山西省忻州市现代双语学校2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含解析）

现代双语学校2021-2022学年高二下学期期中考试
数学试卷
一．选择例：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的零点为，，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．某医疗机构通过抽样调查（样本容量n=1000），利用2×2列联表和统计量研究患肺病是否与吸烟有关．计算得，经查阅临界值表知，现给出四个结论，其中正确的是（ ）
A．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病
B．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病
C．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
D．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
6．若随机变量，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（ ）种
A．9 B．36 C．54 D．108
8．函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
9．下列结论正确的是（ ）
①“”是“对任意的正数x，均有”的充分非必要条件．
②随机变量服从正态分布，则
③线性回归直线至少经过样本点中的一个．
④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有
A．③④ B．①② C．①③④ D．①④
10．一种药在病人血液中的量不少于1500mg才有效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，结果精确到0.1h）
A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时
11．已知关于x的不等式的解集为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．ab的最大值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
12．设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的系数为______．
14．已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围是______．
15．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为______．
16．已知函数，若存在实数，，，．满足，且，则______，的取值范围是______．
三．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）（1）已知集合，，求；
（2）已知集合，，且，求实数m的取值范围．
18．（12分）已知p：，；q：，
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p与q的真假性相同，求实数m的取值范围．
19．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）若，，求m的取值范围．
20．（12分）某企业为抓住环境治理带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备．生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产x台需要另投入成本（万元），当年产量x不足45台时，万元，当年产量x不少于45台时，万元．若每台设备的售价为60万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完．
（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；
（2）年产量x为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
21．（12分）数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017-2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年-2021年对应的代码依次为1-5．
年份代码x 1 2 3 4 5
市场规模y 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36
（1）由上表数据可知，可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（，的值精确到0.01）；
（2）已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X，若，求X的分布列与期望．
参考数据：，，，其中．
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
22．（12分）某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数a（精确到0.01）；
（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取4家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[92，100]的企业数为X，求X的分布列与数学期望；
（3）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布，其中“近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有多少家？（结果保留整数）．
附参考数据与公式：，，则，，．
现代双语学校2021-2022学年高二下学期期中考试答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，
1．D【详解】由否定的定义可知，为，．
2．B【详解】解不等式，，，解不等式得，，∴；
3．C【详解】是上的增函数，又，，∴函数的零点所在区间为（3，4），又，，∴．
4．B【详解】因为，，，所以．
5．C【解析】由已知数据可得，有1-0.05=95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”．
6．D【详解】因为随机变量，所以，解得，所以随机变量，所以
7．C【详解】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的选派方案有种，选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有种，所以3名教师中男女都有的不同的选派方案共有种．
8．B【详解】当，，函数为奇函数，排除C；
，排除AD；
9．D【详解】解：①当时，由基本不等式得；但对任意的正数x，均有时，不一定成立，所以“”是“对任意的正数x，均有”的充分非必要条件，故①正确；
②因为，所以②不正确；
③线性回归直线不一定经过样本点中的一个，所以③不正确；
④因为平均数为14.7，中位数为15，众数为17，所以，故④正确．
所以正确的为①④．故选：D．
10．A【详解】设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药，
则，整理可得：，∴，
∵，，∴，即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药．
11．C【详解】由题意，不等式的解集为，
可得，且方程的两根为-1和，
所以，所以，，所以，所以A正确；
因为，，所以，可得，
当且仅当时取等号，所以ab的最大值为，所以B正确；
由，
当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为8，所以C错误；
由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确．故选：C．
12．C【详解】令函数，则，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可得的图象关于（1，2）点中心对称，即当，可得，
设
，
所以
所以．
二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．
13．由展开式的通项为，
令，得展开式中的系数为．
由展开式的通项为，
令，得展开式中的系数为．
所以的展开式中的系数为．故答案为：4．
14．【详解】令，因为外层函数为减函数，
所以内层函数在上为增函数，则，得，
且有，解得．综上所述，．
15．【详解】由，得或，
因为的必要不充分条件是“或”，
所以，解得，所以实数a的最大值为1
16．作出函数的图象，如图，
因为，
所以由图可知，，即，，且，
∴，
∵在（3，9）上单调递增，∴，
即的取值范围是（0，27）．故答案为：1；（0，27）
三．解答题：
17．（1），即，，解得：，所以：．
（2），
∵，．①时，，解得，
②时，，解得，
∴实数m的取值范围是．
18．【详解】（1）∵，，∴且，
解得．所以当p为真命题时，实数m的取值范围是．
（2），，．
又∵当时，，∴．∵p与q的真假性相同．
当p假q假时，有，解得；
当p真q真时，有，解得．
∴当p与q的真假性相同时，可得或．
19．（1）解：设，则，可得，
又因为函数是定义在上的奇函数，所以，
且当时，可得，适合上式，所以函数的解析式为．
（2）解：由时，，
又由，即，可得，
因为，，即在区间有解，
又因为，
当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为0，
所以，即实数m的取值范围．
20．（1）当，时，
；
当，时，
；
综上所述：．
（2）当，时，
，
则当时，y的最大值为550；当，时，
（当且仅当，
即时等号成立）；
∴当年产量为49台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为601万元．
21．（1）解：设，则，因为，，，
所以．把（1.68，5.16）代入，得．即y关于x的回归方程为．
（2）解：由题意知，
，，
由得所以，X的取值依次为0，1，2，3，4，
，，
，，
，所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
22．[解]（1）这50家食品生产企业考核成绩的平均数为：
（分），
由频率分布直方图得内，
∴，解得中位数（分）．
（2）这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有家，
其中考核成绩在[92，100]内的企业有家，
∴X的可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，
，∴X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
．
（3）由题意得，∴，
∴，∴（家），
∴估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有79家．