沪科版数学八年级下册 17.5 一元二次方程的应用-教案
文档属性
| 名称 | 沪科版数学八年级下册 17.5 一元二次方程的应用-教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 28.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-24 22:07:03 | ||
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文档简介
一元二次方程的应用------平均增长率问题
教学分析，
教学内容分析：
一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，其中一元二次方程的应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是二次函数学习的基础，具有承前启后的作用。本届是一元二次方程的应用----增长率问题，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型，这部分的内容是学生在学习了，一元二次方程的概念和求解的方法后，将一元二次方程的运用到实际问题中。本节内容一方面通过更加贴近实际生活的问题，进一步突出仿成这种数学模型的应用具有广泛性和有效性。
学情分析：
本节课对象是八年级学生，他们已经熟练掌握一元二次方程的解法，并且有一定分析问题解决问题的能力，但对生活信息了解较少，制约着一些实际问题的分析，不能将理论知识自如的应用到实际中，对于生活中一些一元二次方程的模型很模糊。鉴于此，本节课从具体的问题情境中抽象出数学问题，建立数学关系式，获得合理的解答，通过自主探索和合作交流，无意义的探索过程，理解并掌握相应的数学知识与技能，产生积极的情感经验，进而创造性的解决问题，它具有明显的问题性，实践性，开放型和创造性等特点，有效的发展学生的思维能力。
教学目标
知识技能
学会分析实际问题中的数量关系和列一元二次方程解的应用题，
能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，
过程与方法，
通过对增长率问题的探究过程，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识，动手，动脑习惯，激发学生学习热情。
情感态度与价值观
通过用增长率问题解决身边的实际问题，让他们在学习活动中获得成功的体验，建立自信心，而是学生更加热爱数学，热爱生活，从而提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展的作用，
教学重点
会用列一元二次方程的方法，解决有关增长率的问题，
教学难点
提高学生转化实际问题为数学问题的能力以及分析问题，解决问题的能力。
教学过程，
复习
1．解一元二次方程有哪些方法？
2. 连一元一次方程解应用题有哪些步骤？
设计思路，为学生创设了一个回忆思考的情境，温习前面学习的知识，起到新旧知识的连接，因为本课的探索新知识阶段，准备基础知识做好铺垫，
二．新课
1.引入
（1）为了改善我市的环境，市领导决定，将2017年已有的绿化面积300公顷，经过两年绿化，到2019年底增加到363公顷，如果每年的增长率均为x，这2018年绿化面积为 公顷， 2019年绿化面积为 公顷。可列方程:
分析：2017绿化面积为300公顷，2018年绿化面积为300+300X=300(1+X)公顷. 2019年绿化面积为300(1+X)+ 300(1+X)=300（1+X）（1+x）=300（1+x）2公顷，所列方程为，300(1+x) 2=363
（2）华松国际有一种毛衣从原来的每件400元，经两次调价后，调至每件320.4元，若两次调价的降价率均为x，则第一次调价后降至 元，第二次调价后至 元 可列方程为：
【设计意图】：，用两个简单的增长率问题线段图分析数量之间的关系，让同学们理解增长率问题的分析过程及解题方法，为总结增长率问题的公式做准备。
2. 观察下列两个方程，回答以下问题
（1）.以上方程是那种性质的方程？
（2）.又是那种类型的方程？
（3）.解这类方程用那种方法最好？ 板书课题
3.智慧结晶
（1）两次平均增长（降低）率公式
（2）.注意：
a表示初量，b 表示末量，x表示增长率（降低率)，2表示增长次数
1与x的位置不要调换
解这类问题列出的方程一般用 直接开平方法
4.小试牛刀
某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60500元，这两个月的产值平均每月增长的百分率是多少？
解：这两个月的产值平均每月增长的百分率是x，
50000 (1+x) 2 =60500
(1+x) 2 =1.21
x10.1= 10% ， x22.2（不符合题意，舍去）
【设计意图】：统计正确率，了解整体学生的知识掌握情况，进而根据具体情况调整教学计划，如果正确率低，在讲解例题时再详细些，反之，就将时间教给学生们来分析完成。体现了以学定教的教学思想。
5.互动平台
例：淮北按2016国民经济发展规划要求，2018年的社会总产值要比2016年增长21%，求平均每年增长的百分率．
解:设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则a(1+x) 2 =a+21%a
错误解法
解:设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则a(1+x) 2 =a+21%a
错误解法：a(1+x) 2 =a+21%a
(1+x) 2 =1.21
x10.1,
答:平均每年增长的百分率为10%
正确解法：a (1+x) 2 =1.21 a
(1+x) 2 =1.21
x10.1, x22.2（不符合题意，舍去）
方法二
解:设每年增长率为x，2001年的总产值为1，
则
(1+x) 2 =1+21%
(1+x) 2 =1.21
1+x =+1.1
x10.1, x22.2（不符合题意，舍去）
答:平均每年增长的百分率为10% ．
【设计意图】：
例题均来自于生活的实际问题，随处可见，增加学生学习的兴趣，使学生能结合自己的学习经历，建立实际问题的方程模型解决问题。通过教师的讲解，进一步加深对一元二次方程的理解，
7.探索乐园 -------- 传播问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人
如果按照这样的传染速度, 三轮传染后有多少人患流感
N轮后呐
【设计意图】：设计问题，引导学生，帮助学生突破障碍，并对学生进行适当的指导，帮助学生分析流感的传播方式，提高学生的学习效率，提高了学生的应用能力的核心素养。
智慧升华：
1.若原来量(初量）为a,平均增长率是x,增长后的量（末量）为b ，n为增长次数。
则 第1次增长后的量是a(1+x) =b
第2次增长后的量是a(1+x)2=b
……
第n次增长后的量是a(1+x)n=b
这就是重要的增长率公式.
