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2），D（6，4），
①在第一象限内，画出以原点为位似中心，相似比为 的位似图形A1B1C1D1；
②将四边形A1B1C1D1向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，并写出各点坐标.
四、解答题
20．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC=3.6cm，OF=2.4cm，求它们的相似比．
21．（2019九上·长春期末）方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，
解答问题：
（1）请按要求对△OAB作变换：以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△OA′B′．
（2）写出点A′的坐标；
（3）求△OA′B'的面积．
22．如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，
（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；
（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．
23．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标.
24．如图，△ABC中，AD、BE是高．
（1）求证：；
（2）连接DE，那么△CDE与△CAB是位似图形吗？
25．如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后解答相应问题．
画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．
（1）求证：△C′D′E′是等边三角形；
（2）求作：内接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，且DE：EF=1：2．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】A选项中将两个三角形的点B与点E，点C与点F，点A与点D连接起来，线段BE、CF与AD的延长线相交于一点O，且对应线段互相平行，所以这两个三角形是位似图形；
B选项中将两个图形的对应点连接起来，所有连线相交于一点，且对应线段互相平行，所以这两个图形是位似图形；
C选项中将两个箭头的对应点连接起来，对应点的连线不能相交于一点，且对应线段不平行，所以这两个箭头不是位似图形；
D选项中将两个五边形的对应点连接起来，对应点的连接相交于一点，且对应线段互相平行，所以这两个五边形是位似图形。
故答案为：C
【分析】如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，且对应线段互相平行，这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
2．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：根据位似图形的定义可知，B，C不符合题意，似图形中每组对应点所在的直线相交于一点，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据位似图形的性质位似图形对应点连线的交点是位似中心可得似图形中每组对应点所在的直线相交于一点，而不是相互平行，顾可知选项D错误。
3．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：①位似图形一定是相似图形，正确；
②相似图形不一定是位似图形，故此选项错误；
③两个全等的位似图形的位似中心在两个图形之间或在这两个图形的公共边上，正确；
④全等图形一定是位似图形，且位似比为1：1，错误；
⑤若图形a与图形b是位似图形，图形b与图形c是位似图形，则图形a与图形c也一定是位似图形，正确．
故选：C．
【分析】利用位似图形的性质结合位似图形位置关系得出答案即可．
4．【答案】A
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：如图所示，四边形 的位似图形是四边形 ．
故答案为：A
【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案．
5．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】根据题意，由于△ABC平行地面放置，且在灯泡的照射下，所以△ABC与△A′B′C′的各对应点的位置不变，且其连线应交于灯泡的所在的地方，面积大小不一，所以属于位似变换，
故答案为：C．
【分析】根据题意，分析可得△ABC与△A′B′C′的各对应点的位置关系，面积的大小关系等，进而由几何变化的定义可得答案．
6．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形。把一个图形变换成与之位似的图形是位似变换。∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC。
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ，∴位似比为： 。
∵点B的坐标为（－4，6），∴点B′的坐标是：（－2，3）或（2，－3）。
故答案为：D。
【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．
7．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】由题意可知△DEF与△ABC的位似比为1︰2，∴其面积比是1︰4，故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，就可求出△DEF与△ABC的面积比。
8．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：连接C1C，B1B，A1A并延长，交点P即为所求，由图可知：位似中心的坐标是： ，
故答案为：C.
【分析】根据位似中心的定义，连接位似图形的对应点，交点即为位似中心.
9．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（﹣1﹣x）＝a+1，
解得x＝﹣ （a+3），
故答案为：D.
【分析】设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算.
10．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，
②△ABC与△DEF是相似图形，
∵将△ABC的三边缩小的原来的 ，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，
故③选项不符合题意，
根据面积比等于相似比的平方，
∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
故答案为：C．
【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
11．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将 放大后得到 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．
12．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：过点C'作C'D⊥x轴于点D，
∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形， =
∴点C是OC'的中点，点A是OA'的中点
∵点A（﹣1，0），点C（ ，1）
∴点A'（-2，0），点C'（1，2）
∴OA'=2，DC'=2，OD=1，
∴A'D=OA'+OD=2+1=3，
∴A'C'=.
