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单元复习课
专题四 模 型 拓 展
模型一：等角旋转模型
结论：如图D3－4－1,
①对应角相等：∠AOB＝∠A′OB′；
②旋转角相等：∠AOA′＝∠BOB′；
③夹角和＝2倍对应角：∠AOB′＋∠A′OB＝
2∠AOB＝2∠A′OB′；
④夹角差＝2倍旋转角：∠AOB′－∠A′OB＝2∠AOA′＝2∠BOB′.
【对应练习】
1. (1)如图D3－4－2①，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD相交于点E，连接BC. 求∠AEB的大小；
(2)如图D3－4－2②，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转(△OAB和△OCD不能重叠)，求∠AEB的大小.
解：(1)如答图D3－4－1.
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，
∴OD＝OC＝OB＝OA，∠1＝∠2＝60°.
∴∠4＝∠5.
又∵∠4＋∠5＝∠2＝60°，∴∠4＝30°.
同理∠6＝30°.
∵∠AEB＝∠4＋∠6，∴∠AEB＝60°.
(2)如答图D3－4－2.
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
∴OD＝OC，OB＝OA，∠1＝∠2＝60°.
又∵OD＝OA，∴OD＝OB，OA＝OC.
∴∠4＝∠5，∠6＝∠7.
∵∠DOB＝∠1＋∠3，∠AOC＝∠2＋∠3，
∴∠DOB＝∠AOC.
∵∠4＋∠5＋∠DOB＝180°，∠6＋∠7＋∠AOC＝180°，∴2∠5＝2∠6. ∴∠5＝∠6.
又∵∠AEB＝∠8－∠5，∠8＝∠2＋∠6，
∴∠AEB＝∠2＋∠6－∠5＝∠2＋∠5－∠5＝∠2.
∴∠AEB＝60°.
模型二：等线段平移模型
结论：如图D3－4－3，
①对应线段相等：AB＝A′B′；
②平移线段相等：AA′＝BB′；
③杂交线段和＝2倍对应线段：AB′＋A′B＝2AB＝2A′B′；④杂交线段差＝2倍平移线段：AB′－A′B＝2AA′＝2BB′.
【对应练习】
2. 已知AB＝13，CD＝8，M和N分别为线段AB，CD的中点.
图D3－4－4(1)若点B，C重合，点D在线段AB上，如图D3－4－4①，求MN的长度；
(2)①如果将图D3－4－4①的线段CD
沿着AB向右平移n个单位长度，如
图D3－4－4②，求MN的长度与n的
数量关系；
②当n为多少时，MN的长度为9？
(3)如果AB保持长度和位置不变，点D保持图D3－4－4①的位置不变，改变DC的长度，将点C沿着直线AB向右移动m个单位长度，如图D3－4－4③，其余条件不变，①BN＋12BC；②MN－12BC，请问以上两个式子哪一个式子的值是定值，定值是多少？
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单元复习课
专题三 中考新题型(中考新动向)
易错考点
【考点一】坐标与图形变化——平移的创新应用
【例1】(创新题型)在平面直角坐标系中，O为原点，
点A(0，－3)，B(－2，0).
(1)如图D3－3－1①，
三角形OAB的面积为_________；
3
(2)如图D3－3－1②，将线段AB向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到平移后的线段A′B′. 连接OA′，OB′. ①求三角形OA′B′的面积；②P(－1，m)(m＞0)是一动点，若S三角形POB＝10，请直接写出点P的坐标.
【对应练习】
1. (变式创新题型)在平面直角坐标系中，O为原点，点A(0，2)，B(－2，0)，C(4，0).
(1)如图D3－3－2①，三角形ABC的面积为____________；
6
(2)如图D3－3－2②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度得到对应点D.
①求三角形ACD的面积；
②P(m，3)是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形AOC的面积，请求出点P的坐标.
【考点二】旋转的性质的创新应用
【例2】(创新题型) (2021黔西南州) 如图D3－3－3①，D为等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F. (1)求证：BD＝CE；
(2)如图D3－3－3②，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE. 小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由.
【对应练习】
2. (变式创新题型)如图D3－3－4，△ABC是等边三角形，点E为射线AN上任意一点(点E与点A不重合)，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CD，直线DB交直线AN于点F.
