导数解答题专项训练——2022届高三数学三轮冲刺（Word版含解析）

导数解答题专项训练
1、 已知函数（且）．
（1），求函数在处的切线方程．
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个零点，且，证明：．
2、已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数存在两个极值点，，且曲线在处的切线方程为，求使不等式成立的的取值范围.
3、已知函数，其中.
（1）当时，求的值；
（2）讨论的零点个数.
4、 已知函数（e为自然对数的底数，）.
（1）若，求证：在区间内有唯一零点；
（2）若在其定义域上单调递减，求a的取值范围.
5、已知函数有两个不同的极值点，．
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：．
6、 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：存在唯一极大值点，且．
7、已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有零点，求a的取值范围．
8、已知函数.
（1）当时，设，求的最小值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：.
9、已知函数
（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，求证：．
10、已知函数.
（1）若函数在上单调递增，求实数；
（2）从下面两个问题中选一个作答，若两个都作答，则按照作答的第一个给分.
①当时，，求实数.
②当时，，求实数.
11、 已知函数，其中且．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若函数在上恰有两个极小值点，求a的取值范围．
12、已知函数．
（1）若函数，讨论的单调性．
（2）从下面①②两个问题中任意选择一个证明，若两个都证明，则按第一个证明计分．
①若函数，，且，证明：．
②若函数，证明：．
13、已知，，，.
（Ⅰ）若直线与的图象相切，求实数的值；
（Ⅱ）设，讨论曲线与曲线公共点的个数；
（Ⅱ）设，比较与的大小，并说明理由.
14、已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明．
①；
②．
15、已知函数（a为常数）．
（1）若函数在定义域上单调递增，求a的取值范围；
（2）若存在两个极值点，且，求的取值范围．
16、已知函数．
（I）若，求的最大值；
（II）若，其中，求实数m的取值范围．
17、已知函数的极小值为.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设函数.
① 证明：当时，，恒成立；
② 若函数有两个零点，求实数的取值范围.
18、已知函数（，是自然对数的底数，）．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（3）若函数有两个极值点，且，求的最大值．
19、已知函数，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，若函数有两个极值点，，且．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：．
20、记，分别为函数，的导函数．若存在，满足，且，则称为函数与的一个“点”．已知，．
（1）若，，存在“点”求的值；
（2）对任意，是否存在实数，使得，存在“点”？请说明理由．
21、 已知函数 ， 是的导函数.
（1）证明：函数只有一个极值点；
（2）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，证明： ．
22、已知函数（为自然对数的底数，，为实数）.
（1）当时，求函数在区间上的最值；
（2）若，，求实数的取值范围.
23、已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若当时，恒成立，求的取值范围．
24、 已知函数.
（1）若，证明：；
（2）设函数，若有两个不同的实数根，且，证明：.
25、 已知函数.
（1）若的图像恒在x轴下方，求实数a的取值范围；
（2）若函数有两个零点m n，且，求的最大值.
26、 已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线在y轴上的截距为，求a的值；
（2）是否存在实数t，使得有且仅有一个实数a，当时，不等式恒成立？若存在，求出t，a的值；若不存在，说明理由.
参考答案
1、 已知函数（且）．
（1），求函数在处的切线方程．
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个零点，且，证明：．
解：（1）当时，，所以.
，所以.
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）的定义域为(0，+∞)， .
当a<0时， 恒成立，所以在(0，+∞)上单调递减；
当a>0时， .在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增.
（3）当，.由(2)知， 在上单调递减，在上单调递增.
由题意可得：.由及得：.
欲证x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)>0即可.
由得 .所以
令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，
∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0.
综上x1+x2>2e.
2、已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数存在两个极值点，，且曲线在处的切线方程为，求使不等式成立的的取值范围.
解：（1），
当时，恒成立，函数在上单调递减，
当时，易得当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
（2），
所以，，
因为存在两个极值点，，
所以有两个不等正实数解，
即有两个不等式正根，
所以，解得，
因为，，
所以，
所以曲线在处的切线方程为
，
即，
令，
，
故在上单调递增，且，
故当时，，即，故的范围.
