2023年高考一轮复习第四章 三角函数与解三角形第四节　三角函数的图象与性质 教案 （含答案）

第四节　三角函数的图象与性质
教学目标：
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z))))
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－＋2kπ，＋2kπ)) (k∈Z)上是递增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(＋2kπ，＋2kπ)) (k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－＋kπ，＋kπ)) (k∈Z)上是递增函数
周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是
对称性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋，0)) (k∈Z) 对称中心是(k∈Z)
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期T＝.
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是T，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是T，其中T为周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是T，其中T为周期．
(3)要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况，避免出现增减区间的混淆．
(4)对于y＝tan x，不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－，kπ＋)) (k∈Z)内为增函数．
1．(苏教版必修第一册P191·T2改编)函数y＝tan 2x的定义域是(　 )
A.
B.
C.
D.
答案：D
2．(人教A版必修第一册P199·例1改编)函数y＝1＋cos x(x∈[0,2π])的简图是(　 )
答案：D
3．(人教A版必修第一册P206·例4改编)下列关系式中正确的是(　 )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D．cos 10°＜sin 168°＜sin 11°
解析：选C　sin 168°＝sin(180°－168°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，∴sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.
4．(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别是(　 )
A．3π和 B．3π和2
C．6π和 D．6π和2
解析：选C　因为f(x)＝sin＋cos＝
sin，所以最小正周期T＝＝6π.因为≤1，所以f(x)max＝.故选C.
5．若函数y＝cos(x＋φ)为奇函数，则最小的正数φ＝________.
解析：因为函数y＝cos(x＋φ)为奇函数，所以只需φ＝＋kπ，k∈Z，又φ＞0，即＋kπ＞0，k∈Z，所以k＝0时，φ的最小值为.
答案：
6．(北师大版必修第二册P50·T4改编)函数y＝sin的单调递增区间为________．
解析：令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin的单调递增区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　三角函数的定义域和值域　
[题点全训]
1．函数f＝ 的定义域为(　 )
A.，k∈Z
B.
C.，k∈Z
D．R
解析：选C　由题得sin x≥，∴＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
2．已知函数f(x)＝sin2x－sin xcos x，x∈R，则f(x)的最大值为(　 )
A. B．1 C. D．－
解析：选A　f(x)＝sin2x－sin xcos x＝－sin 2x＝－sin＋，
当sin＝－1时，f(x)max＝－＋＝，故选A.
3．(2022·苏州三中模拟)函数f＝cos x·sin的最大值是(　 )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
解析：选C　f(x)＝cos xsin＝cos x·＝sin xcos x－cos2x＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，
∵x∈，∴2x－∈，
∴sin∈，∴sin－∈，即f的最大值是0，故选C.
4．若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．
解析：∵f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，
∴cos x＝1，解得x＝2kπ，k∈Z，
且sin(x＋φ)＝sin(2kπ＋φ)＝sin φ＝1，
∴φ＝＋2nπ，n∈Z，∴可取φ＝.
答案：(答案不唯一)
[一“点”就过]
求解三角函数的值域(最值)的常见类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
基础点(二)　三角函数的周期性和奇偶性　
[题点全训]
1．(多选)下列函数中，以2π为周期的函数有(　 )
A．y＝tan B．y＝sin
C．y＝ D．y＝cos
解析：选ACD　A：y＝tan，最小正周期T＝＝2π，正确；B：y＝sin，最小正周期T＝＝4π，不正确；C：y＝，最小正周期为，故2π也是它的一个周期，正确；D：y＝cos |x|＝cos x，最小正周期为2π，正确．
2．已知函数f＝cos2的周期为π，则ω＝________.
解析：因为f＝cos2＝
＝－sin 2ωx＋，
所以2ω＝＝2，解得ω＝1.
答案：1
3．已知函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)．
(1)若f(x)为偶函数，则φ＝________；
(2)若f(x)为奇函数，则φ＝________.
解析：(1)因为f(x)＝3sin为偶函数，
所以－＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.
(2)因为f(x)＝3sin为奇函数，
所以－＋φ＝kπ(k∈Z)，又φ∈(0，π)，所以φ＝.
