2023年高考一轮复习第四章 三角函数与解三角形第一节　任意角和弧度制、三角函数的概念 教案（含答案）

第四章 三角函数与解三角形
第一节　任意角和弧度制、三角函数的概念
教学目标：
1．三角函数的基本概念
定义 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形
分类 (1)按旋转方向分为正角、负角和零角；(2)按终边位置分为象限角和轴线角
终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}
2.象限角
象限角 角的表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°＋90°<α第三象限角 {α|k·360°＋180°<α第四象限角 {α|k·360°－90°<α3．弧度制
定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad
弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示，半径用r表示)
角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝°≈57.3°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
4．任意角的三角函数
三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数
定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin_α x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即x＝cos_α 叫做α的正切函数，记作tan_α，即＝tan_α(x≠0)
定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么：sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)
1．几点注意
(1)三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(2)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，))，则tan α>α>sin α.
(3)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．
(4)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
(5)区分两个概念
①第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角．
②不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等．
2．常用结论
(1)α，β终边相同 β＝α＋2kπ，k∈Z.
(2)α，β终边关于x轴对称 β＝－α＋2kπ，k∈Z.
(3)α，β终边关于y轴对称 β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
(4)α，β终边关于原点对称 β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
1．(人教A版必修第一册P175·T6改编)半径为2的圆中，有一条弧长是，则此弧所对的圆心角是(　 )
A．15° B．20° C．30° D．40°
答案：C
2．(人教B版必修第三册P15·例1改编)已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则sin α－cos α的值为(　 )
A. B．－ C. D．－
解析：选D　因为sin α＝＝－，cos α＝＝，所以sin α－cos α＝－－＝－.
3．(苏教版必修第一册P170·T6改编)已知α∈(0,2π)，sin α<0，cos α>0，则角α的取值范围是(　 )
A. B. C. D.
解析：选D　因为sin α<0，cos α>0，所以α为第四象限角，故α∈，故选D.
4．角α＝45°＋k·180°，k∈Z的终边落在(　 )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
解析：选A　当k为偶数时，α的终边在第一象限；当k为奇数时，α的终边在第三象限，故选A.
5．(北师大版必修第二册P25·T3改编)若角－120°的终边上有一点(－3，a)，则实数a的值为________．
解析：由题意可得，tan(－120°)＝，又tan(－120°)＝－tan 120°＝－tan(180°－60°)＝tan 60°＝，∴a＝－3.
答案：－3
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　角的概念与表示　
[题点全训]
1．(多选)下列与角－终边相同的角是(　 )
A. B. C. D．－
解析：选BD　与角－终边相同的角的集合是，
当k＝1时，α＝π；当k＝－1时，α＝－π.
2．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　 )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选AC　因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α则有k·180°<α故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α3．设集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (x＝·180°＋45°，k∈Z)))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (x＝·180°＋45°，k∈Z)))，那么(　 )
A．M＝N B．M N
C．N M D．M∩N＝
解析：选B　由于M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (x＝·180°＋45°，k∈Z)))＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (x＝·180°＋45°，k∈Z)))＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M N.故选B.
4．若α是第四象限角，则－在第________象限．
解析：α是第四象限角，则＋2kπ<α<2π＋2kπ，k∈Z，故＋kπ<－<＋kπ，k∈Z，
当k为偶数时，－在第一象限；
当k为奇数时，－在第三象限．
答案：一或三
[一“点”就过]
1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角
先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置．
基础点(二)　三角函数值符号的确定　
[题点全训]
1．(多选)下列函数值中符号为负的是(　 )
A．sin(－1 000°) B．cos
C．tan 2 D．sin 5
解析：选BCD　∵－1 000°＝－3×360°＋80°，
∴－1 000°是第一象限角，∴sin(－1 000°)>0；
∵＝2π＋，∴是第三象限角，∴cos<0；∵<2<π，∴2 rad是第二象限角，∴tan 2<0；
∵<5<2π，∴5 rad是第四象限角，∴sin 5<0.
