2023年高考一轮复习第四章 三角函数与解三角形第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 教案（含答案）

第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
教学目标：
eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，\f(sin α,cos α)＝tan α.,2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,2)，α±π的正弦、余弦、正切)).　))
1．同角三角函数的基本关系式
平方关系 sin2α＋cos2α＝1
商数关系 tan α＝
2.诱导公式
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
记忆口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(2)sin α＝tan αcos αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠＋kπ，k∈Z)).
(3)sin2α＝＝；
cos2α＝＝.
1．(人教A版必修第一册P189·例1改编)sin 1 665°的值为(　 )
A．－ B. C．－ D.
答案：A
2．(人教A版必修第一册P184·T1改编)已知cos α＝－，且α为第三象限角，则sin α＝(　 )
A. B．－ C．－ D.
答案：C
3．(苏教版必修第一册P174·例6改编)已知tan α＝，α∈，则cos α的值是________．
解析：由tan α＝，可得＝，又sin2α＋cos2α＝1，可得cos2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝，因为α∈，所以cos α＝－.
答案：－
4．已知sin α＝，则＝________.
解析：原式＝＝sin α＝.
答案：
5．已知tan α＝3，则＝________.
解析：∵tan α＝3，∴＝＝＝2.
答案：2
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　诱导公式 　
[题点全训]
1．(多选)已知sin＝，下列结论正确的是(　 )
A．cos＝ B．cos＝
C．sin＝ D．cos＝－
解析：选BD　由sin＝，
可得cos＝±，
sin＝sin＝－sin＝－，
cos＝cos＝sin＝，
cos＝cos＝－cos＝－.
2．设f(θ)＝，则f＝(　 )
A. B．－
C. D．－
解析：选B　∵f＝＝，又cos＝cos＝cos＝，∴f＝＝－.
3．sin(－1 200°)tan 1 290°＝________.
解析：原式＝－sin 1 200°tan 1 290°＝－sin(3×360°＋120°)·tan(3×360°＋210°)＝－sin 120°tan 210°
＝－sin(180°－60°)tan(180°＋30°)＝－sin 60°tan 30°
＝－×＝－.
答案：－
[一“点”就过]
1．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
2．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
基础点(二)　同角三角函数的基本关系 　
[题点全训]
1．设cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于(　 )
A. B．－
C. D．－
解析：选B　∵cos(－80°)＝cos 80°＝k，∴sin 80°＝＝，∴tan 100°＝－tan 80°＝－.故选B.
2．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　 )
A. B．－ C. D．－
解析：选D　因为α为第四象限角，故cos α＝＝ ＝，所以tan α＝＝＝－.
3．(2022·重庆八中月考)已知θ是第三象限角，且cos(π＋θ)＝，则tan θ＝(　 )
A. B．2 C．2 D.
解析：选C　cos(π＋θ)＝－cos θ＝，所以cos θ＝－，又θ是第三象限角，所以sin θ＝－＝－ eq \r(1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))2)＝－，所以tan θ＝＝＝2.
[一“点”就过]
知弦求弦 利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解
知弦求切 常通过平方关系，与对称式sin α±cos α，sin α·cos α建立联系，注意tan α＝的灵活应用
知切求弦 先利用商数关系得出sin α＝tan α·cos α或cos α＝，然后利用平方关系求解
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　同角三角函数的基本关系的应用
[典例]　(1)(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　 )
A．－ B．－ C. D.
(2)(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝－，则下列结论正确的是(　 )
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
[解析]　(1)原式＝＝＝sin2θ＋sin θcos θ＝＝＝＝.故选C.
(2)因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，又sin θ＋cos θ＝－<0，所以cos θ<0，所以可得θ∈，故A正确；又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，可得sin θcos θ＝－，则可得(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝，所以sin θ－cos θ＝，故D正确；由加减法联立解得，sin θ＝，cos θ＝－，所以tan θ＝－，故C正确，B错误．故选A、C、D.
[答案]　(1)C　(2)ACD
[方法技巧]　同角三角函数基本关系的应用技巧
弦切互化 利用公式tan α＝实现角α的弦切互化，如，asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α等齐次式类型可进行弦化切
和(差)积转换 利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化，可以解决sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 知一求二的问题，注意方程思想的应用
巧用“1”的变换 1＝sin2α＋cos2α＝cos2α(tan2α＋1)＝sin2α
[针对训练]
1．已知α∈且3cos 2α－8cos α－5＝0，则tan α＝(　 )
A．－ B. C. D.
解析：选D　∵3cos 2α－8cos α－5＝6cos2α－8cos α－8＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍)，∵α∈，cos α＝－<0，∴α∈，∴sin α<0，
∴sin α＝－＝－，∴tan α＝＝.