故答案为：.
【分析】过点C'作C'D⊥x轴于点D，根据已知△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，由OA于OA'的比值可知点C是OC'的中点，点A是OA'的中点，由点A，C的坐标，就可求出点A'，C'的坐标，由此可求出OA'，DC'，OD，A'D的长，然后利用勾股定理求出A'C'的长。
13．【答案】18
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ 与 是以坐标原点 为位似中心的位似图形，
若点 ， ，
∴位似比为： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的面积为： 。
故答案为：18。
【分析】根据位似图形的性质：以坐标原点为位似中心的两个位似图形，其对应点的对应坐标之比等于位似比得出 与 的位似比是，进而即可根据规律得出点A',C'的坐标，利用割补法即可求出 的面积。
14．【答案】 或
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图，在Rt△AOB中，OB= =10，
① 当△A′OB′在第四象限时，MM′= ．
②当△A″OB″在第二象限时，MM′= ，
故答案为 或 ．
【分析】如图，在Rt△AOB中，根据勾股定理算出OB的长，分两种情况画出图形，① 当△A′OB′在第四象限时，②当△A″OB″在第二象限时，根据中点定义及位似比即可得出答案。
15．【答案】（5，6）；1：2；4m
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：①∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2），
∴若点A（ ，3），则A′的坐标为：（5，6）；
故答案为：（5，6）；
②∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2），
∴△ABC与△A′B′C′的相似比等于：1：2；
故答案为：1：2；
③∵△ABC与△A′B′C′的相似比等于：1：2，
∴若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积=4m．
故答案为：4m．
【分析】（1）根据关于坐标原点位似的两个图形，如果它们位于位似中心的同侧，其对应点的横坐标与纵坐标的比值都等于位似比，根据B,B'两点的坐标发现其位似比是2，从而由A点的坐标即可得出A'点的坐标；
（2）根据关于坐标原点位似的两个图形，如果它们位于位似中心的同侧，其对应点的横坐标与纵坐标的比值都等于位似比，根据B,B'两点的坐标发现其位似比是2，即 △ABC与△A′B′C′的相似比等于 2；
（3）由于位似是相似的一种特殊情况，即位似的两个图形一定相似，再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可得出答案。
16．【答案】（﹣，）或（，﹣）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）
∴A'的坐标为：（﹣，）或（，﹣）．
故答案为：（﹣，）或（，﹣）．
【分析】位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．
17．【答案】（﹣4，﹣3）或（2，3）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0可得y=1；
令y=0可得x=﹣1，
∴点A和点B的坐标分别为（﹣1，0）；（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
∴ = = ，
∴O′B′=3，AO′=3，
∴B′的坐标为（﹣4，﹣3）或（2，3）．
故答案为：（﹣4，﹣3）或（2，3）．
【分析】首先解得点A和点B的坐标，再利用位似变换可得结果．
18．【答案】（﹣2，0）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（2，4），
∴OC=AB=4，OA=2，
∴点C的坐标为：（0，4），
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为（﹣1，2），
∴位似比为：2，
∴OP：AP=OD：AB=1：2，
设OP=x，则，
解得：x=2，
∴OP=2，
即点P的坐标为：（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【分析】由矩形OABC中，点B的坐标为（2，4），可求得点C的坐标，又由矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点C的对应点点E的坐标为（﹣1，2），即可求得其位似比，继而求得答案．
19．【答案】解：如图所示，四边形A1B1C1D1、四边形A2B2C2D2即为所求.
其中A2（6，7）、B2（7，5）、C2（8，5）、D2（8，6）.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】①根据位似变换的概念分别作出四个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可得；②根据平移变换的概念作出变换后的对应点，再首尾顺次连接即可得.
