2023年高考一轮复习第四章 三角函数与解三角形第三节　三角恒等变换 教案（含答案）

第三节　三角恒等变换
教学目标：
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
3.能运用公式进行简单的恒等变换 包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；
(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β sin_αsin_β；
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin_αcos_α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
3．辅助角公式
一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)其中tan φ＝.
1．两角和与差的正切公式的变形
tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)；
tan α·tan β＝1－＝－1.
2．降幂公式
3．升幂公式
4．其他常用变式
sin 2α＝＝；
cos 2α＝＝；
tan＝＝.
5．运用公式时要注意公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变形．
6．在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值．特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一．
1．(人教A版必修第一册P216·例2改编)已知sin＝，－<α<0，则cos的值是(　 )
A. B．－ C. D．1
解析：选B　由sin＝可得cos α＝，因为－<α<0，所以sin α＝－＝－ ＝－，所以cos＝cos αcos＋sin αsin＝×－×＝－，故选B.
2．(人教A版必修第一册P218·例3改编)已知cos α＝－，α∈，则tan的值为(　 )
A．7 B．－7 C. D．－
解析：选A　因为cos α＝－，α∈，所以sin α＝＝，tan α＝＝－，
则tan＝＝7.
3．化简 －＝(　 )
A．2sin 3 B．2cos 3
C．－2sin 3 D．－2cos 3
解析：选A　因为－＝－，
由<3<π，所以sin 3>cos 3，sin 3＋cos 3<0，
所以原式＝sin 3－cos 3＋sin 3＋cos 3＝2sin 3.
4．(苏教版必修第二册P55·T8改编)函数f＝sin2x＋sin xcos x－可以化简为(　 )
A．f＝sin
B．f＝sin
C．f＝sin
D．f＝sin
解析：选B　f＝sin2x＋sin xcos x－＝＋sin 2x－＝sin 2x－cos 2x＝sin.
第1课时　两角和与差及二倍角的三角函数
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　和、差公式的直接应用　
[题点全训]
1．(2022·福建师大附中高三模拟)已知点P(1,2)是角α终边上一点，则cos等于(　 )
A. B.
C．－ D.
解析：选A　由题意可得sin α＝，cos α＝，则cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝，故选A.
2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　 )
A．－ B. C. D．－
解析：选A　∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，∴tan(α－β)＝＝＝－.
3．已知α为锐角，且cos＝，则sin α＝________.
解析：因为α为锐角，所以－<α－<，又因为cos＝，则 －<α－<－，故sin＝－ ＝－，
所以sin α＝sin＝sincos＋cos·sin＝×＋×
＝.
答案：
基础点(二)　倍角公式的直接应用　
[题点全训]
1．若sin＝，则sin的值为(　 )
A. B．－ C. D．－
解析：选A　由题得sin＝sin＝cos＝cos＝1－2sin2＝1－2×2＝.
2．(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝(　 )
A. B. C. D.
解析：选D　因为＋＝，所以cos＝cos＝sin，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos＝.故选D.
3．若sin＝－，则cos 4α的值为(　 )
A. B. C. D.
解析：选B　由sin＝－，得cos 2α＝－，则cos 4α＝2cos22α－1＝2×2－1＝.
[一“点”就过]
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用两角和、差及倍角公式求值，应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　三角函数公式的逆用和变形应用
[典例]　(1)(2022·徐州模拟)已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)的值等于(　 )
A．－ B．－ C．－ D．－
(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝________.
[解析]　(1)sin α＋sin β＝ sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝　①，cos α＋cos β＝ cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝　②，
①＋②得，2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝ cos(α－β)＝×＝－，故选C.
(2)由题意知，原式＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°.因为tan 20°＋tan 25°＝tan 45°(1－tan 20°·tan 25°)＝1－tan 20°tan 25°，所以原式＝1＋1－tan 20°·tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.
[答案]　(1)C　(2)2
[方法技巧]
(1)逆用公式时，要准确找出所给式子和公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)逆用公式时，要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(3)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．　　
[针对训练]
1．sin2＋sin2－sin2α＝(　 )
A．－ B．－ C. D.
