高二数学（理）月考试题（2013.4）

高二数学（理）月考试题（2013.4）
时间：120分钟；总分：150分
一．选择题（每小题5分，共60分）
1．函数的导数是 （ ）
A B C D
2． （ ）
(A) (B) (C) (D)
3一物体作直线运动，其位移S与时间t的关系是S＝3t－t2，则物体的初速度为( 　)
A．0 B．3 C．－2 D．3－2t
4．函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的 ( )
A.充分非必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C.必要非充分条件 D.充要条件
5. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．函数的单调递增区间是 ( )
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
8．已知对任意实数 ，有，且时，
则 时 ( ) A. B.
C. D.
9．若函数f(x)=x3-ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是 ( )
A．a≥3 B．a=3 C．a≤3 D．010．函数在[－1,5]上 (　 　)
A．有最大值0，无最小值 B．有最大值0和最小值－
C．有最小值－，无最大值 D．既无最大值也无最小值
11．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为（ ）
A． B． C． D． 2
12.定义在R上的函数满足，为f(x)的导函数，已知函数的图象如图所示．若两正数满足 ，
则的取值范围是 (　 )
A. B. C. D.
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．点P在曲线上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的
取值范围是________．
14．一物体沿直线以v＝ m/s的速度运动，该物体运动开始后10s内所经过的路
程是________米．
15．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为_______厘米。
16. 已知函数在处有极大值，则常数的值为 。
三．解答题（共70分）
17．（10分）由胡克定律可知，把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长量成正比.已知10N的力能使弹簧拉长10cm.求力在弹性限度内将弹簧拉长6cm所做的功。
18.（12分）设 ，求函数的单调区间及其极值;
19．(12分)设函数的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处
的切线方程为 .若函数在处取得极值-16，求函数解析式.
．
20．（12分）已知函数，若在区间[-2，2]上的
最大值为20.
（1）求它在该区间上的最小值.
（2）当时，≤m，（）恒成立.求m的取值范围.
21．（12分）设是二次函数，方程有两个相等的实根，
且
(1)求的表达式；
(2)若直线(0＜t＜1)把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，
求的值．
22．（12分）已知函数，，其中．
（1）若是函数的极值点，求实数的值；
（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，
求实数的取值范围．

高二数学（理）月考试题答案
一．选择题（每小题5分，共60分）
1．函数的导数是 （ C ）
A B C D
2． （ D ）
A B C D
3一物体作直线运动，其位移S与时间t的关系是S＝3t－t2，则物体的初速度为(　B　)
A．0 B．3 C．－2 D．3－2t
4．函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的 ( C )
A.充分非必要条件 B.既不充分也不必要条件 C.必要非充分条件 D.充要条件
5. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ Ｄ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是( B. )
A. B. C. D.
7．函数的单调递增区间是 ( D )
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
8．若函数f(x)=x3-ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是 （ A ）
A．a≥3 B．a=3 C．a≤3 D．09．已知对任意实数 ，有，且 时，
则 时 ( B. ) A B．
C． D．
10．函数在[－1,5]上 (　C　) A．有最大值0，无最小值 B．有最大值0和最小值－ C．有最小值－，无最大值 D．既无最大值也无最小值
11．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为 （ C ）
A． B． C． D． 2
12.定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，为f(x)的导函数，已知函数的图象如图所示．若两正 数a，b满足 f(2a＋b)<1，则的取值范围是 (　C )
A. B. C. D.
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．点P在曲线上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值
范围是________． [答案] 14 [答案]
14．一物体沿直线以v＝ m/s的速度运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是___米．
15．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为____厘米．[答案] 
16. 已知函数在处有极大值，则常数的值为 。[答案] 6
三．解答题（共70分）
17．（10分）由胡克定律可知，把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长量成正比.已知10N的力能使弹簧拉长10cm.求力在弹性限度内将弹簧拉长6cm所做的功.
解: F=kx 10=k0.1 k = 100
18.（12分）设 ，求函数f(x)的单调区间及其极值;
解：增（－∞，－1），（1，＋∞）　减（－1,0），（0,1）　极大－4，极小4
19．(12分)设函数的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为 .若函数在处取得极值-16，求函数解析式.
．解：P(0,d)代入切线方程得d = 12, ,
20．（12分）已知函数，若在区间[-2，2]上的最大值为20.（1）求它在该区间上的最小值.（2）当时，≤m，（m>0）恒成立.求m的取值范围.
解：（1）

（2）m≥≥20
21．（12分）设是二次函数，方程有两个相等的实根，
且 (1)求的表达式；(2)若直线(0＜t＜1)把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，
又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋c.
又方程f(x)＝0有两个相等实根．∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)依题意有(x2＋2x＋1)dx＝－t(x2＋2x＋1)dx，
∴＝即－t3＋t2－t＋＝t3－t2＋t.
∴2t3－6t2＋6t－1＝0， ∴ 2(t－1)3＝－1， ∴ t＝1－ .
22．（12分）已知函数，，其中．
（1）若是函数的极值点，求实数的值；
（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．
解：（1）∵，其定义域为， ∴．
∵是函数的极值点，∴，即． ∵ ∴
（2）解：对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．
当［1，］时，．∴函数在上是增函数．
∴．
∵，且，．
①当且［1，］时，，
∴函数在［1，］上是增函数，∴.
由≥，得≥，又，∴不合题意．
②当1≤≤时，若1≤＜，则，
若＜≤，则．
∴函数在上是减函数，在上是增函数．
∴.由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．
③当且［1，］时，，
∴函数在上是减函数．∴.
由≥，得≥，又，∴．
综上所述，的取值范围为．