(1)如图D3－3－4①，若∠NAC是锐角时，求∠DFA的度数；
(2)如图D3－3－4②，
若∠NAC＝135°，
∠ACE＝15°，AC＝6，
求BD的长.
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第三章 图形的平移与旋转
第22课时 图形的平移(三)
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
一个图形依次沿___________方向、____________方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过____________平移得到的.
x轴
y轴
一次
将平面直角坐标系中的点A（2，1）向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点A′. 若将点A到点A′的平移看作一次平移，则平移的距离为( )
A. 6个单位长度 B. 4个单位长度
C. 2个单位长度 D. 25个单位长度
D
课堂导练
【例1】如图3－22－1，四边形ABCD在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为A(－5，1)，B(－1，1)，C(－3，－4)，D(－7，－4)，将四边形ABCD先向上平移5个单位长度，再向右平移8个单位长度.
(1)请写出第二次平移后四边形A′B′C′D′各个对应点的坐标，并在平面直角坐标系中画出第二次平移后四边形
知识点1 坐标平移的应用(3)
(2)若四边形A′B′C′D′看成是由四边形ABCD经过一次平移得到的，请指出这一平移方向和平移距离.
解：(1)A′(3，6)，
B′(7，6)，C′(5，1)，D′(1，1). 图略.
思路点拨：(1)根据图形平移的性质画出四边形A′B′C′D′，并写出各点坐标即可；(2)根据两四边形的位置即可得出结论.
1. 如图3－22－2，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′. 利用网格点和直尺，完成下列各题：
(1)补全△A′B′C′；
(2)连接AA′，BB′，则这两
条线段之间的关系是
______________________;
(3)在BB′上画出一点Q，使
得△BCQ与△ABC的面积相等.
平行且相等
解：(1)如答图3－22－1所示，△A′B′C′即为所求.
(2)由平行的性质，可得AA′，BB′这两条线段之间的关系是平行且相等.
(3)如答图3－22－1所示，点Q即为所求.
【例2】在直角坐标系中，图案△ABO经过变化后，得到的相应图案如图3－22－3①～⑥所示(虚线为原图案). 图①～图⑥中的图案变化前后，其中一点P(x,y)与之对应点的坐标之间各有什么关系？(填写表格)
知识点2 创新题
图号 图形的变化 对应点坐标的变化
①
②
③
④
⑤
⑥
向右平移3个单位长度
P（x，y）→P′（x＋3，y）
向上平移2个单位长度
P（x，y）→P′（x，y＋2）
向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度
P（x，y）→
P′（x＋4，y＋2）
沿x轴翻折P
（x，y）→P′（x，－y）
P（x，y）→P′（2x，2y）
放大为原图的2倍
思路点拨：(1)利用图形变换说明图①～⑥中的图案发生了的变化. (2)根据坐标规律写出图①～⑥中的图案变化前后，其对应点的坐标的关系即可.
2. 按要求解答下列问题：
(1)分别在图3－22－4①中按下列要求作出经过平移后的图形：
①把三角形ABC向右平移3格；
②把第①题所得图形向上平移4格.
(2)经(1)中二次平移后所得的图形，能通过三角形ABC一次平移得到吗？如果你认为可以，描述这个平移过程.
(3)如图3－22－4②，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在河上建一座桥. 桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路程最短？画出示意图，并用平移的原理说明理由.
解：(1)如答图3－22－2. 第①题对应△A′B′C′,第②题对应△A″B″C″.
(2)由图可知，将△ABC沿直线AA″的方向平移线段AA″的长即可.
(3)如答图3－22－3，先确定AA′＝CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置. 根据“两点之间线段最短”，A′B最短，即AD＋BC最短.
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单元复习课
专题一 本章易错点例析
易错考点
一、与平移有关的错误
【例1】如图D3－1－1，将它向右平移2格，请画出平移后的图形.
【错解】平移后的图形如图D3－1－2.
【错解分析】观察图D3－1－2可知，并不是把原图形向右平移2格，而是使平移后的图形与原图形相距2格宽度，不符合题目要求.
