2023年高考一轮复习第四章 三角函数与解三角形第五节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 教案（含答案）

第五节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
教学目标：
1.结合具体实例，了解y＝Asin ωx＋φ 的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x≥0)表示一个简谐运动 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ _φ_
2.用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如表所示
ωx＋φ 0 π 2π
x －
y＝f(x) 0 A 0 －A 0
3.由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法
(1)“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为.
(2)在正弦函数图象、余弦函数图象中，相邻的两个对称中心以及相邻的两条对称轴之间的距离均为半个周期．
(3)若直线x＝a为正(余)弦曲线的对称轴，则正(余)弦函数一定在x＝a处取得最值．
(4)若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝.
(5)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
(6)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
1．(人教A版必修第一册P239·T2改编)已知函数f＝sin，g＝sin x，要得到函数y＝f的图象，只需将函数y＝g的图象上的所有点(　 )
A．横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位
B．横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位
C．横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位
D．横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位
解析：选B　由题得f＝sin，而g＝sin x，∴将函数y＝g的图象上的所有点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得到y＝f的图象．
2．函数y＝sin的图象向左平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于y轴对称，则φ的最小值为(　 )
A. B. C. D.
解析：选C　由题可得g＝sin，
∵g(x)的图象关于y轴对称，
∴2φ－＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝＋，k∈Z，
∵0<φ<，∴φ＝，则φ的最小值为.
3．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的初相φ为________．
解析：将点(0,1)代入函数表达式可得2sin φ＝1，即sin φ＝.因为|φ|<，所以φ＝.
答案：
4．(人教B版必修第三册P49·T2改编)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则点(ω，φ)的坐标是________．
答案：
5．已知函数f＝cos，若将函数f的图象向左平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到函数g的图象，则函数g的解析式为____________．
解析：把函数f＝cos的图象向左平移个单位长度后，可得y＝cos＝cos＝－sin 2x的图象，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到函数g＝－sin x的图象．
答案：g(x)＝－sin x
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
[题点全训]
1．(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　 )
A．sin B．sin
C．sin D．sin
解析：选B　先将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，所以f(x)＝sin.故选B.
2．(2022·盐城模拟)(多选)将函数f(x)＝2sin图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度后，得到函数y＝g(x)的图象，则下列结论中正确的有(　 )
A．函数g(x)的最大值为2
B．函数g(x)的图象关于点对称
C．函数g(x)是偶函数
D．直线x＝是函数g(x)图象的一条对称轴
解析：选AC　由题意得g(x)＝2sin＝－2cos x，所以g(x)的最大值为2，g(x)为偶函数，g(x)的图象关于点(k∈Z)对称，关于直线x＝kπ(k∈Z)对称，故B和D错误，A和C正确．
3．已知函数f(x)＝2sin(x∈R)．
(1)利用“五点法”画出该函数在长度为一个周期上的简图．
(2)说明该函数的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到．
解：(1)列表：
x＋ 0 π 2π
x －
y＝f(x) 0 2 0 －2 0
作图：
(2)将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin的图象，
横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝sin的图象，
纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，可得f(x)＝2sin的图象．
[一“点”就过]
作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的方法
“五点法”作图 用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象
图象的变换法 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与解析式
[典例]　(1)已知函数y＝Asin＋n的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，若A>0，ω>0,0<φ<，则函数解析式为________________．
(2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________.
[解析]　(1)依题意可得A＝＝2，n＝＝2，ω＝＝4，所以y＝2sin(4x＋φ)＋2，所以4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，因为0<φ<，所以k＝1，φ＝.所以函数解析式为y＝2sin＋2.
(2)设函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的周期为T.由题图可知T＝π－，∴T＝π.又T＝，∴|ω|＝2.不妨设ω>0，则f(x)＝2cos(2x＋φ)．将代入f(x)中，可得f＝2cos＝2，
∴cos＝1，∴＋φ＝2kπ(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．取k＝1，得φ＝－，
∴f(x)＝2cos.
∴f＝2cos＝2cos＝2×＝－.
[答案]　(1)y＝2sin＋2　(2)－
[方法技巧]
根据三角函数图象求解析式，重在对A，ω，φ的理解，主要从以下三个方面考虑：
(1)根据最大值或最小值求出A的值．
(2)根据周期求出ω的值．
(3)求φ的常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入．②五点法：确定φ的值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．　　
[针对训练]
1.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，为了得到y＝sin ωx的图象，只需把y＝f(x)的图象上所有点(　 )
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位
解析：选A　由题图可知周期满足＝－＝，则T＝π，∴ω＝＝2.又cos＝0，∴2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝－，则f(x)＝cos＝sin，∴将f(x)＝sin的图象上所有点向右平移个单位，即可得到y＝sin 2x的图象．故选A.