2．(2022·台州期中)在△ABC中，若sin A－2cos A＝，则tan A的值为(　 )
A．－3 B．3
C．－3或 D．－
解析：选A　因为sin A－2cos A＝，A∈(0，π)，所以sin A＞0，若cos A＞0，则sin A－2cos A＜1.又因为＞1，所以cos A＜0，则tan A＜0.由题可得(sin A－2cos A)2＝2，即sin2A－4sin Acos A＋4cos2A＝，所以＝，所以＝，整理得3tan2A＋8tan A－3＝0，解得tan A＝－3或tan A＝(舍)，故选A.
3．已知cos θ＝－，θ∈(－π，0)，则sin＋cos＝(　 )
A．－ B．－ C. D.
解析：选B　因为cos θ＝－，且θ∈(－π，0)，所以sin θ＝－，∈，
cos θ＝＝－<0，其中cos－sin>0，
所以cos＋sin<0，左边平方得1＋sin θ＝1－＝，所以cos＋sin＝－.
|诱导公式与同角三角函数基本关系的综合应用
[典例]　(1)已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cos α，则cos＝(　 )
A．－ B．－
C. D.
(2)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
[解析]　(1)∵3sin2α＝8cos α，∴sin2α＋2＝1，整理可得9sin4α＋64sin2α－64＝0，
解得sin2α＝或sin2α＝－8(舍去)，
又∵α是第四象限角，∴sin α＝－，
∴cos＝cos
＝cos＝－sin α＝，故选C.
(2)由题意知sin＝，θ是第四象限角，
所以cos＞0，
所以cos＝ ＝.
tan＝tan
＝－＝－
＝－×＝－.
[答案]　(1)C　(2)－
[方法技巧]
利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的思路
(1)分析结构特点，寻求条件与所求间的关系，尤其是有关角之间的关系；
(2)恰当选择公式，利用公式灵活变形；
(3)化简求值．
[提醒]　(1)角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号．(2)化简过程是恒等变换．　　
[针对训练]
1．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则cos＝(　 )
A. B. C. D．－
解析：选B　2sin 2α＝cos 2α＋1 4sin αcos α＝2cos2α，
因为α∈，所以cos α≠0，所以tan α＝.
因为α∈，所以sin α＝.所以cos＝sin α＝.
2．已知sin α＋3cos α＝，则sin2α＋cos(2 021π＋α)·cos的值为(　 )
A. B. C. D.
解析：选B　由sin α＋3cos α＝，得sin2α＋6sin αcos α＋9cos2α＝10，∴6sin αcos α＋8cos2α＝9，
即＝9，∴9tan2α－6tan α＋1＝0，解得tan α＝，∴sin2α＋cos(2 021π＋α)cos＝sin2α＋sin αcos α＝＝＝＝，故选B.
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽视角所在的象限)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于(　 )
A．－ B．－ C. D.
解析：选A　∵α是第二象限角，∴cos α＝－＝－.
2．(忽视三角函数的值域)已知sin α，cos α是方程x2－2kx＋k2＋k＝0的两根，则k的值为(　 )
A. B. C．1± D．1＋
解析：选B　由题意得
∵sin2α＋cos2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝4k2－2(k2＋k)＝1，
即2k2－2k－1＝0，解得k＝＝.
∵sin α＋cos α＝sin，∴sin α＋cos α∈，即2k∈，
∴k∈，∴k＝.
3．(忽视对k的讨论)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．
解析：当k为奇数时：A＝－＝－2.
当k为偶数时：A＝＋＝2.
答案：{－2,2}
4．(忽视角的范围导致产生增根)已知θ∈(0，π)，tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.
解析：由题知tan＝＝ tan θ＝，又因为θ∈(0，π)，且tan θ>0，所以θ∈，
有 所以sin θ＋cos θ＝＝.
答案：
5．(忽视三角函数式符号的判断)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________．
解析：∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝，
∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，又θ∈，∴sin θ答案：－
二、融会贯通应用创新题
6．(创新解题思维·利用勾股数)已知tan α＝，sin α<0，则cos α＝(　 )
A. B．－ C. D．－
解析：选D　由tan α＝，想到勾股数(3,4,5)，结合sin α<0，得cos α＝－.
7.(借助数学文化)《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为α(0°<α<45°)，且小正方形与大正方形面积之比为1∶25，则tan α的值为(　 )
A. B. C. D.
解析：选B　设直角三角形较短的直角边长为a，则较长直角边长为，所以，小正方形的边长为a，大正方形的边长为，由于小正方形与大正方形面积之比为1∶25，所以＝cos α－sin α＝，由于0°<α<45°，则cos α>sin α>0.
由已知条件可得解得因此，tan α＝＝.故选B.