答案：(1)　(2)
4．若f＝sin＋cos为偶函数，则θ的值为________．
解析：因为f＝sin＋cos是偶函数，所以有f(x)＝f(－x)，于是有：
sin＋cos＝sin＋cos，化简得：
sin x(sin θ＋cos θ)＝0，要想x∈R恒成立，
只需sin θ＋cos θ＝0 tan θ＝－ θ＝kπ－，k∈Z.
答案：kπ－，k∈Z
[一“点”就过]
奇偶性的判断方法 三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式
周期的计算方法 利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为求解
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　三角函数的对称性　
[典例]　(1)曲线y＝2sin(ω＞0)的一个对称中心的坐标为(3,0)，则ω的最小值为________．
(2)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象的相邻两条对称轴间的距离为，且f＝2，则f＝________.
[解析]　(1)由题意知3ω＋＝kπ，k∈Z，
故ω＝－＋，k∈Z，
∵ω＞0，∴当k＝1时ω取得最小值.
(2)∵函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为，∴＝，得T＝π，即＝π，得ω＝2，
即f(x)＝2sin(2x＋φ)，
∵f＝2，∴f＝2＝2sin，
即sin＝1，
∵0＜φ＜，∴＋φ＝，
得φ＝－＝，则f(x)＝2sin，
则f＝2sin＝2sin
＝2
＝2＝.
[答案]　(1)　(2)
[方法技巧]
三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法
(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象的对称轴和对称中心求解．
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．　　
[针对训练]
1．(多选)已知函数f(x)＝tan，则下列说法正确的是(　 )
A. y＝f是奇函数
B．f(x)的最小正周期是π
C．f(x)图象的对称中心是，k∈Z
D．f(x)图象的对称轴是x＝＋，k∈Z
解析：选AC　A正确，f＝
tan＝tan 2x，是奇函数；
B错，函数f(x)＝tan的最小正周期为T＝；
C正确，令2x＋＝，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，所以f(x)图象的对称中心是，k∈Z；
D错，正切函数的图象没有对称轴．
2．写出一个满足f－f＝0的偶函数f(x)＝________.
解析：由函数f满足f－f＝0，得f(x)的图象关于直线x＝对称，又f为偶函数，则满足条件的函数可以是f＝Acos 4x＋h中的任一个，故可取f＝cos 4x.
答案：cos 4x(答案不唯一)
重难点(二)　三角函数的单调性及应用　
[典例]　(1)函数y＝sin的单调减区间是(　 )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
(2)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　 )
A. B. C. D．π
[解析]　(1)y＝sin＝－sin，
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z.则函数y＝sin的单调减区间是(k∈Z)，选B.
(2)f(x)＝cos x－sin x＝－sinx－，当x∈，即x－∈时，
y＝sin单调递增，
则f(x)＝－sin单调递减．
∵函数f(x)在[－a，a]是减函数，∴[－a，a] ，∴0[答案]　(1)B　(2)A
[方法技巧]
1．求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数中含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间．
[提醒]　要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．
2．利用函数的单调性比较大小
(1)比较同名三角函数的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的三角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小．
(2)比较不同名三角函数的大小，应先化成同名三角函数，再进行比较．　　
[针对训练]
1．(多选)下列结论正确的是(　 )
A．sin 103°15′>sin 164°30′
B．sin 508°>sin 144°
C．cos>cos
D．cos>cos
解析：选AC　对A，因为正弦函数在区间上为减函数，且90°<103°15′<164°30′<180°，故sin 103°15′>sin 164°30′，故A正确；
对B，因为sin 508°＝sin(360°＋148°)＝sin 148°，且正弦函数在区间上为减函数，故sin 148°对C，因为余弦函数为偶函数，且在区间上为减函数，又<，故cos>cos，故cos>cos，故C正确；
对D, cos＝cos＝cos，cos＝cos＝cosπ，因为<π<<π，故cos2．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ∈(0,2π)，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＜f(π)，则f(x)的单调递增区间是(　 )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B　由f(x)≤得f＝±1，所以sin＝±1　①.又f＜f(π)，即sin(π＋φ)＜sin(2π＋φ)，即2sin φ＞0　②.因为φ∈(0,2π)，由①②可得φ＝，所以f(x)＝sin，所以由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，可解得x∈(k∈Z)．
3．若函数f(x)＝sin x＋cos x在[t,3t]上是减函数，则t的取值范围是(　 )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(，)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(，))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(，)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(，π))
解析：选C　 f(x)＝sin x＋cos x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋))的递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(＋2kπ，＋2kπ))，k∈Z，又由t<3t得t>0，由3t－t<π得0解决三角函数中的参数问题时缺乏整体代换的意识
根据三角函数的性质求参数的值或取值范围是三角函数部分的难点，主要是利用整体代换的思想，解决与三角函数的单调性、对称性、奇偶性和最值等有关的参数问题．
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[典例]　(1)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　 )