2．某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)其中0x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 －1 －2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是________．
解析：由题意可知(0,1)，(2,1)关于对称轴对称，且对称轴x＝1，由三角函数的对称性可知，正弦函数在对称轴处取得最值，且过(1，A)，从而可得第二组(1,0)错误．
把(1，A)代入可得，ω＋φ＝，(2,1)，(3，－1)关于对称，所以可得是与函数的对称轴x＝1相邻的一个对称中心，从而函数的周期T＝4×＝6，根据周期公式T＝＝6，可得ω＝，φ＝，函数f(x)＝Asin，把函数图象上的点(0,1)代入函数解析式,可得Asin＝1，所以A＝2.
答案：y＝2sin
重难点(二)　三角函数图象与性质的综合问题
考法1　三角函数图象与性质的综合问题
[例1]　已知函数f(x)＝2sin·cos＋sin 2x＋a的最大值为1.
(1)求实数a的值；
(2)若将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
[解]　(1)f(x)＝2sincos＋sin 2x＋a＝sin＋sin 2x＋a＝cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin＋a，∴2＋a＝1，∴a＝－1.(2)∵将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝f＝2sin2x＋＋－1＝2sin－1，∵x∈，∴2x＋∈，∴当2x＋＝，即x＝0时，g(x)取得最大值为－1；当2x＋＝，即x＝时，g(x)取得最小值为－3.
考法2　三角函数模型的应用
[例2]　如图，一个大风车的半径为8 m，12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是(　 )
A．h(t)＝－8sint＋10
B．h(t)＝－cost＋10
C．h(t)＝－8sint＋8
D．h(t)＝－8cost＋10
[解析]　设h(t)＝Acos ωt＋B，因为12 min旋转一周，所以＝12，所以ω＝，由于最大值与最小值分别为18,2.所以解得A＝－8，B＝10.所以h(t)＝－8cost＋10.
[答案]　D
考法3　函数的零点(方程的根)问题
[例3]　(2022·昆明模拟)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)，f(4)＝f(2)－6，且f(x)在[2,4]上单调．设函数g(x)＝f(x)－1，且g(x)的定义域为[－5，8]，则函数g(x)的所有零点之和等于________．
[解析]　f(x)＝3sin(ωx＋φ)，则－3≤f≤3，因为f(4)＝f(2)－6，所以f＝3，f＝－3，则f(x)在[2,4]上单调递减，且＝2，T＝4＝，所以ω＝，
代入f＝3sin＝3，可得φ＝－＋2kπ，又|φ|<π，所以φ＝－，即f(x)＝3sin.令t＝x－，画出y＝3sin t的图象如图，
当x∈时，t∈，g(x)＝f(x)－1＝0，即f(x)＝1，在上共有六个根，t1＋t2＋…＋t6＝－3π＋π＋5π＝3π，即＋＋…＋＝3π，
则x1＋x2＋…＋x6＝12.
[答案]　12
[方法技巧]
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)与三角函数有关的方程的根或函数的零点问题一般要借助于函数的图象，利用图象特征求解，或转化为两个函数图象的交点问题．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．　　
[针对训练]
1．(2021·福州二模)月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温y(单位：℃)与月份x(单位：月)的关系可近似地用函数y＝Asin＋a(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月均温为29 ℃，12月份的月均温为17 ℃，则10月份的月均温为(　 )
A．20 ℃ B．20.5 ℃ C．21 ℃ D．21.5 ℃
解析：选A　由题意可得解得所以，函数解析式为y＝6sin＋23，在函数解析式中，令x＝10，可得y＝6sin＋23＝6×＋23＝20.因此，10月份的月均温为20 ℃.
2．(多选)已知函数f＝2sin的一条对称轴方程为x＝，相邻的一个对称中心为，则下列说法正确的是(　 )
A．ω＝2，φ＝
B．函数f在上单调递减
C．将函数f的图象向右平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象
D．若方程f＝m，x∈有两个不相等的实根，则实数m的取值范围是(－2，－)
解析：选BC　对于A选项，由题意可知，函数f的最小正周期为T＝4＝π，则ω＝＝2，则f＝2sin，f＝2sin＝0，可得＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，因为<，则φ＝，A选项错误；
对于B选项，当≤x≤时，≤2x＋≤，所以，函数f在区间上单调递减，B选项正确；
对于C选项，将函数f的图象向右平移个单位长度，得到g＝2sin＝2sin 2x的图象，且函数g为奇函数，C选项正确；
对于D选项，当x∈时，2x＋∈，作出函数f
在区间上的图象如图所示．
由图可知，当－2观察图形不周密难以解决参数问题
求解三角函数图象与性质问题中的参数问题，有时需借助于函数的图象，即利用数形结合的思想方法，正确作图并且恰当地用图是解决问题的关键．
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[典例]　把函数f＝3sin的图象向右平移个单位长度后得到函数g的图象．若函数g在上的值域是，则θ＝________.
