德惠市实验中学2012-2013学年度第二学期数学竞赛（理科）试卷

德惠市实验中学2012-2013学年度第二学期数学竞赛（理科）试卷
说明：1、测试时间：90分钟 总分：100分；
2、客观题涂、主观题都答在答题纸上
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1、1．复数的虚部为( )
A．1 B．i C．-1 D．-i
2、定义运算，则符合条件的复数Z的共轭复数对应的点在
A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限；
3、在2010年3月15日那天，德惠市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：
价格
9
9.5
10
10.5
11
销售量
11
10
8
6
5
由散点图可知，销售量y与价格*之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是；，则（ ）
(A)24 (B)35．6 (C)40．5 (D)40
4、已知函数内可导，其图象如图，记的导函数为
的解集为
A． B． C． D．
5、在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点,y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有?
A.30个 B.35个 C.20个 D.15个
6、设，则等于（ ）
A B C D不存在
7、若的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（ ）
A、—540 B、21 C、162 D、540
8、 若，则大小关系是
A． B． C． D．
9、已知某离散型随机变量服从的分布列如图，则随机变量的
　方差等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
10、在的排列中,满足的排列的个数是
A.10个 B. 16个 C.14个 D. 12个
11、偶函数在内可导，且，，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A.-1 B．-2 C．1 D．2
12、二项式展开式中，所有有理项（不含的项）的系数之和为A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共52分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。其中14题第一个空2分，第二个空1分）
13、设，则的值为_____________
14、为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12．则抽取的男生人数是_____________．学生体重的众数__________
15、从学校到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件为相互独立的，并且概率都是，高X为途中遇到红灯的次数，则遇红灯次数的数学期望为_____，方差为_____
16、若函数在上有最小值，则实数的取值范围为 .
三、解答题（本大题共4小题，共40分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）已知，和都是实数．（1）求复数；（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，试求实数的取值范围．
18、（本题满分10分）
曲线C：，点，⑴求过P的切线L的方程；⑵求切线和曲线C围成的图形的面积。
19.（本题满分10分）
实验中学高二某次考试的数学试卷中共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的。评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分”，某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：（Ⅰ）该考生得50分的概率；（Ⅱ）所得分数X的分布列和数学期望。该考生得多少分的可能性最大
20、．（本小题满分10分）已知函数 （1）若函数在区间上（其中）存在极值，求实数a的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；


姓名
班级
考号
德惠市实验中学2009—2010年高二第二学期
数学（理）竞赛试卷纸
（考试时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题：（每小题3分，满分36分）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题：（每小题4分，满分16分）
13． ． 14． 和_________ 15． .16．
三、解答题：（有5小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）
17、解：
18、解：
19、解
20、解：
德惠市实验中学高二竞赛数学试题
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
A
A
C
A
D
B
B
D
A
二、填空题：
13、1 14、48 、 62.5 15、； 16、
三、解答题
17、解：（1）设，
则，
，---3分
∵和都是实数，
∴，解得，
∴． ----5分
（2）由（Ⅰ）知，
∴， ---7分
∵在复平面上对应的点在第四象限，
∴， -----8分
即，∴，
∴，即实数的取值范围是． ------10分
18、⑴解；设切点，则
切线L： 且过---------2分
∴
∴所以A（0，1）
∵ ∴ ----------5分
⑵由题意知切线与曲线的另一个交点为则

∴ -------- 7分
=．．
-------１０分
19、 （Ⅰ）解：得分为50分，10道题必须全做对。在其余的四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一道答对的概率为，所以得分为50分的概率为
----------3分
（Ⅱ） 依题意X可能取值分别为30，35，40，45，50。

-------5分


-------7分
所以X的分布列为
X
30
35
40
45
50
P

∴------9分
所以得35分或得40分的可能性最大。 -----------------------------10分
20、（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）因为， x >0，则，----------1
当时，；当时，.
所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，
所以函数在处取得极大值. ------------------2
因为函数在区间（其中）上存在极值，
所以 解得. ----------------4
（Ⅱ）不等式即为 记
所以------------6
令，则， ，
在上单调递增， ，从而，--------8
故在上也单调递增， 所以，所以 .---------10