3、已知函数，其中.
（1）当时，求的值；
（2）讨论的零点个数.
解：（1）时，.
时，.
时.
；
（2）令，有, ,
则，即.
所以.
时，；
时，；
所以，在上递减；在上递增.
又因为，所以，当且仅当或.
又，故和不可能同时成立.
所以的零点个数是两个函数和的零点个数之和，其中.
时，递增，无零点.
时，令，得，故在上递减；在上递增.
当时，，此时无零点.
当时，，此时有一个零点.
当时，，
令，故，
所以，
由零点存在性定理，在和上各有一个零点，
此时有两个零点.
在上递增.
又t，
故时，在上必有一个零点.
综上所述，时，有一个零点；
时，有两个零点；
时，有三个零点
4、 已知函数（e为自然对数的底数，）.
（1）若，求证：在区间内有唯一零点；
（2）若在其定义域上单调递减，求a的取值范围.
解：（1）当时，，求导得：，令，
则，则函数在R上单调递增，即函数在R上单调递增，
而，，由函数零点存在性定理知，存在唯一，有，
所以在区间内有唯一零点.
（2）函数的定义域是R，依题意，，成立，
当时，成立，，
当时，，令，，，即函数在上单调递增，
又当时，恒成立，于是得，
当时，，令，，，当时，，当时，，
因此，在上单调递减，在上单调递增，当时，，于是得，
综上得：，
所以a的取值范围是.
5、已知函数有两个不同的极值点，．
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：．
解：（1）由题意可得的定义域为．
令，因为有两个不同的极值点，
所以函数有两个不相等的零点，易知．
①当时，，单调递减，至多有一个零点，不符合题意；
②当时，令，得．所以当时，，单调递减；
当时，单调递增．所以要使有两个不相等的零点，
需满足，解得；
当时，，所以在上存在唯一零点；
，
令，则当时，，
所以在上单调递增，所以当时，，
即，所以在上存在唯一零点．
所以实数a的取值范围是．
（2）由（1）得，且所以
所以，
要证，只需证．
不妨设，由（1）知，，
设，
则
．
所以在上单调递减，所以，所以，
因为，在上单调递增，
所以，即，得证．
6、 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：存在唯一极大值点，且．
解：（1），
，，所以切线方程为，
即．
（2）证明：，
令，得或，
设，因为在上单调递增，
且，，
所以存在唯一，使得，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的唯一极大值点；
因为，所以；又，即，
即，
令，
则，故在上单调递增，
故，
综上所述：．
7、已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有零点，求a的取值范围．
解：（1）当时，，定义域为R，
，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（2）定义域为R，
有零点，即有解
当时，不成立，故不是零点，
当时，，
设，
则，
当或时，，当时，
所以在，上单调递减，在上单调递增，
且当时，恒成立，是的极小值点，
画出函数的图象如下：
综上：a的取值范围是.
8、已知函数.
（1）当时，设，求的最小值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：.
解：（1）根据题意，函数，所以，
则，故在上恒成立，
所以在上单调递增，则有，所以在上单调递增，
则有，故的最小值为；
（2）根据题意得：在上恒成立，
当时，；当时，，设，
，
设，，
则时，，单调递增；时，，
单调递减.而，，，
所以在上存在唯一零点，设为，则时，，；
时，，，所以在处取得最大值，
在处取得最小值，所以，综上所述：实数的取值范围为.
（3）由（2）知：时，，所以，所以，
即，
所以
，
所以.
9、已知函数
（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，求证：．
解：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是．
（Ⅱ）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得．
①当时，．
此时在上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．
（Ⅲ），
，
，
由此得，
故．
10、已知函数.
（1）若函数在上单调递增，求实数；
（2）从下面两个问题中选一个作答，若两个都作答，则按照作答的第一个给分.
①当时，，求实数.
②当时，，求实数.
解：（1）∵，
∴，
∵函数在上单调递增，∴恒成立，且不恒为0.
又∵，
时，，∴恒成立，，
时，，∴恒成立，，
∴，所以实数的值为.