【正解】所作的图形如图D3－1－3.
1. 如图D3－1－4，在方格纸中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上，画出△ABC先向右平移6格，再向上平移1格所得的△A′B′C′.
过关巩固
解：如答图D3－1－1，△A′B′C′即为所求.
易错考点
二、与旋转有关的错误
1. 分析图案形成过程出错
【例2】请你说出如图D3－1－5中的图案是怎样由基本图案旋转得到的.
【错解】该图是由该图案的其中一个三
角形旋转4次，每次旋转90°形成的.
【错解分析】错误原因在于叙述图形的
形成过程不严谨，没有指出旋转中心以及
旋转的方向，基本图案找得不全面.
【正解】该图是由一个三角形绕图案的中心按顺时针(或逆时针)方向，依次旋转90°，180°，270°形成，也可以看成是由两个相邻三角形绕图案中心旋转180°而形成或相对的两个三角形绕图案中心旋转90°而形成.
过关巩固
2. 观察如图D3－1－6中的图案.
(1)说出它有什么特点;
(2)它是由什么基本图案经过怎样的平移而形成的？
(3)在平移过程中，基本图案的大小、形状、位置是否发生变化？试解释其中的道理.
解：(1)图案是由5个半径相同的圆组成.
(2)可以看作由最左边的一个圆向右平移或由最右的一个圆向左平移而形成的.
(3)在平移的过程中，圆的形状和大小都没有发生变化，但水平位置发生了变化.
因为平移只是改变基本图案的水平位置.
2. 图形旋转的特征应用方面的错误
【例3】在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝65°，将△ABC绕点A旋转25°后到△ADE，AB＝AD，求∠BAE的大小.
【错解】如图D3－1－7，在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝65°，所以∠BAC＝80°. 因为旋转角是25°，所以∠CAE＝25°.所以∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝80°＋25°＝105°.
易错考点
【错解分析】确定一个旋转变换需要三个要素，即旋转中心、旋转方向和旋转角. 本题并没有指明旋转方向是顺时针还是逆时针，所以要考虑两种情况都可能存在. 上面求解中只给了其中的一种情况，漏掉了另一种情况.
【正解】(1)当△ABC绕点A逆时针旋转25°时，∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝80°＋25°＝105°.
(2)当△ABC绕点A顺时针旋转25°时，如图D3－1－8，此时∠BAE＝∠BAC －∠CAE＝80°－25°＝55°. 故∠BAE的大小为105°或55°.
过关巩固
3. 如图D3－1－9，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，旋转角的度数为____________，CD的长为____________.
60°
1.6
易错考点
3. 旋转作图中的错误
【例4】如图D3－1－10，将正体大写字母N，绕它右下侧的顶点O按顺时针方向旋转90°，作出旋转后的图形.
【错解】所画的图形如图D3－1－11.
【错解分析】旋转前后对应点的连线到旋转中心的距离相等，而错解中点A到旋转中心O的距离与对应点A′到旋转中心O的距离不相等.
【正解】所画的图形如图D3－1－12.
过关巩固
4. 如图D3－1－13，在图中，将大写字母“A”绕着它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90°，请作出旋转后的图案.
解：所作图形如答图D3－1－2所示.
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第三章 图形的平移与旋转
第20课时 图形的平移(一)
目录
01
思维导图
02
名师导学
03
课堂导练
本章知识梳理
名师导学
A. 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的
____________，这样的图形运动称为____________. 平移不改变图形的______________________.
距离
平移
形状和大小
1. 如图3－20－1，把△ABC沿AC方向平移2 cm，AE＝7 cm，则FC的长是( )
A. 2 cm
B. 3 cm
C. 3.5 cm
D. 4.5 cm
B
B. 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段____________________________________;对应线段_______________________________，对应角____________.
平行(或在一条直线上)且相等
平行(或在一条直线上)且相等
相等
2. 如图3－20－2，将△ABC平移，得到△A′B′C′，下列结论不一定成立的是( )
A. AA′∥BB′
B. BB′∥CC′
C. AA′＝BB′
D. BC＝A′C′
D
课堂导练
【例1】如图3－20－3，将△ABC沿射线AB的方向移动2 cm到△DEF的位置.
