2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册2.4二次函数的应用 同步练习
一、单选题
1．（2018·连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
2．（2019九上·鱼台期末）小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，加DE=3，则杯子的高CE为（ ）
A．14 B．11 C．6 D．3
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.3二次函数的应用 同步练习）如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（ ）
A．y= （x+3）2 B．y= （x+3）2
C．y= （x﹣3）2 D．y= （x﹣3）2
4．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.3二次函数的应用 同步练习）一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（ ）
A．2米 B．5米 C．6米 D．14米
5．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.3二次函数的应用 同步练习）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（ ）
A．第9.5秒 B．第10秒 C．第10.5秒 D．第11秒
6．（2018九上·绍兴期中）二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图1中C）按某种规律组成的一个大正方形，现有25×25格式的正方形如图1，角上是三个7×7的A型大黑白相间正方形，中间右下一个5×5的B型黑白相间正方形，除这4个正方形外，若其他的小正方形白色块数y与黑色块数x正好满足如图2所示的函数图象，则该25×25格式的二维码共有多少块黑色的C型小正方形（）
A．153 B．218 C．100 D．216
7．（2018九上·南昌期中）黄石市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y=-n2+14n-24，则企业停产的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月
C．1月 D．1月、2月和12月
8．（2018·锦州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以 cm/s的速度沿AB方向运动到点B．动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC CB方向运动到点B．设△APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2018·葫芦岛）如图，在 ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册28.3 二次函数与实际问题同步课时作业（3））如图，隧道的截面是抛物线，可以用y=表示，该隧道内设双行道，限高为3m，那么每条行道宽是（ ）
A．不大于4m B．恰好4m
C．不小于4m D．大于4m，小于8m
二、填空题
11．（2018九上·金华月考）矩形的周长为 ，当矩形的长为 时，面积有最大值是 ．
12．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第二章《二次函数》检测题A）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 cm2．
13．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.3二次函数的应用 同步练习）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是 ．
14．（2018九上·南昌期中）如图，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成.若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB=44米，∠A=45°，AC1=4米，点D2的坐标为(-13，-1.69)，则桥架的拱高OH= 米.
15．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册5.3一次函数（2） 同步训练）小英存入银行2000元人民币，年利率为x，两年到期时，本息和为y元，则y与x之间的函数关系式是 ，若年利率为7%，两年到期时的本息和为 元．
16．（2018九上·浙江月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 与直线 交于A、B，直线AB交于y轴于点C，点P为线段OB上一个动点（不与点O、B重合），当△OPC为等腰三角形时，点P的坐标： ．
三、综合题
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第26章《二次函数》章末测试）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
18．（2018九上·绍兴月考）永嘉某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣进价）
（1）写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式；
（2）当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元．若商店想要这种节能灯每周获得350元的利润，则销售单价应定为多少元？
19．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第26章《二次函数》章末测试）如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边DE落在x轴的正半轴上，边AG落在y轴的正半轴上，A、B两点在抛物线y= x2+bx+c上．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）求抛物线y= x2+bx+c的解析式；
（3）将正方形CDEF沿x轴向右平移，使点F落在抛物线y= x2+bx+c上，求平移的距离．
20．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.3二次函数的应用 同步练习）某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b，yB= （x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．
（1）分别求yA、yB关于x的函数关系式；
（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？
（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？
21．（2018九上·武昌期中）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是 ，拱桥的跨度为 ，桥洞与水面的最大距离是 ，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 的景观灯，把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中。
（1）求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）求两盏景观灯之间的水平距离。
22．（2018九上·上虞月考）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
23．（2018九上·武汉月考）如图，已知排球场的长度OD为18 m，位于球场中线处球网的高度AB为2.4 m，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.6 m的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为6 m时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系
（1）当球上升的最大高度为3.4 m时，对方距离球网0.4 m的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1 m，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明
（2）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）
24．（2019九上·海淀期中）如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．
25．（2019九上·龙湖期末）如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A、当t=9时，h=-81+216+1=136；当t=13时，h=-169+312+1=144，可得高度不相等，故A不符合题意；
B、当t=24时，h=-576+576+1=1，高度为1m，故B不符合题意；
C、当t=10时，h=-100+240+1=141≠139，故C不符合题意；
D、h= t2＋24t＋1= （t-12）2+145，∵a=-1<0，
∴当t=12时，h有最大值145，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A，B，C三个选项的说法，即只要把t的值代入h= t2＋24t＋1即可得到；D是求二次函数的最值，可将函数表达式化成顶点式，根据a的正负，判断是最大还是最小的.
2．【答案】B
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵y=2x2-4x+8=2（x-1）2+6，
∴抛物线顶点D的坐标为（1，6），
又∵AB=4，
∴B点横坐标为x=3，
将x=3代入y=2x2-4x+8得y=14，
即B（3，14），
∴CD=14-6=8，
∵DE=3，
∴CE=CD+DE=8+3=11.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线解析式得顶点D的坐标为（1，6），再由AB=4得B点横坐标为3，代入求得B（3，14），从而求得CD长，再由CE=CD+DE即可求得答案.