2．已知点P(tan α，sin α)在第三象限，则角α在(　 )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D　∵点P在第三象限，
∴∴α在第四象限．
3．(多选)已知角θ的终边与坐标轴不重合，式子化简的结果为－cos θ，则(　 )
A．sin θ＞0，tan θ＞0 B．sin θ＜0，tan θ＞0
C．sin θ＜0，tan θ＜0 D．sin θ＞0，tan θ＜0
解析：选BD　＝＝＝|cos θ|＝－cos θ，所以cos θ≤0，角θ的终边落在第二或第三象限，所以sin θ＞0，tan θ＜0或sin θ＜0，tan θ＞0，故选B、D.
[一“点”就过]
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定三角函数值的符号．如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　三角函数的定义及其应用　
[典例]　(1)已知角α的终边在直线y＝2x上，则sin α的值为(　 )
A．±2 B.
C．± D．±
(2)已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________.
[解析]　(1)设直线y＝2x上任意一点P的坐标为(m,2m)(m≠0)，
则OP＝＝(O为坐标原点)，
根据正弦函数的定义得：sin α＝＝＝，
m>0时，sin α＝； m<0时，sin α＝－，
所以选项C正确．
(2)设P(x，y)．由题设知x＝－，y＝m，
所以r2＝OP2＝(－)2＋m2(O为原点)，即r＝，所以sin α＝＝＝，
所以r＝＝2，
即3＋m2＝8，解得m＝±.
当m＝时，cos α＝＝－，tan α＝－；
当m＝－时，cos α＝＝－，tan α＝.
[答案]　(1)C　(2)－　－或
[方法技巧]　常见的三种题型及解题方法
题型 解题方法
已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值 先求出点P到原点的距离r，再利用三角函数的定义求解
已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横(纵)坐标，求与角α有关的三角函数值 先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题
已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值 先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解
[针对训练]
1．(多选)已知角α终边经过点P(sin 120°，tan 120°)，则(　 )
A．cos α＝ B．sin(π＋α)＝－
C．tan α＝－2 D．sin α＋cos α＝－
解析：选ACD　∵角α的终边经过点P(sin 120°，tan 120°)即P，∴|OP|＝ ＝(O为原点)，∴sin α＝＝－，可得sin(α＋π)＝－sin α＝，故B错误；
可得cos α＝＝，故A正确；
可得tan α＝＝－2，故C正确；
可得sin α＋cos α＝－，故D正确．
2．已知角α终边经过点P，且tan α＝，则cos α＝(　 )
A．－ B．± C. D．±
解析：选A　因为角α终边经过点P，且tan α＝，所以tan α＝＝，所以y＝－4，所以点P的坐标为(－3，－4)，所以cos α＝＝－.
3．若tan α＝2，且α终边上点P到原点的距离为，则点P的坐标为________．
解析：设P，则由题可得解得或故点P的坐标为(1,2)或(－1，－2)．
答案：(1,2)或(－1，－2)
重难点(二)　弧度制及其应用　
[典例]　(1)中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是一幅空白扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为______cm2.
(2)(2022·重庆八中高三期末)在周长为4π的扇形中，当扇形的面积最大时，其弧长为________．
[解析]　(1)如图，
设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，
由题意可得解得r＝，
所以，S＝SOCD－SOAB＝×64×－×24×＝704 cm2.