A. B. C. D.
(2)将函数y＝sin(2x＋φ)(φ>0)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的最小值为(　 )
A. B. C. D.
(3)若f(x)＝2sin ωx＋1(ω>0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．
[解析]　 (1)∵y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，即3cos＝0，
∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝－＋kπ，k∈Z，∴当k＝2时，|φ|有最小值.
(2)将函数y＝sin(2x＋φ)(φ>0)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数y＝sin＝sin的图象，则由＋φ＝kπ＋(k∈Z)，得φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ的最小值为，故选C.
(3)由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，得f(x)的增区间是(k∈Z)．
∵f(x)在上是增函数，∴ .∴－≥－且≤，∴ω∈.
[答案]　(1)A　(2)C　(3)
[诊治策略]
由三角函数的性质求解参数(范围)的规律
类型 前提准备 解读 典例指引
利用对称性 利用三角公式将函数的解析式写成Asin(ωx＋φ)＋b或Acos(ωx＋φ)＋b或Atan(ωx＋φ)＋b的形式 利用函数的对称性得到含有参数的表达式，根据参数范围确定整数k的取值求解 典例(1)
利用奇偶性 利用函数的奇偶性得到含有参数的表达式，根据参数范围确定整数k的取值求解 典例(2)
利用单调性 首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解 典例(3)
提醒 若是选择题，利用特值验证排除法求解更简捷
[针对训练]
1．已知f＝sin(ω>0)同时满足下列三个条件：①T＝π；②y＝f是奇函数；③fA. B.
C. D.
解析：选D　由T＝π，可得＝π ω＝2，因为y＝f是奇函数，所以sin是奇函数，即φ－＝kπ，k∈Z，又因为f2．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若函数f(x)在区间上为单调递减函数，则实数ω的取值范围是(　 )
A. B.
C. D.
解析：选B　因为π层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽视奇偶性的充要条件)已知φ∈R，则“φ＝0”是“y＝sin(x＋φ)为奇函数”的(　 )
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A　当φ＝0时，y＝sin(x＋φ)为奇函数；
当y＝sin(x＋φ)是奇函数时，φ＝kπ，k∈Z，
所以“φ＝0”是“y＝sin(x＋φ)为奇函数”的充分不必要条件，故选A.
2．(忽视自变量x的系数为负值)函数f(x)＝sin的单调递增区间为________．
解析：因为f(x)＝sin＝－sin，所以要求f(x)＝sin的单调递增区间，只需要求y＝sin的单调递减区间．令＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，可得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，所以y＝sin的单调递减区间为(k∈Z)，此即为函数f(x)＝sin的单调递增区间．
答案：(k∈Z)
3．(忽视正、余弦函数的有界性)当x∈时，函数y＝3－3sin x－2cos2x的最小值是________．
解析：当x∈时，sin x∈，函数y＝3－3sin x－2cos2x＝2sin2x－3sin x＋1＝22－，故当sin x＝时，函数y取得最小值为－.
答案：－
4．(忽视正切函数本身的定义域)已知函数f＝lg＋，则f的定义域是________________．
解析：∵函数f＝lg＋，
∴∴
∴x∈∪，
∴函数y＝f的定义域为∪.