3．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵高CH=1cm，BD=2cm，
而B、D关于y轴对称，
∴D点坐标为（1，1），
∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，
∴AB关于直线CH对称，
∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），
∴右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），
设右边抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2，
把D（1，1）代入得1=a×（1﹣3）2，解得a= ，
故右边抛物线的解析式为y= （x﹣3）2．
故答案为：C．
【分析】由题意可求出B、C两点的坐标，利用关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等可求出B、C两点的坐标，选择顶点式设右边抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2，再把D（1，1）代入即可求出点D、F、E所在抛物线的函数解析式 。
4．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：h=﹣5t2+20t﹣14
=﹣5（t2﹣4t）﹣14
=﹣5（t2﹣4t+4）+20﹣14
=﹣5（t﹣2）2+6，
﹣5＜0，
则抛物线的开口向下，有最大值，
当t=2时，h有最大值是6米．
故答案为：C．
【分析】把二次函数的解析式化为顶点式，根据顶点式的性质即可求出小球距离地面的最大高度。
5．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=7时，y=49a+7b；
当x=14时，y=196a+14b．
根据题意得49a+7b=196a+14b，
∴b=﹣21a，
根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下，
当x=﹣ =10.5时，y最大即高度最高．
因为10最接近10.5．
故答案为：C．
【分析】 由炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，把x=7和x=14分别代入求出a与b的关系为b=﹣21a，根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下，当x=﹣ =10.5时，y最大即高度最高．
6．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2+bx+c
∵A（30，3），B（20，33），C（0，153）
解之：
∴y=0.1x2-8x+153
∵C型正方形白色块数与黑色块数之和为：25×25-7×7×3-5×5=453
∴x+0.1x2-8x+153=453
解之：x1=100，x2=-30（舍去）
y=0.1×1002-8×100+153=353
即C型小正方形的黑色块数为100
故答案为：C
【分析】利用图像中的点A、B、C的坐标，就可求出y与x的函数解析式，再根据题意建立关于x的方程，求出方程的解，就可得出x的值，即可解决问题。
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】由题意知，
利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，
∴y=-（n-2）（n-12），
当n=1时，y＜0，
当n=2时，y=0，
当n=12时，y=0，
故停产的月份是1月、2月、12月．
故答案为：D．
【分析】一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y=-n2+14n-24，那么停产月份的利润应该是0或者小于0，从而由-n2+14n-24≤0，且n为1至12 的整数，即可得出答案。
8．【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm，可得AB= ，∠A=∠B=45°，当0＜x≤3时，点Q在AC上运动，点P在AB上运动（如图1），
由题意可得AP= x，AQ=x，过点Q作QN⊥AB于点N，在等腰直角三角形AQN中，求得QN= x，所以y= = （0＜x≤3），即当0＜x≤3时，y随x的变化关系是二次函数关系，且当x=3时，y=4.5；当3≤x≤6时，点P与点B重合，点Q在CB上运动（如图2），
由题意可得PQ=6-x，AP=3 ，过点Q作QN⊥BC于点N，在等腰直角三角形PQN中，求得QN= (6-x)，所以y= = （3≤x≤6），即当3≤x≤6时，y随x的变化关系是一次函数，且当x=6时，y=0.由此可得，只有选项D符合要求，故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再分别求出当0＜x≤3时，y与x的函数关系式；再求出3≤x≤6时y与x的函数关系式，就可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC= =8．
当0≤x≤6时，AP=6﹣x，AQ=x，∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2﹣12x+36；
当6≤x≤8时，AP=x﹣6，AQ=x，∴y=PQ2=（AQ﹣AP）2=36；
当8≤x≤14时，CP=14﹣x，CQ=x﹣8，∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣44x+260．
故答案为：B
【分析】利用勾股定理求出AC的长，再分别求出当0≤x≤6；当6≤x≤8；当8≤x≤14的y与x的函数关系式，然后对各选项逐一判断，即可解答。
10．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】由题意可知，直接把y=3代入解析式求解即可．解：把y=3代入y= 中得：
x=4，x= -4（舍去）．
∴每条行道宽应不大于4m．
故答案为：A
【分析】将函数值代入函数解析式，解一元二次方程，根据实际问题选择合适的值
11．【答案】5；25
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设矩形的长为xcm，则矩形的宽为(10-x)cm，则矩形的面积y=x(10-x)=-x2+10x(0＜x＜10)
函数开口向下，当x=5时，函数有最大值，最大值y=-52+10×5=25，
故当矩形的长为5cm时，面积有最大值是25 ．
故答案为：5，25
【分析】根据矩形的周长可得出矩形的长与宽的和为10，设矩形的长为xcm，表示出矩形的宽，再根据矩形的面积公式，列出矩形的面积y与x的函数解析式，然后将其转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求得结果。