2、特别地，两次平均增长（降低）率公式为a(1+x)2=b
三．课堂练习
1.才艺展示
（1）.（2007.岳阳）某商品原价200元，连续两次
降价a%后售价为148元，下列所列方程中正确的是( )
200(1+a%)2=148 B. 200(1+2a)=148
C. 200(1-a%)2=148 D. 200(1+a2%)=148
（2）.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量 为720吨,平均每月增长率是x,列方程( .某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量 为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
（3）.党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两翻。在本世纪的头20年（2001年~2020年）要实现这一目标，以10年为单位计算，设每个10年的国民生产总值的增长率都是x，根据题意得方程为（
A.(1+x)2=2 B.(1+x)2=4
C.1++2x=2 D.（1+x）+2（1+x）=4
（4）、某农场粮食产量是：2003年1200万千克，2004年为1452万千克。如果平均每年的增长率为x，则可得方程( )
A. 1200(1+x) =1452 B. 1200(1+2x)=1452
C. 1200(1+x%)2=1452 D. 1200(1+x%)=14
（5）、某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均月增长率为x，则可列方程为 ( )
A.200(1+X)2=1000 B. 200+200×2x=1000
C.200+200×3×x=1000 D. 200+200(1+x)+ 200(1+x)2=1000
（6）、某种植物主干长出若干数目的枝干，每个分枝又长出同样数目的小分支，主干枝干小分支的总数是91 ，每个枝干长出几个小分支？是每个枝干长出x个小分支。（ ）
A.(1+X)2=91 B. 1+x+x2=91
C. 1+x+2x=91 D. 1+2x+x2=91
2.一展身手
（1）.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今年和明年两年的投资总额为8万元,若设该校今年和明年两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为_______________
（2）、某商场二月份的销售额为100万元，三月份的销售额下降了20%，商场从四月份起改进经营措施，销售额稳步增长，五月份销售额达到135.2万元，求四、五两个月的平均增长率。则可列方程为_______________
【设计意图】：
通过练习，培养学生运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力，加强了学生数学建模思想的核心素养。
三 畅所欲言
经历今天的学习活动，你有何收获和体会，请把你的感悟告诉你的同学！
【设计意图】：点名本课主题和中心环节，使学生巩固知识，加深印象，知识脉络清晰。
【教师感悟】
宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。
方程的应用是解决生活实际问题的重要工具。一份耕耘、一份收获，同学们相信自己，只要付出，一定会有收获！会有解决以上问题的方法！行动吧！
【教学反思】
数学建模是中学数学的一条主线，一元二次方程的应用是一种典型的数学建模，与实际生活紧密联系。本节课从温故知新，做好铺垫，难点提前突破，水到渠成，错例分析，变式练习加深理解，实现能力的提高。整体上引导学生自我建构自己的知识结构，体现了“人人学有价值的数学”的理念。
本课的成功之处在于通过分析实际问题形成规律。练习中，学生的基础不同会有差异，但通过沟通、交流，每个同学都有所收获。体现了“人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。”的理念。不足之处在于学习的内容本身和生活紧密联系，如果能在课后组织学生收集一些一元二次方程在生活中应用的社会调查，那必将使学生对一元二次方程的了解上升到一个新的台阶。
3．信息技术的应用，便于及时发现问题，反馈教学，使教与学更有层次性、针对性、实效性．教师要善于抓住这个契机，充分利用多媒体技术，利用图形结合功能，降低难度，增强直观性．信息技术的应用大大提高了课堂效率．
教学分析，
教学内容分析：
一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，其中一元二次方程的应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是二次函数学习的基础，具有承前启后的作用。本届是一元二次方程的应用----增长率问题，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型，这部分的内容是学生在学习了，一元二次方程的概念和求解的方法后，将一元二次方程的运用到实际问题中。本节内容一方面通过更加贴近实际生活的问题，进一步突出仿成这种数学模型的应用具有广泛性和有效性。
学情分析：