答案：∪
二、融会贯通应用创新题
5．(链接生活实际)人的心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，收缩压120 mmHg，舒张压80 mmHg为血压的标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝102＋24sin 160πt，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则下列说法正确的是(　 )
A．收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B．收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C．收缩压高于标准值、舒张压低于标准值
D．收缩压低于标准值、舒张压高于标准值
解析：选C　因为p(t)＝102＋24sin 160πt，且－1≤sin 160πt≤1，所以p(t)∈[78,126]，即收缩压为126 mmHg，舒张压为78 mmHg.因为120＜126,80＞78，所以C正确．
6．(创新命题情境)(多选)我们日常听到的声音是由纯音合成的，纯音的数学模型是y＝Asin ωt.假设我们听到的声音的数学模型是函数f(x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x，则下列结论正确的是(　 )
A．2π为函数f(x)的一个周期
B．函数f(x)的图象关于(π，0)对称
C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)的最大值为
解析：选AB　f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋sin(2x＋4π)＋sin(3x＋6π)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＝f(x)，选项A正确；
f(2π－x)＝sin(2π－x)＋sin(4π－2x)＋sin(6π－3x)＝－sin x－sin 2x－sin 3x＝－f(x)，可知f(2π－x)＋f(x)＝0，故函数f(x)的图象关于点(π，0)对称，选项B正确；
f(π－x)＝sin(π－x)＋sin(2π－2x)＋sin(3π－3x)＝sin x－sin 2x＋sin 3x，可知f(π－x)＝f(x)只有在sin 2x＝0时才成立，故函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，选项C错误；
易知1＋＋＝，若f(x)的最大值为，则需sin x，sin 2x，sin 3x同时取得最大值，即x＝2kπ＋，x＝mπ＋，x＝＋，k，m，n∈Z，由2kπ＋＝mπ＋，得m＝2k＋，m，k∈Z，此式显然不成立，故选项D错误．故选A、B.
7．(结合新定义问题)高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数f(x)＝[x]也被应用于生活、生产的各个领域．高斯函数也叫取整函数，其符号[x]表示不超过x的最大整数，如：[2.39]＝2，[－0.17]＝－1.若函数f(k)＝(k∈Z)，则f(k)的值域为________．
解析：当＝＋2k1π，k1∈Z或＝＋2k2π，k2∈Z时，cos＝－，f(k)＝－1；当＝2π＋2k3π，k3∈Z时，cos＝1，f(k)＝1.故f(k)的值域为{－1,1}．
答案：{－1,1}
8．(体现开放探究)写出一个图象关于直线x＝2对称且在[0,2]上单调递增的偶函数f(x)＝________.
解析：如f(x)＝－cosx，f(－x)＝－cos＝－cosx＝f(x)，即f(x)为偶函数；
由x＝kπ，得x＝2k，k∈Z，当k＝1时，f(x)＝－cosx关于直线x＝2对称；
由x∈[0,2]得x∈[0，π]，则由余弦函数的性质可知，函数f(x)＝－cosx在[0,2]上单调递增．故答案为f(x)＝－cosx(答案不唯一)．
答案：－cosx(答案不唯一)
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．下列函数中，周期为2π的奇函数为(　 )
A．y＝sincos B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
解析：选A　y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，故选A.
2．函数f＝2sin在区间上的最大值为(　 )
A．－2 B．1 C. D．2
解析：选C　当x∈时，x－∈，≤sin≤，所以1≤2sin≤，所以函数f(x)＝2sin在区间上的最大值为.
3．函数f(x)＝cos(x∈[0，π])的单调递增区间为(　 )
A. B. C. D.
解析：选C　由2kπ－π≤x＋≤2kπ，k∈Z，解得2kπ－≤x≤2kπ－，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴≤x≤π，∴函数f(x)在[0，π]的单调递增区间为，故选C.
4．(多选)关于函数y＝tan，下列说法正确的是(　 )
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为
解析：选CD　函数y＝tan是非奇非偶函数，A错；函数y＝tan在区间上单调递增，B错；最小正周期为，D对；由2x－＝(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．当k＝0时，x＝，所以它的图象关于对称，C对．故选C、D.
5．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在上为减函数，则θ的一个值为(　 )
A．－ B．－ C. D.
解析：选D　由题意得f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin.因为函数f(x)为奇函数，所以θ＋＝kπ(k∈Z)，故θ＝－＋kπ(k∈Z)．当θ＝－时，f(x)＝2sin 2x，在上为增函数，不合题意；当θ＝时，f(x)＝－2sin 2x，在上为减函数，符合题意，故选D.
6．函数y＝＋ 的定义域为________．
解析：
解得2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.
答案：
7．函数y＝－cos2x－sin x的值域为________．
解析：设sin x＝t，则cos2x＝1－t2，
∴y＝－cos2x－sin x＝－(1－t2)－t＝2－，
∵t＝sin x∈[－1,1]，
∴当t＝时，ymin＝－；当t＝－1时，ymax＝1.