12．【答案】3；18
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解： 设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，
根据题意得：S四边形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH=6×6﹣4× t（6﹣t）=2t2﹣12t+36=2（t﹣3）2+18，
∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．
故答案为：3；18
【分析】设运动时间为t（0≤t≤6），则由题意可得AE=t，AH=6﹣t，由图知S四边形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH代入计算可得关于t的二次函数，由二次函数的性质即可求解。
13．【答案】（ ，5）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：线段AB的解析式是y= x+1（0≤x≤4），
此时w=x（ x+1）= +x，
则x=4时，w最大=8；
线段AC的解析式是y= x+1（0≤x≤2），
此时w=x（ x+1）= +x，
此时x=2时，w最大=12；
线段BC的解析式是y=﹣2x+10（2≤x≤4），
此时w=x（﹣2x+10）=﹣2x2+10x，
此时x= 时，w最大=12.5．
综上所述，当w=xy取得最大值时，点P的坐标是（ ，5）．
【分析】分别求出线段AB、线段AC、线段BC的解析式，找出每一条线段上横、纵坐标乘积的最大值，再进一步比较即可得出答案。
14．【答案】7.24
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】设抛物线D1OD8的解析式为y=ax2，将x=-13，y=-1.69代入，解得a=-
∵横梁D1D8=C1C8=AB-2AC1=36m
∴点D1的横坐标是-18，代入y=- x2里可得y=3.24
又∵∠A=45°，
∴D1C1=AC1=4m
∴OH=3.24+4=7.24m．
【分析】由于选择了抛物线的顶点O的位置为坐标原点建立平面直角坐标系，故可以设抛物线D1OD8的解析式为y=ax2，然后将(-13，-1.69)代入即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式；根据抛物线的对称性得出横梁D1D8=C1C8=AB-2AC1=36m，故点D1的横坐标是-18，将其代入抛物线的解析式求出对应的函数值再根据等腰直角三角形的性质可得D1C1=AC1=4m从而即可求出答案。
15．【答案】y=2000（1+x）2；2289.8
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】∵本息和=本金×（1+利率），
∴一年后的本息和为：2000×（1+x），
两年后本息和y=2000×（1+x）（1+x）=2000（1+x）2，
当x=7%时，y=2289.8元．
故答案为：y=2000（1+x）2，2289.8．
【分析】根据本息和=本金×（1+利率）可得一年后的本息和为：2000×（1+x），两年后本息和y=2000×（1+x）（1+x）=2000（1+x）2；将x=7%代入求得的解析式即可求得y的值。
16．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：联立抛物线与直线，得
解之：
∴B(3，3)
当x=0，y=，即C(0，)
设OB的解析式为y=kx，将B点坐标代入，得
3k=3，解得k=1
即OB的解析式为y=x
设P点坐标为(x，x)
当OP=OC时，x2+x2=()2
解得x=(不符合题意，舍)，x=
y=x=，
P1(，)；
当OP=CP时，x2+(x )2=x2+x2
解得x=，y=x=，
∴P2(，)；
当OC=CP时，x2+(x )2=()2
解得x=0(不符合题意，舍)，x=
y=x=，
∴P3(，)，
故答案为：(，)，(，)，(，)
【分析】联立抛物线与直线，解方程组，可得B点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，再求出直线OB的解析式，分三种情况讨论，根据等腰三角形的判定，可得关于x的方程，根据解方程，就可得答案。
17．【答案】解：由题意得：y=x× =﹣ x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】由长方形的性质可将AB表示成AB=
，则长方形的面积=长
× 宽=AB
× BC；易得
自变量x的取值范围是0＜x≤25．
18．【答案】（1）解：w=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）
=﹣2x2+136x﹣1800，
∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800（x＞18）
（2）解：∵w=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512，
∴当x=34时，w取得最大，最大利润为512元．
答：当销售单价为34元时，商店每周能获得最大利润，最大利润是512元．
（3）解：周销售利润=周销量×（单件售价﹣单件进价成本）=（﹣2x+100）（x﹣18）=﹣2x2+136x﹣1800，
由题意得，﹣2x2+136x﹣1800=350，
解得：x1=25，x2=43，
∵销售单价不得高于30元，
∴x取25，
答：销售单价定为25元时商店每周能获得350元的利润；
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）每只节能灯的利润为：（x﹣18）元，根据总利润等于单只的利润乘以销售数量y，而y=﹣2x+100，再整体替换即可列出W与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）列函数解析式的性质即可得出答案；
（3）将W=350代入（1）列函数解析式，解方程，求出对应的x的值，再根据销售单价不得高于30元检验，即可得出答案。
19．【答案】（1）解：由图象，得B（1，3）．
（2）解：由题意，得A（0，2）
∴ ，解得：
，
∴ ，
∴抛物线的解析式为：
（3）解：当y=1时，
∴ 解得：
x= 或 （不符合题意应舍去），
∴F′（ ，1），
∴E′（ ，0），
∴OE′= ，
∴平移的距离为： ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由正方形的性质易得
点B的坐标为（1，3）；
（2）
由正方形的性质易得
点A的坐标为（0，2）；因为A、B都在抛物线上，所以将点A、B的坐标代入解析式可得关于c、b的方程组，解方程组即可求解析式；
（3）
由正方形的性质易得平移后