20．【答案】解：连接AD，CF交于点O，
则点O即为所求；
∵OC=3.6cm，OF=2.4cm，
∴OC：OF=3：2，
∴△ABC与△DEF的相似比为3：2．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】根据位似变换的性质、相似比的概念解答即可．
21．【答案】（1）解：如图所示，△OA′B′即为所求．
（2）解：由图知，点A′的坐标为（﹣6，﹣2）
（3）解：△OA′B'的面积为6×4﹣ ×2×4﹣ ×2×4﹣ ×2×6＝10
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据位似中心的位置以及位似比的大小作出△OA′B′；（2）根据三角形的位置得出点A′的坐标即可；（3）根据△OA′B'的位置，运用割补法求得△OA′B'的面积即可．
22．【答案】解：（1）△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，
理由：∵AB∥CD∥EF，
∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点，
∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形；
（2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3，
∴==，
∴==，
解得：EF=．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定方法以及位似图形的性质进而得出答案；
（2）利用比例的性质以及相似三角形的性质进而求出== ，求出EF即可．
23．【答案】（1）解：
图中点O为所求；
（2）解：△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；
（3）解：△A″B″C″为所求；
A″（6，0）；B″（3，-2）； C″（4，-4）.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O；（2）由OB=2OB′，即可得出△ABC与△A′B′C′的位似比为2：1；（3），连接B′O并延长，使OB″=OB′，延长A′O并延长，使OA″=OA′，C′O并延长，使OC″=OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格中即可得出△A″B″C″各顶点的坐标.
24．【答案】（1）证明：∵AD、BE是高，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BEC，
∴；
（2）解：如图，△CDE与△CAB不是位似图形．
因为DE、AB的交点不为点A．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）利用三角形相似可求得各对应边成比例；
（2）两三角形不相似，不是位似图形．
25．【答案】（1） 证明：∵E′C′∥EC，E′D′∥ED，
∴△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，
∴CE：C′E′=OE：OE′，DE：D′E′=OE：OE′，∠CEO=∠C′E′O，∠DEO=∠D′E′O，
∴CE：C′E′=DE：D′E′，∠CED=∠C′E′D′，
∴△CDE∽△C′D′E′，
∵△CDE是等边三角形，
∴△C′D′E′是等边三角形；
（2）解：画法：①在△ABC内画矩形D′E′F′G′，使点D′在AB上，点G′在AC上，且D′E′：D′G′=1：2；
②连接A E′并延长，交BC于点E，连接A F′并延长交BC于点F，过点E作ED∥E′D′交AB于点D，过点F作FG∥F′G′，交AC于点G；
③连接DG，则矩形DEFG是△ABC的内接四边形．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）根据作法可知：E′C′∥EC，E′D′∥ED，可证得△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，根据相似可证得对应边的比相等，对应角相等，即可根据对应边的比成比例且夹角相等的三角形相似，可证得△CDE∽△C′D′E′，即可得结果；
（2）类似（1）的作法．
1 / 1初中数学青岛版九年级上学期 第1章 1.4图形的位似
一、单选题
1．（2019九上·简阳期末）下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】A选项中将两个三角形的点B与点E，点C与点F，点A与点D连接起来，线段BE、CF与AD的延长线相交于一点O，且对应线段互相平行，所以这两个三角形是位似图形；
B选项中将两个图形的对应点连接起来，所有连线相交于一点，且对应线段互相平行，所以这两个图形是位似图形；
C选项中将两个箭头的对应点连接起来，对应点的连线不能相交于一点，且对应线段不平行，所以这两个箭头不是位似图形；
D选项中将两个五边形的对应点连接起来，对应点的连接相交于一点，且对应线段互相平行，所以这两个五边形是位似图形。
故答案为：C
【分析】如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，且对应线段互相平行，这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
2．下列说法错误的是（ ）
A．位似图形一定是相似图形
B．相似图形不一定是位似图形
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：根据位似图形的定义可知，B，C不符合题意，似图形中每组对应点所在的直线相交于一点，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据位似图形的性质位似图形对应点连线的交点是位似中心可得似图形中每组对应点所在的直线相交于一点，而不是相互平行，顾可知选项D错误。
3．下列说法中正确的有（ ）
①位似图形一定是相似图形；
②相似图形一定是位似图形；
③两个全等的位似图形的位似中心在两个图形之间或在这两个图形的公共边上；
④全等图形一定是位似图形，且位似比为1：1；
