四川省自贡市富顺县城关第二高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版含解析）

城关第二高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试
数学试卷（理科）
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）
1. 椭圆的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
4. 命题：曲线的焦点为；命题：曲线的离心率为；则下列为真命题的是（ ）
A. B.￢ C.￢ D.￢￢

5. 已知曲线在点处的切线方程为，则( )
A. B.
C. D.
6. 已知三次函数的图像如右图所示，若是函数的导函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A.或 B.
C. D.或
7. 在平面直角坐标系中，下列结论正确的有（ ）个.
①过双曲线右焦点的直线被双曲线所截线段长的最小值为
②方程表示的曲线是双曲线
③若动圆过点且与直线相切，则圆心的轨迹是抛物线
④若椭圆的离心率为，则实数
A. B. C. D.
8. 设是椭圆：的两个焦点，为坐标原点，点在上，且的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
9. 若函数在＝处取得极小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
11. 已知分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长与面积满足，则该双曲线的离心率的平方为（ ）
A. B. C. D.

12. 设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

13. 计算：＝________．
14. 若“”为假命题，则实数的取值范围是________.

15. 设函数为常数. 若为奇函数，则________；若是上的增函数，则的取值范围是________.
16. 如图所示，平面直角坐标系中，已知椭圆，、是其左、右顶点，动点满足，连接交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为________．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ）

17.(12分) 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
与双曲线有公共焦点，且经过点；
焦点为，且渐近线方程为.

18.(10分) 设集合.
（1）若，求；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．

19.(12分) 已知函数.
当时，求函数的图象在点处的切线方程；
讨论函数的单调性．

20.(12分) 已知椭圆： 的左、右焦点分别是，其离心率为，以为圆心以为半径的圆与以的圆心以为半径的圆相交，两圆交点在椭圆上．
求椭圆的方程；
过椭圆左顶点斜率为的直线与椭圆的另外一个交点为，求的面积．

21.(12分) 已知焦点在轴上的椭圆，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．
求椭圆的标准方程；
如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点，，，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．

22.(12分) 设，为实数，且，函数.
求函数的单调区间；
若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；
当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.（注： 是自然对数的底数）
参考答案与试题解析
高中数学
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
C
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】

【解答】
椭圆的，，
，
则焦点为，．
2.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
三角函数值的符号
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当时，成立，
当时，也满足成立，但不成立，
即“”是“”的充分不必要条件.
故选．
3.
【答案】
C
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为抛物线的标准方程为，
所以它的准线方程是.
4.
【答案】
B
【考点】
复合命题及其真假判断
抛物线的定义
双曲线的离心率
【解析】
根据条件先判断为假，为真，再根据复合命题真假性关系进行选择
【解答】
B
5.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：,
∵ 曲线在点处的切线方程为，
∴ ,
解得.
∴ 切线方程为，
解得.
故选.
6.
D
7.
【答案】
A
【考点】
双曲线的标准方程
椭圆的离心率
直线与双曲线结合的最值问题
轨迹方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
8.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义和性质
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由的面积为，可得，所以，则，故选．
9.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
设＝，得到函数在上单调递增，＝，不等式转化为(，求出不等式的解集即可．
【解答】
解：由题可设，
∵ ，则，
∴ 函数在上单调递增，，
将不等式转化为：
，
可得，即，
∴ ，
∴ ，
∴ 不等式的解集为.
故选.
11.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图：
如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设，
由圆与双曲线的对称性可知，点与点 关于原点对称，所以,
因为圆是以为直径，所以圆的半径为，
因为点在圆上，也在双曲线上，所以有 ,
联立化简可得，整理得,
，所以,
因为，所以,
因为，所以,
因为，
联立 ，
可得．
因为为圆的直径，
所以，，
即，
，
所以离心率的平方为，
又∵ ，
∴ .
故选.
12.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
由在上恒成立，令＝，，根据函数的单调性求出的最大值，得到，而，令＝，＝-，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出的最小值即可．
【解答】
在上恒成立，
则在上恒成立，
令＝，，
则＝，
若，则，可得在递增，
当时，，故不等式不能成立，
故当＝时，取得最大值，
＝（）＝，
即，故，
∴ ＝＝，
令＝，＝＝-，
故＝-＝，
当＝时，＝，＝＝，
故的最小值是，
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
【答案】
【考点】
微积分基本定理
定积分
【解析】
求出原函数，根据定积分的计算法则即可求出．
【解答】
＝＝，
14.
【答案】
【解析】本题考查命题的否定，考查逻辑推理能力．
若原命题为假命题，则其否定“”为真命题，的取值范围为
【解答】

