四川省自贡市富顺县城关第二高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（文）试题（Word版含解析）

城关第二高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试
数学试卷（文科）
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）

1. 椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.

2. 命题是命题的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

3. 双曲线的渐近线方程是：，则双曲线的焦距为
A. B. C. D.

4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.

5. 函数在处的切线方程为，则( )
A. B. C. D.

6. 已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）
A. B. C. D.

7. 过椭圆内定点且长度为整数的弦，称作该椭圆过点的“好弦”．在椭圆 ＝中，过点，的所有“好弦”的长度之和为（ ）
A. B. C. D.


8. 已知三次函数的图像如右图所示，若是函数的导函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A.或 B.
C. D.或
9. 已知是椭圆：的左焦点，椭圆上一点关于原点的对称点为，若的周长为，则＝（ ）
A. B. C. D.
10. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数， ，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.

11. 已知函数＝，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围（ ）
A. B.[， C.[， D.[，

12. 我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为，设月球的半径为，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）
A. B.
C. D.
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

13. 抛物线的焦点与椭圆的一个焦点相同，则抛物线的准线方程是________.

14. 曲线在处的切线方程是________.

15. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是________

16. 如图所示，平面直角坐标系中，已知椭圆，、是其左、右顶点，动点满足，连接交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为________．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ）

17.(10分) 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
焦点在轴上，中心为坐标原点，经过点，.
以点，为焦点，经过点.

18.(12分) 已知命题：“，不等式成立”是真命题．
求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19.(12分) 已知椭圆中，，离心率.
求椭圆的方程；
设直线与椭圆交于、两点，求.

20.(12分) 已知函数，其导函数为，且
求曲线在点处的切线方程；
求函数在上的最大值和最小值．

21.(12分) 已知，是椭圆的左，右焦点，离心率为，、是平面内两点，满足，线段的中点在椭圆上，周长为
（1）求椭圆的方程；
（2）若与圆＝相切的直线与椭圆交于、，求（其中为坐标原点）的取值范围．

22.(12分) 已知函数.
当时，证明在定义域上是增函数；
记是的导函数，，若在内没有极值点，求的取值范围．（参考数据：）
参考答案与试题解析
高中数学
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义
【解析】
由椭圆 的方程可知，，， 的值，由离心率求出结果．
【解答】
解：由椭圆 的方程可知，，，，∴ 离心率 ，
故选．
2.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据不等式的解法求出的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由得，得，
∵ ，
∴ 是的必要不充分条件.
故选.
3.
【答案】
B
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的定义
【解析】
利用双曲线的渐近线方程，求出，然后求解，即可求解双曲线的焦距．
【解答】
解：双曲线的渐近线方程是，
可得，
所以，
所以双曲线的焦距为．
故选.
4.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为，所以．因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．
故选．
5.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
导数的几何意义
【解析】
根据切点在切线上可求出的值，然后根据导数的几何意义求出的值，从而可求出所求．
【解答】
解：根据切点在切线上可知当时，，
∴ ，
∵ 函数的图象在处的切线方程是，
∴ ，
则．
故选．
6.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知到准线的距离等于点到焦点的距离，进而问题转化为求点到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当，，三点共线时到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点的距离减去圆的半径．
【解答】
解：抛物线的焦点为，圆的圆心为，
根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，
进而推断出当，，三点共线时到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和最小为：.
故选.
7.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
D
【考点】
函数恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
函数的图象与图象变化
导数的几何意义
【解析】
由图象做出其导函数的图像，用符号法则即可求解不等式.
【解答】
解：由图象可知， ，即原不等式转化为
又由于三次函数的导函数是二次函数，结合的图象可知，
和分别是函数的极小值点和极大值点，
则和是函数的两个零点，我们可以做出导函数的图象如图，
由图象可知，当时， ，
当时， ，
当时，
接下来利用符号法则即可求解，
当时，，而，故，故满足题意；
当时， ，但，故，不满足题意；
当时， ，且，故，满足题意；
当时， ，但，故，不满足题意；
综上所述，不等式的解为或者，
故不等式的解集 或.
故选．
9.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
C
【考点】
函数单调性的性质
奇偶性与单调性的综合
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设，则，
∵ ，∴ ．
∴ 函数是上的减函数，
∵ 函数是偶函数，
∴ 函数，
∴ 函数关于对称，
∴ ，
原不等式等价为，
∴ 不等式等价，即，
∵ 在上单调递减，
∴ ．
∴ 不等式的解集为．
故选 C
11.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
【答案】
【考点】
抛物线的性质
椭圆的标准方程
【解析】
求出椭圆的焦点坐标，然后求解，即可求解抛物线的准线方程．
【解答】
解：椭圆的焦点坐标，
由抛物线的焦点与椭圆的一个焦点相同，
可得，解得，
所以抛物线的标准方程为，
所以抛物线的准线方程为：．
故答案为：.
14.
【答案】
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
15.
【答案】