解析：选C　原式＝＋－sin2α＝1－·－sin2α＝1－cos 2αcos－sin2α＝1－－＝.
2．已知α∈，sin2＝，则sin α＝(　 )
A. B.
C. D.
解析：选A　由条件可得cos＝1－2sin2＝，∵α∈，α＋∈，∴sin＝，∴sin α＝sin＝sincos－cossin＝.
重难点(二)　角的变换　
[典例]　若α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos的值等于(　 )
A．－ B.
C．－ D．－
[解析]　因为α，β∈，所以α＋β∈，且sin(α＋β)＝－，所以cos(α＋β)＝，同理，因为β－∈，sin＝，所以cos＝－，
所以cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×
＝－.
[答案]　A
[方法技巧]
1．求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示．
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．　　
[针对训练]
1．已知θ∈，且sin＝，则tan θ＝(　 )
A．7 B. C. D.
解析：选A　因为θ∈，所以θ＋∈，又sin＝，
所以cos＝－，则tan＝－，
所以tan θ＝tan＝＝＝7.
2．若cos＝－，则sin的值为(　 )
A. B.
C．－ D.
解析：选B　设β＝α＋，则cos β＝－，α＝β－，
因为0<α<，所以<β<，所以sin β＝＝ ＝，
所以sin 2β＝2sin βcos β＝2××＝－，
cos 2β＝2cos2β－1＝2×2－1＝－，
所以sin＝sin＝sin
＝sin 2βcos－cos 2βsin＝×－×＝.
不能根据三角函数值的符号缩小角的范围
涉及三角函数求值的试题中，如果题目条件没有给出角的范围，或如果按照条件求出了两个三角函数值，其中有一个可能是增解，那么就需要缩小角的范围来确定．
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[典例]　(1)若α，β都是锐角，且sin α＝，sin(α－β)＝，则cos β＝(　 )
A. B.
C.或－ D.或
(2)设α，β∈，sin(α＋β)＝，tan α＝，则cos β的值是(　 )
A．－ B.
C．－或 D.或－
[解析]　(1)∵0<α<，0<β<，
sin(α－β)＝，∴0<α－β<，
∴cos(α－β)＝＝.
∵sin α＝，∴cos α＝＝.
∴cos β＝cos＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.
(2)∵tan α＝>0，∴<α<，<α＋β<，∴sin α＝，cos α＝，
又∵0∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝－.
[答案]　(1)A　(2)A
当所求的三角函数值有两个时，首先要利用题目所给的角的范围来确定，若不能奏效，则要利用三角函数值的符号缩小角的范围，若还不能奏效，则要利用三角函数值的大小与特殊角的三角函数值(如30°，45°，60°等的三角函数值)比较，进一步缩小角的范围．　　
[针对训练]
1．若sin＝－，α∈(0，π)，则cos＝(　 )
A. B.
C. D.或
解析：选C　因为＋＝，所以－α＝－，因为α∈(0，π)，所以α＋∈，又因为sin＝－<0，所以α＋∈，
所以cos＝－ ＝－，
所以cos＝cos＝cos·cos＋sinsin＝×＋×＝.
2．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝，β∈，则tan β的值为________．
解析：由题意可知，tan 2β＝tan＝＝，
且tan 2β＝＝，即3tan 2β＋8tan β－3＝0，解得tan β＝或tan β＝－3，
因为β∈，所以tan β＝.
答案：
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽视把非特殊角转化为特殊角)tan 15°＋tan 105°等于(　 )
A．－2 B．2＋
C．4 D.
解析：选A　tan 15°＋tan 105°＝tan＋tan＝＋＝＋＝－2.
2．(忽视角的范围的判定)在△ABC中，cos A＝，sin B＝，则cos C的值为(　 )
A. B．－
C．－ D.或－
解析：选A　在△ABC中，由cos A＝，sin B＝，可得sin A＝＝，
因为sin BB，所以B为锐角，
所以cos B＝＝，则cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－×＋×＝.
3．(不会升幂公式的灵活应用)若<θ<，则
等于(　 )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
解析：选A　∵<θ<，∴<<，<<，∴cos θ>0，cos<0，sin>0，
∴ ＝ ＝ ＝－cos，
∴ ＝ ＝＝sin.