因此，函数y＝－cos2x－sin x的值域是.
答案：
8．若一个三角函数y＝f(x)既在上是增函数，又是以π为最小正周期的偶函数，则其解析式可以是________．
解析：一个三角函数y＝f(x)是以π为最小正周期的偶函数，所以函数为f(x)＝cos 2x类型，由y＝f(x)在内是增函数，可知函数是f(x)＝－cos x类型，所以函数的解析式为y＝－cos 2x.
答案：y＝－cos 2x
9．(2021·浙江高考)设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)．
(1)求函数y＝2的最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)f在上的最大值．
解：(1)因为f(x)＝sin x＋cos x＝sin，所以y＝2＝2sin2＝1－cos＝1－sin 2x，所以y＝2的最小正周期T＝＝π.
(2)由题意可知y＝f(x)f＝sin×sin x＝2sin x＝sin2x＋sin xcos x＝sin＋.
因为x∈，所以2x∈[0，π]，
所以2x－∈，
所以sin∈，
所以y＝f(x)f的值域为.
综上可知，y＝f(x)f的最大值为＋1.
10．(2022·聊城一中高三模拟)在①x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴，②是函数f(x)的一个零点，③函数f(x)在上单调递增，且b－a的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知函数f(x)＝2sin ωxcos－(0<ω<2)，________，求f(x)在上的单调递减区间．
解：f(x)＝2sin ωxcos－
＝2sin ωx－
＝cos ωxsin ωx＋sin2ωx－＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin.
选①：若x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴，
则－－＝kπ＋，k∈Z，即－＝kπ＋，k∈Z，得ω＝－3k－2，k∈Z，
又0<ω<2，所以当k＝－1时，ω＝1，f(x)＝sin.
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
令k＝0，得≤x≤，令k＝－1，得－≤k≤－，又－≤x≤，
所以f(x)在上的单调递减区间为，.
选②：若是函数f(x)的一个零点，
则×2ω－＝kπ，即ω＝kπ＋，k∈Z，
得ω＝6k＋1，k∈Z.
又0<ω<2，所以当k＝0时，ω＝1，f(x)＝sin.下同选①.
选③：若f(x)在上单调递增，且b－a的最大值为，则T＝π＝，故ω＝1，所以f(x)＝sin.
下同选①.
二、重点难点培优训练
1．(2022·东莞模拟)若函数f(x)＝sin x＋cos x在上单调递增，则α的最大值为(　 )
A．3π B. C. D.
解析：选D　由题意可得f(x)＝sin，令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，令k＝1，得≤x≤，所以α的最大值为.
2．(2022·肇庆一模)(多选)已知函数f(x)＝，则(　 )
A．f(x＋π)＝f(－x)
B．f(x)的最大值为4－2
C．f(x)是奇函数
D．f(x)的最小值为－
解析：选AB　由题意可得f(x＋π)＝＝，f(－x)＝＝，所以A正确；
f(x)＝＝＝4－2＋2sin x＋≤4－2，当且仅当sin x＝－1时等号成立，故B正确；
由f(－x)＝＝，得f(－x)≠－f(x)，所以C不正确；
f＝＝＝－2－＜－，所以D不正确．故选A、B.
3．(2022·黑龙江实验中学高三月考)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　 )
A. B.
C. D.
解析：选B　由函数y＝sin x在上单调递增，
得≤x≤，k∈Z时，f(x)单调递增，又∵f(x)在区间上单调递增，
∴解得∴当k＝0时，有0<ω≤.
4．已知函数f(x)＝2sin xsin＋cos 2x，x∈.
(1)求f(x)的单调递增区间和最值；
(2)若函数g(x)＝f(x)－a有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)函数f(x)＝2sin xsin＋cos 2x＝2sin x＋cos 2x
＝sin xcos x＋sin2x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
因为x∈，所以函数f(x)的单调递增区间是.因为x∈，则2x＋∈，所以sin∈，所以f(x)min＝0，f(x)max＝.
(2)因为g(x)＝f(x)－a有且仅有一个零点，所以f(x)＝a有且仅有一个实根，即函数y＝f(x)与y＝a的图象有且仅有一个交点，如图所示．
由图象知，a＝或a∈[0,1)，所以实数a的取值范围是[0,1)∪.