【考点】
全称量词与存在量词
全称命题与特称命题
命题的真假判断与应用
【解析】
直接利用特称命题和全称命题的转换和二次函数的性质的应用求出结果．
【解答】
命题“，”是假命题，
则命题，恒成立为真命题．
所以①当＝时，，解得，与矛盾，
②，即，解得，
故的范围为．
16.
【答案】
【考点】
椭圆的定义
【解析】
可设出直线的方程，与直线的方程联立可求得点的坐标，从而可得的斜率，继而有直线的方程，与直线的方程联立可求得点的坐标，代入椭圆方程，整理即可求得椭圆的离心率．
【解答】
解：依题意，，设直线的方程为：，①与直线的方程联立得，
∴ 的斜率，
∵ ，
∴ ，又，
∴ 直线的方程为：，②
∴ 由①②联立得点的坐标为：，
∵ 点在椭圆，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ）
17.
【答案】
解：设椭圆的方程为，
∵ 椭圆经过点，，代入可得，
解得，
∴ 椭圆的标准方程为.
由题可得，交点在轴上，
设椭圆的标准方程为，代入，
得
解得，
∴ 椭圆的标准方程为.
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设椭圆的方程为，
∵ 椭圆经过点，，代入可得，
解得，
∴ 椭圆的标准方程为.
由题可得，交点在轴上，
设椭圆的标准方程为，代入，
得
解得，
∴ 椭圆的标准方程为.
18.
【答案】
解：由题意命题：“，不等式成立”是真命题，
∴ 在恒成立，
即，，
因为，所以，即，
所以实数的取值范围是.
由得，设，由得，
设，
因为是的充分不必要条件，
所以，但推不出，所以 ，
所以，即，
所以实数的取值范围是．
【考点】
命题的真假判断与应用
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
Ⅰ分离出，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出，求出的范围．
Ⅱ设对应集合，对应集合，“是的充分不必要条件”即 ，求出的范围
【解答】
解：由题意命题：“，不等式成立”是真命题，
∴ 在恒成立，
即，，
因为，所以，即，
所以实数的取值范围是.
由得，设，由得，
设，
因为是的充分不必要条件，
所以，但推不出，所以 ，
所以，即，
所以实数的取值范围是．
19.
【答案】
解：由题知，，即，
结合
解得，
所以椭圆方程为.
设，，
联立直线与椭圆方程得
整理得，
则，.
.
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
圆锥曲线中的定点与定值问题
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】


【解答】
解：由题知，，即，
结合
解得，
所以椭圆方程为.
设，，
联立直线与椭圆方程得
整理得，
则，.
.
20.
【答案】
（1）切线方程为：．
（2）
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）由题意： ，
∵ ，
∴
又，
则切线方程为： ．
（2）由（）可知：
由或；由，又∵
∴ 在 上单调递增， 在上单调递减
则的极大值为 的极小值为，且 ，故
21.
【答案】
设＝，＝，
∵ ，∴ 是线段的中点，
又线段的中点在椭圆上，周长为．
∴ ＝，＝，可得＝．
由椭圆的离心率，＝，
解得＝，＝，＝．
∴ 椭圆的方程为：．
如图所示，
①当轴时，把＝代入椭圆方程可得：，
解得：．
可得：．
②当的斜率存在时，设切线的方程为：＝．
则，化为：＝．
设，．
把＝代入椭圆方程可得：＝，
．
∴ ，，
∴ ＝＝
∴ ＝
＝
，
综上可得：．
【考点】
椭圆的应用
直线与椭圆的位置关系
椭圆的标准方程
【解析】
（1）设＝，＝，，可得是线段的中点，又线段的中点在椭圆上，周长为．可得＝，＝，可得＝．由椭圆的离心率，＝，解出即可得出．
（2）如图所示，①当轴时，把＝代入椭圆方程可得：，解出可得：．
②当的斜率存在时，设切线的方程为：＝．利用切线的性质可得，即：＝．设，．把＝代入椭圆方程可得：＝，把根与系数的关系代入，即可得出．
【解答】
设＝，＝，
∵ ，∴ 是线段的中点，
又线段的中点在椭圆上，周长为．
∴ ＝，＝，可得＝．
由椭圆的离心率，＝，
解得＝，＝，＝．
∴ 椭圆的方程为：．
如图所示，
①当轴时，把＝代入椭圆方程可得：，
解得：．
可得：．
②当的斜率存在时，设切线的方程为：＝．
则，化为：＝．
设，．
把＝代入椭圆方程可得：＝，
．
∴ ，，
∴ ＝＝
∴ ＝
＝
，
综上可得：．
22.
【答案】
解：(1)由已知得 ，
当时，，
所以，
所以在定义域上是增函数．
（2），
因为在内没有极值点，
所以在内恒成立
或在内恒成立．
即在内恒成立或在内恒成立．
令 ，
（）当）时，，
所以单调递增．
（）当时，，
所以单调递增，
又，
所以，
所以单调递增．
又因为，
所以，所以单调递增．
由（）（）可知，
在上单调递增，
所以时，
，
所以或 ．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知得 ，
当时，，
所以，
所以在定义域上是增函数．
（2），
因为在内没有极值点，
所以在内恒成立
或在内恒成立．
即在内恒成立或在内恒成立．
令 ，
（）当）时，，
所以单调递增．
（）当时，，
所以单调递增，
又，
所以，
所以单调递增．
又因为，
所以，所以单调递增．
由（）（）可知，
在上单调递增，
所以时，
，
所以或 ．试卷第4页，总9页