【精品解析】初中数学苏科版九年级下册5.5 用二次函数解决问题 同步练习

初中数学苏科版九年级下册5.5 用二次函数解决问题 同步练习
一、单选题
1．（2021·建湖模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（　　）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），
设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，
将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，
解得：a＝ ，
∴h＝ （t﹣3）2+40.
①∵顶点为（3，40），
∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；
③令h＝20，则20＝ （t﹣3）2+40，
解得t＝3± ，故③错误；
④令t＝2，则h＝ （2﹣3）2+40＝ m，故④错误.
综上，正确的有①②.
故答案为：A.
【分析】由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可.
2．（2020九上·海门月考）图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽为4m.如果水面宽度为6m，则水面下降 （　　）
A．3.5 B．3 C．2.5 D．2
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设此函数解析式为： ， ；
那么 应在此函数解析式上.
则
即得 ，
那么 .
当x=3时，
∴水面下降(-2)-(-4.5)=2.5（米）
故答案为：C.
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，可设此函数解析式为： ，利用待定系数法求出解析式，再根据水面宽度为6m时，求出当x=3时，对应y值即可解答.
3．（2020·连云模拟）竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+ ，若小球经过 秒落地，则小球在上抛过程中，第（　　）秒离地面最高.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵竖直上抛的小球离地面的高度h(米)与时间t(秒)的函数关系式为h＝﹣2t2+mt+ ，小球经过 秒落地，
∴t＝ 时，h＝0，
则0＝﹣2×( )2+ m+ ，
解得：m＝ ，
当t＝ ＝ = 时，h最大，
故答案为： .
【分析】首先根据题意得出m的值，进而求出t＝ 的值即可求得答案.
4．（2020·苏州模拟）如图，已知二次函数y=mx2-4mx+3m(m>0)的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，若CA平分∠OCB，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过点A作AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB
∵CA平分∠OCB
∴∠OCA=∠ACB
∴∠DCA=∠DAC
∴DA=CD
当x=0时y=3m
∴点C（0，3m）
∴OC=3m，
当y=0时mx2-4mx+3m=0
∵m≠0
∴x2-4x+3=0
解之：x1=1，x2=3
∴点A（1，0），点B（3，0）
∴OA=1，OB=3.
∵AD∥BC
∴即
解之：OD=m，
∴AD=CD=OC-OD=3m-m=2m，
在Rt△OAD中，
AD2-OD2=OA2
∴（2m）2-m2=12
解之：m1=，m2=＜0（舍去）.
故答案为：D.
【分析】 过点A作AD∥BC，易证∠DCA=∠DAC，利用等角对等边可证得AD=CD，利用函数解析式求出点C的坐标及点A，B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理求出OD的长，然后利用勾股定理建立关于m的方程，解方程求出m的值。
5．（2019·连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（　　）
A．18m2 B． m2 C． m2 D． m2
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，
则四边形ADCE为矩形，设CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°， 则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，
在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°，
∴梯形ABCD面积
∴当x=4时，S最大=24 .
即CD长为4 m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24 m2。
故答案为：C。
【分析】如图，过点C作CE⊥AB于E， 很容易判断出四边形ADCE为矩形，根据矩形的性质得出CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°， 则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，在Rt△CBE中，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出，根据勾股定理及矩形的性质得出，然后根据梯形的面积计算公式即可建立出S与x的函数关系式，根据函数性质即可解决问题。
6．（2019九下·无锡期中）若 表示 三个数中的最小值，当 时 ，则 的最大值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
当x+2=8-x时，y有最大值，
即：x=3，y最大=3+2=5.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的作法作出图象，然后根据min的定义解答即可.
7．（2018九上·江苏期中）如图，二次函数 的最大值为3，一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（　　）
A．m≥3 B．m≥-3 C．m≤3 D．m≤-3
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】方程ax2+bx+c-m=0有实数根，相当于y=ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，
又∵图象最高点y=3，
∴二次函数最多可以向下平移三个单位，
∴m≤3，
故答案为：C．
【分析】方程ax2+bx+c-m=0有实数根，相当于y=ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，又图像最高点的纵坐标为3，根据图像平移的规律，二次函数最多可以向下平移三个单位，从而得出答案。
8．（2018九上·江苏期中）如图，⊙O是以原点为圆心， 为半径的圆，点 是直线 上的一点，过点 作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】∵P在直线y=-x+6上，
∴设P坐标为（m，6-m），
连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，根据勾股定理得：OP2=PQ2+OQ2，
∴PQ2=m2+（6-m）2-2=2m2-12m+34=2（m-3）2+16，
则当m=3时，切线长PQ的最小值为4．
故答案为：B．
【分析】根据直线上点的坐标特点设出P坐标为（m，6-m），连接OQ，OP，根据切线的性质得到PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得出PQ2=2（m-3）2+16，根据所得函数的性质即可解决问题。
9．（2018·扬州模拟）一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒，设BE＝CF＝xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（　　）
A．30cm B．25cm C．20cm D．15cm
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a= x，h= （40﹣x），0＜x＜40．S=4ah=8x（40﹣x）=﹣8（x﹣20）2+3200，∴当x=20cm时，S取最大值．故答案为：C．
【分析】设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm）a= x，h= （40﹣x），其侧面积应该是4个全等的矩形，故侧面积为S=4ah=8x（40﹣x）=﹣8（x﹣20）2+3200，根据所得函数的性质即可解决问题。
10．（2017·通州模拟）为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最大面积是（　　）
A．600 m2 B．625 m2 C．650 m2 D．675 m2
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的一边长为xm，则其邻边为（50﹣x）m，若面积为S，则
S=x（50﹣x）
=﹣x2+50x
=﹣（x﹣25）2+625．
∵﹣1＜0，
∴S有最大值．
当x=25时，最大值为625，
故选：B．
【分析】先求出最大面积的表达式，再运用性质求解．
二、填空题
11．（2021九上·建湖期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度为 ，水柱落地处离池中心距离为 ，则水管的长度 是　 　 .
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，
由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0），
∴0=a（6-2）2+5，解得： ，
∴抛物线解析式为：
当x=0时，
∴水管的长度OA是 m.
故答案为： .
【分析】设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，将(2, 5)与(6, 0)代入解析式，求得a的值，再令x=0，求得y的值即可得出答案.
12．（2021九上·海州期末）王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物线 相吻合，那么他能跳过的最大高度为　 　m.
【答案】
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵
=
=
=
∴抛物线的最大值为 ，
故他能跳过的最大高度为 .
【分析】先配方，则完全平方式的非负性可知抛物线的最大值为，即可求解.
13．（2021九上·江都期末）道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图 ），图 是一个长为 米，宽为 米的矩形隔离栏，中间被 根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点 ，点 ）以及点 ，点 落在同一条抛物线上，若第 根栏杆涂色部分（ ）与第 根栏杆未涂色部分（ ）长度相等，则 的长度是　 　.
【答案】0.4
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图，
令P下方的点为H，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，则A(1，0)，B(-1,O)，
设抛物线的方程为y=ax2+bx+c
∴抛物线的对称轴为x=0，则 ＝0，即b＝0.
∴y＝ax2 +c.
将A(1，0)代入得a+c＝0,则c＝－a.
∴y＝ax2－a.
∵OH＝2× × ＝0.2，则点H的坐标为（-0.2，0）
同理可得：点F的坐标为（-0.6，0）.
∴PH＝a×(-0.2)2-a＝－0.96a
EF＝a×(-0.6)2-a＝－0.64a.
又∵PQ＝EF＝1－（－0.96a）＝－0.64a
∴1＋0.96a＝－0.64a.
解得a＝ .
∴y＝ x2＋ .
∴EF＝（ ）×（-0.6）2＋ ＝ .
故答案为：0.4.