本节课对象是八年级学生，他们已经熟练掌握一元二次方程的解法，并且有一定分析问题解决问题的能力，但对生活信息了解较少，制约着一些实际问题的分析，不能将理论知识自如的应用到实际中，对于生活中一些一元二次方程的模型很模糊。鉴于此，本节课从具体的问题情境中抽象出数学问题，建立数学关系式，获得合理的解答，通过自主探索和合作交流，无意义的探索过程，理解并掌握相应的数学知识与技能，产生积极的情感经验，进而创造性的解决问题，它具有明显的问题性，实践性，开放型和创造性等特点，有效的发展学生的思维能力。
教学目标
知识技能
学会分析实际问题中的数量关系和列一元二次方程解的应用题，
能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，
过程与方法，
通过对增长率问题的探究过程，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识，动手，动脑习惯，激发学生学习热情。
情感态度与价值观
通过用增长率问题解决身边的实际问题，让他们在学习活动中获得成功的体验，建立自信心，而是学生更加热爱数学，热爱生活，从而提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展的作用，
教学重点
会用列一元二次方程的方法，解决有关增长率的问题，
教学难点
提高学生转化实际问题为数学问题的能力以及分析问题，解决问题的能力。
教学过程，
复习
1．解一元二次方程有哪些方法？
2. 连一元一次方程解应用题有哪些步骤？
设计思路，为学生创设了一个回忆思考的情境，温习前面学习的知识，起到新旧知识的连接，因为本课的探索新知识阶段，准备基础知识做好铺垫，
二．新课
1.引入
（1）为了改善我市的环境，市领导决定，将2017年已有的绿化面积300公顷，经过两年绿化，到2019年底增加到363公顷，如果每年的增长率均为x，这2018年绿化面积为 公顷， 2019年绿化面积为 公顷。可列方程:
分析：2017绿化面积为300公顷，2018年绿化面积为300+300X=300(1+X)公顷. 2019年绿化面积为300(1+X)+ 300(1+X)=300（1+X）（1+x）=300（1+x）2公顷，所列方程为，300(1+x) 2=363
（2）华松国际有一种毛衣从原来的每件400元，经两次调价后，调至每件320.4元，若两次调价的降价率均为x，则第一次调价后降至 元，第二次调价后至 元 可列方程为：
【设计意图】：，用两个简单的增长率问题线段图分析数量之间的关系，让同学们理解增长率问题的分析过程及解题方法，为总结增长率问题的公式做准备。
2. 观察下列两个方程，回答以下问题
（1）.以上方程是那种性质的方程？
（2）.又是那种类型的方程？
（3）.解这类方程用那种方法最好？ 板书课题
3.智慧结晶
（1）两次平均增长（降低）率公式
（2）.注意：
a表示初量，b 表示末量，x表示增长率（降低率)，2表示增长次数
1与x的位置不要调换
解这类问题列出的方程一般用 直接开平方法
4.小试牛刀
某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60500元，这两个月的产值平均每月增长的百分率是多少？
解：这两个月的产值平均每月增长的百分率是x，
50000 (1+x) 2 =60500
(1+x) 2 =1.21
x10.1= 10% ， x22.2（不符合题意，舍去）
【设计意图】：统计正确率，了解整体学生的知识掌握情况，进而根据具体情况调整教学计划，如果正确率低，在讲解例题时再详细些，反之，就将时间教给学生们来分析完成。体现了以学定教的教学思想。
5.互动平台
例：淮北按2016国民经济发展规划要求，2018年的社会总产值要比2016年增长21%，求平均每年增长的百分率．
解:设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则a(1+x) 2 =a+21%a
错误解法
解:设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则a(1+x) 2 =a+21%a
错误解法：a(1+x) 2 =a+21%a
(1+x) 2 =1.21
x10.1,
答:平均每年增长的百分率为10%
正确解法：a (1+x) 2 =1.21 a
(1+x) 2 =1.21
x10.1, x22.2（不符合题意，舍去）
方法二
解:设每年增长率为x，2001年的总产值为1，
则
(1+x) 2 =1+21%
(1+x) 2 =1.21
1+x =+1.1
x10.1, x22.2（不符合题意，舍去）
答:平均每年增长的百分率为10% ．
【设计意图】：
例题均来自于生活的实际问题，随处可见，增加学生学习的兴趣，使学生能结合自己的学习经历，建立实际问题的方程模型解决问题。通过教师的讲解，进一步加深对一元二次方程的理解，
7.探索乐园 -------- 传播问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人
如果按照这样的传染速度, 三轮传染后有多少人患流感
N轮后呐
【设计意图】：设计问题，引导学生，帮助学生突破障碍，并对学生进行适当的指导，帮助学生分析流感的传播方式，提高学生的学习效率，提高了学生的应用能力的核心素养。
智慧升华：
1.若原来量(初量）为a,平均增长率是x,增长后的量（末量）为b ，n为增长次数。
则 第1次增长后的量是a(1+x) =b
第2次增长后的量是a(1+x)2=b
……
第n次增长后的量是a(1+x)n=b
这就是重要的增长率公式.
