河北省部分名校2021-2022学年高二下学期期中数学试题（Word版含解析）

河北名校高二期中考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册5.1至选择性必修第三册7.4．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知某生产厂家的年利润y与年投入广告费x满足的函数关系式为，则当x由1增长到3时，y的平均变化率为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．在的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（ ）
A．20 B．10 C． D．
3．我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清嘉颗粒和胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出两种，则这两种全部是“药”或者全部是“方”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．已知函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数有最小值，且最小值为负数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．“哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一，其内容是：“任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和．”若我们将12拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于3的条件下，两个加数均为素数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2
P n m
若，则（ ）
A．6 B．7 C．20 D．21
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列结论正确的有（ ）
A．若函数，则
B．若函数，则
C．若函数，则
D．若函数，则
11．若函数在区间D上是减函数，且函数在区间D上也是减函数，其中是函数的导函数，则称函数是区间D的上“缓减函数”，区间D叫作“缓减区间”．则下列区间中，是函数的“缓减区间”的是（ ）
A． B． C． D．
12．一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若每次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行n次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则_______．
14．已知函数，是的导函数，则_______．
15．我国高铁发展迅速，技术先进．某机构统计了3个车站中经停该站的高铁列车正点率，根据以往的记录有以下的数据：
车站 正点率 车次
1 0.97 100
2 0.98 200
3 0.99 100
从这400个车次中随机选择1个车次，若已知选到的是正点到达的高铁，则该高铁来自车站3的慨率为_______．
16．已知是定义在R上的函数的导函数，对任意的恒成立，且，则不等式的解集是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
从1，3，5，7中任取两个数，从0，2，4，6中任取两个数，组成没有重复数字的四位数．
（1）可以组成多少个四位偶数？
（2）可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数？（所有结果均用数值表示）
18．（12分）
为了提高某产品的销量，公司计划对该产品投入适当的宣传费用．经调查测算，该产品的销售量y（单位：万件）与宣传费用（单位：万元）满足函数关系式，已知每件产品的利润为（单位：元）．
（1）求该产品的总利z（单位：万元）关于x的函数．
（2）求投入宣传费用多少万元时，该产品的总利润最大？最大利润是多少？
19．（12分）
某班有20名学生参加某学科竞赛（满分150分），这20名学生的成绩频率分布表如下：
分组
频率 0.05 0.1 0.35 0.25 0.15 0.1
若规定80分及80分以下为不合格；80分以上及120分以下（包括120分）为良好；120分以上为优秀．
（1）从这20名学生中随机抽取2名学生，求恰好2名学生的成绩都是良好的概率；
（2）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，用X表示这2人中成绩为优秀的人数，求X的分布列与期望．
20．（12分）
已知函数．
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
21．（12分）
已知．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
22．（12分）
已知函数．
（1）求的最小值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围．
数学参考答案
1．B ．
2．C 由题可知，则，所以展开式中的常数项为．
3．B 所求概率为．
4．D 因为，所以．
5．B 由图可知，的单调递增区间为和，单调递减区间为．所以当时，，当时，．等价于或解得或．
6．B 由题意可得．当时，恒成立，则在上单调递增，从而没有最小值，故不符合题意；当时，由，得，由，得，则由，解得．
7．A 记“两个加数都大于3”为事件A，“两个加数都为素数”为事件B，则事件A有这5种情况：事件A，B同时发生有这两种情况．故．
8．D 由题可知，解得．则，所以．
9．ABC 对于A，，正确；
对于B，，，所以，正确；
对于C，，正确；对于D，，错误．故选ABC．
10．AC 若，则，A正确．若，则，B不正确．若，则，C正确．若，则，D不正确．
11．AD 由题意可得．由，得，即的单调递诚区间为．设，则．由，得，即，解得，即的单调递减区间为．由“缓减区间”的定义可得的“缓减区间”为．
12．BD 由题意知，随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，若，则爬行4次后小虫一共向前爬行2次，向后爬行2次，，若，则爬行4次后小虫一共向前爬行3次，向后爬行1次，，所以，A错误；若，则爬行6次后小虫一共向前爬行3次，向后爬行3次，，则，B正确；爬行n次后小虫一共向前爬行r次，向后爬行次，有，故，则．D正确．故选BD．
13．2 根据组合数公式化简，可得，
化简整理得，解得或．又，所以．
14．24 因为，所以，所以，即，故．
15． 正点的列车数为，
来自车站3且正点到达的列车数为，则所求的概率为．
16． 设，则．因为，所以，则在R上单调递增．因为，所以，所以等价于，故不等式的解集是．
17．解：（1）当0在末位时，共有个四位偶数，
当末位为2，4，6，且0不在首位时，共有个四位偶数，
则可以组成个四位偶数．
（2）当0在首位时，有种，
则两个奇数数字相邻的四位数共有个．
18．解：（1）由题可知，
．
（2），
因为，所以，则在上单调递减，
故．
当投入的宣传费用为3万元时，该产品的总利润最大，且最大利润为11.5万元．
19．解：（1）由题可知20名学生中成绩为良好的有人，
则从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生的成绩都是良好的概率．
（2）抽到1名成绩为优秀的学生的概率，X的可能取值为0，1，2．
，
，
．
故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.81 0.18 0.01
．
20．解：（1）因为，所以．
则，
故的图象在处的切线方程为．
（2）．
若，则恒成立，所以当时，；当时，．
若，则由，得．
当，即时，若，则；若，则．
当时，即时，在R上恒成立．
当，即时，若，则；
若，则．
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，在R上单调递增；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
21．解：（1）令，则，
令，则，
所以．
（2）令，则，
所以．
（3）对两边同时求导，可得，
令，可得．
22．解：（1）因为，所以．
由，得；由，得．
在上单调递增，在上单凋递减，
故的最小值为．
（2）不等式对任意的恒成立等价于对任意的恒成立，即对任意的恒成立．
由（1）可知，即，当且仅当时，等号成立．
设，则．
由，得；由，得．
在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以有解，
则，当且仅当时，等号成立．
故，即．