(1)找出图中所有平行的直线；
(2)找出图中与AD相等的线段，并写出其长度；
(3)若∠ABC＝65°，求∠BCF的度数.
知识点1 平移的定义
解：(1)AE∥CF，AC∥DF，BC∥EF.
(2)AD＝CF＝BE＝2 cm.
(3)∵AE∥CF，∠ABC＝65°，∴∠BCF＝∠ABC＝65°.
思路点拨：第(1)(2)问直接根据平移的性质写出结果即可；第(3)问首先根据平移的性质，得到AE∥CF，再利用平行线的性质即可得解.
1. 如图3－20－4，将△ABC水平向右平移，得到△DEF，A，D两点的距离为1，CE＝2，∠A＝70°. 根据题意完成下列各题：
(1)AC和DF的数量关系为____________；AC和DF的位置关系为____________；
(2)∠1＝____________°;
(3)BF＝____________.
AC＝DF
AC∥DF
110
4
【例2】如图3－20－5，经过平移，△ABC的边AB移到了EF，作出平移后的三角形.
知识点2 平移的性质
解：连接AE，BF，如答图3－20－1.
过点C作线段CG∥BF，且CG＝BF.
连接FG，EG，
则△EFG即为所求.
思路点拨：连接AE，BF，利用平移时对应点的连线段平行且相等，作线段CG∥BF，且CG＝BF，得出G点，则△EFG即为所求.
2. 如图3－20－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，△ABC沿AB方向平移至△DEF，若AE＝8 cm，DB＝2 cm.
(1)AC，DF的关系为 ________________________；
(2)∠BGF＝____________°；
AC＝DF，AC∥DF
90
(3)求△ABC沿AB方向平移的距离；
(4)四边形AEFC的周长＝___________ cm.
18
思路点拨：取A1B1的中点M1，连接MM1，利用平移的性质，得到MM1＝4，A1B1＝AB＝6，利用三角形三边的关系，得到MA1≥MM1－A1M1(当且仅当M，M1，A1共线时取等号)，从而得到MA1的最小值.
【例3】如图3－20－7，在△ABC中，AB＝6，将△ABC平移4个单位长度，得到△A1B1C1，M是AB的中点，则MA1的最小值为 ____________.
知识点3 创新题
1
3. 如图3－20－8，在△ABC中，点P，M分别是AB，AC的中点，且PM＝2，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1与点M的对应点Q，PQ的最小值等于____________．
3
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第三章 图形的平移与旋转
第24课时 图形的旋转(二)
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
由旋转的性质可知，旋转作图必须具备三个重要条件：①____________；②____________；③____________.
具体步骤分以下几步：
①____________即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②____________即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)；
③____________即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
④____________即连接所得到的各点.
旋转中心
旋转方向
旋转角度
连
转
截
连
将△AOB绕点O旋转180°，得到△DOE，则下列作图正确的是( )
C
课堂导练
【例1】如图3－24－1，△ABC绕点O按逆时针方向旋转后，顶点A旋转到了点D.
(1)指出这一旋转的旋转角；
(2)画出旋转后的三角形.
知识点1 旋转作图(1)
解：(1)旋转角为∠AOD.
(2)如答图3－24－1，△DEF就是所求旋转后的三角形.
思路点拨：(1) 根据旋转角的定义即可回答；(2) 根据旋转角不变，OB＝OE，OC＝OF即可画出图形.
1. 如图3－24－2，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形；
(2)若BC＝3，AC＝4，点A旋转后的对应点为A′，求A′A的长.
解：(1)如答图3－24－4，
△BA′C′为所作.
【例2】如图3－24－3，画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A′B′C.
知识点2 旋转作图(2)
思路点拨：分别作出点A，B分别绕点C顺时针旋转90°后得到对应点，再顺次连接即可得.
解：如答图3－24－2所示，△A′B′C即为所求.
2. 如图3－24－4，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A(1，0)，O(0，0)，B(2，2). 以点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°得到△A1OB1.
(1)画出△A1OB1；
(2)直接写出点A1和点B1的坐标；
(3)求线段OB1的长度.