二、融会贯通应用创新题
4．(借助数学文化)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记为θ1，θ2)，则tan(θ1－θ2)＝(　 )
A. B．－ C. D．－
解析：选D　由题意知tan θ1＝2，tan θ2＝3，所以tan(θ1－θ2)＝＝＝－.
5．(结合新定义问题)定义：＝ad－bc，如＝1×4－2×3＝－2，则＝(　 )
A．0 B. C．－ D．1
解析：选C　由题意得
＝cos 45°cos 105°－sin 75°sin 135°＝－cos 45°cos 75°－sin 75°sin 45°＝－cos(75°－45°)＝－cos 30°＝－.
6．(借助数学文化)(多选)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？假设θ＝∠BAC，则下列四个结论中正确的是(　 )
A．水深为12尺 B．芦苇长为15尺
C．tan＝ D．tan＝－
解析：选ACD　设BC＝x，则AC＝x＋1，∵AB＝5，∴52＋x2＝(x＋1)2，∴x＝12，即水深为12尺，故芦苇长为13尺．
∴tan θ＝.由tan θ＝，解得tan＝(负值已舍去)．∵tan θ＝，∴tan＝＝－.故正确的结论为A、C、D.
7．(创新解题思维·数形结合)如图，图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且三个圆半径相等，设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则coscos－sin·sin＝________.
解析：设三段圆弧交于A，B，D三点，连接PA，PB，PD，
则∠APB＋∠APD＋∠BPD＝2π，从而α1＋α2＋α3＝4π，所以coscos－sinsin＝cos＝cos＝－.
答案：－
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．若＝，则cos α－sin α的值为(　 )
A．－ B．－ C. D.
解析：选C　因为＝，所以＝，即cos α－sin α＝.
2．(多选)下列选项中，与sin的值相等的是(　 )
A．2cos215°－1
B．cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°
C．2sin 15°sin 75°
D.
解析：选BC　sin＝.
A．2cos215°－1＝cos 30°＝，故错误；
B．cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝，故正确；
C．2sin 15°sin 75°＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故正确；
D.＝tan＝tan 45°＝1，故错误．
3．已知0<α<β<π，且cos α＝，cos(β－α)＝－，则sin(α＋β)＝(　 )
A. B. C．－ D．－
解析：选D　因为0<α<β<π，所以0<β－α<π.又因为cos α＝，cos(β－α)＝－，所以sin α＝，sin(β－α)＝，从而可得sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝2cos2α－1＝，所以sin(α＋β)＝sin[2α＋(β－α)]＝sin 2αcos(β－α)＋cos 2αsin(β－α)＝×＋×＝－.
4．(2022·河北饶阳中学高三模拟)已知sin＝，则sin＝(　 )
A．－ B．－ C. D.
解析：选A　令t＝α＋，则α＝t－，sin t＝，所以sin＝sin＝sin＝－cos 2t＝－(1－2sin2t)＝－.
5．已知角α，β∈(0，π)，tan(α＋β)＝，cos β＝，则角2α＋β＝(　 )
A. B. C. D.
解析：选D　∵β∈(0，π)，cos β＝，∴β∈，∴sin β＝，∴tan β＝.又tan(α＋β)＝＝，即＝，解得tan α＝，∴α∈.∴tan(2α＋β)＝tan[(α＋β)＋α]＝＝＝1，又2α＋β∈(0，π)，∴2α＋β＝.
6．(2021·滨州二模)sin 20°sin 80°－cos 160°sin 10°＝________.
解析：∵sin 80°＝sin(90°－10°)＝cos 10°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°，∴sin 20°sin 80°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.
答案：
7．(2022·绵阳月考)已知tan(45°－α)＝3，则tan 2α＝________.
解析：tan(45°－α)＝＝＝3，解得tan α＝－，tan 2α＝＝－.
答案：－
8．已知α∈，sin＝，则sin α的值为______．
解析：∵α∈，∴α－∈，又sin＝，∴cos＝－，则sin α＝sin＝×＋×＝.