⑤若图形a与图形b是位似图形，图形b与图形c是位似图形，则图形a与图形c也一定是位似图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：①位似图形一定是相似图形，正确；
②相似图形不一定是位似图形，故此选项错误；
③两个全等的位似图形的位似中心在两个图形之间或在这两个图形的公共边上，正确；
④全等图形一定是位似图形，且位似比为1：1，错误；
⑤若图形a与图形b是位似图形，图形b与图形c是位似图形，则图形a与图形c也一定是位似图形，正确．
故选：C．
【分析】利用位似图形的性质结合位似图形位置关系得出答案即可．
4．（2020·河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形 的位似图形是（ ）
A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
【答案】A
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：如图所示，四边形 的位似图形是四边形 ．
故答案为：A
【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案．
5．（2020·九江模拟）将铁丝围成的△ABC铁框平行地面（水平）放置，并在灯泡的垂直照射下，在地面上的影子是△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′之间是属于（ ）
A．对称变换 B．平移变换 C．位似变换 D．旋转变换
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】根据题意，由于△ABC平行地面放置，且在灯泡的照射下，所以△ABC与△A′B′C′的各对应点的位置不变，且其连线应交于灯泡的所在的地方，面积大小不一，所以属于位似变换，
故答案为：C．
【分析】根据题意，分析可得△ABC与△A′B′C′的各对应点的位置关系，面积的大小关系等，进而由几何变化的定义可得答案．
6．（2020·五莲模拟）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ，那么点B′的坐标是（ ）
A．（－2，3） B．（2，－3）
C．（3，－2）或（－2，3） D．（－2，3）或（2，－3）
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形。把一个图形变换成与之位似的图形是位似变换。∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC。
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ，∴位似比为： 。
∵点B的坐标为（－4，6），∴点B′的坐标是：（－2，3）或（2，－3）。
故答案为：D。
【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．
7．（2020九上·镇平期末）如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】由题意可知△DEF与△ABC的位似比为1︰2，∴其面积比是1︰4，故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，就可求出△DEF与△ABC的面积比。
8．（2019九上·定边期中）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：连接C1C，B1B，A1A并延长，交点P即为所求，由图可知：位似中心的坐标是： ，
故答案为：C.
【分析】根据位似中心的定义，连接位似图形的对应点，交点即为位似中心.
9．（2019·营口模拟）如图，△ABC中AB两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1.设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（﹣1﹣x）＝a+1，
解得x＝﹣ （a+3），
故答案为：D.
【分析】设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算.
10．（2019九上·深圳期末）按如下方法，将△ABC的三边缩小的原来的 ，如图，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形②△ABC与△DEF是相似图形③△ABC与△DEF的周长比为1：2④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，
②△ABC与△DEF是相似图形，
∵将△ABC的三边缩小的原来的 ，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，
故③选项不符合题意，
根据面积比等于相似比的平方，
∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
故答案为：C．
【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
二、填空题
11．（2020·青白江模拟）如图，以点O为位似中心，将 放大后得到 ， ，则 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将 放大后得到 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．
12．（2020九下·镇江月考）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且 = ，已知点A（﹣1，0），点C（ ，1），则A'C'= .
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：过点C'作C'D⊥x轴于点D，
∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形， =
∴点C是OC'的中点，点A是OA'的中点
∵点A（﹣1，0），点C（ ，1）
∴点A'（-2，0），点C'（1，2）
∴OA'=2，DC'=2，OD=1，
∴A'D=OA'+OD=2+1=3，
∴A'C'=.