【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，通过已知线段长度求出A(1，0)，B(-1,O)，由二次函数的性质确定y＝ax2－a，利用PQ＝EF建立等式，求出二次函数中的参数a，即可得出EF的值.
14．（2020九上·海安期中）定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形.已知垂美四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC＋BD＝12，则当AC＝　 　时，四边形ABCD的面积最大.
【答案】6
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】∵四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴ ，
∵AC＋BD＝12，
∴ ，
∴ ，
∵ 且 ，
当 时，函数有最大值，
∴AC=6时，面积有最大值；
故答案是6.
【分析】由四边形ABCD的对角线互相垂直，可得，由AC＋BD＝12，可得 ，从而可得利用二次函数的性质进行解答即可.
15．（2020九上·射阳月考）如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，小强骑自行车从拱梁一端O匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶到6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需　 　分钟.
【答案】20
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图所示：
设在6分钟时到达A点，在14分钟时到达B，
∵6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，
∴A，B关于对称轴对称.则从A到B需要8分钟，则从A到D需要4分钟.
∴从O到D需要6+4=10分.
∴从O到C需要2×10=20分.
故答案为：20.
【分析】6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，则A，B一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则O到对称轴的时间可以求得，进而即可求得OC之间的时间.
16．（2020九上·南通月考）某大学的校门如图所示是抛物线形水泥建筑物，大门内侧的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，那么校门内侧距地面的高是　 　米.
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为 ，
由题意得：此抛物线的图象经过点 和点 ，即点 和点 ，
将点 和点 代入得： ，
解得 ，
则抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
即校门内侧距地面的高是 米，
故答案为： .
【分析】如图（见解析），设抛物线的解析式为 ，将点 和点 代入求出a、c的值，再求出 时，y的值即可得.
17．（2020九上·海门月考）已知，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，且AC+BD＝10，当AC＝　 　时，四边形ABCD的面积最大，最大值为　 　.
【答案】5；12.5
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设 ，四边形ABCD面积为S，则 ，
则： ，
∵ ，
∴S有最大值，
当 时，四边形ABCD的面积最大，
即当 时，四边形ABCD面积最大，
，
故答案为：5，12.5.
【分析】根据已知设四边形ABCD面积为S，AC为 ，则 ，进而求出 ，再求出最值即可.
18．（2020九上·江苏月考）将一条长为20 cm的铁丝剪成两段并用每一段铁丝刚好围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是　 　 .
【答案】 cm2　
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设一段铁丝的长度为x,另一段为(20 x)，
则S= x2+ (20 x)(20 x)= (x 10)2+ ，
∴由函数当x=10cm时,S最小,为 cm2.
即这两个正方形面积之和的最小值是 cm2.
故答案为 ： cm2.
【分析】根据正方形面积和周长的转化关系“正方形的面积= ×周长×周长”列出面积的函数关系式并求得最小值.
19．（2020·连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率 与加工时间 （单位： ）满足函数表达式 ，则最佳加工时间为　 　 .
【答案】3.75
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵ 的对称轴为 （min），
故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75.
【分析】根据二次函数的对称轴公式 直接计算即可.
20．（2020·苏州模拟）用一根长为20cm的铁丝围成一个矩形，那么这个矩形的面积可能是　 　cm2(写出1个可能的值即可)
【答案】25
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个矩形的长为xm，则宽为（10-x）m，这个矩形的面积为S，
∴y=x（10-x）=-（x-5）2+25.
∵x的取值范围是0＜x＜10,
∴S的取值范围是：0＜S≤25.（不等于25的任意一个正实数）
∴这个矩形的面积可以是25.
故答案为：25.
【分析】利用矩形的周长为20，设这个矩形的长为xm，面积为S，列出S与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，就可求出x和S的取值范围，从而可得答案。
三、解答题
21．（2021九上·海州期末）某汽车出租公司以每辆汽车月租费3000元，100辆汽车可以全部租出.若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租1辆汽车.已知每辆租出的汽车支付月维护费200元，问每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【答案】解：设每月租出 辆汽车时，该出租公司的月收益最大，月收益为 元.
根据题意得： ，
即： .
配方得： .
故每月租出78辆汽车时，该出租公司的月收益最大，最大月收益是304200元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设每月租出x辆汽车时，该出租公司的月收益最大，月收益是y元，根据题意得到y=[3000+50（100-x）]x-200x，求出函数的最大值，即可得到结论．
22．（2020九上·海门月考）如图所示，公园要造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面距离最大，高度2.25m.若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外
【答案】解：以地面上任一条直线为x轴，OA为y轴建立直角坐标系，
设y=a(x-1)2+2.25，则当x=0时，y=1.25，故a+2.25=1，a=-1.
由y=0得-(x-1)2+2.25=0，得(x-1)2=2.25，解得x1=2.5，x2=-0.5(舍去)
故水池的半径至少要2.5米.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】以地面上任一条直线为x轴，OA为y轴建立直角坐标系，由题意可设y=a(x-1)2+2.25，再根据x=0时，y=1.25即可求得函数关系式，再求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到结果.
23．（2019·天宁模拟）某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：
方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；
方案二：售价不变，但发资料做广告.已知当这种商品每月的广告费用为m(千元)时，每月销售量将是原销售量的p倍，且p
= .
试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！
【答案】解：设涨价x元，利润为y元，则
方案一：涨价x元时，该商品每一件利润为：50+x 40，销售量为：500 10x，
∴ ，
∵当x=20时，y最大=9000，
∴方案一的最大利润为9000元；
方案二：该商品售价利润为=(50 40)×500p，广告费用为：1000m元，
∴ ，
∴方案二的最大利润为10125元；
∴选择方案二能获得更大的利润.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设涨价x元，利润为y元 ,根据销售利润=单件利润×销售量，分别求出方案一、二的利润y与x的关系式，利用二次函数的性质分别求出最值，然后比较即可.