答案：
9．已知α∈，tan α＝，求tan 2α和sin的值．
解：因为tan α＝，所以tan 2α＝＝＝，且＝，即cos α＝2sin α.
又sin2α＋cos2α＝1，所以5sin2α＝1.
又α∈，所以sin α＝，cos α＝.
所以sin＝sin αcos－cos αsin＝×－×＝－.
10．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cos β的值．
解：(1)因为α，β∈，所以－<α－β<.
又因为tan(α－β)＝－<0，所以－<α－β<0，且sin(α－β)＝－cos(α－β)，
又sin2 (α－β)＋cos2(α－β)＝1，解得cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝，因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
二、重点难点培优训练
1．已知sincos(π＋θ)＝cos 2θ，且sin θ≠0，则tan的值为(　 )
A. B. C．2－ D．2＋
解析：选D　∵sincos(π＋θ)＝cos 2θ，
∴(－cos θ)＝cos2θ－sin2θ，
即(sin θ－cos θ)(－cos θ)＝(cos θ－sin θ)(cos θ＋sin θ)，sin θ(cos θ－sin θ)＝0，
∵sin θ≠0，∴cos θ－sin θ＝0，即tan θ＝1，
∴tan＝＝＝2＋.
2．(2022·南昌一模)已知sin＝cos，则sin＝(　 )
A．－或1 B.或－1
C．－或1 D.或－1
解析：选A　因为sin＝cos，
所以sin＝cos＝cos，
所以2cos2－1＝cos，
所以＝0，
所以cos＝－或cos＝1，
又sin＝sin＝cos＝cos，
所以sin＝－或sin＝1.
3．(2022·濮阳一模)已知＝7，则cos＝(　 )
A．－ B. C. D.
解析：选B　∵cos＝1－2sin2，
代入＝7，
即得2＝7sin，
化简得＝0，
又∵sin∈[－1,1]，∴sin＝，
∴cos＝cos＝sin＝.
4．已知函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．
解：(1)f＝sin＝sin＝－.
(2)f＝sin＝sin＝(sin 2θ－cos 2θ)．
因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝，
cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝，所以f＝(sin 2θ－cos 2θ)＝×＝.
第2课时　三角恒等变换
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点　三角函数式的化简求值　
[题点全训]
1．2＋＝(　 )
A．2cos 2 B．4sin 2＋2cos 2
C．2sin 2 D．2sin 2＋4cos 2
解析：选C　原式＝2＋
＝2＋
＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.
∵2是第二象限角，且|sin 2|＞|cos 2|，
∴原式＝2sin 2.
2．化简：＝________.
解析：原式＝＝
＝＝＝cos 2x.
答案：cos 2x
3．化简：(1)－2cos(α＋β)；
(2)－tan.
解：(1)原式＝
＝
＝
＝＝
＝.
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋·))
＝·
＝·＝.
[一“点”就过]
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　给角求值　
[典例]　求值：(1)；
(2)sin 50°(1＋tan 10°)．
[解]　(1)原式＝＝－＝－＝－1.
(2)原式＝sin 50°·＝sin 50°·＝sin 50°·＝＝＝＝1.
[方法技巧]
给角求值问题的解题策略
在三角函数的给角求值问题中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊角总有一定关系．
其基本思路是观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为：特殊角的三角函数值；正、负相消的项和特殊角的三角函数值；可约分的项和特殊角的三角函数值等．　　
[针对训练]
1.cos 285°－sin 285°的值为(　 )
A. B. C．－ D．－
解析：选B　cos 285°－sin 285°＝2(cos 30°cos 285°－sin 30°sin 285°)＝2cos(30°＋285°)＝2cos 315°＝2cos(360°－45°)＝2cos 45°＝，故选B.
2．计算＝________.
解析：原式＝
＝＝
＝＝2.
答案：2
重难点(二)　给值求值　
[典例]　已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝，则sin(3α－β)＝(　 )
A．－ B. C．－ D.
[解析]　因为α为锐角，β为第二象限角，cos(α－β)＞0，sin(α＋β)＞0，
所以α－β为第四象限角，α＋β为第二象限角，
因此sin(α－β)＝－，cos(α＋β)＝－，
所以sin 2α＝sin(α－β＋α＋β)
＝－×＋×＝1.