点F的纵坐标为1，于是把y=1代入（2）中求得的解析式可求出x的值，则根据平移的方向可求得平移后点F的横坐标，则平移的距离 可求解
。
20．【答案】（1）解：由题意可得出：yB= （x﹣60）2+m经过（0，1000），
则1000= （0﹣60）2+m，
解得：m=100，
∴yB= （x﹣60）2+100，
当x=40时，yB= ×（40﹣60）2+100，
解得：yB=200，
yA=kx+b，经过（0，1000），（40，200），则 ，
解得： ，
∴yA=﹣20x+1000；
（2）解：当A组材料的温度降至120℃时，
120=﹣20x+1000，
解得：x=44，
当x=44，yB= （44﹣60）2+100=164（℃），
∴B组材料的温度是164℃
（3）解：当0＜x＜40时，yA﹣yB=﹣20x+1000﹣ （x﹣60）2﹣100=﹣ x2+10x=﹣ （x﹣20）2+100，
∴当x=20时，两组材料温差最大为100℃
【知识点】一次函数的性质；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由 yB= （x﹣60）2+m经过（0，1000）， 可求 yB的解析式，再求出两函数的交点坐标，即可求出 yA 的函数关系式。（2）先把y=120代入 yA 求出x的值，再把x的值代入yB求出答案。（3）先求出 yA-yB的函数关系式，进而求出最值即可。
21．【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）2+5，把（0，1）代入y=a（x﹣5）2+5，得：a=﹣ ，∴y=﹣ （x﹣5）2+5（0≤x≤10），即 （0≤x≤10）
（2）解：由已知得两景观灯的纵坐标都是4，∴4=﹣ （x﹣5）2+5，∴ （x﹣5）2=1，∴x1= ，x2= ，∴两景观灯间的距离为 ﹣ =5米．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）由桥的跨度可知顶点的横坐标为5，由抛物线两端点与水面的距离都是1m，可知抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），再由 桥洞与水面的最大距离是5m，可得出顶点的纵坐标为5，继而可得出顶点坐标，再设函数解析式为顶点式，利用待定系数法，就可求出抛物线的解析式及自变量的取值范围。
（2）根据 桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯 ，可知 两景观灯的纵坐标都是4 ，将y=4代入（1）中的函数解析式，求出对应的x的值，就可得出 两景观灯间的距离 。
22．【答案】（1）解：设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为
将 代入 ，得
解得：
设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为
（2）解：当 时，有
解得：
为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.
（3）解：当 时，
设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为
该函数图象经过点（16，0）
，解得：b=3
改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为
扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米。
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，即可得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求得当y=1.8市x的值，由此即可得出结论；
（3）利用二次函数图象上的点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-x2+bx+，代入点（16，0）可求得b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论。
23．【答案】（1）解：根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（6，3.4），设抛物线解析式为y=a（x﹣6）2+3.4，将点C（0，1.6）代入，得：36a+3.4=1.6，解得：a=﹣ ，∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y=﹣ （x﹣6）2+ ；由题意当x=9.5时，y=﹣ （9.4﹣6）2+ ≈2.8＜3.1，
故这次她可以拦网成功
（2）解：设抛物线解析式为y=a（x﹣6）2+h，
将点C（0，1.6）代入，得：36a+h=1.6，即a= ，
∴此时抛物线解析式为y= （x﹣6）2+h，
根据题意，得： ，
解得：h≥3.025，
答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据题意可知抛物线的顶点坐标，因此设函数解析式为顶点式，再将点C的坐标代入可求出函数解析式，然后求出x=9.5时的y的值，再与3.1比较大小，可得出结果。
（2）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）2+h，将点C的坐标代入，用含h的代数式表示出a，再根据题意建立关于h的不等式组，解不等式就可求出h的取值范围，即可得出答案。
24．【答案】（1）解：∵大长方形的周长为6m，宽为xm，
∴长为 m，
∴y=x =- （0＜x＜2）
（2）解：由（1）可知：y和x是二次函数关系，
a=- ＜0，
∴函数有最大值，
当x=- 时，y最大= m2．
答：窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5m2．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）用x表示长方形的长与宽，结合面积计算公式，用x表示，即可得出答案。
（2）结合二次函数的性质，在对称轴处取得最值，即可得出答案。
25．【答案】（1）解：∵该抛物线过点C(0，－2)，
∴可设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2.
将A(4，0)，B(1，0)代入，得 ，解得 ，
∴此抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x－2
（2）解：存在。
设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为－ m2＋ m－2，
当1＜m＜4时，AM＝4－m，PM＝－ m2＋ m－2.
又∵∠COA＝∠PMA＝90°，
∴①当 时，△APM∽△ACO，
即4－m＝2(－ m2＋ m－2)．
解得m1＝2，m2＝4(舍去)，
∴P(2，1)．
②当 时，△APM∽△CAO，
即2(4－m)＝－ m2＋ m－2.