故答案为：.
【分析】过点C'作C'D⊥x轴于点D，根据已知△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，由OA于OA'的比值可知点C是OC'的中点，点A是OA'的中点，由点A，C的坐标，就可求出点A'，C'的坐标，由此可求出OA'，DC'，OD，A'D的长，然后利用勾股定理求出A'C'的长。
13．（2019·百色）如图， 与 是以坐标原点 为位似中心的位似图形，若点 ， ， 则 的面积为 .
【答案】18
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ 与 是以坐标原点 为位似中心的位似图形，
若点 ， ，
∴位似比为： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的面积为： 。
故答案为：18。
【分析】根据位似图形的性质：以坐标原点为位似中心的两个位似图形，其对应点的对应坐标之比等于位似比得出 与 的位似比是，进而即可根据规律得出点A',C'的坐标，利用割补法即可求出 的面积。
14．（2018·抚顺）如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的 ，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为 ．
【答案】 或
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图，在Rt△AOB中，OB= =10，
① 当△A′OB′在第四象限时，MM′= ．
②当△A″OB″在第二象限时，MM′= ，
故答案为 或 ．
【分析】如图，在Rt△AOB中，根据勾股定理算出OB的长，分两种情况画出图形，① 当△A′OB′在第四象限时，②当△A″OB″在第二象限时，根据中点定义及位似比即可得出答案。
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）．
①若点A（ ，3），则A′的坐标为 ；
②△ABC与△A′B′C′的相似比等于 ；
③若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积= ．
【答案】（5，6）；1：2；4m
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：①∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2），
∴若点A（ ，3），则A′的坐标为：（5，6）；
故答案为：（5，6）；
②∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2），
∴△ABC与△A′B′C′的相似比等于：1：2；
故答案为：1：2；
③∵△ABC与△A′B′C′的相似比等于：1：2，
∴若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积=4m．
故答案为：4m．
【分析】（1）根据关于坐标原点位似的两个图形，如果它们位于位似中心的同侧，其对应点的横坐标与纵坐标的比值都等于位似比，根据B,B'两点的坐标发现其位似比是2，从而由A点的坐标即可得出A'点的坐标；
（2）根据关于坐标原点位似的两个图形，如果它们位于位似中心的同侧，其对应点的横坐标与纵坐标的比值都等于位似比，根据B,B'两点的坐标发现其位似比是2，即 △ABC与△A′B′C′的相似比等于 2；
（3）由于位似是相似的一种特殊情况，即位似的两个图形一定相似，再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可得出答案。
16．如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为
【答案】（﹣，）或（，﹣）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）
∴A'的坐标为：（﹣，）或（，﹣）．
故答案为：（﹣，）或（，﹣）．
【分析】位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．
17．（2017九下·沂源开学考）如图，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为 ．
【答案】（﹣4，﹣3）或（2，3）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0可得y=1；
令y=0可得x=﹣1，
∴点A和点B的坐标分别为（﹣1，0）；（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
∴ = = ，
∴O′B′=3，AO′=3，
∴B′的坐标为（﹣4，﹣3）或（2，3）．
故答案为：（﹣4，﹣3）或（2，3）．
【分析】首先解得点A和点B的坐标，再利用位似变换可得结果．
18．如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为
【答案】（﹣2，0）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（2，4），
∴OC=AB=4，OA=2，
∴点C的坐标为：（0，4），
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为（﹣1，2），
∴位似比为：2，
∴OP：AP=OD：AB=1：2，
设OP=x，则，
解得：x=2，
∴OP=2，
即点P的坐标为：（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【分析】由矩形OABC中，点B的坐标为（2，4），可求得点C的坐标，又由矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点C的对应点点E的坐标为（﹣1，2），即可求得其位似比，继而求得答案．
三、作图题
19．（2020九下·贵港模拟）如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2），D（6，4），
①在第一象限内，画出以原点为位似中心，相似比为 的位似图形A1B1C1D1；
②将四边形A1B1C1D1向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，并写出各点坐标.