解：(1)△A1OB1如答图3－24－5.
(2)点A1(0，1)，点B1(－2，2).
【例3】(2020江西)如图3－24－5，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上. 请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)在图3－24－5①中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′；
(2)在图3－24－5②中，作△ABC
绕点A顺时针旋转一定角度后，
顶点仍在格点上的△AB′C′.
知识点3 创新题
解：(1)如答图3－24－3①，△A′B′C′即为所求.
(2)如答图3－24－3②，△AB′C′即为所求.
3. 如图3－24－6，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上.
(1)∠ACB的大小为___________；
(2)在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点，以点A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P
逆时针旋转，点P的对应点为P′，
当CP′最短时，请用无刻度的直尺，
画出点P′，并简要说明点P′的位
置是如何找到的(不要求证明).
90°
解：(2)作图过程如下.
如答图3－24－6，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：
取格点F，连接FG交TC的延长线
于点P′，则点P′即为所求.
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第三章 图形的平移与旋转
第23课时 图形的旋转(一)
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
A. 在平面内，将一个图形绕一个____________按某个____________转动一个角度，这样的图形运动称为____________，这个定点称为__________________，转动的角称为_______________.旋转不改变图形的__________________.
定点
方向
旋转
旋转中心
旋转角
形状和大小
1. 如图3－23－1所示，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是( )
A. 60°
B. 45°
C. 30°
D. 15°
C
B. 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离____________，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于____________;__________________，____________________.
相等
旋转角
对应线段相等
对应角相等
2. 如图3－23－2，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得△DBE，点C的对应点E点恰好落在AB的延长线上，连接AD. 下列结论一定正确的是( )
A. AD∥BC
B. ∠CBE＝∠C
C. ∠ABD＝∠E
D. AD＝BC
A
课堂导练
【例1】如图3－23－3，在Rt△ABC中，∠A＝50°，点D在斜边AB上，如果△ABC经过旋转后与△EBD重合，那么这一旋转的旋转中心是哪个点？旋转角是多少度？
知识点1 旋转的定义
解：∵Rt△ABC中，∠A＝50°，
∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－50°＝40°.
∵△ABC经过旋转后与△EBD重合，
∴这一旋转的旋转中心是点B，旋转角是40°.
思路点拨：先根据∠A＝50°，求出∠ABC的度数，再结合图形，根据旋转的性质确定出△ABC旋转后与△EBD重合的过程，然后得出答案即可.
1. 如图3－23－4，在正方形ABCD中，E是BC上一点，△ABE经过旋转后得到△ADF.
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转角是多少度？
(3)如果点G是AB的中点，那么经过上述
旋转后，点G旋转到什么位置？
解：(1)由图可知旋转中心是点A.
(2)由图可知旋转角是90°.
(3)∵AB的对应边是AD，点G是AB的中点，
∴点G旋转到AD的中点处.
知识点2 旋转的性质
【例2】如图3－23－5，△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？
思路点拨：由图可知△ABD≌△ACE，所以两个三角形可以通过旋转相互得到.
2. 如图3－23－6，△ABC和△ADE是两个全等的等腰直角三角形，∠ABC＝∠D＝90°.
(1)△ADE与△ABC能不能经过变换后重合？如果能，可以经过怎样的变换？
(2)AC与DE是否平行，为什么？
(3)连接EC，求∠ECB的度数.
解：(1)△ADE与△ABC能经过变换后重合.
∵△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∠DAE＝∠AED＝45°.
∴△ADE以点A为旋转中心，逆时针旋转45°与△ABC重合.
(2)AC∥DE.
理由如下：∵∠BAC＝45°，∠AED＝45°，
∴∠BAC＝∠E. ∴AC∥DE.
知识点3 创新题
(1)证明：∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，
∴∠BAE＋∠DAC＝45°.
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，
∴∠BAF＝∠DAC，AF＝AD，CD＝BF，∠ABF＝∠ACD＝45°.
∴∠BAF＋∠BAE＝45°＝∠FAE.
∴∠FAE＝∠DAE，AF＝AD，AE＝AE.
∴△AEF≌△AED(SAS). ∴EF＝ED.