解得m1＝4，m2＝5(均不合题意，舍去)，
∴当1＜m＜4时，P(2，1)．
类似地可求出当m＞4时，P(5，－2)．
当m＜1时，P(－3，－14)或P(0，－2)，
综上所述，符合条件的点P为(2，1)或 (5，－2)或(－3，－14)或(0，－2)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）通过待定系数法，设出二次函数的表达式，将A、B、C三点坐标代入即可求出抛物线的解析式；
（2）问是否存在点P，一般先假设存在，设出P点坐标，P点纵坐标可能是正数也可能是负数，故对m值要进行讨论。其中以A、P、M为顶点的三角形与 △OAC相似，对顶点对应进行相应讨论后，根据直角三角形相似的判定即可进行求出符合题意的m值，继而可求出相应的点的坐标。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册2.4二次函数的应用 同步练习
一、单选题
1．（2018·连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A、当t=9时，h=-81+216+1=136；当t=13时，h=-169+312+1=144，可得高度不相等，故A不符合题意；
B、当t=24时，h=-576+576+1=1，高度为1m，故B不符合题意；
C、当t=10时，h=-100+240+1=141≠139，故C不符合题意；
D、h= t2＋24t＋1= （t-12）2+145，∵a=-1<0，
∴当t=12时，h有最大值145，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A，B，C三个选项的说法，即只要把t的值代入h= t2＋24t＋1即可得到；D是求二次函数的最值，可将函数表达式化成顶点式，根据a的正负，判断是最大还是最小的.
2．（2019九上·鱼台期末）小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，加DE=3，则杯子的高CE为（ ）
A．14 B．11 C．6 D．3
【答案】B
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵y=2x2-4x+8=2（x-1）2+6，
∴抛物线顶点D的坐标为（1，6），
又∵AB=4，
∴B点横坐标为x=3，
将x=3代入y=2x2-4x+8得y=14，
即B（3，14），
∴CD=14-6=8，
∵DE=3，
∴CE=CD+DE=8+3=11.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线解析式得顶点D的坐标为（1，6），再由AB=4得B点横坐标为3，代入求得B（3，14），从而求得CD长，再由CE=CD+DE即可求得答案.
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.3二次函数的应用 同步练习）如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（ ）
A．y= （x+3）2 B．y= （x+3）2
C．y= （x﹣3）2 D．y= （x﹣3）2
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵高CH=1cm，BD=2cm，
而B、D关于y轴对称，
∴D点坐标为（1，1），
∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，
∴AB关于直线CH对称，
∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），
∴右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），
设右边抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2，
把D（1，1）代入得1=a×（1﹣3）2，解得a= ，
故右边抛物线的解析式为y= （x﹣3）2．
故答案为：C．
【分析】由题意可求出B、C两点的坐标，利用关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等可求出B、C两点的坐标，选择顶点式设右边抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2，再把D（1，1）代入即可求出点D、F、E所在抛物线的函数解析式 。
4．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.3二次函数的应用 同步练习）一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（ ）
A．2米 B．5米 C．6米 D．14米
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：h=﹣5t2+20t﹣14
=﹣5（t2﹣4t）﹣14
=﹣5（t2﹣4t+4）+20﹣14
=﹣5（t﹣2）2+6，
﹣5＜0，
则抛物线的开口向下，有最大值，
当t=2时，h有最大值是6米．
故答案为：C．
【分析】把二次函数的解析式化为顶点式，根据顶点式的性质即可求出小球距离地面的最大高度。
5．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.3二次函数的应用 同步练习）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（ ）
A．第9.5秒 B．第10秒 C．第10.5秒 D．第11秒
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=7时，y=49a+7b；
当x=14时，y=196a+14b．
根据题意得49a+7b=196a+14b，
∴b=﹣21a，
根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下，
当x=﹣ =10.5时，y最大即高度最高．
因为10最接近10.5．
故答案为：C．
【分析】 由炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，把x=7和x=14分别代入求出a与b的关系为b=﹣21a，根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下，当x=﹣ =10.5时，y最大即高度最高．
6．（2018九上·绍兴期中）二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图1中C）按某种规律组成的一个大正方形，现有25×25格式的正方形如图1，角上是三个7×7的A型大黑白相间正方形，中间右下一个5×5的B型黑白相间正方形，除这4个正方形外，若其他的小正方形白色块数y与黑色块数x正好满足如图2所示的函数图象，则该25×25格式的二维码共有多少块黑色的C型小正方形（）
A．153 B．218 C．100 D．216
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2+bx+c
∵A（30，3），B（20，33），C（0，153）
解之：
∴y=0.1x2-8x+153
∵C型正方形白色块数与黑色块数之和为：25×25-7×7×3-5×5=453
∴x+0.1x2-8x+153=453
解之：x1=100，x2=-30（舍去）
y=0.1×1002-8×100+153=353
即C型小正方形的黑色块数为100
故答案为：C