因为α为锐角，所以2α＝，
所以sin(3α－β)＝sin(2α＋α－β)＝cos(α－β)＝，故选B.
[答案]　B
[方法技巧]
给值求值问题的求解思路
(1)化简所求式子．
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．　　
[针对训练]
1．(2021·桂林二模)已知cos＝，α是第一象限角，则cos 2α的值为(　 )
A. B．－ C. D．－
解析：选C　α是第一象限角，α＋是第一或第二象限角，∴sin＝＝.∴cos 2α＝cos＝sin＝2sin·cos＝2××＝.
2．若sin α＝－，α是第三象限角，则＝(　 )
A．－2 B．2 C．－ D.
解析：选A　∵sin α＝－，α是第三象限角，∴cos α＝－＝－，
因此，＝
＝＝
＝＝＝－2，故选A.
重难点(三)　给值求角　
[典例]　已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sin B＝，则A＋B＝(　 )
A. B. C. D.
[解析]　因为sin2＋cos＝＋cos Acos－sin Asin＝－sin A＝，所以sin A＝，因为A，B均为钝角，所以A＋B∈(π，2π)，由sin A＝得cos A＝－＝－，由sin B＝得cos B＝－＝－，所以cos＝cos Acos B－sin Asin B＝，所以A＋B＝.
[答案]　C
给值求角问题的解题策略
给值求角问题可转化为给值求值问题求解，解题步骤如下．
(1)求所求角的某一三角函数值，原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好．
(2)利用该三角函数值并结合所求角的范围及三角函数的单调性求角．　　
[针对训练]
1．(2022·晋江一中模拟)已知tan α，tan β是方程x2－x－2＝0的两个实数根(不妨设α<β)，且α，β∈，则α＋β的值是(　 )
A. B.
C．－ D.或－
解析：选B　由根与系数的关系可得tan α＋tan β＝，tan α·tan β＝－2，
又因为α<β且α，β∈，故tan α<0所以，－<α＋β<，因为tan(α＋β)＝＝，因此，α＋β＝.
2．(2022·南京第十四中学月考)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　 )
A. B.
C.或 D.或
解析：选A　∵α∈，∴2α∈.
∵sin 2α＝，∴2α∈，
∴α∈，cos 2α＝－.
∵β∈，∴β－α∈，
∴cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝×－×＝.又∵α＋β∈，∴α＋β＝.
不会利用换元法求非特殊角的三角恒等变形
一些非特殊角的三角恒等变形求值题，由于最后得出的是一个具体的数值，故将其设为一个元t，再利用恒等变形公式计算出结果．
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[典例]　利用三角恒等公式化简：sin 50°(1＋tan 10°)．
[解题观摩]　令sin 50°(1＋tan 10°)＝t，
所以有sin 50°·＝t，
所以有sin 50°＝t，
即sin 50°·2sin(10°＋30°)＝tcos 10°，
得2sin 50°cos 50°＝tcos 10°，
即sin 100°＝cos 10°＝tcos 10° t＝1.
即原式＝1.
正切恒等式：当A＋B＋C＝kπ时，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
证明：因为tan(A＋B)＝，
tan C＝－tan(A＋B)，
所以tan A＋tan B＝－tan C(1－tan Atan B)，
故tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C．　　
[针对训练]
求tan 20°＋4sin 20°的值．
解：令tan 20°＋4sin 20°＝t，则＋4sin 20°＝t sin 20°＋4sin 20°cos 20°＝tcos 20° 2sin 40°＝tcos 20°－sin 20°＝tsin 70°－cos 70°＝sin(70°－φ)，所以 φ＝30°，tan φ＝＝ t＝.
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽视被开方数非负)化简：2＋＝(　 )
A．4cos 4 B．－2sin 4－4cos 4
C．4sin 4 D．4cos 4－2sin 4
解析：选B　原式＝2＋
＝2＋2|cos 4|
＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|，
∵π＜4＜，∴sin 4＋cos 4＜0，cos 4＜0，
∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4.