[解析]　由题知
g＝3sin＝
3sin，作出函数的大致图象如图所示．
函数g＝3sin在上先增后减，且g＝0，
若函数g＝3sin在上的值域是，
必有g＝－，结合图象，则2θ＋＝π，θ＝π.
[答案]　π
根据平移关系求出g＝3sin，作出其简图，可观察其最大值为3，最小值为－3，在图中确定区间的左端点－，再根据函数的值域为，观察θ的位置，即可确定其值．　　
[针对训练]
已知把函数f＝sincos x－的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数g的图象，若g·g(x2)＝，且x1，x2∈，则x1－x2的最大值为(　 )
A．π B. C. D．2π
解析：选C　f＝sincos x－＝cos x－＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋·－＝sin.将图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数g，可得g(x)＝sin，所以gmax＝，g(x)min＝－，所以x1，x2同时令g取得最大值或最小值时，g·g＝.当x1，x2∈时，－4π－≤4x－≤4π－，根据函数的图象可知x1－x2的最大值为3个周期的长度，即.
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(混淆变换的规则)为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象(　 )
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
解析：选A　∵函数y＝sin＝sin，∴为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位．
2．(忽视函数名称的转化)要得到y＝cos的图象，只需将y＝sinx的图象(　 )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：选C　y＝cos＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋＋))＝sin，故要得到y＝cos的图象，只需将函数y＝sinx的图象向左平移个单位．
3.(确定φ的值因选用的点不当致错)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，则ω，φ的值分别为(　 )
A．1， B．1，－ C．2，－ D．2，
解析：选D　由图象知，＝－＝，即T＝π，所以＝π，即ω＝2.又函数图象过点，所以2×＋φ＝kπ，k∈Z，又|φ|<，故φ＝，故选D.
4．(忽视参数的取值范围)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的相邻两个零点间的距离为，且f＝－2，则φ＝________.
解析：由题意T＝2×＝π，ω>0，所以ω＝＝2，
f＝2sin＝－2，－＋φ＝2kπ－，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－.
答案：－
二、融会贯通应用创新题
5．(渗透“五育”教育)音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐音都能用数学表达式来描述，它们是一些形如y＝asin bx的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐音的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数y＝0.06sin 180 000t(基本音)构成乐音的是(　 )
A．y＝0.02sin 360 000t
B．y＝0.03sin 180 000t
C．y＝0.02sin 181 800t
D．y＝0.05sin 540 000t
解析：选C　由f＝＝，可知若f1＝nf2(n∈N*)，
则必有ω1＝nω2(n∈N*)．
易得360 000＝2×180 000,180 000＝1×180 000，
540 000＝3×180 000，
故A、B、D中函数都能与函数y＝0.06sin 180 000t构成乐音．只有C选项中，181 800不是180 000的整数倍．
6．(创新命题角度)2019新型冠状病毒属于β属冠状病毒，有包膜，颗粒常为多形性，其中包含着数学模型为y＝Bcos ωβ，y＝kβ＋b的某结构，人体肺部结构中包含数学模型为y＝Asin ωβ，y＝ln β的结构，新型冠状病毒肺炎是由它们“复合”引起的，表现为f(β)．若函数f(β)＝asin(1－β)＋ln β在(0,1)上单调递增，则a的取值范围为(　 )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选B　f(β)＝asin(1－β)＋ln β在(0,1)上单调递增，则f′(β)＝－acos(1－β)＋≥0在(0,1)上恒成立，因为0<β<1，
所以0<1－β<1，所以cos(1－β)>0，
所以a≤在(0,1)上恒成立．
设k(β)＝βcos(1－β)(0<β<1)，
则k′(β)＝cos(1－β)＋βsin(1－β)，易知sin(1－β)>0，所以k′(β)>0，故k(β)在(0,1)上单调递增．
令p(β)＝，则p(β)在(0,1)上单调递减，
又p(1)＝1，故a≤1，即a的取值范围为(－∞，1]．故选B.