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第三章 图形的平移与旋转
第21课时 图形的平移(二)
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
设(x,y)是原图形上的一点经过平移后,这个点与其对应点的坐标之间有如下关系:
平移方向 平移距离 对应点的坐标
沿x轴 方向 向右平移 a个单位长度 (a>0) (x＋a,y)
向左平移 (x－a,y)
沿y轴 方向 向上平移 (x,y＋a)
向下平移 (x,y－a)
1. 在平面直角坐标系中，点A(1，1)经过平移后的对应点为B(3，4)，下列平移正确的是( )
A. 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
B. 先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
C. 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
D. 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B
2. 平面直角坐标系中，将正方形向上平移3个单位长度后，得到的正方形各顶点与原正方形各顶点坐标相比（ ）
A. 横坐标不变，纵坐标加3
B. 纵坐标不变，横坐标加3
C. 横坐标不变，纵坐标乘3
D. 纵坐标不变，横坐标乘3
A
课堂导练
【例1】在平面直角坐标系中，点A′（2，－3）可以由点A（－2，3）通过两次平移得到，正确的是（ ）
A. 先向左平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度
B. 先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度
C. 先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度
D. 先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度
思路点拨：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.
知识点1 坐标平移的应用(1)
D
1. 已知△ABC顶点的坐标分别是A(0,6),B(－3,－3),C(1,0),将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是(4,10),则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A. (7,1) B. (1,7)
C. (1,1) D. (2,1)
C
【例2】如图3－21－1，已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(0，3)，B(－3，0)，C(0，－3)，D(3，0).
(1)将四边形ABCD向右平移6个单位长度，得到四边形A1B1C1D1，在平面直角坐标系中画出四边形A1B1C1D1，并写出四边形A1B1C1D1各顶点的坐标；
(2)将四边形A1B1C1D1向上平移6个
单位长度，得到四边形A2B2C2D2，
在平面直角坐标系中画出四边形
A2B2C2D2，并写出四边形A2B2C2D2
各顶点的坐标.
解：(1)如答图3－21－1，四边形A1B1C1D1即为所作，
A1(6，3)，B1(3，0)，
C1(6，－3)，D1(9，0).
(2) 如答图3－21－1，四边形A2B2C2D2即为所作，
A2(6，9)，B2(3，6)，C2(6，3)，D2(9，6).
思路点拨：(1) 利用点平移的坐标特征写出四边形A1B1C1D1各顶点的坐标，然后描点即可；(2)利用点平移的坐标特征写出四边形A2B2C2D2各顶点的坐标，然后描点即可.
2. 如图3－21－2，在方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上.
(1)将△ABC平移后，得到△A′B′C′，图中已画出B点的对应点B′，请补全△A′B′C′；
(2)画出△A′B′C′的高C′H以及
中线A′D；
(3)直接写出BB′和CC′的数量关
系：________________.
BB′＝CC′
解：(1)如答图3－21－4，△A′B′C′即为所求.
(2)如答图3－21－4，高C′H，中线A′D即为所求.
【例3】如图3－21－3，四边形ABCD的各顶点的坐标分别为A(－2，0)，B(3，0)，C(2，3)，D(－1，2).
(1)将各顶点的纵坐标不变，横坐标各增加3，得到点A1，B1，C1，D1，写出A1，B1，C1，D1各点的坐标；
(2)若将点A1，B1，C1，D1依次连接起来，得到四边形A1B1C1D1，则四边形A1B1C1D1与原四边形ABCD相比有什么变化？
知识点2 坐标平移的应用(2)
(3)若横坐标不变，纵坐标各增加3，得到的四边形A2B2C2D2与四边形ABCD相比有什么变化？
解：(1)∵A(－2，0)，B(3，0)，C(2，3)，D(－1，2)，
∴A1(1，0)，B1(6，0)，C1(5，3)，
D1(2，2).
(2)如答图3－21－2所示，由图可知四边形A1B1C1D1是原四边形ABCD向右平移3个单位长度而得到的.
(3)由答图3－21－2可知，四边形A2B2C2D2由四边形ABCD向上平移3个单位长度而得到的.