24．（2012·盐城）知识迁移
当a＞0且x＞0时，因为 ，所以x﹣ + ≥0，从而x+ ≥ （当x= ）是取等号）．
记函数y=x+ （a＞0，x＞0）．由上述结论可知：当x= 时，该函数有最小值为2 ．
直接应用
已知函数y1=x（x＞0）与函数y2= （x＞0），则当x=1时，y1+y2取得最小值为2．
变形应用
已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），求 的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
【答案】解：直接应用：
∵函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 时，该函数有最小值为2 ．
∴函数y1=x（x＞0）与函数y2= （x＞0），则当x=1时，y1+y2取得最小值为2．
变形应用
已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），
则 = =（x+1）+ 的最小值为：2 =4，
∵当（x+1）+ =4时，
整理得出：x2﹣2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
检验：x=1时，x+1=2≠0，
故x=1是原方程的解，
故 的最小值为4，相应的x的值为1；
实际应用
设行驶x千米的费用为y，则由题意得，y=360+1.6x+0.001x2，
故平均每千米的运输成本为： =0.001x+ +1.6=0.001x+ +1.6，
由题意可得：当0.001x= 时， 取得最小，此时x=600km，
此时 ≥2 +1.6=2.8，
即当一次运输的路程为600千米时，平均每千米的运输成本最低，最低费用为：2.8元．
答：汽车一次运输的路程为600千米，平均每千米的运输成本最低，最低是2.8元．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果．
变形运用：先得出 的表达式，然后将（x+1）看做一个整体，继而再运用所给结论即可．
实际运用：设行驶x千米的费用为y，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所给的结论即可得出答案．
25．（2012·常州）某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件，根据市场调研，若每件降价1元，则每天销售数量比原来多3件．现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降价x元（x为正整数）．在促销期间，商场要想每天获得最大销售毛利润，每件应降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差）
【答案】解：设每件降价x元时，获得的销售毛利润为y元．
由题意，有y=（60﹣40﹣x）（20+3x）=﹣3x2+40x+400，
∵x为正整数，
∴当x= = ≈7时，y有最大值﹣3×72+40×7+400=533．
因此，在促销期间，商场要想每天获得最大销售毛利润，每件应降价7元，此时，每天最大销售毛利润为533元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每件降低x元时，获得的销售毛利润为y元．根据毛利润=每件服装销售毛利润×销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质，结合已知条件即可求出最大销售毛利润和降价元数．
26．（2017九上·灌云期末）某涵洞的截面边缘成抛物线形，现测得当水面宽AB=2米时涵洞的顶点与水面的距离为4米，这时离开水面2米处涵洞宽DE是多少？
【答案】解：根据题意知点B坐标为（1，﹣4），
设抛物线解析式为y=ax2，
将点B（1，﹣4）代入，得：a=﹣4，
∴抛物线解析式为y=﹣4x2，
当y=﹣2时，由﹣4x2=﹣2得x=± ，
∴DE= ﹣（﹣ ）= ，
答：这时离开水面2米处涵洞宽DE是 米
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】根据点B的坐标利用待定系数法求得函数解析式，再求出离开水面2米处即y=﹣2时x的值，从而得出答案．
27．公司投资750万元，成功研制出一种市场需求量较大的产品，并再投入资金1750万元进行相关生产设备的改进．已知生产过程中，每件产品的成本为60元．在销售过程中发现，当销售单价定为120元时，年销售量为24万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元）（x＞120），年销售量为y（万件），第一年年获利（年获利=年销售额﹣生产成本）为z（万元）．
（1）求出y与x之间，z与x之间的函数关系式；
（2）该公司能否在第一年收回投资．
【答案】解：由题意得，
y=24﹣，即y=﹣x+36，
z=（x﹣60）（﹣x+36）=﹣x2+42x﹣2160；
（2）z=﹣x2+42x﹣2160=﹣（x﹣210）2+2250，
当x=210时，第一年的年最大利润为2250万元，
∵2250＜750+1750，
∴公司不能在第一年收回投资．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据：年销量=原销量﹣因价格上涨减少的销量，年获利=单件利润×年销售量，可列出函数关系式；
　　　　（2）将（1）中年利润函数关系式配成顶点式，可知其最大值小于总投资，故第一年不能收回投资．
28．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是y轴正半轴上的点，OD=3，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，
①试说明EF是圆的直径；
②判断△AEF的形状，并说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），
∴有，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（2）按照题意画出图形，如下图，
①∵B点坐标（3，0）、C点坐标（0，﹣3），
∴OB=OC=3，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
又∵D是y轴正半轴上的点，OD=3，
∴△BOD为等腰直接三角形，
∴∠OBD=45°，
∠CBD=∠CBO+∠OBD=45°+45°=90°，
即∠FBE=90°，
∴EF是圆的直径．
②∵∠CBO=∠OBD=45°，∠AFE=∠OBD，∠AEF=∠CBO（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∴∠FAE=90°，AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线方程，即可求得a、b、c的值；
　　　　（2）①由B、C、D三点的坐标即可得出∠CBO=∠OBD=45°，从而得出∠EBF=90°，即可得出EF为圆的直径；
　　　　②利用同圆内，同弧所对的圆周角相等，可以找到∠AEF=∠AFE=45°，从而得出△AEF是等腰直角三角形．
29．今年以来，国务院连续发布了《关于加快构建大众创业万众创新支撑平台的指导意见》等一系列支持性政策，各地政府高度重视、积极响应，中国掀起了大众创业万众创新的新浪潮．某创新公司生产营销A、B两种新产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系y=ax2+bx，当x=1时，y=7；当x=2时，y=12．
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=2x．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求a，b的值；
（2）该公司准备生产营销A、B两种产品共10吨，请设计一个生产方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？
【答案】解：（1）将x=1，y=7；x=2，y=12代入y=ax2+bx得：
，
解得：．
答：a=﹣1，b=8；
（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，
则W=﹣m2+8m+2（10﹣m）=﹣m2+6m+20=﹣（m﹣3）2+29，
∵﹣1＜0，
∴当m=2时，W有最大值29万，
∴购进A产品3吨，购进B产品7吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是29万元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）把两组数据代入二次函数解析式，然后利用待定系数法求解即可；
（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到W与m的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答．
30．汽车租赁行业现在火爆起来．小明开办了一家汽车租赁公司，拥有汽车20辆，在旺季每辆车的每天租金为600元时，可全部租出：当每辆车的每天租金增加50元时，未租出的车将增加一辆，租出的车辆每辆每天需要维护费200元，未租出的车辆每辆每天需要维护费100元，每天其他开销共计1000元．
（1）当每辆车的租金为1000元时，每天能租出多少辆车？每天净收益为多少元？
（2）当每辆车的每天租金定为多少元时，租赁公司的每天净收益最大？最大净收益为多少元？（每天净收益=总租金﹣租出去车辆维护费﹣未租出去车辆维护费﹣每天其他开销）
【答案】解：（1）当每辆车的租金为x元时，每天租出的车有：20﹣ =12（辆），
每天的净收益为：12×（1000﹣200）﹣8×100﹣1000=7800元，
答：当每辆车的租金为1000元时，每天能租出12辆车，每天净收益为7800元．
（2）设每辆车每天的租金为x元，每天的净收益为y元，根据题意，
得：y=（x﹣200）（20﹣ ）﹣×100﹣1000
=﹣x2+34x﹣6200，
∵a=﹣＜0，
∴当x=﹣ =850元时，y取得最大值8250元，
答：当每辆车的每天租金定为850元时，租赁公司的每天净收益最大，最大净收益为8250元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据：租出的车=20﹣ ，每天净收益=总租金﹣租出去车辆维护费﹣未租出去车辆维护费﹣每天其他开销，列式计算可得；
（2）根据：每天净收益=总租金﹣租出去车辆维护费﹣未租出去车辆维护费﹣每天其他开销列出函数关系式，根据二次函数性质可得最值情况．
四、综合题
31．（2021·江都模拟）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是40元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是50元时，销售量是600件，而销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具.
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞50），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润ω元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元） x
销售量y（件） 　 　
销售玩具获得利润ω（元） 　 　
（2）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于54元，且商场要完成不少于400件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？
【答案】（1）-10x+1100；
（2）解：由题得 ，解得：
，
∴ 时取最大值，最大值为12000.
答：商场的最大利润为12000元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得，
①：
②：
故答案为：①；②；
【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得销售量 利润 ；（2）首先求出x的取值范围，然后把 转化成 ，结合x的取值范围，求出最大利润.
32．（2021九下·吴中开学考）某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象.
（1）求y与x的函数解析式；
（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值.
【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，
根据题意，得： ，解得： ，
∴y与x的函数解析式为y=-2x+340（20≤x≤40）.
（2）解：由已知得：W=（x-20）（-2x+340）
=-2x2+380x-6800
=-2×（x-95）2+11250，
∵-2＜0，
∴当x≤95时，W随x的增大而增大，
∵20≤x≤40，
∴当x=40时，W最大，最大值为-2×（40-95）2+11250=5200元.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法结合函数图象求解可得；（2）根据：总利润=每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值.
33．（2021九上·东海期末）某超市销售一种时尚玩具，进价为每件10元，售价为每件12元时，当天的销售量为200件，在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少10件.设当天销售单价统一为每件x元（ ，且是按着0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若当天销售利润为640元，求当天的销售单价；
（3）若每件玩具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件玩具的售价应为多少元？并求出最大利润.
【答案】（1）解：由题意得y=（x-10）[200-（x-12）÷0.5×10]
化简得： .
（2）解：由题意得： ，解得 ，
答：当天的销售单价为14元或18元.
（3）解：∵每件文具利润不超过80%
∴x-10≤10×80%，得x≤18，
∴文具的销售单价为：12 ≤x≤18
，
当x=16时，取得最大值，此时 元.
