数列解答题专项训练——2022届高三数学三轮冲刺（Word版含解析）

数列解答题专项训练
1、 已知等比数列前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列及数列的前n项和．
（3）设，求的前2n项和．
2、 已知是数列的前n项和，，且当时，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，若，求正整数n的值．
3、已知数列{an}满足，
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
4、 已知数列的前n项积.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前n项为，求的最小值.
5、已知数列的前n项和为，．
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
6、 已知是数列的前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的通项公式为，求的值．
7、在①，②是等比中项，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，且 .
（1）求；
（2）设数列的前项和为，试比较与的大小，并说明理由.
8、设是等差数列，是等比数列，公比大于0，其前项和为．已知，，，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列前项和.记，求；
（Ⅲ）求.
9、已知等差数列的前项和为，且，，公比为2的等比数列满足.
（1）求数列、的通项公式；
（2）求数列的前项和，及使得对恒成立的最大正整数.
10、已知数列满足 ，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
11、已知数列的首项，且满足.
（Ⅰ）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）设，数列的前项和为，求的最大值和最小值.
12、 已知等比数列的各项均为正值，是、的等差中项，，记．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
（2）求得，利用裂项相消法可证得结论成立.
13、 已知数列满足.
（1）若，证明是等差数列；
（2）设，数列的前项和为，若，求.
14、设等差数列的前n项和为，且．
（I）求；
（Ⅱ）记，数列的前n项和为，求证：．
15、 已知为等差数列，为正项等比数列，的前项和为，，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求的前项和的最大值；
（3）设求证：．
16、已知是公比为2的等比数列，为数列的前n项和，且．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
17、已知数列是首项的正项等比数列，是公差d=2的等差数列，且满足，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）若______，求的前n项和．
*请在①；②．
这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并加以解答．
18、在①，②是，的等差中项，③．这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
已知正项等比数列的前n项和为，，且满足______（只需填序号）．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
19、若数列满足：，，对于任意的，都有.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
20、设数列的前项和为，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
21、已知正项数列满足，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足不等式的正整数的最小值．
22、已知数列的前项和为，且.
（1）设，求证为等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
23、已知数列是等差数列，且，求：
（1）的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值．
24、 已知是递增的等差数列，，，，分别为等比数列的前三项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）删去数列中的第项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前n项和.
参考答案
1、 已知等比数列前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列及数列的前n项和．
（3）设，求的前2n项和．
解：（1）由题意得：，可得，
∴，
由，可得，
由，可得，
∴，
可得；
（2）由，可得，
由，可得，
∴，
可得的通项公式：=，
可得：，
，
∴
，
∴；
（3）由，可得
，
可得：
.
2、 已知是数列的前n项和，，且当时，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，若，求正整数n的值．
解：（1）由题意知当时，，
∴，整理得，
由，
∴，
经检验，也符合．
∴当时，．
由也满足，
∴数列通项公式为．
（2）由（1）得，
∴．
由，得.
3、已知数列{an}满足，
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
解：（1）因为，
所以，
又因为，则，
则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
（2）由（1）知：则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，
，
，
，
则，
即，所以.
4、 已知数列的前n项积.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前n项为，求的最小值.
解：（1）.
当时，；
当时，，也符合.
故的通项公式为.
（2），
，
是以为首项，2为公差的等差数列，
，
当时，的最小值为.
5、已知数列的前n项和为，．
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
解：（1）证明：令，得，由，得，
两式相减得，
即，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
（2）由（1）得，，记，数列的前n项和为．
则，，
两式相减得，
故数列的前n项和．
6、 已知是数列的前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的通项公式为，求的值．
解：（1）当时，，
又，①
当时，②
① ②得：，即，
∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴ ．
（2），③
，④
③ ④得：
，
所以．
7、在①，②是等比中项，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，且 .
（1）求；
（2）设数列的前项和为，试比较与的大小，并说明理由.
解：设等差数列的公差为，则
，
.
方案一：选条件①
由，
解得，，
.
又
，
方案二：选条件②
由
解得，
同方案一
方案三：选条件③
由
解得，
同方案一
8、设是等差数列，是等比数列，公比大于0，其前项和为．已知，，，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列前项和.记，求；
（Ⅲ）求.
解：（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为（），
由，，可得，解得或（舍去），
所以，
由，，
则，解得，
所以，解得，
所以，解得，
且，解得，
所以.
综上所述，，
（Ⅱ）由（Ⅰ）中，所以，
，
故.
（Ⅲ）设，
，①
，②
①②可得，
即，
所以，
故.
9、已知等差数列的前项和为，且，，公比为2的等比数列满足.
（1）求数列、的通项公式；
（2）求数列的前项和，及使得对恒成立的最大正整数.
解：（1）设等差数列的公差为，则，解得，
所以，
∵，则.