15.
【答案】
,
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：为奇函数，，
，
，
对恒成立，
；
若是上的增函数，
则有恒成立，
恒成立，
又.
故答案为：.
16.
【答案】
【考点】
椭圆的定义
【解析】
可设出直线的方程，与直线的方程联立可求得点的坐标，从而可得的斜率，继而有直线的方程，与直线的方程联立可求得点的坐标，代入椭圆方程，整理即可求得椭圆的离心率．
【解答】
解：依题意，，设直线的方程为：，①与直线的方程联立得，
∴ 的斜率，
∵ ，
∴ ，又，
∴ 直线的方程为：，②
∴ 由①②联立得点的坐标为：，
∵ 点在椭圆，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ）
17.
【答案】
解：由题可设双曲线的标准方程为，
则，解得，
故双曲线的标准方程为 ．
（2）由题可设双曲线的标准方程为，
则解得，
故双曲线的标准方程为．
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
双曲线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可设双曲线的标准方程为，
则，解得，
故双曲线的标准方程为 ．
（2）由题可设双曲线的标准方程为，
则解得，
故双曲线的标准方程为．
18.
【答案】
（）解：∵ ，则或当时， ，因此，
（2）解：因为是的必要不充分条件，则
①若，则，则有，解得
当时， ，合乎题意；
②若，则，则有 解得
当时， ，合乎题意．
综上所述，实数的取值范围是.
【考点】
交、并、补集的混合运算
一元二次不等式的解法
分式不等式的解法
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（）解：∵ ，则或当时， ，因此，
（2）解：因为是的必要不充分条件，则
①若，则，则有，解得
当时， ，合乎题意；
②若，则，则有 解得
当时， ，合乎题意．
综上所述，实数的取值范围是.
19.
【答案】
解：当时，
则，
∴ ，
所以函数的图象在处的切线方程为.
由已知的定义域为，
.
当时，由得，由得，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，由得，由得，
所以在单调递增，在单调递减；
当时，恒成立，所以在单调递增；
当时，由得，由得，
所以在单调递增，在单调递减.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当时，
则，
∴ ，
所以函数的图象在处的切线方程为.
由已知的定义域为，
.
当时，由得，由得，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，由得，由得，
所以在单调递增，在单调递减；
当时，恒成立，所以在单调递增；
当时，由得，由得，
所以在单调递增，在单调递减.
20.
【答案】
解：（）设椭圆方程为，
由两圆交点在椭圆上， ，得，
由离心率为, ，得 ，
所以椭圆的方程为.
（2）直线与椭圆联立，消去得：
，解得，代入直线方程可得且，
故的面积为.
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）设椭圆方程为，
由两圆交点在椭圆上， ，得，
由离心率为, ，得 ，
所以椭圆的方程为.
（2）直线与椭圆联立，消去得：
，解得，代入直线方程可得且，
故的面积为.
21.
【答案】
解：由已知可得
解得，，，
所以椭圆的标准方程为；
当直线的斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不符合题意，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
联立方程消去可得，
所以，，
因为，
所以，即，
整理可得，所以，
所以直线的方程为，
所以直线过定点．
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
利用已知建立方程组，联立即可求解；
设出直线的方程，并与椭圆方程联立，又由已知推出＝，然后利用韦达定理以及直线的斜率公式化简即可证明．
【解答】
解：由已知可得
解得，，，
所以椭圆的标准方程为；
当直线的斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不符合题意，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
联立方程消去可得，
所以，，
因为，
所以，即，
整理可得，所以，
所以直线的方程为，
所以直线过定点．
22.
【答案】
解：，，
①若 ，则 ，
所以在上单调递增；
②若，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上可得，时，在上单调递增；
时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为．
解：有个不同零点有个不同的解
有个不同的解，
令 ，则，
记，，
记，，
又 ，
所以时，，，
时，，，
则在上单调递减，在上单调递增，
，
所以，
因为 ，
即实数的取值范围是．
证明：有个不同的零点，则 ，
故函数的零点一定为正数．
由可知有个不同零点，记较大者为，较小者为，
，
由可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故 ，又由知，
，
要证 ，只需，
即证，
即证，即证，
而
，
所以，即得证．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：，，
①若 ，则 ，
所以在上单调递增；
②若，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上可得，时，在上单调递增；
时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为．
解：有个不同零点有个不同的解
有个不同的解，
令 ，则，
记，，
记，，
又 ，
所以时，，，
时，，，
则在上单调递减，在上单调递增，
，
所以，
因为 ，
即实数的取值范围是．
证明：有个不同的零点，则 ，
故函数的零点一定为正数．
由可知有个不同零点，记较大者为，较小者为，
，
由可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故 ，又由知，
，
要证 ，只需，
即证，
即证，即证，
而
，
所以，即得证．试卷第4页，总9页