所以当 时，y有最大值720元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售数量，化简即可得到函数解析式；
（2）将y= 640代入（1）的关系式， 即可求出答案；
（3）由题意可知，利润不超过80%即 x-10≤10×80%，得x≤18 ，再结合二次函数的性质即可求解.
34．（2021九上·淮安期末）某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x(天) 1≤x＜50 50≤x≤90
售价(元/件) x＋40 90
每天销量(件) 200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000；
当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000.
∴y＝
（2）解：当1≤x＜50时，二次函数的图象开口下、对称轴为x＝45，
∴当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；
当50≤x≤90时，一次函数y随x的增大而减小，
∴当x＝50时，y最大＝6000.
∴综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据销售数量乘以每件的利润=总利润可分别求得 当1≤x＜50时和当50≤x≤90时， y与x的函数关系式；
（2）根据题意可以分别求得两段的函数的最大值，从而可以解答本题.
35．（2021九上·建湖期末）某商场销售一种小商品，进货价为8元/件.当售价为10元/件时，每天的销售量为100件.在销售过程中发现：销售单价每上涨0.1元，每天的销售量就减少1件.设销售单价为x元/件（ ），每天销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）要使每天销售利润不低于270元，求销售单价所在的范围；
（3）若每件该小商品的利润不超过 ，则每件该小商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大.最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意得 ，
∴y与x的函数关系式为： ；
（2）解：由题意得： ，
解得 ，
∵ ，
∴销售单价所在的范围为 ；
（3）解：∵每件小商品利润不超过 ，
∴ ，得 ，
∴小商品的销售单价为 ，
由（1）得 ，
∵对称轴为直线 ，
∴ 在对称轴的左侧，且 随着 的增大而增大，
∴当 时，取得最大值，此时 ，
即每件小商品售价为12元时，最大利润为320元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】( 1 )销售单价为x元/件时，每件的利润为x-8，此时销量为[100- 10(x-10)] ，根据利润=每件利润×销量可得函数关系式；
（2）根据题意结合(1 )的结论，建立不等式求解即可；
（3）首先求出利润不超过50%时的销售单价的范围，再结合( 1 )的解析式，利用二次函数的性质求解即可.
36．（2021九上·宜兴期末）某公司生产的商品的市场指导价为每件500元，公司的实际销售价格可以浮动x个百分点，即销售价格=500（1+x%），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y（件）与销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y=-10x+120，若该公司按浮动-12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%.
（1）求该公司生产销售每件商品的成本为多少元；
（2）当该公司的商品定价为每件多少元时，日销售利润最多？最多是多少元？（说明：日销售利润=（销售价格-成本）×日销售量）
（3）该公司决定每销售一件商品就捐赠m元利润（m≥l）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于-3时，扣除捐赠后的日销售利润随x增大而减小，直接写出m的取值范围.
【答案】（1）解：设该公司生产销售每件商品的成本为z元，
依题意得：500（1-12%）=（1+10%）z，
解得：z=400，
答：该公司生产销售每件商品的成本为400元；
（2）解：设利润为w，由题意得：
，
∵ ，
∴w有最大值，即当 ，利润最多12800元，
此时定价为： (元)，
∴当该公司的商品定价为每件 元时，日销售利润最多，最多是12800元；
（3）解：设扣除捐赠后的日销售利润为y，
由题意得：
∵对称轴为 ，
由题意得： ，解得： ，
∴ m的范围是 .
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设该公司生产销售每件商品的成本为z元，根据该公司按浮动-12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%，可列出关于z的方程，求解即可；
(2)设利润为w元，根据利润等于日销量乘以每件的利润，列出w关于x的二次函数，求得对称轴，根据二次函数的性质求出最大值即可；
(3) 设利润为w元，根据利润等于日销量乘以(每件的利润捐赠m元)， 列出w关于x的二次函数，求得对称轴，根据二次函数的性质列不等式求解，结合m≥1，可得答案.
37．（2021九上·宜兴期末）如图，在一次高尔夫球的比赛中，某运动员在原点O处击球，目标是离击球点10米远的球洞，球的飞行路线是一条抛物线，结果球的落地点距离球洞2米，（击球点、落地点、球洞三点共线）球在空中最高处达3.2米.
（1）求表示球飞行的高度y（单位：米）与表示球飞出的水平距离x（单位：米）之间的函数关系式；
（2）当球的飞行高度不低于3米时，求x的取值范围.
【答案】（1）解：抛物线过原点 ，设抛物线解析式为： ，
球的落地点距离=10-2=8米，则落地点坐标为（8，0），
∴ ，
∴ ，
球在空中最高处达3.2米，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：当y=3时， ，
整理得： ，
∴ ，
∴ 或 ，
∵ ，抛物线开口向下，球的飞行高度不低于3米应在两根之间，
∴球的飞行高度不低于3米， x的取值范围是 .
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】( 1 )由抛物线过原点可设抛物线解析式为: y=ax2 +bx，可求球落地点坐标为(8, 0)，代入抛物线得8a+b=0，由球在空中最高处达3.2米，利用抛物线顶点坐标公式 ，联立解方程组即可；
(2 )先求出当y=3时，自变量的值，-0.2x2 +1.6x=3，解得x=3或x=5，由a=-0.2<0，抛物线开口向下，球的飞行高度不低于3米应在两根之间即可.
38．（2021九上·海州期末）如图，隧道的截面由抛物线 和矩形 构成，矩形的长 为 ，宽 为 ，隧道最高点E距离地面 ，以 所在的直线为x轴，线段 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴.
（1）求该抛物线的关系式；
（2）现有一辆货运卡车高 ，宽 ，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论.
【答案】（1）解：由题意可知抛物线顶点 ， ，
设抛物线关系式为 ，
将 代入，得16a+6=2.
解得 .
∴抛物线关系式为 .
（2）解：货运卡车从隧道正中间走，由抛物线的对称性，得2.4÷2=1.2，
因此，当 时， .
所以，这辆货运卡车能通过该隧道.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】 （1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，根据顶点式设 ，代入D点坐标即可求抛物线的解析式；
（2）根据题意，把x=±1.2代入解析式，得到y=5.64．由于5.64>4.5，于是可知货运卡车能通过．
39．（2021九上·溧阳期末）传统节日“春节”到来之际，某商店老板以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件.调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件.
（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价x（元）间的函数关系式；
（2）单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）y=（80-60+x）（300-10x）
=-10x2+100x+6000（0≤x≤30）；
（2）y=-10x2+100x+6000
=-10（x-5）2+6250
∵a=-10＜0，
∴当x=5时，y有最大值，其最大值为6250，
即：单价定为5元时，每月销售商品的利润最大，最大利润为6250元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）单价上涨x（元），由单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件得到销售量为（300-10x）件，根据利润等于销售价减成本得到每件的利润为（80-60+x），由每月销售该商品的利润y等于月销售量×每件的利润即可建立函数关系式；
（2）把（1）得到的函数关系式进行配方得到顶点式，然后根据二次函数的最值问题易得到单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大.
40．（2020九上·张家港期中）如图，二次函数的图象与x轴相交于A( 3，0)、B(1，0)两点，与y轴相交于点C(0，3)，点C.D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D.
（1）D点坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围；
【答案】（1）解：由图象可知，二次函数的对称轴为
，点D与点C关于对称轴对称
；
（2）解：设二次函数解析式为
把 代入得
解得
则二次函数解析式为
即 ；
（3）解：要使一次函数值小于二次函数值，则二次函数的图象位于一次函数的上方
由图象可知，x的取值范围为 .
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，再根据对称性即可得；
（2）先根据点A、B坐标设立二次函数解析式的交点式，再将点C坐标代入即可得；
（3）根据二次函数的图象位于一次函数的上方求解即可得.