思路点拨：(1)把各点横坐标加3，纵坐标不变即可得出A1，B1，C1，D1的坐标；(2)在坐标系内描出各点，再顺次连接，根据两图形的位置即可得出结论；(3)把各点横坐标不变，纵坐标各增加3，得到四边形A2B2C2D2，根据两图形的位置即可得出结论.
3. 如图3－21－4所示，△ABC在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是A(－2，1)，B(－3，－2)，C(1，－2)，先将△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1.
(1)在图中画出△A1B1C1；
(2)点A1，B1，C1的坐标分别为
____________，____________，
____________；
(3)若y轴有一点P，使△PBC与△ABC面
积相等，求出P点的坐标.
(0，4)
(－1，1)
(3，1)
解：(1)如答图3－21－5所示，△A1B1C1即为所求.
【例4】如图3－21－5所示，在平面直角坐标系中的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)在网格中画出△ABC向右平移5个
单位长度，向上平
移1个单位长度得到的△A1B1C1；
(2)在网格中画出△ABC关于x轴对称
的△A2B2C2；
(3)在y轴上找一点P，使得C1P＋C2P的值最小.
知识点3 创新题
解：(1)如答图3－21－3，△A1B1C1即为所求作.
(2)如答图3－21－3，△A2B2C2即为所求作.
(3)如答图3－21－3，连接C1C2交y轴于点P，则点P即为所求作.
思路点拨：(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可. (2)分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可.
(3)连接C1C2交y轴于点P，则点P即为所求作.
4. 如图3－21－6，已知在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，
写出点B1的坐标；
(2)平移△ABC，若点A的对应
点A2的坐标为(0，－4)，画出平移
后对应的△A2B2C2，写出点B2的坐标；
(3)若在x轴上有一点P，使得
PA1＋PB的值最小，请写出点P的坐标.
解：(1)如答图3－21－6所示，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为(0，－4).
(2)如答图3－21－6所示，
△A2B2C2即为所求，点B2的坐
标为(3，－2).
(2)如答图3－21－6所示，
△A2B2C2即为所求，点B2的坐
标为(3，－2).
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第三章 图形的平移与旋转
第25课时 中 心 对 称
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
A. 如果把一个图形绕着某一点旋转____________，它能够与另一个图形____________，那么就说这两个图形关于这个点____________或____________，这个点叫做它们的_________________. “两个图形关于一个点对称”可以简称为“两个图形_______________________”.
180°
重合
对称
中心对称
对称中心
成中心对称
1. 如图3－25－1，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是( )
A. 点A与点A′是对称点
B. BO＝B′O
C. AB∥A′B′
D. ∠ACB＝∠C′A′B′
D
B. 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过____________，且被____________________.
对称中心
对称中心平分
2. 如图3－25－2，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论不一定成立的是( )
A. ∠ABC＝∠A′C′B′
B. OA＝OA′
C. BC＝B′C′
D. OC＝OC′
A
C. 把一个图形绕某个点旋转____________，如果旋转后的图形能与原来的图形____________，那么这个图形叫做______________________，这个点叫做它的____________.
180°
重合
中心对称图形
对称中心
3. 下列图形是中心对称图形的是( )
B
课堂导练
【例1】如图3－25－3，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，∠ABC＝45°，∠B′C′A′＝80°，则∠BAC＝____________°.
知识点1 成中心对称
55
思路点拨：由△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，得到△ABC≌△A′B′C′，根据全等三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论.
1. 如图3－25－4，△ABC与△ADE关于点A成中心对称.
(1)点A，B，C的对应点分别是什么？
(2)点C，A，E的位置关系怎样？
(3)指出图中相等的线段和相等的角.
解：(1)∵△ABC与△ADE
是成中心对称的两个图形，
∴点A，B，C的对应点分别是点A，D，E.
(2)点C，A，E在同一条直线上.
(3)AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE；∠B＝∠D，∠C＝∠E，∠BAC＝∠DAE.
【例2】如图3－25－5，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A′BD与△ACD关于点D成中心对称.
(1)直接写出图中所有相等的线段.
(2)若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围.
知识点2 成中心对称图形的性质
解：(1) ∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC.
∵△A′BD与△ACD关于点D成中心对称,
∴△A′BD≌△ACD.