（2）解：因为，
则，①
，②
①-②得
，
因此，.
对恒成立，即，
又因为，所以单调递增，
所以的最小值为，
即，，，
所以最大正整数为2022.
10、已知数列满足 ，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
解：（Ⅰ）∵
∴，
两式相减得，
∴．
又当时，满足上式，
∴．
∴数列的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
∴
∴
．
11、已知数列的首项，且满足.
（Ⅰ）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）设，数列的前项和为，求的最大值和最小值.
解：（Ⅰ）由，两边同时除以，所以，
又，，所以数列是以3为首项，1为公差的等差数列，
所以，.
（Ⅱ）设，
，
两式相减，得，
所以.
（Ⅲ）
所以
当为奇数时，，随着的增大而增大，
所以时，有最小值.
当为偶数时，，随着的增大而减小，
所以时，有最大值.
综上所述，的最大值为，最小值为.
12、 已知等比数列的各项均为正值，是、的等差中项，，记．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
（2）求得，利用裂项相消法可证得结论成立.
解：（1）设数列的公比为，则，
由题意知，可得，解得，
所以，，．
（2）证明：因为，
所以
13、 已知数列满足.
（1）若，证明是等差数列；
（2）设，数列的前项和为，若，求.
解：（1）因为，所以，
故均为等差数列，公差均为3，
故，
且，
故，所以，所以等差数列.
（2）由（1）可得，，
当时，，
当时，，
而
14、设等差数列的前n项和为，且．
（I）求；
（Ⅱ）记，数列的前n项和为，求证：．
解：（I）设数列的首项为，公差为d，
由，得，解得
。
（Ⅱ）证明：，
。
15、 已知为等差数列，为正项等比数列，的前项和为，，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求的前项和的最大值；
（3）设求证：．
解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），
由，，即，解得，所以，
由，所以，由，即，解得或（舍去）
所以；
（2）由（1）可知，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
令的前项和为，则，
当为奇数时，
当为偶数时，
综上可得的前项和的最大值为；
（3）证明：因为，
所以
①，
②，
由①②可得
所以，得证；
16、已知是公比为2的等比数列，为数列的前n项和，且．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
解：（1）因为，所以．
因为是公比为2的等比数列，所以，
所以，故．
（2）
当时，；
当时，
．
综上，
17、已知数列是首项的正项等比数列，是公差d=2的等差数列，且满足，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）若______，求的前n项和．
*请在①；②．
这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并加以解答．
解：（Ⅰ）设正项等比数列的公比为q，则，根据题意，由，，
可得，
即，解得或（舍）
所以，．
（Ⅱ）选①解析：由（1）可得，
所以
所以
选②解析：由（1）可得，
所以①
则②
①-②得
，所以．
18、在①，②是，的等差中项，③．这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
已知正项等比数列的前n项和为，，且满足______（只需填序号）．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：（1）设正项等比数列的公比为q，，
选①，由，得，
∴，又，∴，
解得或（舍去），∴；
选②，是，的等差中项，∴，
又，∴，即，
∴解得或（舍去），∴；
选③，，当时，，
∴或（舍去），∴，
当时，，
∴；验证当时，满足
∴
（2）∵，
∴，∴
∴
．
19、若数列满足：，，对于任意的，都有.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
解：（1）由，得，
且，
所以数列为等比数列，首项为，公比为
（2）由（1）得，
等式左右两边同时除以可得：，即，
且，
所以数列为等差数列，首项为，公差为，
所以，
所以.
20、设数列的前项和为，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
解：（1），①
当时，，②
①-②得，∴，∴，
∵，∴，∴也满足上式，
∴为等比数列且首项为2，公比为3，∴.
即的通项公式为.
（2）由（1）知，所以，
令，①
得，②
①-②得，
所以.
21、已知正项数列满足，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足不等式的正整数的最小值．
解：（1）由已知，，
所以数列是等差数列，设其公差为．
由，得．
所以，即，
所以．
（2）由，得，
所以原不等式即，
两边平方可得，即，
所以，整理得，
解得或,
因为，
故的最小值为5．
22、已知数列的前项和为，且.
（1）设，求证为等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
解：（1）当时，，解得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，即，
所以，，所以，，且，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，
则，因此，.
（2）因为
，
因此，.
23、已知数列是等差数列，且，求：
（1）的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值．
解：（1）设数列公差为，则，
则，解得.
∴的通项公式为：
（2）根据题意，
.
若对任意恒成立，则，解得.
∴的最小值为9.
24、 已知是递增的等差数列，，，，分别为等比数列的前三项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）删去数列中的第项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前n项和.
解：（1）设数列的公差为，数列的公比为q，
由已知得，解得， ，所以；
所以，，所以.
（2）由题意可知新数列为：，，，，…，
则当n为偶数时
，
则当n为奇数时,
，
综上： .