1 / 1初中数学苏科版九年级下册5.5 用二次函数解决问题 同步练习
一、单选题
1．（2021·建湖模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（　　）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
2．（2020九上·海门月考）图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽为4m.如果水面宽度为6m，则水面下降 （　　）
A．3.5 B．3 C．2.5 D．2
3．（2020·连云模拟）竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+ ，若小球经过 秒落地，则小球在上抛过程中，第（　　）秒离地面最高.
A． B． C． D．
4．（2020·苏州模拟）如图，已知二次函数y=mx2-4mx+3m(m>0)的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，若CA平分∠OCB，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2019·连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（　　）
A．18m2 B． m2 C． m2 D． m2
6．（2019九下·无锡期中）若 表示 三个数中的最小值，当 时 ，则 的最大值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2018九上·江苏期中）如图，二次函数 的最大值为3，一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（　　）
A．m≥3 B．m≥-3 C．m≤3 D．m≤-3
8．（2018九上·江苏期中）如图，⊙O是以原点为圆心， 为半径的圆，点 是直线 上的一点，过点 作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　）
A．3 B．4 C． D．
9．（2018·扬州模拟）一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒，设BE＝CF＝xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（　　）
A．30cm B．25cm C．20cm D．15cm
10．（2017·通州模拟）为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最大面积是（　　）
A．600 m2 B．625 m2 C．650 m2 D．675 m2
二、填空题
11．（2021九上·建湖期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度为 ，水柱落地处离池中心距离为 ，则水管的长度 是　 　 .
12．（2021九上·海州期末）王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物线 相吻合，那么他能跳过的最大高度为　 　m.
13．（2021九上·江都期末）道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图 ），图 是一个长为 米，宽为 米的矩形隔离栏，中间被 根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点 ，点 ）以及点 ，点 落在同一条抛物线上，若第 根栏杆涂色部分（ ）与第 根栏杆未涂色部分（ ）长度相等，则 的长度是　 　.
14．（2020九上·海安期中）定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形.已知垂美四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC＋BD＝12，则当AC＝　 　时，四边形ABCD的面积最大.
15．（2020九上·射阳月考）如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，小强骑自行车从拱梁一端O匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶到6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需　 　分钟.
16．（2020九上·南通月考）某大学的校门如图所示是抛物线形水泥建筑物，大门内侧的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，那么校门内侧距地面的高是　 　米.
17．（2020九上·海门月考）已知，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，且AC+BD＝10，当AC＝　 　时，四边形ABCD的面积最大，最大值为　 　.
18．（2020九上·江苏月考）将一条长为20 cm的铁丝剪成两段并用每一段铁丝刚好围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是　 　 .
19．（2020·连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率 与加工时间 （单位： ）满足函数表达式 ，则最佳加工时间为　 　 .
20．（2020·苏州模拟）用一根长为20cm的铁丝围成一个矩形，那么这个矩形的面积可能是　 　cm2(写出1个可能的值即可)
三、解答题
21．（2021九上·海州期末）某汽车出租公司以每辆汽车月租费3000元，100辆汽车可以全部租出.若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租1辆汽车.已知每辆租出的汽车支付月维护费200元，问每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？
22．（2020九上·海门月考）如图所示，公园要造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面距离最大，高度2.25m.若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外
23．（2019·天宁模拟）某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：
方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；
方案二：售价不变，但发资料做广告.已知当这种商品每月的广告费用为m(千元)时，每月销售量将是原销售量的p倍，且p
= .
试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！
24．（2012·盐城）知识迁移
当a＞0且x＞0时，因为 ，所以x﹣ + ≥0，从而x+ ≥ （当x= ）是取等号）．
记函数y=x+ （a＞0，x＞0）．由上述结论可知：当x= 时，该函数有最小值为2 ．
直接应用
已知函数y1=x（x＞0）与函数y2= （x＞0），则当x=1时，y1+y2取得最小值为2．
变形应用
已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），求 的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
25．（2012·常州）某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件，根据市场调研，若每件降价1元，则每天销售数量比原来多3件．现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降价x元（x为正整数）．在促销期间，商场要想每天获得最大销售毛利润，每件应降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差）
26．（2017九上·灌云期末）某涵洞的截面边缘成抛物线形，现测得当水面宽AB=2米时涵洞的顶点与水面的距离为4米，这时离开水面2米处涵洞宽DE是多少？
27．公司投资750万元，成功研制出一种市场需求量较大的产品，并再投入资金1750万元进行相关生产设备的改进．已知生产过程中，每件产品的成本为60元．在销售过程中发现，当销售单价定为120元时，年销售量为24万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元）（x＞120），年销售量为y（万件），第一年年获利（年获利=年销售额﹣生产成本）为z（万元）．
（1）求出y与x之间，z与x之间的函数关系式；
（2）该公司能否在第一年收回投资．
28．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是y轴正半轴上的点，OD=3，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，
①试说明EF是圆的直径；
②判断△AEF的形状，并说明理由．
29．今年以来，国务院连续发布了《关于加快构建大众创业万众创新支撑平台的指导意见》等一系列支持性政策，各地政府高度重视、积极响应，中国掀起了大众创业万众创新的新浪潮．某创新公司生产营销A、B两种新产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系y=ax2+bx，当x=1时，y=7；当x=2时，y=12．
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=2x．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求a，b的值；
（2）该公司准备生产营销A、B两种产品共10吨，请设计一个生产方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？
30．汽车租赁行业现在火爆起来．小明开办了一家汽车租赁公司，拥有汽车20辆，在旺季每辆车的每天租金为600元时，可全部租出：当每辆车的每天租金增加50元时，未租出的车将增加一辆，租出的车辆每辆每天需要维护费200元，未租出的车辆每辆每天需要维护费100元，每天其他开销共计1000元．
（1）当每辆车的租金为1000元时，每天能租出多少辆车？每天净收益为多少元？
（2）当每辆车的每天租金定为多少元时，租赁公司的每天净收益最大？最大净收益为多少元？（每天净收益=总租金﹣租出去车辆维护费﹣未租出去车辆维护费﹣每天其他开销）
四、综合题
31．（2021·江都模拟）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是40元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是50元时，销售量是600件，而销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具.
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞50），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润ω元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元） x
销售量y（件） 　 　
销售玩具获得利润ω（元） 　 　
（2）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于54元，且商场要完成不少于400件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？
32．（2021九下·吴中开学考）某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象.
（1）求y与x的函数解析式；
（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值.
33．（2021九上·东海期末）某超市销售一种时尚玩具，进价为每件10元，售价为每件12元时，当天的销售量为200件，在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少10件.设当天销售单价统一为每件x元（ ，且是按着0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若当天销售利润为640元，求当天的销售单价；
（3）若每件玩具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件玩具的售价应为多少元？并求出最大利润.
34．（2021九上·淮安期末）某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x(天) 1≤x＜50 50≤x≤90
售价(元/件) x＋40 90
每天销量(件) 200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
35．（2021九上·建湖期末）某商场销售一种小商品，进货价为8元/件.当售价为10元/件时，每天的销售量为100件.在销售过程中发现：销售单价每上涨0.1元，每天的销售量就减少1件.设销售单价为x元/件（ ），每天销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）要使每天销售利润不低于270元，求销售单价所在的范围；
（3）若每件该小商品的利润不超过 ，则每件该小商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大.最大利润是多少？
36．（2021九上·宜兴期末）某公司生产的商品的市场指导价为每件500元，公司的实际销售价格可以浮动x个百分点，即销售价格=500（1+x%），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y（件）与销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y=-10x+120，若该公司按浮动-12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%.
（1）求该公司生产销售每件商品的成本为多少元；
（2）当该公司的商品定价为每件多少元时，日销售利润最多？最多是多少元？（说明：日销售利润=（销售价格-成本）×日销售量）
（3）该公司决定每销售一件商品就捐赠m元利润（m≥l）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于-3时，扣除捐赠后的日销售利润随x增大而减小，直接写出m的取值范围.