（2）选择①
当时，，
等价于恒成立，
令，则，
令，
则，
∵，∴，∴在上单调递增.
又∵，.
∴存在实数，使得，即
∴时，，，∴在上单调递减，
时，，，∴在上单调递增.
∴，
由得，
两边取对数得，
即，
又因为函数在上单调递增，
所以，化指数式得，
所以，
所以，则，
所以实数的取值范围是.
选择②
（解法一）当时，，即.
令，
i）当时，，
与恒成立矛盾，舍去；
ii）当时，，
令，，所以单调递增.
又因为，，
所以存在实数，使得，即.
∴时，，，∴在上单调递减，
时，，，∴在上单调递增.
∴，
由得，两边取对数得，
所以，即，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，故.
又因为，即，故.
所以.
所以实数的值为1.
（解法二）
当时，，即，
即时，，即，
令，因为为上的增函数，
且当趋近于0时，趋近于，
且当趋近于时，趋近于，
所以的值域为，所以.
故，恒成立，
令，
i）当时，，与恒成立矛盾，舍去，
ii）当时，则，令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
即，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，故.
又因为，即，故.
所以.
所以实数的值为1.
11、 已知函数，其中且．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若函数在上恰有两个极小值点，求a的取值范围．
解：（1）当时，，则．切线斜率，，
∴切线方程为，即．
（2）∵，
则是上的偶函数．
∴函数在上恰有两个极小值点等价于函数在内恰有一个极小值点，即在内有零点
构建，则在上单调递增
则
①当即时，当时恒成立，
∴在上单调递减，则，
∴在上单调递减
则不合题意，舍去
②当即时，当时恒成立
∴在上单调递增，则
∴在上单调递增
则不合题意，舍去
③当且时，则
则存在，使
当时，，当时，
则在上单调递减，在上单调递增，且，
∵在内有零点，则，即
当时，由零点存在定理则存在，使得．
当时，；当时，．
∴在上单调递减，在上单调递增．
则函数在上恰有一个极小值点．即函数在上恰有两个极小值点．
综上所述：
12、已知函数．
（1）若函数，讨论的单调性．
（2）从下面①②两个问题中任意选择一个证明，若两个都证明，则按第一个证明计分．
①若函数，，且，证明：．
②若函数，证明：．
解：（1）因为，所以，
的定义域为．．
当时，，在上单调递增．
当时，若，，单调递减；若，，单调递增．
（2）证明：选①
因为，所以，的定义域为，且．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
不妨设，则，由，可知．
当时，显然成立．
当时，，由，且，
可知，则，．
设，，，
所以，所以成立．
综上所述，．
选②
．
设，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以，，
因此，当且仅当时，等号成立．
设，，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
因此，
从而，则，
因为，所以中的等号不成立，故．
13、已知，，，.
（Ⅰ）若直线与的图象相切，求实数的值；
（Ⅱ）设，讨论曲线与曲线公共点的个数；
（Ⅱ）设，比较与的大小，并说明理由.
解：（Ⅰ）设与相切于点，
则有，解得，.
（Ⅱ）当，时，曲线与曲线公共点的个数即方程根的个数.
由，所以，令，
则当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
故是的极小值同时也为最小值.
所以对曲线与曲线公共点的个数，讨论如下：
当时，无公共点；
当时，有1个公共点；
当时，有2个公共点.
（Ⅲ）解：
令，，
则，
的导函数，
所以在上单调递增，且，
因此，，故在上单调递增，
而，所以在上，，
因为当时，且，令，
则，
所以当时，.