2．(选用公式不当)已知cos α＝，sin β＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　 )
A. B. C. D.
解析：选B　因为α∈，β∈，所以sin α＝＝，cos β＝＝，
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.又0＜α＋β＜π，故α＋β＝.
二、融会贯通应用创新题
3．(借助数学文化)数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则＝(　 )
A．4 B.＋1
C．2 D.－1
解析：选C　∵m＝＝2sin 18°，∴＝＝＝＝2，故选C.
4．(创新命题形式)已知平面直角坐标系中，点A(1,3)，B(a，b)，其中点B在第一象限．若∠AOB＝α，且cos 2α＝sin，则的值为(　 )
A．2 B．1 C. D.
解析：选C　由cos 2α＝sin，得cos2α－sin2α＝sin α－cos α，即(cos α＋sin α＋1)(sin α－cos α)＝0.由于点B在第一象限，因而cos α＋sin α＋1≠0，故sin α－cos α＝0，即tan α＝1.如图所示，设∠AOx＝β，则tan β＝3，所以＝tan(β－α)＝＝＝，故选C.
5．(结合新定义问题)对于集合{θ1，θ2，…，θn}和常数θ0，定义：μ＝为集合{θ1，θ2，…，θn}相对θ0的“余弦方差”．已知集合相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，这个常数是________．
解析：当集合Ω＝时，集合Ω相对于常数θ0的“余弦方差”μ＝
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos2＋cos2＋cos2(π－θ0)))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos θ0＋sin θ0))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos θ0＋sin θ0))2＋cos2θ0))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2θ0＋sin2θ0＋cos2θ0))＝.
答案：
6．(体现开放探究)若实数α，β满足方程组则β的一个值是________．
解析：由
得
所以(2cos α)2＋(2sin α)2＝(2cos β－1)2＋(2sin β－)2，
所以4＝4cos2β－4cos β＋1＋4sin2β－4sin β＋3，所以sin β＋cos β＝1，所以sin＝，
所以β＋＝2kπ＋或β＋＝2kπ＋，k∈Z，
即β＝2kπ或β＝2kπ＋，k∈Z.所以β可以取0.
答案：0(答案不唯一)
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．计算：＝(　 )
A. B．－ C. D．－
解析：选D　原式＝－·＝－tan＝－×＝－.
2．若sin 2α＝，0<α<，则cos的值为(　 )
A. B．－ C．± D.
解析：选D　因为sin 2α＝，所以2sin αcos α＝，因为0<α<，所以sin α>0，cos α>0，则2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，sin α＋cos α＝，cos＝coscos α＋sinsin α＝cos α＋sin α＝，故选D.
3．(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　 )
A. B. C. D.
解析：选A　因为tan 2α＝＝，所以cos α－＝2(2－sin α)，即＝，所以sin α＝.又α∈，所以cos α＝，所以tan α＝.故选A.
4．(2022·乐山外国语学校期中)已知sin＝tan 210°，则sin的值为(　 )
A. B．－ C. D．－
解析：选A　∵sin＝tan 210°＝tan＝tan 30°＝，∴cos＝1－2sin2＝，∴sin＝
sin＝cos＝.
5．已知α∈，β∈，且sin 2α(1＋sin β)＝cos β(1－cos 2α)，则下列结论正确的是(　 )
A．2α－β＝ B．2α＋β＝
C．α＋β＝ D．α－β＝
解析：选A　由题可知，2sin αcos α(1＋sin β)＝cos β·2sin2α，因为α，β∈，所以sin α≠0，所以cos α(1＋sin β)＝cos βsin α，即cos α＝sin(α－β)，因为cos α＝sin＝sin，所以α－β＝＋α(舍)或α－β＝－α，即2α－β＝，故选A.
6．(2022·沧州模拟)若角α满足cos＝，则＝________.
解析：∵cos＝(cos α－sin α)＝，∴cos α－sin α＝，∴2sin αcos α＝，
∴＝＝sin αcos α＝.
答案：
7．已知180°<α<360°，化简：＝________.
解析：原式＝
＝
＝＝.
因为180°<α<360°，所以90°<<180°，所以cos<0，所以原式＝cos α.