37．（2021九上·宜兴期末）如图，在一次高尔夫球的比赛中，某运动员在原点O处击球，目标是离击球点10米远的球洞，球的飞行路线是一条抛物线，结果球的落地点距离球洞2米，（击球点、落地点、球洞三点共线）球在空中最高处达3.2米.
（1）求表示球飞行的高度y（单位：米）与表示球飞出的水平距离x（单位：米）之间的函数关系式；
（2）当球的飞行高度不低于3米时，求x的取值范围.
38．（2021九上·海州期末）如图，隧道的截面由抛物线 和矩形 构成，矩形的长 为 ，宽 为 ，隧道最高点E距离地面 ，以 所在的直线为x轴，线段 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴.
（1）求该抛物线的关系式；
（2）现有一辆货运卡车高 ，宽 ，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论.
39．（2021九上·溧阳期末）传统节日“春节”到来之际，某商店老板以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件.调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件.
（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价x（元）间的函数关系式；
（2）单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？
40．（2020九上·张家港期中）如图，二次函数的图象与x轴相交于A( 3，0)、B(1，0)两点，与y轴相交于点C(0，3)，点C.D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D.
（1）D点坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围；
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），
设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，
将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，
解得：a＝ ，
∴h＝ （t﹣3）2+40.
①∵顶点为（3，40），
∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；
③令h＝20，则20＝ （t﹣3）2+40，
解得t＝3± ，故③错误；
④令t＝2，则h＝ （2﹣3）2+40＝ m，故④错误.
综上，正确的有①②.
故答案为：A.
【分析】由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可.
2．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设此函数解析式为： ， ；
那么 应在此函数解析式上.
则
即得 ，
那么 .
当x=3时，
∴水面下降(-2)-(-4.5)=2.5（米）
故答案为：C.
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，可设此函数解析式为： ，利用待定系数法求出解析式，再根据水面宽度为6m时，求出当x=3时，对应y值即可解答.
3．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵竖直上抛的小球离地面的高度h(米)与时间t(秒)的函数关系式为h＝﹣2t2+mt+ ，小球经过 秒落地，
∴t＝ 时，h＝0，
则0＝﹣2×( )2+ m+ ，
解得：m＝ ，
当t＝ ＝ = 时，h最大，
故答案为： .
【分析】首先根据题意得出m的值，进而求出t＝ 的值即可求得答案.
4．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过点A作AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB
∵CA平分∠OCB
∴∠OCA=∠ACB
∴∠DCA=∠DAC
∴DA=CD
当x=0时y=3m
∴点C（0，3m）
∴OC=3m，
当y=0时mx2-4mx+3m=0
∵m≠0
∴x2-4x+3=0
解之：x1=1，x2=3
∴点A（1，0），点B（3，0）
∴OA=1，OB=3.
∵AD∥BC
∴即
解之：OD=m，
∴AD=CD=OC-OD=3m-m=2m，
在Rt△OAD中，
AD2-OD2=OA2
∴（2m）2-m2=12
解之：m1=，m2=＜0（舍去）.
故答案为：D.
【分析】 过点A作AD∥BC，易证∠DCA=∠DAC，利用等角对等边可证得AD=CD，利用函数解析式求出点C的坐标及点A，B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理求出OD的长，然后利用勾股定理建立关于m的方程，解方程求出m的值。
5．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，
则四边形ADCE为矩形，设CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°， 则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，
在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°，
∴梯形ABCD面积
∴当x=4时，S最大=24 .
即CD长为4 m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24 m2。
故答案为：C。
【分析】如图，过点C作CE⊥AB于E， 很容易判断出四边形ADCE为矩形，根据矩形的性质得出CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°， 则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，在Rt△CBE中，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出，根据勾股定理及矩形的性质得出，然后根据梯形的面积计算公式即可建立出S与x的函数关系式，根据函数性质即可解决问题。
6．【答案】B
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
当x+2=8-x时，y有最大值，
即：x=3，y最大=3+2=5.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的作法作出图象，然后根据min的定义解答即可.
7．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】方程ax2+bx+c-m=0有实数根，相当于y=ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，
又∵图象最高点y=3，
∴二次函数最多可以向下平移三个单位，
∴m≤3，
故答案为：C．
【分析】方程ax2+bx+c-m=0有实数根，相当于y=ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，又图像最高点的纵坐标为3，根据图像平移的规律，二次函数最多可以向下平移三个单位，从而得出答案。
8．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】∵P在直线y=-x+6上，
∴设P坐标为（m，6-m），
连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，根据勾股定理得：OP2=PQ2+OQ2，
∴PQ2=m2+（6-m）2-2=2m2-12m+34=2（m-3）2+16，
则当m=3时，切线长PQ的最小值为4．
故答案为：B．
【分析】根据直线上点的坐标特点设出P坐标为（m，6-m），连接OQ，OP，根据切线的性质得到PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得出PQ2=2（m-3）2+16，根据所得函数的性质即可解决问题。
9．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a= x，h= （40﹣x），0＜x＜40．S=4ah=8x（40﹣x）=﹣8（x﹣20）2+3200，∴当x=20cm时，S取最大值．故答案为：C．
【分析】设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm）a= x，h= （40﹣x），其侧面积应该是4个全等的矩形，故侧面积为S=4ah=8x（40﹣x）=﹣8（x﹣20）2+3200，根据所得函数的性质即可解决问题。
10．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的一边长为xm，则其邻边为（50﹣x）m，若面积为S，则
S=x（50﹣x）
=﹣x2+50x
=﹣（x﹣25）2+625．
∵﹣1＜0，
∴S有最大值．
当x=25时，最大值为625，
故选：B．
【分析】先求出最大面积的表达式，再运用性质求解．
11．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，
由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0），
∴0=a（6-2）2+5，解得： ，
∴抛物线解析式为：
当x=0时，
∴水管的长度OA是 m.
故答案为： .
【分析】设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，将(2, 5)与(6, 0)代入解析式，求得a的值，再令x=0，求得y的值即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵
=
=
=
∴抛物线的最大值为 ，
故他能跳过的最大高度为 .
【分析】先配方，则完全平方式的非负性可知抛物线的最大值为，即可求解.
13．【答案】0.4
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图，
令P下方的点为H，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，则A(1，0)，B(-1,O)，
设抛物线的方程为y=ax2+bx+c
∴抛物线的对称轴为x=0，则 ＝0，即b＝0.
∴y＝ax2 +c.
将A(1，0)代入得a+c＝0,则c＝－a.
∴y＝ax2－a.
∵OH＝2× × ＝0.2，则点H的坐标为（-0.2，0）
同理可得：点F的坐标为（-0.6，0）.
∴PH＝a×(-0.2)2-a＝－0.96a
EF＝a×(-0.6)2-a＝－0.64a.
又∵PQ＝EF＝1－（－0.96a）＝－0.64a
∴1＋0.96a＝－0.64a.
解得a＝ .
∴y＝ x2＋ .
∴EF＝（ ）×（-0.6）2＋ ＝ .
故答案为：0.4.
【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，通过已知线段长度求出A(1，0)，B(-1,O)，由二次函数的性质确定y＝ax2－a，利用PQ＝EF建立等式，求出二次函数中的参数a，即可得出EF的值.
14．【答案】6
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】∵四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴ ，
∵AC＋BD＝12，
∴ ，
∴ ，
∵ 且 ，
当 时，函数有最大值，
∴AC=6时，面积有最大值；
故答案是6.
【分析】由四边形ABCD的对角线互相垂直，可得，由AC＋BD＝12，可得 ，从而可得利用二次函数的性质进行解答即可.
15．【答案】20
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图所示：
设在6分钟时到达A点，在14分钟时到达B，
∵6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，
∴A，B关于对称轴对称.则从A到B需要8分钟，则从A到D需要4分钟.
∴从O到D需要6+4=10分.