【答案】解：如图所示，四边形A1B1C1D1、四边形A2B2C2D2即为所求.
其中A2（6，7）、B2（7，5）、C2（8，5）、D2（8，6）.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】①根据位似变换的概念分别作出四个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可得；②根据平移变换的概念作出变换后的对应点，再首尾顺次连接即可得.
四、解答题
20．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC=3.6cm，OF=2.4cm，求它们的相似比．
【答案】解：连接AD，CF交于点O，
则点O即为所求；
∵OC=3.6cm，OF=2.4cm，
∴OC：OF=3：2，
∴△ABC与△DEF的相似比为3：2．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】根据位似变换的性质、相似比的概念解答即可．
21．（2019九上·长春期末）方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，
解答问题：
（1）请按要求对△OAB作变换：以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△OA′B′．
（2）写出点A′的坐标；
（3）求△OA′B'的面积．
【答案】（1）解：如图所示，△OA′B′即为所求．
（2）解：由图知，点A′的坐标为（﹣6，﹣2）
（3）解：△OA′B'的面积为6×4﹣ ×2×4﹣ ×2×4﹣ ×2×6＝10
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据位似中心的位置以及位似比的大小作出△OA′B′；（2）根据三角形的位置得出点A′的坐标即可；（3）根据△OA′B'的位置，运用割补法求得△OA′B'的面积即可．
22．如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，
（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；
（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．
【答案】解：（1）△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，
理由：∵AB∥CD∥EF，
∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点，
∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形；
（2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3，
∴==，
∴==，
解得：EF=．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定方法以及位似图形的性质进而得出答案；
（2）利用比例的性质以及相似三角形的性质进而求出== ，求出EF即可．
23．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标.
【答案】（1）解：
图中点O为所求；
（2）解：△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；
（3）解：△A″B″C″为所求；
A″（6，0）；B″（3，-2）； C″（4，-4）.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O；（2）由OB=2OB′，即可得出△ABC与△A′B′C′的位似比为2：1；（3），连接B′O并延长，使OB″=OB′，延长A′O并延长，使OA″=OA′，C′O并延长，使OC″=OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格中即可得出△A″B″C″各顶点的坐标.
24．如图，△ABC中，AD、BE是高．
（1）求证：；
（2）连接DE，那么△CDE与△CAB是位似图形吗？
【答案】（1）证明：∵AD、BE是高，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BEC，
∴；
（2）解：如图，△CDE与△CAB不是位似图形．
因为DE、AB的交点不为点A．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）利用三角形相似可求得各对应边成比例；
（2）两三角形不相似，不是位似图形．
25．如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后解答相应问题．
画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．
（1）求证：△C′D′E′是等边三角形；
（2）求作：内接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，且DE：EF=1：2．
【答案】（1） 证明：∵E′C′∥EC，E′D′∥ED，
∴△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，
∴CE：C′E′=OE：OE′，DE：D′E′=OE：OE′，∠CEO=∠C′E′O，∠DEO=∠D′E′O，
∴CE：C′E′=DE：D′E′，∠CED=∠C′E′D′，
∴△CDE∽△C′D′E′，
∵△CDE是等边三角形，
∴△C′D′E′是等边三角形；
（2）解：画法：①在△ABC内画矩形D′E′F′G′，使点D′在AB上，点G′在AC上，且D′E′：D′G′=1：2；
②连接A E′并延长，交BC于点E，连接A F′并延长交BC于点F，过点E作ED∥E′D′交AB于点D，过点F作FG∥F′G′，交AC于点G；
③连接DG，则矩形DEFG是△ABC的内接四边形．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）根据作法可知：E′C′∥EC，E′D′∥ED，可证得△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，根据相似可证得对应边的比相等，对应角相等，即可根据对应边的比成比例且夹角相等的三角形相似，可证得△CDE∽△C′D′E′，即可得结果；
（2）类似（1）的作法．
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