8．(创新命题角度)已知曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则的值为________．
解析：由f(x)＝x3得f′(x)＝2x2，
∴f′(1)＝2，故tan α＝2.
∴＝＝＝.
答案：
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．(2022·营口模拟)已知sin x＝，则cos＝(　 )
A. B．－ C. D．－
解析：选A　cos＝cos＝－cos＝sin x＝.
2．(2022·邯郸一模)若cos α＝，且α在第四象限，则tan α＝(　 )
A. B．－ C. D．－
解析：选D　∵cos α＝，且α在第四象限，
∴sin α＝－＝－，∴tan α＝＝－.
3．已知α∈(0，π)，且cos α＝－，则sin·tan(π＋α)等于(　 )
A．－ B. C．－ D.
解析：选D　sin·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α，因为α∈(0，π)，且cos α＝－，所以sin α＝＝ ＝，故选D.
4．(2022·南通期末)若sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则＝(　 )
A. B．－ C. D．－
解析：选B　由sin α＋cos α＝，可得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，解得2sin αcos α＝－<0，即sin α与cos α异号．又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，得sin α－cos α＝，则＝＝＝＝－.故选B.
5．(多选)已知角A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的是(　 )
A．sin(B＋C)＝sin A B．sin＝cos
C．sin B＜cos A D．cos(A＋B)＜cos C
解析：选ABD　对于A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，故A正确；对于B，sin＝sin＝cos，故B正确；对于C，若A＝60°，B＝45°，C＝75°，显然sin B＝＞＝cos A，故C错误；对于D，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，由C为锐角，可得cos C＞0，所以cos(A＋B)＝－cos C＜cos C，故D正确．
6．sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________．
解析：原式＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°
＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°
＝－cos 17°＋cos 17°－＝－.
答案：－
7．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋α))＝－，那么tan α·sin α＝________.
解析：∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋α))＝－，∴cos α＝－，sin2α＝1－cos2α＝1－＝，∴tan α·sin α＝＝＝－.
答案：－
8．已知sin·cos＝，且0<α<，则sin α＝________，cos α＝________.
解析：sin·cos＝－cos α(－sin α)＝sin αcos α＝.∵0<α<，∴0解得sin α＝，cos α＝.
答案：　
9．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；(2)sin2α＋sin 2α.
解：由已知得sin α＝2cos α.
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝＝＝.
10．已知角θ的终边与单位圆x2＋y2＝1在第四象限交于点P，且点P的坐标为.
(1)求tan θ的值；
(2)求的值．
解：(1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P，得2＋y2＝1，y<0，
解得y＝－，所以tan θ＝＝－.
(2)因为tan θ＝－，
所以＝＝＝＝2－.
二、重点难点培优训练
1．已知α∈，β∈，且sin＝cos， sin(π＋α)＝sin，则β－α＝(　 )
A. B. C. D.
解析：选A　由题意得
由①2＋3×②2得，cos2α＋9sin2α＝3，
又cos2α＋sin2α＝1，所以sin2α＝，
又α∈，所以sin α＝，则α＝.
将α＝代入①，得sin β＝，
因为β∈，所以β＝π，则β－α＝π，故选A.
2．(2022·开封模拟)已知＝，则＝(　 )
A．－ B．－ C．－ D.
解析：选A　由＝可得＝，所以tan α＝3，
则＝＝＝＝－.
3．已知α∈(－π，π)，满足tan α是关于方程x2＋x＋1＝0的两个根中较小的根，则α的值为________．
解析：∵tan α是方程x2＋＋1＝0的较小根，
且由根与系数的关系可知两根乘积为1，∴方程的较大根是，
∵tan α＋＝－，∴＋＝－，即＝－，cos α≠0，
∴sin α＝－，∴α＝2kπ－或2kπ＋π(k∈Z)，
当α＝2kπ＋π(k∈Z)时，tan α＝，＝；
当α＝2kπ－(k∈Z)时，tan α＝－，＝－，
由tan α＜，∴α＝2kπ＋π(k∈Z)，
又∵α∈(－π，π)，∴α＝－.
答案：－
4．已知sin α＝1－sin，求sin2α＋sin＋1的取值范围．
解：因为sin α＝1－sin＝1－cos β，
所以cos β＝1－sin α.
因为－1≤cos β≤1，所以－1≤1－sin α≤1，即0≤sin α≤2，
又－1≤sin α≤1，所以sin α∈[0,1]．
所以sin2α＋sin＋1＝sin2α＋cos β＋1＝sin2α－sin α＋2＝2＋.(*)
又sin α∈[0,1]，所以当sin α＝时，(*)式取得最小值；当sin α＝1或sin α＝0时，(*)式取得最大值2，故所求取值范围为.