∴从O到C需要2×10=20分.
故答案为：20.
【分析】6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，则A，B一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则O到对称轴的时间可以求得，进而即可求得OC之间的时间.
16．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为 ，
由题意得：此抛物线的图象经过点 和点 ，即点 和点 ，
将点 和点 代入得： ，
解得 ，
则抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
即校门内侧距地面的高是 米，
故答案为： .
【分析】如图（见解析），设抛物线的解析式为 ，将点 和点 代入求出a、c的值，再求出 时，y的值即可得.
17．【答案】5；12.5
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设 ，四边形ABCD面积为S，则 ，
则： ，
∵ ，
∴S有最大值，
当 时，四边形ABCD的面积最大，
即当 时，四边形ABCD面积最大，
，
故答案为：5，12.5.
【分析】根据已知设四边形ABCD面积为S，AC为 ，则 ，进而求出 ，再求出最值即可.
18．【答案】 cm2　
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设一段铁丝的长度为x,另一段为(20 x)，
则S= x2+ (20 x)(20 x)= (x 10)2+ ，
∴由函数当x=10cm时,S最小,为 cm2.
即这两个正方形面积之和的最小值是 cm2.
故答案为 ： cm2.
【分析】根据正方形面积和周长的转化关系“正方形的面积= ×周长×周长”列出面积的函数关系式并求得最小值.
19．【答案】3.75
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵ 的对称轴为 （min），
故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75.
【分析】根据二次函数的对称轴公式 直接计算即可.
20．【答案】25
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个矩形的长为xm，则宽为（10-x）m，这个矩形的面积为S，
∴y=x（10-x）=-（x-5）2+25.
∵x的取值范围是0＜x＜10,
∴S的取值范围是：0＜S≤25.（不等于25的任意一个正实数）
∴这个矩形的面积可以是25.
故答案为：25.
【分析】利用矩形的周长为20，设这个矩形的长为xm，面积为S，列出S与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，就可求出x和S的取值范围，从而可得答案。
21．【答案】解：设每月租出 辆汽车时，该出租公司的月收益最大，月收益为 元.
根据题意得： ，
即： .
配方得： .
故每月租出78辆汽车时，该出租公司的月收益最大，最大月收益是304200元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设每月租出x辆汽车时，该出租公司的月收益最大，月收益是y元，根据题意得到y=[3000+50（100-x）]x-200x，求出函数的最大值，即可得到结论．
22．【答案】解：以地面上任一条直线为x轴，OA为y轴建立直角坐标系，
设y=a(x-1)2+2.25，则当x=0时，y=1.25，故a+2.25=1，a=-1.
由y=0得-(x-1)2+2.25=0，得(x-1)2=2.25，解得x1=2.5，x2=-0.5(舍去)
故水池的半径至少要2.5米.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】以地面上任一条直线为x轴，OA为y轴建立直角坐标系，由题意可设y=a(x-1)2+2.25，再根据x=0时，y=1.25即可求得函数关系式，再求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到结果.
23．【答案】解：设涨价x元，利润为y元，则
方案一：涨价x元时，该商品每一件利润为：50+x 40，销售量为：500 10x，
∴ ，
∵当x=20时，y最大=9000，
∴方案一的最大利润为9000元；
方案二：该商品售价利润为=(50 40)×500p，广告费用为：1000m元，
∴ ，
∴方案二的最大利润为10125元；
∴选择方案二能获得更大的利润.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设涨价x元，利润为y元 ,根据销售利润=单件利润×销售量，分别求出方案一、二的利润y与x的关系式，利用二次函数的性质分别求出最值，然后比较即可.
24．【答案】解：直接应用：
∵函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 时，该函数有最小值为2 ．
∴函数y1=x（x＞0）与函数y2= （x＞0），则当x=1时，y1+y2取得最小值为2．
变形应用
已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），
则 = =（x+1）+ 的最小值为：2 =4，
∵当（x+1）+ =4时，
整理得出：x2﹣2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
检验：x=1时，x+1=2≠0，
故x=1是原方程的解，
故 的最小值为4，相应的x的值为1；
实际应用
设行驶x千米的费用为y，则由题意得，y=360+1.6x+0.001x2，
故平均每千米的运输成本为： =0.001x+ +1.6=0.001x+ +1.6，
由题意可得：当0.001x= 时， 取得最小，此时x=600km，
此时 ≥2 +1.6=2.8，
即当一次运输的路程为600千米时，平均每千米的运输成本最低，最低费用为：2.8元．
答：汽车一次运输的路程为600千米，平均每千米的运输成本最低，最低是2.8元．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果．
变形运用：先得出 的表达式，然后将（x+1）看做一个整体，继而再运用所给结论即可．
实际运用：设行驶x千米的费用为y，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所给的结论即可得出答案．
25．【答案】解：设每件降价x元时，获得的销售毛利润为y元．
由题意，有y=（60﹣40﹣x）（20+3x）=﹣3x2+40x+400，
∵x为正整数，
∴当x= = ≈7时，y有最大值﹣3×72+40×7+400=533．
因此，在促销期间，商场要想每天获得最大销售毛利润，每件应降价7元，此时，每天最大销售毛利润为533元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每件降低x元时，获得的销售毛利润为y元．根据毛利润=每件服装销售毛利润×销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质，结合已知条件即可求出最大销售毛利润和降价元数．
26．【答案】解：根据题意知点B坐标为（1，﹣4），
设抛物线解析式为y=ax2，
将点B（1，﹣4）代入，得：a=﹣4，
∴抛物线解析式为y=﹣4x2，
当y=﹣2时，由﹣4x2=﹣2得x=± ，
∴DE= ﹣（﹣ ）= ，
答：这时离开水面2米处涵洞宽DE是 米
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】根据点B的坐标利用待定系数法求得函数解析式，再求出离开水面2米处即y=﹣2时x的值，从而得出答案．
27．【答案】解：由题意得，
y=24﹣，即y=﹣x+36，
z=（x﹣60）（﹣x+36）=﹣x2+42x﹣2160；
（2）z=﹣x2+42x﹣2160=﹣（x﹣210）2+2250，
当x=210时，第一年的年最大利润为2250万元，
∵2250＜750+1750，
∴公司不能在第一年收回投资．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据：年销量=原销量﹣因价格上涨减少的销量，年获利=单件利润×年销售量，可列出函数关系式；
　　　　（2）将（1）中年利润函数关系式配成顶点式，可知其最大值小于总投资，故第一年不能收回投资．
28．【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），
∴有，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（2）按照题意画出图形，如下图，
①∵B点坐标（3，0）、C点坐标（0，﹣3），
∴OB=OC=3，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
又∵D是y轴正半轴上的点，OD=3，
∴△BOD为等腰直接三角形，
∴∠OBD=45°，
∠CBD=∠CBO+∠OBD=45°+45°=90°，
即∠FBE=90°，
∴EF是圆的直径．
②∵∠CBO=∠OBD=45°，∠AFE=∠OBD，∠AEF=∠CBO（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∴∠FAE=90°，AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线方程，即可求得a、b、c的值；
　　　　（2）①由B、C、D三点的坐标即可得出∠CBO=∠OBD=45°，从而得出∠EBF=90°，即可得出EF为圆的直径；
　　　　②利用同圆内，同弧所对的圆周角相等，可以找到∠AEF=∠AFE=45°，从而得出△AEF是等腰直角三角形．
29．【答案】解：（1）将x=1，y=7；x=2，y=12代入y=ax2+bx得：
，
解得：．
答：a=﹣1，b=8；
（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，
则W=﹣m2+8m+2（10﹣m）=﹣m2+6m+20=﹣（m﹣3）2+29，
∵﹣1＜0，
∴当m=2时，W有最大值29万，
∴购进A产品3吨，购进B产品7吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是29万元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）把两组数据代入二次函数解析式，然后利用待定系数法求解即可；
（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到W与m的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答．
30．【答案】解：（1）当每辆车的租金为x元时，每天租出的车有：20﹣ =12（辆），
每天的净收益为：12×（1000﹣200）﹣8×100﹣1000=7800元，
答：当每辆车的租金为1000元时，每天能租出12辆车，每天净收益为7800元．
（2）设每辆车每天的租金为x元，每天的净收益为y元，根据题意，
得：y=（x﹣200）（20﹣ ）﹣×100﹣1000
=﹣x2+34x﹣6200，
∵a=﹣＜0，
∴当x=﹣ =850元时，y取得最大值8250元，
答：当每辆车的每天租金定为850元时，租赁公司的每天净收益最大，最大净收益为8250元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据：租出的车=20﹣ ，每天净收益=总租金﹣租出去车辆维护费﹣未租出去车辆维护费﹣每天其他开销，列式计算可得；
（2）根据：每天净收益=总租金﹣租出去车辆维护费﹣未租出去车辆维护费﹣每天其他开销列出函数关系式，根据二次函数性质可得最值情况．
31．【答案】（1）-10x+1100；
（2）解：由题得 ，解得：
，
∴ 时取最大值，最大值为12000.