14、已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明．
①；
②．
解：（1），
当时，，
令，解得；令，解得或，
所以的单增区间为；单减区间为，．
（2）证明①：由题意知，是的两根，则，
，
将代入得，，
要证明，
只需证明，
即，
因为，所以，
只需证明，
令，则，只需证明，即，
令，
，
所以在上单调递减，可得，
所以，
综上可知，．
证明②：
设，
因为有两个极值点，所以，
解得，
因为，
所以，
，
由题意可知，
可得代入得，，
令，
，
当，所以在上单调递减，
当，所以在上单调速增，
因为，所以，
由，
可得，所以，
所以，
所以，即．
15、已知函数（a为常数）．
（1）若函数在定义域上单调递增，求a的取值范围；
（2）若存在两个极值点，且，求的取值范围．
解：（1），，
是定义域上的单调递增函数，
在定义域上恒成立，即在上恒成立．
即，令，则，当且仅当等号成立．
实数的取值范围为，．
（2）由（1）知，
根据题意由有两个极值点，即方程有两个正根，．
所以，，
不妨设，则在，上是减函数，
，
，
令，则，又，
即，解得，．
设，
则，，上单调递增，
， ，，
即，
所以的取值范围为
16、已知函数．
（I）若，求的最大值；
（II）若，其中，求实数m的取值范围．
解：（I）当时，，则。
令，则，
在上单调递减．
又，
存在使得，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
有最大值。
另法：当时，，令，
则，其中，，
当时，单调递增；当时，单调递减，故，即的最大值为。
（Ⅱ）令，
由题意知m的取值应满足函数有两个零点。
易得，
若，则，在上单调递增，
至多有一个零点，不符合题意，舍去；
若，则当时，单调递减；
当时，单调递增．
要使函数有两个零点，则
易知。
令，则，
令，则，
在上单调递增，
在上单调递减，
，
由知在和上各有一个零点，
则实数m的取值范围为．
另法：令，
由题意知m的取值应满足函数有两个零点，
若，易知单调递增，不符合题意，舍去；
若，由知，，
令，则，
在上单调递减，在上单调递增．
又，且时，，解得，
故实数m的取值范围为．
17、已知函数的极小值为.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设函数.
① 证明：当时，，恒成立；
② 若函数有两个零点，求实数的取值范围.
解： (Ⅰ)的定义域为，.
当时，恒成立，在上单调递增，无极小值；
当时，令，；令，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以的极小值为，即.
综上，.
（Ⅱ）①法一：，.
，
，
由(Ⅰ)知，的最小值为，即（当且仅当时，等号成立）.
，
法二：
由(Ⅰ)知，的最小值为，即（当且仅当时，等号成立）.
因为，所以
所以得证.
②.
当时，，在上单调递增，至多有一个零点.
当时，.
令，；令，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以的最小值为.
设，.
令，；令，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以的最大值为.
当时，，只有一个零点；
当时，，又，.
所以有两个零点；
当时，，
由①知，当时，对，恒成立，又，
所以有两个零点；
综上，或
18、已知函数（，是自然对数的底数，）．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（3）若函数有两个极值点，且，求的最大值．
解：（1）当时，
令，解得，，
所以，与的关系如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以当时，函数取得极大值，即，
当时，函数取得极小值，即；
（2）因为，
所以
令，
则
依题意在上恒成立，
令，则，解得
（3）因为，即，
则，
因为在上有两个极值点，
即在上有两个不等实根，
即在上有两个不等实根、，
因为，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
则，所以，解得，
所以，
所以在和上各有一个实根，
所以函数在上有两个极值点时，并且，
因为，
所以，
令，则，
当时，，单调递减，
因为，所以，即
则
因为且，所以满足题意的整数的最大值为；
19、已知函数，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，若函数有两个极值点，，且．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：．
解：（Ⅰ）∵，
∴当时，恒成立，∴在上单调递增，无单调递减区间；
当时，令，即，∴，
∴在上单调递增，上单调递减．
综上，当时，函数的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
（Ⅱ）因为函数有两个极值点，，
所以在R上有两个不等实数根，
①设，∵，
设，
∴在上单调递增，
又，∴时，
∴在上单调递增，同理在上单调递减，
∴，∴即
又当时，
若，
∴在上存在一个变号零点，
若，，
，所以在上有一个变号零点，
又函数在上为减函数，在上为增函数，
所以当函数有两个不相等的变号零点和，
即有两个极值点和。∴若共有两个极值点，则．
②∵，所以由①知，，
且在单调递增，单调递减，单调递增．
设
∴，
设，
，
∴在上单调递增，即．∴在单调递增，
∴，
∴，又，∴，∴，
∴，∴原不等式成立．
20、记，分别为函数，的导函数．若存在，满足，且，则称为函数与的一个“点”．已知，．
（1）若，，存在“点”求的值；
（2）对任意，是否存在实数，使得，存在“点”？请说明理由．
解：（1）设“S点”为，，，，
所以，消去得，
记，显然在上是增函数，而，
因此只有一个解，所以．
（2）假设对任意，存在实数，使得与有“S点”，
设为，，
所以①，②，由②得③，
①③消去得，，，
①③消去得，在时，，
下面证明对任意，方程在有解，
设，函数在定义域上是减函数，
时，，
，图像连续不断，所以存在使得．
综上，任意，存在实数，使得与有“S点”
21、 已知函数 ， 是的导函数.