【分析】利用图像中的点A、B、C的坐标，就可求出y与x的函数解析式，再根据题意建立关于x的方程，求出方程的解，就可得出x的值，即可解决问题。
7．（2018九上·南昌期中）黄石市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y=-n2+14n-24，则企业停产的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月
C．1月 D．1月、2月和12月
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】由题意知，
利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，
∴y=-（n-2）（n-12），
当n=1时，y＜0，
当n=2时，y=0，
当n=12时，y=0，
故停产的月份是1月、2月、12月．
故答案为：D．
【分析】一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y=-n2+14n-24，那么停产月份的利润应该是0或者小于0，从而由-n2+14n-24≤0，且n为1至12 的整数，即可得出答案。
8．（2018·锦州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以 cm/s的速度沿AB方向运动到点B．动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC CB方向运动到点B．设△APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm，可得AB= ，∠A=∠B=45°，当0＜x≤3时，点Q在AC上运动，点P在AB上运动（如图1），
由题意可得AP= x，AQ=x，过点Q作QN⊥AB于点N，在等腰直角三角形AQN中，求得QN= x，所以y= = （0＜x≤3），即当0＜x≤3时，y随x的变化关系是二次函数关系，且当x=3时，y=4.5；当3≤x≤6时，点P与点B重合，点Q在CB上运动（如图2），
由题意可得PQ=6-x，AP=3 ，过点Q作QN⊥BC于点N，在等腰直角三角形PQN中，求得QN= (6-x)，所以y= = （3≤x≤6），即当3≤x≤6时，y随x的变化关系是一次函数，且当x=6时，y=0.由此可得，只有选项D符合要求，故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再分别求出当0＜x≤3时，y与x的函数关系式；再求出3≤x≤6时y与x的函数关系式，就可得出答案。
9．（2018·葫芦岛）如图，在 ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC= =8．
当0≤x≤6时，AP=6﹣x，AQ=x，∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2﹣12x+36；
当6≤x≤8时，AP=x﹣6，AQ=x，∴y=PQ2=（AQ﹣AP）2=36；
当8≤x≤14时，CP=14﹣x，CQ=x﹣8，∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣44x+260．
故答案为：B
【分析】利用勾股定理求出AC的长，再分别求出当0≤x≤6；当6≤x≤8；当8≤x≤14的y与x的函数关系式，然后对各选项逐一判断，即可解答。
10．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册28.3 二次函数与实际问题同步课时作业（3））如图，隧道的截面是抛物线，可以用y=表示，该隧道内设双行道，限高为3m，那么每条行道宽是（ ）
A．不大于4m B．恰好4m
C．不小于4m D．大于4m，小于8m
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】由题意可知，直接把y=3代入解析式求解即可．解：把y=3代入y= 中得：
x=4，x= -4（舍去）．
∴每条行道宽应不大于4m．
故答案为：A
【分析】将函数值代入函数解析式，解一元二次方程，根据实际问题选择合适的值
二、填空题
11．（2018九上·金华月考）矩形的周长为 ，当矩形的长为 时，面积有最大值是 ．
【答案】5；25
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设矩形的长为xcm，则矩形的宽为(10-x)cm，则矩形的面积y=x(10-x)=-x2+10x(0＜x＜10)
函数开口向下，当x=5时，函数有最大值，最大值y=-52+10×5=25，
故当矩形的长为5cm时，面积有最大值是25 ．
故答案为：5，25
【分析】根据矩形的周长可得出矩形的长与宽的和为10，设矩形的长为xcm，表示出矩形的宽，再根据矩形的面积公式，列出矩形的面积y与x的函数解析式，然后将其转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求得结果。
12．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第二章《二次函数》检测题A）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 cm2．
【答案】3；18
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解： 设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，
根据题意得：S四边形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH=6×6﹣4× t（6﹣t）=2t2﹣12t+36=2（t﹣3）2+18，
∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．
故答案为：3；18
【分析】设运动时间为t（0≤t≤6），则由题意可得AE=t，AH=6﹣t，由图知S四边形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH代入计算可得关于t的二次函数，由二次函数的性质即可求解。
13．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.3二次函数的应用 同步练习）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是 ．
【答案】（ ，5）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：线段AB的解析式是y= x+1（0≤x≤4），
此时w=x（ x+1）= +x，
则x=4时，w最大=8；
线段AC的解析式是y= x+1（0≤x≤2），
此时w=x（ x+1）= +x，
此时x=2时，w最大=12；
线段BC的解析式是y=﹣2x+10（2≤x≤4），
此时w=x（﹣2x+10）=﹣2x2+10x，
此时x= 时，w最大=12.5．
综上所述，当w=xy取得最大值时，点P的坐标是（ ，5）．
【分析】分别求出线段AB、线段AC、线段BC的解析式，找出每一条线段上横、纵坐标乘积的最大值，再进一步比较即可得出答案。
14．（2018九上·南昌期中）如图，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成.若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB=44米，∠A=45°，AC1=4米，点D2的坐标为(-13，-1.69)，则桥架的拱高OH= 米.