7.(创新命题形式)已知函数f(x)＝sin(πx＋φ)某个周期的图象如图所示，A，B分别是f(x)图象的最高点与最低点，C是f(x)图象与x轴的交点，则tan∠BAC＝(　 )
A. B. C. D.
解析：选B　过点A作AD垂直x轴于点D，设AB与x轴交于点E.由题可得周期为2，所以CD＝，AD＝1，DE＝，所以tan∠CAD＝＝，tan∠EAD＝＝，所以tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠EAD)＝＝＝.故选B.
8．(体现数学应用)在海岸线TO一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段TDBS，该曲线段是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，x∈[－4,0]的图象，如图所示，图象的最高点为B(－1,2)，曲线段TDBS上的入口D到海岸线TO的距离为千米，现准备从入口D修一条笔直的景观路到O，则景观路DO的长为________千米．
解析：设函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T，由题图可知A＝2，＝－1－(－4)＝3，所以T＝＝12，所以ω＝.当x＝－1时，2sin＝2，所以sin＝1.因为0<φ<π，所以－<φ－<，所以φ－＝，解得φ＝，则解析式为y＝2sin，x∈[－4,0]．因为D到TO的距离为千米，所以设D(x，)，将D(x，)代入解析式得2sin＝，由图可知－4答案：
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．用“五点法”作函数y＝cos在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　 )
A. B.
C. D.
解析：选A　令4x－＝，得x＝.∴该点坐标为.
2．(多选)为得到函数y＝cos的图象，只需将y＝cos 2x 的图象(　 )
A．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
B．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
D．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
解析：选BC　如果是先伸缩再平移，那么需先将y＝cos 2x的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝cos x的图象，再向右平移个单位长度，即得y＝cos的图象；
如果是先平移再伸缩，需先将y＝cos 2x向右平移个单位长度，得到y＝cos＝cos的图象，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，即得y＝cos的图象．
3．已知函数f(x)＝2sincos＋2cos2－1(ω>0)的周期为π，当x∈时，方程f＝m恰有两个不同的实数解x1，x2，则f＝(　 )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
解析：选B　f(x)＝2sincos＋2cos2－1＝sin ωx＋cos ωx＝2sin.
由T＝＝π得ω＝2，∴f＝2sin.作出函数f在x∈ 上的图象如图．
由图可知x1＋x2＝，∴f＝2sin＝2×＝1.
4.已知函数g(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，函数f(x)＝sin，则g(x)＝(　 )
A．f B．f
C．f D．f(2x－1)
解析：选C　根据图象分析得：周期T＝＝4，解得ω＝，又有g(1)＝sin＝1且|φ|<π，解得φ＝0，所以g(x)＝sinx.要由f(x)＝sin的图象得到g(x)的图象，只需将f(x)图象上的所有点向左平移个单位长度得到y＝f的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得g(x)＝f＝sinx的图象．
5．(多选)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x－，则下列说法正确的是(　 )
A．函数f(x)的值域为[－1,1]
B．函数f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向右平移个单位得到
C．函数f(x)在上单调递减
D．点是函数f(x)的图象的一个对称中心
解析：选AD　f(x)＝sin xcos x＋(2sin2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin，易知A、D均正确；B选项，y＝sin 2x的图象应向右平移个单位，得到f(x)的图象，因此B不正确；对于C选项，当－≤x≤时，－≤2x－≤，∴函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，因此C不正确．
6．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，则g在区间 上的单调递减区间是________．
解析：由题得g＝sin＝sin，因为0≤x≤π，所以≤2x＋≤，因为y＝sin x在上单调递减，故由≤2x＋≤，得≤x≤，所以g在区间 上的单调递减区间是.
答案：
7．y＝sin向左平移个单位得到f的图象，若f为偶函数，则φ的值为________．
解析：y＝sin向左平移个单位，得到f＝sin，因为f为偶函数，所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，又因为0<φ<π，所以φ＝.
答案：
8.(2022·辽宁名校联考)已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)sinω＞0，|φ|＜，如图是y＝f(x)的部分图象，则φ＝______，f(x)的图象在区间[0，2 020π]内有______条对称轴．
解析：函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)sin＝2sin(2ωx＋2φ)．由题图可知f(0)＝，即sin 2φ＝，由于点(0，)在单调递增的区间内，所以2φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z，根据题意知φ＝.由图象过点，则ω＋＝2π，解得ω＝2，故f(x)＝2sin.令4x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，则令0≤＋≤2 020π，k∈Z，得－≤k≤8 080－，k∈Z，故f(x)的图象在[0,2 020π]内有8 080条对称轴．
答案：　8 080
9．(2021·杭州三模)已知函数f＝3sincos－.