(2)设扇形的半径为r，弧长为l，
则l＋2r＝4π，r＝，
则扇形面积S＝lr＝×l×＝－l2＋πl，
根据二次函数的性质可知，
当l＝－＝2π时，S取得最大值．
[答案]　(1)704　(2)2π
[方法技巧]
应用弧度制解决问题时的关键点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，有时也利用基本不等式及导数求最值．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．　　
[针对训练]
1．把一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间更短，则方案________更优．
解析：由已知可知A＝B＝，AM＝BN＝1，AD＝2，则方案一中扇形的弧长为2×＝，方案二中扇形的弧长为1×＝；方案一中扇形的面积为×22×＝，方案二中扇形的面积为×12×＝.由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间更短．因此方案一更优．
答案：一
2.小胜家承包了高铁旁边的一块近似扇形的荒地(如图)，其中扇形OCC1的半径OC＝60米，弧CC1的长为20π米．现计划扇形区域OAA1种菜，弓形区域BCC1B1种果树，为方便运输，在果园与菜园之间设计了一条宽2米的道路(弓形区域ABB1A1)，若BC＝20米，则弓形区域ABB1A1的面积与扇形OCC1的面积之比为________．
解析：由半径OC＝60米，弧CC1的长为20π米，可得圆心角∠AOA1＝，所以扇形OCC1的面积为S＝××602＝600π(平方米)，弓形区域ABB1A1的面积为S1＝××(402－382)＝26π(平方米)，故弓形区域ABB1A1的面积与扇形OCC1的面积之比为＝＝.
答案：
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽略三角函数值的符号)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝(　 )
A．3 B．－3 C．1 D．－1
解析：选B　因为sin θ＝－<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得＝－.解得y＝－3.
2．(忽视对k的讨论)已知角α为第一象限角，则是第________象限角．
解析：∵α是第一象限角，∴2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，∴kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．综上，是第一或第三象限角．
答案：一或三
3．(忽视对参数的讨论)已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α＝________.
解析：易知OP＝＝5|m|，则sin α＝，cos α＝.当m>0时，sin α＝，cos α＝－，2sin α＋cos α＝；当m<0时，sin α＝－，cos α＝，∴2sin α＋cos α＝－.故2sin α＋cos α＝±.
答案：±
4．(忽视轴线角)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴∴－2＜a≤3.
答案：(－2,3]
二、融会贯通应用创新题
5．(借助数学文化)密位制是度量角的一种方法．把1周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短横线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”.1周角等于6 000密位，记作1周角＝60—00，同理，1直角＝15—00.如果一个半径为2的扇形，它的面积为π，则其圆心角用密位制表示为(　 )
A．12—50 B．17—50 C．21—00 D．35—00
解析：选B　设扇形所对的圆心角为α，α所对应的密位为n，则α·22＝π，所以α＝π，
由题意可得＝，则n＝×6 000＝1 750，故该扇形的圆心角用密位制表示为17—50，故选B.
6．(体现数学应用)装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连(弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为(　 )
A．55厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米
解析：选B　因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小，所以可以用弧长近似代替弦长，所以导线的长度为×30＝20π≈63(厘米)．
7.(创新命题情境)按如图连接圆上的五等分点，得到优美的“五角星”，图形中含有很多美妙的数学关系，例如图中点H即为弦BE的黄金分割点，其黄金分割比为＝＝≈0.618，五角星的每个顶角都为36°.由此信息可以求出sin 18°的值为(　 )
A. B. C. D.
解析：选C　如图所示，设BE与AD交于点F，G为线段FH的中点，连接AG.由五角星的对称性可知∠AGH为直角，∠GAH＝∠CAD＝×36°＝18°.设BH＝－1，则HE＝2，FE＝AH＝BH＝－1，∴HG＝FH＝(HE－FE)＝×(2－＋1)＝，∴sin 18°＝＝＝＝＝，故选C.
8.(浸润家国情怀)三星堆古遗址位于四川省广汉市西北的鸭子河南岸，是迄今在西南地区发现的范围最大、延续时间最长、文化内涵最丰富的古蜀文化遗址．青铜太阳轮是三星堆出土器物中最具神秘色彩的器物之一，该文物中央凸起，周围均匀分布了五个芒条，现将该太阳轮的中心记为点A，相邻的两个芒条与圆轮交于B，C两点，如图，某考古工作人员为了估计该太阳轮的圆轮周长，现测得B，C两点间的距离约为51 cm，则太阳轮的圆轮周长约为________cm. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(参考数据：π≈3.14，sin≈0.6))
解析：连接AB，AC，BC，由题意得∠BAC＝，取BC的中点D，连接AD，则AD⊥BC，BD＝25.5，从而AB＝，因此太阳轮的圆轮周长为2π·AB＝≈＝266.9(cm)．
答案：266.9
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a))中的角所表示的范围(阴影部分)是(　 )
解析：选C　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.