2、特别地，两次平均增长（降低）率公式为a(1+x)2=b
三．课堂练习
1.才艺展示
（1）.（2007.岳阳）某商品原价200元，连续两次
降价a%后售价为148元，下列所列方程中正确的是( )
200(1+a%)2=148 B. 200(1+2a)=148
C. 200(1-a%)2=148 D. 200(1+a2%)=148
（2）.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量 为720吨,平均每月增长率是x,列方程( .某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量 为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
（3）.党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两翻。在本世纪的头20年（2001年~2020年）要实现这一目标，以10年为单位计算，设每个10年的国民生产总值的增长率都是x，根据题意得方程为（
A.(1+x)2=2 B.(1+x)2=4
C.1++2x=2 D.（1+x）+2（1+x）=4
（4）、某农场粮食产量是：2003年1200万千克，2004年为1452万千克。如果平均每年的增长率为x，则可得方程( )
A. 1200(1+x) =1452 B. 1200(1+2x)=1452
C. 1200(1+x%)2=1452 D. 1200(1+x%)=14
（5）、某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均月增长率为x，则可列方程为 ( )
A.200(1+X)2=1000 B. 200+200×2x=1000
C.200+200×3×x=1000 D. 200+200(1+x)+ 200(1+x)2=1000
（6）、某种植物主干长出若干数目的枝干，每个分枝又长出同样数目的小分支，主干枝干小分支的总数是91 ，每个枝干长出几个小分支？是每个枝干长出x个小分支。（ ）
A.(1+X)2=91 B. 1+x+x2=91
C. 1+x+2x=91 D. 1+2x+x2=91
2.一展身手
（1）.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今年和明年两年的投资总额为8万元,若设该校今年和明年两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为_______________
（2）、某商场二月份的销售额为100万元，三月份的销售额下降了20%，商场从四月份起改进经营措施，销售额稳步增长，五月份销售额达到135.2万元，求四、五两个月的平均增长率。则可列方程为_______________
【设计意图】：
通过练习，培养学生运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力，加强了学生数学建模思想的核心素养。
三 畅所欲言
经历今天的学习活动，你有何收获和体会，请把你的感悟告诉你的同学！
【设计意图】：点名本课主题和中心环节，使学生巩固知识，加深印象，知识脉络清晰。
【教师感悟】
宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。
方程的应用是解决生活实际问题的重要工具。一份耕耘、一份收获，同学们相信自己，只要付出，一定会有收获！会有解决以上问题的方法！行动吧！
【教学反思】
数学建模是中学数学的一条主线，一元二次方程的应用是一种典型的数学建模，与实际生活紧密联系。本节课从温故知新，做好铺垫，难点提前突破，水到渠成，错例分析，变式练习加深理解，实现能力的提高。整体上引导学生自我建构自己的知识结构，体现了“人人学有价值的数学”的理念。
本课的成功之处在于通过分析实际问题形成规律。练习中，学生的基础不同会有差异，但通过沟通、交流，每个同学都有所收获。体现了“人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。”的理念。不足之处在于学习的内容本身和生活紧密联系，如果能在课后组织学生收集一些一元二次方程在生活中应用的社会调查，那必将使学生对一元二次方程的了解上升到一个新的台阶。
3．信息技术的应用，便于及时发现问题，反馈教学，使教与学更有层次性、针对性、实效性．教师要善于抓住这个契机，充分利用多媒体技术，利用图形结合功能，降低难度，增强直观性．信息技术的应用大大提高了课堂效率．