(1)求函数y＝f的对称中心；
(2)将函数f的图象向左平移φ个单位得到函数g的图象，其中φ∈且tan φ＝，求函数g在上的取值范围．
解：(1)由题意，函数f＝3sincos－＝sin x＋cos x＝sin，令x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ－，k∈Z，所以函数f的对称中心为.
(2)由题意，将函数f的图象向左平移φ个单位得到g＝sin的图象，
因为φ∈，且tan φ＝，可得sin φ＝，cos φ＝，且φ∈，
又因为x∈，所以x＋φ＋∈，
当x＋φ＋＝时，g取得最大值，最大值为gmax＝；
当x＋φ＋＝＋φ时，g取得最小值，最小值为gmin＝sin＝，
所以g∈.
10．(2022·北京二中高三模拟)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)同时满足下列四个条件中的三个：①f＝1；②f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象可以由y＝sin x－cos x的图象平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为；④最大值为2.
(1)请指出这三个条件，并说明理由；
(2)若曲线y＝f(x)的对称轴只有一条落在区间[0，m]上，求m的取值范围．
解：(1)三个条件是：①③④，理由如下：
若满足②：因为y＝sin x－cos x＝sin，所以A＝，ω＝1；
若满足③：因为＝，所以T＝＝π，所以ω＝2；
若满足④：A＝2.
由此可知：若满足②，则③④均不满足，
所以满足的三个条件是：①③④.
(2)由③④知：f＝2sin，
由①知：f＝1，所以2sin＝1，所以sin＝，所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z或＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
所以φ＝2kπ－，k∈Z或φ＝2kπ＋，k∈Z，又因为|φ|<，所以φ＝－，所以f＝2sin.不妨令2x－＝kπ＋，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，
当k＝－1时，x＝－；当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝，所以若要y＝f(x)的对称轴只有一条落在区间上，只需m∈，
所以m的取值范围是.
二、重点难点培优训练
1．若函数f＝sin的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则f在上的最小值为(　 )
A．－1 B．－
C．－ D.
解析：选C　f＝sin的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin＝sin的图象，
因为是此函数的对称中心，则ω－ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝1－3k，k∈Z，又因为0<ω<3，所以当k＝0时，ω＝1，所以f＝sin.
因为－≤x≤π，则－≤x＋≤，所以－≤sin≤1，
所以f在上的最小值为－.
2.(多选)已知函数f＝Asin其中A>0，ω>0，<的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　 )
A．函数f的图象关于直线x＝对称
B．函数f的图象关于点对称
C．将函数f图象上所有的点向右平移个单位，得到函数g，则g为奇函数
D．函数f在区间上单调递增
解析：选ACD　由图象得函数最小值为－2，故A＝2，＝－＝，故T＝π，ω＝＝2，故函数f＝2sin(2x＋φ)，又函数过点，故2sin＝－2，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，又<，即φ＝，故f＝2sin，令2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝，故A选项正确；
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，f(x)的对称中心为，k∈Z，故B选项错误；
函数f图象上所有的点向右平移个单位，得到函数g＝2sin 2x，为奇函数，故C选项正确；
令2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，又 ，k∈Z，故D选项正确．故选A、C、D.
3．关于函数f(x)＝－有下列三个结论：
①是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在x∈[0，π]的所有零点和为；
③函数f(x)的值域[－1,1]．
其中所有正确结论的编号是________．
解析：对①，因为函数f＝－sin＝－＝f(x)，所以是函数f(x)的周期，①正确；
对②，令f(x)＝0，则tan＝±1，解得2x－＝±＋kπ，k∈Z，即x＝＋kπ或x＝π＋kπ，k∈Z，而x∈[0，π]，所以x＝，， ，，故函数f(x)在x∈[0，π]的所有零点和为，②错误；
对③，f2(x)＝1－2＝1－≤1，所以－1≤f(x)≤1，③正确．
答案：①③
4.已知函数f＝Asin的部分图象如图所示．
(1)求函数f的解析式；
(2)将函数f图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g的图象，若函数g(x)在区间上单调递增，求实数t的最大值．
解：(1)由题图可知，A＝2.又f＝1，所以2sin＝1，即sin φ＝，又<，所以φ＝.因为f＝0，所以2sin＝0，结合题图可知ω·＋＝2kπ，k∈Z，即ω＝，k∈Z，又T>，所以0<ω<，所以ω＝2，所以f＝2sin.
(2)因为将函数f图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g的图象，所以g＝2sin.令－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋≤x≤＋，k∈Z.因为g(x)在上是增函数，所以解得t≤，所以实数t的最大值为.