答：商场的最大利润为12000元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得，
①：
②：
故答案为：①；②；
【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得销售量 利润 ；（2）首先求出x的取值范围，然后把 转化成 ，结合x的取值范围，求出最大利润.
32．【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，
根据题意，得： ，解得： ，
∴y与x的函数解析式为y=-2x+340（20≤x≤40）.
（2）解：由已知得：W=（x-20）（-2x+340）
=-2x2+380x-6800
=-2×（x-95）2+11250，
∵-2＜0，
∴当x≤95时，W随x的增大而增大，
∵20≤x≤40，
∴当x=40时，W最大，最大值为-2×（40-95）2+11250=5200元.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法结合函数图象求解可得；（2）根据：总利润=每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值.
33．【答案】（1）解：由题意得y=（x-10）[200-（x-12）÷0.5×10]
化简得： .
（2）解：由题意得： ，解得 ，
答：当天的销售单价为14元或18元.
（3）解：∵每件文具利润不超过80%
∴x-10≤10×80%，得x≤18，
∴文具的销售单价为：12 ≤x≤18
，
当x=16时，取得最大值，此时 元.
所以当 时，y有最大值720元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售数量，化简即可得到函数解析式；
（2）将y= 640代入（1）的关系式， 即可求出答案；
（3）由题意可知，利润不超过80%即 x-10≤10×80%，得x≤18 ，再结合二次函数的性质即可求解.
34．【答案】（1）解：当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000；
当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000.
∴y＝
（2）解：当1≤x＜50时，二次函数的图象开口下、对称轴为x＝45，
∴当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；
当50≤x≤90时，一次函数y随x的增大而减小，
∴当x＝50时，y最大＝6000.
∴综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据销售数量乘以每件的利润=总利润可分别求得 当1≤x＜50时和当50≤x≤90时， y与x的函数关系式；
（2）根据题意可以分别求得两段的函数的最大值，从而可以解答本题.
35．【答案】（1）解：由题意得 ，
∴y与x的函数关系式为： ；
（2）解：由题意得： ，
解得 ，
∵ ，
∴销售单价所在的范围为 ；
（3）解：∵每件小商品利润不超过 ，
∴ ，得 ，
∴小商品的销售单价为 ，
由（1）得 ，
∵对称轴为直线 ，
∴ 在对称轴的左侧，且 随着 的增大而增大，
∴当 时，取得最大值，此时 ，
即每件小商品售价为12元时，最大利润为320元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】( 1 )销售单价为x元/件时，每件的利润为x-8，此时销量为[100- 10(x-10)] ，根据利润=每件利润×销量可得函数关系式；
（2）根据题意结合(1 )的结论，建立不等式求解即可；
（3）首先求出利润不超过50%时的销售单价的范围，再结合( 1 )的解析式，利用二次函数的性质求解即可.
36．【答案】（1）解：设该公司生产销售每件商品的成本为z元，
依题意得：500（1-12%）=（1+10%）z，
解得：z=400，
答：该公司生产销售每件商品的成本为400元；
（2）解：设利润为w，由题意得：
，
∵ ，
∴w有最大值，即当 ，利润最多12800元，
此时定价为： (元)，
∴当该公司的商品定价为每件 元时，日销售利润最多，最多是12800元；
（3）解：设扣除捐赠后的日销售利润为y，
由题意得：
∵对称轴为 ，
由题意得： ，解得： ，
∴ m的范围是 .
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设该公司生产销售每件商品的成本为z元，根据该公司按浮动-12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%，可列出关于z的方程，求解即可；
(2)设利润为w元，根据利润等于日销量乘以每件的利润，列出w关于x的二次函数，求得对称轴，根据二次函数的性质求出最大值即可；
(3) 设利润为w元，根据利润等于日销量乘以(每件的利润捐赠m元)， 列出w关于x的二次函数，求得对称轴，根据二次函数的性质列不等式求解，结合m≥1，可得答案.
37．【答案】（1）解：抛物线过原点 ，设抛物线解析式为： ，
球的落地点距离=10-2=8米，则落地点坐标为（8，0），
∴ ，
∴ ，
球在空中最高处达3.2米，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：当y=3时， ，
整理得： ，
∴ ，
∴ 或 ，
∵ ，抛物线开口向下，球的飞行高度不低于3米应在两根之间，
∴球的飞行高度不低于3米， x的取值范围是 .
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】( 1 )由抛物线过原点可设抛物线解析式为: y=ax2 +bx，可求球落地点坐标为(8, 0)，代入抛物线得8a+b=0，由球在空中最高处达3.2米，利用抛物线顶点坐标公式 ，联立解方程组即可；
(2 )先求出当y=3时，自变量的值，-0.2x2 +1.6x=3，解得x=3或x=5，由a=-0.2<0，抛物线开口向下，球的飞行高度不低于3米应在两根之间即可.
38．【答案】（1）解：由题意可知抛物线顶点 ， ，
设抛物线关系式为 ，
将 代入，得16a+6=2.
解得 .
∴抛物线关系式为 .
（2）解：货运卡车从隧道正中间走，由抛物线的对称性，得2.4÷2=1.2，
因此，当 时， .
所以，这辆货运卡车能通过该隧道.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】 （1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，根据顶点式设 ，代入D点坐标即可求抛物线的解析式；
（2）根据题意，把x=±1.2代入解析式，得到y=5.64．由于5.64>4.5，于是可知货运卡车能通过．
39．【答案】（1）y=（80-60+x）（300-10x）
=-10x2+100x+6000（0≤x≤30）；
（2）y=-10x2+100x+6000
=-10（x-5）2+6250
∵a=-10＜0，
∴当x=5时，y有最大值，其最大值为6250，
即：单价定为5元时，每月销售商品的利润最大，最大利润为6250元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）单价上涨x（元），由单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件得到销售量为（300-10x）件，根据利润等于销售价减成本得到每件的利润为（80-60+x），由每月销售该商品的利润y等于月销售量×每件的利润即可建立函数关系式；
（2）把（1）得到的函数关系式进行配方得到顶点式，然后根据二次函数的最值问题易得到单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大.
40．【答案】（1）解：由图象可知，二次函数的对称轴为
，点D与点C关于对称轴对称
；
（2）解：设二次函数解析式为
把 代入得
解得
则二次函数解析式为
即 ；
（3）解：要使一次函数值小于二次函数值，则二次函数的图象位于一次函数的上方
由图象可知，x的取值范围为 .
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，再根据对称性即可得；
（2）先根据点A、B坐标设立二次函数解析式的交点式，再将点C坐标代入即可得；
（3）根据二次函数的图象位于一次函数的上方求解即可得.
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