2．已知角α终边上一点P(1,2)，把角α按逆时针方向旋转180°得到的角为θ，则sin θ＝(　 )
A．－ B. C. D．－
解析：选D　角α终边上一点P(1,2)，逆时针方向旋转 180°后，坐标为(－1，－2)，
则sin θ＝＝－，故选D.
3．已知第二象限角θ的终边上有两点A(－1，a)，B(b,2)，且cos θ＋3sin θ＝0，则3a－b＝(　 )
A．－7 B．－5 C．5 D．7
解析：选D　由cos θ＋3sin θ＝0得tan θ＝＝－，由三角函数定义知tan θ＝－a＝＝－，解得a＝，b＝－6，∴3a－b＝1＋6＝7.
4．(多选)下列选项正确的是(　 )
A. cos 250°<0 B. sin>0
C. tan(－672°)>0 D．tan<0
解析：选ACD　对于A，250°是第三象限角，所以cos 250°<0，故A正确；
对于B，－为第四象限角，所以sin<0，故B错误；
对于C，－672°为第一象限角，所以tan(－672°)>0，故C正确；
对于D，为第四象限角，所以tan<0，故D正确．
5．在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的正半轴，顶点为坐标原点O，已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，将l绕原点逆时针旋转与单位圆交于点B(x，y)，若tan α＝－，则x＝(　 )
A．0.6 B．0.8 C．－0.6 D．－0.8
解析：选B　已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，且tan α＝－，则tan α＝＝－，解得m＝－0.8，所以A(0.6，－0.8)在第四象限，角α为第四象限角．由l绕原点逆时针旋转与单位圆交于点B(x，y)，可知点B(x，y)在第一象限，则∠BOx＝＋α，所以cos∠BOx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋α))＝－sin α，即＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())，解得x＝0.8.
6．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为______．
解析：所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)．
令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，
解得－≤k<－(k∈Z)，从而k＝－2和k＝－1，
代入得β＝－675°和β＝－315°.
答案：－675°和－315°
7．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
解析：由已知tan α＝3，∴n＝3m，又m2＋n2＝10，
∴m2＝1，又sin α<0，∴m＝－1，n＝－3.
∴m－n＝2.
答案：2
8．已知扇形的周长为4，当它的半径为________和圆心角为______弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．
解析：设扇形圆心角为α，半径为r，则2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2.∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.
答案：1　2　1
9．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．
解：设角α终边上任一点为P(k，－3k)，
则r＝＝|k|.
当k＞0时，r＝k，
所以sin α＝＝－，＝＝，
所以10sin α＋＝－3＋3＝0；
当k＜0时，r＝－k，
所以sin α＝＝，＝＝－，
所以10sin α＋＝3－3＝0.
综上，10sin α＋＝0.
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．
解：(1)由题意可得B，根据三角函数的定义得tan α＝＝－.
(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，
故与角α终边相同的角β的集合为.
二、重点难点培优训练
1．已知角θ终边上有一点P，则cos θ的值为(　 )
A. B．－ C．－ D.
解析：选D　因为tanπ＝tan＝tan＝，sin＝sin＝sin＝－sin＝－sin＝－，即2sin＝－1，所以P(，－1)，所以cos θ＝＝，故选D.
2.(多选)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1,0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　 )
A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B．经过 s后，扇形AOB的弧长为
C．经过 s后，扇形AOB的面积为
D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
解析：选ABD　经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为＋3，故A正确；经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的弧长为×1＝，故B正确；
经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的面积为S＝××12＝，故C不正确；
设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋2)＋＝2π，解得t＝(s)，故D正确．
3．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解：(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)．
(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R,0所以扇形的面积S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值，最大值为25 cm2，
此时l＝10 cm，α＝2 rad.