【答案】7.24
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】设抛物线D1OD8的解析式为y=ax2，将x=-13，y=-1.69代入，解得a=-
∵横梁D1D8=C1C8=AB-2AC1=36m
∴点D1的横坐标是-18，代入y=- x2里可得y=3.24
又∵∠A=45°，
∴D1C1=AC1=4m
∴OH=3.24+4=7.24m．
【分析】由于选择了抛物线的顶点O的位置为坐标原点建立平面直角坐标系，故可以设抛物线D1OD8的解析式为y=ax2，然后将(-13，-1.69)代入即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式；根据抛物线的对称性得出横梁D1D8=C1C8=AB-2AC1=36m，故点D1的横坐标是-18，将其代入抛物线的解析式求出对应的函数值再根据等腰直角三角形的性质可得D1C1=AC1=4m从而即可求出答案。
15．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册5.3一次函数（2） 同步训练）小英存入银行2000元人民币，年利率为x，两年到期时，本息和为y元，则y与x之间的函数关系式是 ，若年利率为7%，两年到期时的本息和为 元．
【答案】y=2000（1+x）2；2289.8
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】∵本息和=本金×（1+利率），
∴一年后的本息和为：2000×（1+x），
两年后本息和y=2000×（1+x）（1+x）=2000（1+x）2，
当x=7%时，y=2289.8元．
故答案为：y=2000（1+x）2，2289.8．
【分析】根据本息和=本金×（1+利率）可得一年后的本息和为：2000×（1+x），两年后本息和y=2000×（1+x）（1+x）=2000（1+x）2；将x=7%代入求得的解析式即可求得y的值。
16．（2018九上·浙江月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 与直线 交于A、B，直线AB交于y轴于点C，点P为线段OB上一个动点（不与点O、B重合），当△OPC为等腰三角形时，点P的坐标： ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：联立抛物线与直线，得
解之：
∴B(3，3)
当x=0，y=，即C(0，)
设OB的解析式为y=kx，将B点坐标代入，得
3k=3，解得k=1
即OB的解析式为y=x
设P点坐标为(x，x)
当OP=OC时，x2+x2=()2
解得x=(不符合题意，舍)，x=
y=x=，
P1(，)；
当OP=CP时，x2+(x )2=x2+x2
解得x=，y=x=，
∴P2(，)；
当OC=CP时，x2+(x )2=()2
解得x=0(不符合题意，舍)，x=
y=x=，
∴P3(，)，
故答案为：(，)，(，)，(，)
【分析】联立抛物线与直线，解方程组，可得B点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，再求出直线OB的解析式，分三种情况讨论，根据等腰三角形的判定，可得关于x的方程，根据解方程，就可得答案。
三、综合题
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第26章《二次函数》章末测试）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】解：由题意得：y=x× =﹣ x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】由长方形的性质可将AB表示成AB=
，则长方形的面积=长
× 宽=AB
× BC；易得
自变量x的取值范围是0＜x≤25．
18．（2018九上·绍兴月考）永嘉某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣进价）
（1）写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式；
（2）当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元．若商店想要这种节能灯每周获得350元的利润，则销售单价应定为多少元？
【答案】（1）解：w=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）
=﹣2x2+136x﹣1800，
∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800（x＞18）
（2）解：∵w=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512，
∴当x=34时，w取得最大，最大利润为512元．
答：当销售单价为34元时，商店每周能获得最大利润，最大利润是512元．
（3）解：周销售利润=周销量×（单件售价﹣单件进价成本）=（﹣2x+100）（x﹣18）=﹣2x2+136x﹣1800，
由题意得，﹣2x2+136x﹣1800=350，
解得：x1=25，x2=43，
∵销售单价不得高于30元，
∴x取25，
答：销售单价定为25元时商店每周能获得350元的利润；
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）每只节能灯的利润为：（x﹣18）元，根据总利润等于单只的利润乘以销售数量y，而y=﹣2x+100，再整体替换即可列出W与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）列函数解析式的性质即可得出答案；
（3）将W=350代入（1）列函数解析式，解方程，求出对应的x的值，再根据销售单价不得高于30元检验，即可得出答案。
19．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第26章《二次函数》章末测试）如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边DE落在x轴的正半轴上，边AG落在y轴的正半轴上，A、B两点在抛物线y= x2+bx+c上．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）求抛物线y= x2+bx+c的解析式；
（3）将正方形CDEF沿x轴向右平移，使点F落在抛物线y= x2+bx+c上，求平移的距离．
【答案】（1）解：由图象，得B（1，3）．
（2）解：由题意，得A（0，2）
∴ ，解得：
，
∴ ，
∴抛物线的解析式为：
（3）解：当y=1时，
∴ 解得：
x= 或 （不符合题意应舍去），
∴F′（ ，1），
∴E′（ ，0），
∴OE′= ，
∴平移的距离为： ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由正方形的性质易得
点B的坐标为（1，3）；
（2）
由正方形的性质易得
点A的坐标为（0，2）；因为A、B都在抛物线上，所以将点A、B的坐标代入解析式可得关于c、b的方程组，解方程组即可求解析式；
（3）
由正方形的性质易得平移后
点F的纵坐标为1，于是把y=1代入（2）中求得的解析式可求出x的值，则根据平移的方向可求得平移后点F的横坐标，则平移的距离 可求解
。
20．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.3二次函数的应用 同步练习）某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b，yB= （x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．
（1）分别求yA、yB关于x的函数关系式；
（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？
（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？
【答案】（1）解：由题意可得出：yB= （x﹣60）2+m经过（0，1000），
则1000= （0﹣60）2+m，
解得：m=100，
∴yB= （x﹣60）2+100，
当x=40时，yB= ×（40﹣60）2+100，
解得：yB=200，
yA=kx+b，经过（0，1000），（40，200），则 ，
解得： ，
∴yA=﹣20x+1000；
（2）解：当A组材料的温度降至120℃时，
120=﹣20x+1000，
解得：x=44，
当x=44，yB= （44﹣60）2+100=164（℃），
∴B组材料的温度是164℃
（3）解：当0＜x＜40时，yA﹣yB=﹣20x+1000﹣ （x﹣60）2﹣100=﹣ x2+10x=﹣ （x﹣20）2+100，
∴当x=20时，两组材料温差最大为100℃