∴BD＝CD，A′D＝AD，A′B＝AC.
(2)∵AD＝A′D，∴AA′＝2AD，
∵AC＝A′B，AC＝3，
∴A′B＝3.在△AA′B中，AB－A′B＜AA′＜AB＋A′B，
即5－3＜2AD＜5＋3. ∴1＜AD＜4.
思路点拨：(1)利用中心对称的两个三角形全等解决问题即可;(2)求出AA′的取值范围可得结论.
2. 如图3－25－6，△ABO与△CDO关于点O成中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE. 求证：FD＝BE.
【例3】如图3－25－7，△ABC和△DEC关于点C成中心对称. 若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是__________________.
思路点拨：利用成中心对称的定义以及勾股定理即可解决问题.
知识点3 创新题
3. 如图3－25－8，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点O是直角边AC的中点. 画出这个三角形关于点O成中心对称的图形，并求点B与它关于点O的对称点B′的距离.
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单元复习课
专题二 中考重难点
一、坐标与图形变化——平移
【例1】(2020台州)如图D3－2－1，把△ABC先向右平移3个单位长度，图D3－2－1再向上平移2个单位长度得到△DEF，则顶点C（0，－1）对应点的坐标为( )
A. （0，0） B. （1，2）
C. （1，3） D. （3，1）
D
二、旋转的性质
【例2】(2021大连) 如图D3－2－2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，点B的对应点B′在边AC上(不与点A，C重合)，则∠AA′B′的度数为( )
A. α B. α－45°
C. 45°－α D. 90°－α
C
三、平移、旋转与对称；几何直观
【例3】(2021苏州)如图D3－2－3，在方格纸中将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到Rt△A′O′B，则下列四个图形正确的是( )
B
【对接中考】
1. (2020广州)如图D3－2－4，点A的坐标为(1，3)，点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD. 若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为____________.
(4，3)
B
3. (2020枣庄)下列选项的四个三角形中，不能由如图D3－2－6所示的△ABC经过旋转或平移得到的是( )
B
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第三章 图形的平移与旋转
第26课时 简单的图案设计
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
利用____________________________等变换可以进行图案的设计.
平移、旋转、轴对称
如图3－26－1，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是( )
B
课堂导练
【例1】下列四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是( )
思路点拨：分别根据旋转
的定义及平移的定义逐项分
析即可.
知识点1 简单的图案设计(1)
C
1. 如图3－26－2所示四个图案中，既可以用旋转来分析整个图形的形成过程，又可以用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
【例2】如图3－26－3，在6×6的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块小正方形，使涂黑的四个小正方形组成一个轴对称图形.
知识点2 简单的图案设计(2)
解：如答图3－26－1所示，①②③④处涂黑都可以使涂黑的四个小正方形组成一个轴对称图形.
思路点拨：直接利用轴对称图形的性质分析，得出答案.
2. 如图3－26－4①所示是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中一个小正方形，重新拼一个图形，使得所拼成的新图形：
(1)是轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)既是轴对称图形，又是中心对称图形.
(请将两个小题依次作答在图3－26－4②③中，均只需画出符合条件的一种情形，内部涂上阴影)
解：(1)如答图3－26－3①，阴影部分是轴对称图形，但不是中心对称图形.
(2)如答图3－26－3②，阴影部分既是轴对称图形，又是中心对称图形.
【例3】在数学活动课上，王老师要求学生将图3－26－5①所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形. 规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图3－26－5②的四幅图就视为同一种设计方案(阴影部分为要剪掉部分)
知识点3 创新题
请在图3－26－6中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑.
解：如答图3－26－2所示.
思路点拨：根据轴对称图形和
旋转对称图形的概念作图即可.
3. 如图3－26－7①②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影. 请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：
(1)使得4个阴影小等边三角
形组成一个轴对称图形;
(2)使得4个阴影小等边三角形
组成一个中心对称图形.
(请将两个小题依次作答在图3－26－7①，②中，均只需画出符合条件的一种情形)
解：(1)轴对称图形如答图3－26－4①所示.
(2)中心对称图形如答图3－26－4②所示.
谢 谢