答案：cos α
8．已知函数f(x)＝2coscos＋sin x，若对任意的实数x，恒有f(α1)≤f(x)≤f(α2)，则cos(α1－α2)＝________.
解析：因为f(x)＝2·＋sin x＝2＋sin x＝1－2sin2x＋sin x＝－22＋，且f(x)对任意实数x恒有f(α1)≤f(x)≤f(α2)，所以sin α1＝－1，sin α2＝.则cos α1＝0，cos(α1－α2)＝cos α1cos α2＋sin α1sin α2＝－.
答案：－
9．已知α，β∈，且cos α＝－.
(1)求tan的值；
(2)若sin(α－β)＝，求sin β的值．
解：(1)因为cos α＝－，α∈，所以sin α＝＝，因此tan α＝＝－，所以tan＝＝＝－7.
(2)因为α，β∈，所以－≤α－β ≤，
又sin(α－β)＝，所以0<α－β<，所以cos(α－β)＝，
因此sin β＝sin＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×＋×＝1.
10．在①tan α＝4，②7sin 2α＝8cos α，③tan＝中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．
已知0<β<α<，________，cos(α－β)＝.
(1)求sin的值；
(2)求β.
解：(1)∵0<β<α<，∴sin α>0，cos α>0.
若选①tan α＝4，由sin2α＋cos2α＝1得sin α＝，cos α＝.
若选②7sin 2α＝8cos α，
则14sin αcos α＝8cos α，
∵cos α≠0，∴sin α＝，则cos α＝.
若选③tan＝，则tan α＝＝＝＝4，
则由sin2α＋cos2α＝1，得sin α＝，cos α＝.
综上，sin α＝，cos α＝.
故sin＝sin αcos＋cos αsin＝－.
(2)∵0<β<α<，∴－<－β<0，∴0<α－β<，
∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，∴sin β＝sin＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝，∴β＝.
二、重点难点培优训练
1．设sin 20°＝m，cos 20°＝n，化简－＝(　 )
A. B．－ C. D．－
解析：选A　因为sin 20°＝m，cos 20°＝n，所以－＝－
＝－
＝－＝－＝＝.
2．(2022·杭州五校联考)已知2＋5cos 2α＝cos α，cos(2α＋β)＝，α∈，β∈，则cos β的值为(　 )
A．－ B. C．－ D.
解析：选B　由2＋5cos 2α＝cos α结合二倍角公式可得，10cos2α－cos α－3＝0，解得cos α＝或cos α＝－，因为α∈，所以cos α＝，sin α＝，所以cos 2α＝＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝，所以＜2α＜π.因为β∈，所以2α＋β∈(2π，3π)，又cos(2α＋β)＝，所以2α＋β∈，所以sin(2α＋β)＝，所以cos β＝cos[(2α＋β)－2α]＝cos(2α＋β)cos 2α＋sin(2α＋β)sin 2α＝.故选B.
3．△ABC的三个内角分别为A，B，C，当A为________时，cos A＋2cos取得最大值，这个最大值为________．
解析：∵cos A＋2cos＝cos A＋2sin＝1－2sin2＋2sin＝－22＋，又A为△ABC的一个内角，故当sin＝，即A＝60°时，max＝.
答案：60°　
4．(2022·保定模拟)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(cos x，－sin x)，函数f(x)＝m·n＋.
(1)若f＝1，x∈(0，π)，求tan的值；
(2)若f(α)＝－，α∈，sin β＝，β∈，求2α＋β的值．
解：(1)因为向量m＝(cos x，sin x)，n＝(cos x，－sin x)，
所以f(x)＝m·n＋＝cos2x－sin2x＋＝cos 2x＋.
因为f＝1，所以cos x＋＝1，即cos x＝.又因为x∈(0，π)，所以x＝，所以tan＝tan＝＝－2－.
(2)若f(α)＝－，则cos 2α＋＝－，即cos 2α＝－.因为α∈，所以2α∈，所以sin 2α＝－＝－.因为sin β＝，β∈，所以cos β＝＝，所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝×－×＝.又因为2α∈，β∈，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为.