（1）证明：函数只有一个极值点；
（2）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，证明： ．
解：（1）函数的定义域为，且 ．
当时， ；
当时，令 ，则 ，
在上单调递增．
又，，，使得，
即，
当，时， ；当时， ，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
只有一个极小值点，无极大值点；
（2）由（1）知，函数 在上单调递增， ，
且 ，
，函数在上单调递减，在上单调递增，
不妨设，则，
要证 ，即证，只要证
，．
又上单调递增，
∴要证，即证．
令，
，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
在上单调递增，，
在上单调递减，，
在上单调递增，，即 .
22、已知函数（为自然对数的底数，，为实数）.
（1）当时，求函数在区间上的最值；
（2）若，，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，所以，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，
又，所以.
（2）由已知，∴.
（i）当时，若，则，此时，不符合题设条件；
（ii）当时，若，，
令，则，
.
①当时，由（1）知，，即，
它等价于，，
∴
，
此时在上是增函数，
∴，即.
②当时，由（1）知，，∴，
∴
，
当时，，此时在上是减函数，
∴，即，不符合题设条件.
综上，实数的取值范围为.
23、已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若当时，恒成立，求的取值范围．
解：（1）当时，，
当时，，所以．
当时，设，则．
所以在上单调递增．
又因为，所以当时，，当时，．
综上可知，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由时，恒成立可得恒成立．
令，则．
令，则在上单调递增．
因为，．
所以存在，使得．
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减．
所以．
由，可得，即，
所以．
因为成立，所以．
即的取值范围是．
24、 已知函数.
（1）若，证明：；
（2）设函数，若有两个不同的实数根，且，证明：.
解：（1）证明：由，得，则有，所以；
（2）证明：令，化简可得，即，，令，，所以上单调递增且，则即时，时，可得在上单调递减，在单调递增，且有，由下图可知，，，
又，即，由(1)可得，又由得，即，由(1)可得，①②相乘可得，即.
25、 已知函数.
（1）若的图像恒在x轴下方，求实数a的取值范围；
（2）若函数有两个零点m n，且，求的最大值.
解：（1）由题意可得，在上恒成立，即，
∴恒成立.
令，则，
由得；由得；
所以在上递增，在上递减，因此
∴只需；
（2）由知，由题意，可得：，，
所以，即，
又
令，，则，
令，，则，
令，则显然恒成立；
∴递增，
∴时，，
∴，即在上递增，
因此，
∴最大值为，最大值为8.
26、 已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线在y轴上的截距为，求a的值；
（2）是否存在实数t，使得有且仅有一个实数a，当时，不等式恒成立？若存在，求出t，a的值；若不存在，说明理由.
解：（1）由题意，，又因为，
所以在处的切线方程为，即，
令，得，，
因为，所以=0，a=1；
（2），恒成立，即恒成立.
令，，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
故当时，，只需即可，与有且仅有一个实数a矛盾，不符合题意；
当时，令，得，
当时，即时，在上单调递增，则；
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
综上，，①，，②；
由题意知，上述不等式关于a有唯一解.
（i）若，对于①式，无解.
对于②式，令，，
，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故只需即可，解得，此时，符合题意；
（ii）若t=1，对于①式，a=1，
对于②式，，当时成立，不合题意；
（ⅲ）若，对于①式，时均成立，不合题意；
综上所述，当时，存在唯一的，使得恒成立.