【知识点】一次函数的性质；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由 yB= （x﹣60）2+m经过（0，1000）， 可求 yB的解析式，再求出两函数的交点坐标，即可求出 yA 的函数关系式。（2）先把y=120代入 yA 求出x的值，再把x的值代入yB求出答案。（3）先求出 yA-yB的函数关系式，进而求出最值即可。
21．（2018九上·武昌期中）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是 ，拱桥的跨度为 ，桥洞与水面的最大距离是 ，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 的景观灯，把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中。
（1）求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）求两盏景观灯之间的水平距离。
【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）2+5，把（0，1）代入y=a（x﹣5）2+5，得：a=﹣ ，∴y=﹣ （x﹣5）2+5（0≤x≤10），即 （0≤x≤10）
（2）解：由已知得两景观灯的纵坐标都是4，∴4=﹣ （x﹣5）2+5，∴ （x﹣5）2=1，∴x1= ，x2= ，∴两景观灯间的距离为 ﹣ =5米．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）由桥的跨度可知顶点的横坐标为5，由抛物线两端点与水面的距离都是1m，可知抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），再由 桥洞与水面的最大距离是5m，可得出顶点的纵坐标为5，继而可得出顶点坐标，再设函数解析式为顶点式，利用待定系数法，就可求出抛物线的解析式及自变量的取值范围。
（2）根据 桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯 ，可知 两景观灯的纵坐标都是4 ，将y=4代入（1）中的函数解析式，求出对应的x的值，就可得出 两景观灯间的距离 。
22．（2018九上·上虞月考）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【答案】（1）解：设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为
将 代入 ，得
解得：
设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为
（2）解：当 时，有
解得：
为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.
（3）解：当 时，
设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为
该函数图象经过点（16，0）
，解得：b=3
改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为
扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米。
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，即可得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求得当y=1.8市x的值，由此即可得出结论；
（3）利用二次函数图象上的点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-x2+bx+，代入点（16，0）可求得b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论。
23．（2018九上·武汉月考）如图，已知排球场的长度OD为18 m，位于球场中线处球网的高度AB为2.4 m，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.6 m的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为6 m时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系
（1）当球上升的最大高度为3.4 m时，对方距离球网0.4 m的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1 m，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明
（2）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）
【答案】（1）解：根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（6，3.4），设抛物线解析式为y=a（x﹣6）2+3.4，将点C（0，1.6）代入，得：36a+3.4=1.6，解得：a=﹣ ，∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y=﹣ （x﹣6）2+ ；由题意当x=9.5时，y=﹣ （9.4﹣6）2+ ≈2.8＜3.1，
故这次她可以拦网成功
（2）解：设抛物线解析式为y=a（x﹣6）2+h，
将点C（0，1.6）代入，得：36a+h=1.6，即a= ，
∴此时抛物线解析式为y= （x﹣6）2+h，
根据题意，得： ，
解得：h≥3.025，
答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据题意可知抛物线的顶点坐标，因此设函数解析式为顶点式，再将点C的坐标代入可求出函数解析式，然后求出x=9.5时的y的值，再与3.1比较大小，可得出结果。
（2）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）2+h，将点C的坐标代入，用含h的代数式表示出a，再根据题意建立关于h的不等式组，解不等式就可求出h的取值范围，即可得出答案。
24．（2019九上·海淀期中）如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．
【答案】（1）解：∵大长方形的周长为6m，宽为xm，
∴长为 m，
∴y=x =- （0＜x＜2）
（2）解：由（1）可知：y和x是二次函数关系，
a=- ＜0，
∴函数有最大值，
当x=- 时，y最大= m2．
答：窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5m2．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）用x表示长方形的长与宽，结合面积计算公式，用x表示，即可得出答案。
（2）结合二次函数的性质，在对称轴处取得最值，即可得出答案。
25．（2019九上·龙湖期末）如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵该抛物线过点C(0，－2)，
∴可设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2.
将A(4，0)，B(1，0)代入，得 ，解得 ，
∴此抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x－2
（2）解：存在。
设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为－ m2＋ m－2，
当1＜m＜4时，AM＝4－m，PM＝－ m2＋ m－2.
又∵∠COA＝∠PMA＝90°，
∴①当 时，△APM∽△ACO，
即4－m＝2(－ m2＋ m－2)．
解得m1＝2，m2＝4(舍去)，
∴P(2，1)．
②当 时，△APM∽△CAO，
即2(4－m)＝－ m2＋ m－2.
解得m1＝4，m2＝5(均不合题意，舍去)，
∴当1＜m＜4时，P(2，1)．
类似地可求出当m＞4时，P(5，－2)．
当m＜1时，P(－3，－14)或P(0，－2)，
综上所述，符合条件的点P为(2，1)或 (5，－2)或(－3，－14)或(0，－2)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）通过待定系数法，设出二次函数的表达式，将A、B、C三点坐标代入即可求出抛物线的解析式；
（2）问是否存在点P，一般先假设存在，设出P点坐标，P点纵坐标可能是正数也可能是负数，故对m值要进行讨论。其中以A、P、M为顶点的三角形与 △OAC相似，对顶点对应进行相应讨论后，根据直角三角形相似的判定即可进行求出符合题意的m值，继而可求出相应的点的坐标。
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