湖南省常德市经开区三校联考2021-2022学年九年级（下）期中数学试卷（Word版 含解析）

湖南省常德市经开区三校联考2021-2022学年九年级（下）期中数学试卷
一．选择题（本题共8小题，共24分）
的绝对值是
A. B. C. D.
如图，该立体图形的俯视图是
A.
B.
C.
D.
下列运算中，正确的是
A. B. C. D.
下列说法正确的是
A. 打开电视机，它正在播广告是必然事件
B. “明天降水概率“，是指明天有的时间在下雨
C. 方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小
D. 在抽样调查过程中，样本容量越小，对总体的估计就越准确
如图，、相交于点，由下列条件不能判定与相似的是
A.
B.
C.
D.
四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是
A. B.
C. D.
如图，抛物线经过点，与轴交于，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中：；方程的解为和；；，其中正确的结论有
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
设，是实数，定义@的一种运算如下：@，则下列结论：若@，则或；@@@；不存在实数，，满足@；设，是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当时，@最大．其中正确的是
B. C. D.
二．填空题（本题共8小题，共24分）
分解因式：______．
计算：______．
若一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的中位数为______
已知与是同类项，则的值是______．
已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为______．
将一副三角板如图放置，若，则______度．
若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______．
如图，在中，，，，半径为，为圆上一动点，连接，，的最小值为______．
三．解答题（本题共10小题，共72分）
计算：．
解不等式组：
化简：，其中，选一个恰当的整数代入求值．
常德市某校购进一批甲、乙两种中考排球，已知一只甲种排球的价格与一只乙种排球的价格的和为元，用元购进甲种排球的件数与用元购进乙种排球的件数相同．
求每件甲种、乙种排球的价格分别是多少元？
该校计划用元购买甲、乙两种排球，由于采购人员把甲、乙两种排球的只数互换了，结果需元，求该校原计划购进甲、乙两种排球各多少只？
如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过的中点，且与交于点，连接
求的面积
若点是边上一点，且∽，求点坐标．
雄伟壮观的文峰塔孤峰塔北依枉水，南临省示范性高中常德市二中．在一次数学活动中刘同学计划测量文峰塔的高度，在点处测得楼顶的仰角为，他正对着文峰塔前进米到达处，再登上米高的楼台处，并测得此时楼顶的仰角为，请你依据测量的数据求出塔顶到地面的距离．参考数据：，，，精确到米
五一期间在银川会展中心进行车展，某汽车经销商推出、、、四种型号的小轿车共辆进行展销型号轿车销售的成交率为，其它型号轿车的销售情况绘制在图和图两幅尚不完整的统计图中．
请你将图的统计图补充完整；
通过计算说明，哪一种型号的轿车销售情况最好？
若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出、、、四种型号轿车的发票一车一票放到一起，从中随机抽取一张，求抽到型号轿车发票的概率．
如图，内接于，与是的直径，延长线段至点，使，连接交于点，交于点．
求证：与相切．
若，，求扇形的面积．
如图所示，现有一张边长为的正方形纸片，点为正方形边上的一点不与点、点重合将正方形纸片折叠，使点落在处，点落在处，交于，折痕为，连接、．
求证：；
当点在边上移动时，的周长是否发生变化？并证明你的结论；
设为，四边形的面积为，求出与的函数关系式，试问是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
综合与探究
已知抛物线与轴交于、两点点在点的左边，与轴交于点，顶点的坐标为．
求抛物线的解析式．
求的值．
若直线将四边形的面积分为：两部分，则的值为______．
点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的绝对值是．
故选：．
直接利用绝对值的性质分析得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：如图所示的立体图形的俯视图是．
故选：．
根据几何体的三视图，即可解答．
本题考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
3.【答案】
【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项以及幂的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：、打开电视机，它正在播广告是随机事件，故本选项错误；
B、“明天降水概率“，意味着明天降雨的可能是，故本选项错误；
C、方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小，故本选项正确；
D、在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确，故本选项错误；
故选：．
根据必然事件的概念、方差的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．
本题考查了必然事件的概念、方差的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握方差的定义以及求随机事件的概率．
5.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了相似三角形的判定：有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似．本题中已知是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【解答】
解：、由能判定∽，故本选项不符合题意．
B、由、能判定∽，故本选项不符合题意．
C、由、能判定∽，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定与相似，故本选项符合题意．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：添加，理由如下：
四边形的对角线互相平分，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
故选：．
由四边形的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：抛物线经过点，
，
，故本选项正确；
由对称轴为，一个交点为，
另一个交点为，
方程的解为和，故本选项正确；
由对称轴为，
，
，则，故本选项正确；
抛物线与轴交于，
，
，
，故本选项正确；
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴计算与偶的关系，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
8.【答案】
【解析】解：根据题意得@，
，
整理得：，
，
解得或，故正确；
@，
@@，
@@@，故正确；
@，
令，
解得，，故错误；
@，，
，
，
，
的最大值是，
此时，
解得，
当时，@最大，故正确．
故其中正确的是．
故选：．
根据题中规定的运算法则对各选项进行新定义的运算即可解答．
此题主要考查了矩形的性质，实数的运算，解题的关键是熟悉整式运算的法则，同时也理解运算定律，才能正确解决问题．
9.【答案】
【解析】解：．
故答案是：．
因为是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解即可．
本题考查了平方差公式因式分解，熟记平方差公式的特点：两项平方项，符号相反，是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
先化简，再进行减法运算即可．
本题主要考查二次根式的化简，二次根式的减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
11.【答案】
【解析】解：数据，，，，的平均数为，
，
解得：，
则将数据重新排列为、、、、，
所以这组数据的中位数为，
故答案为：．
先根据平均数为求出的值，然后根据中位数的概念求解．
本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
12.【答案】
【解析】解：与是同类项，
，，
解得，，
，
故答案为：．
根据同类项的定义所含字母相同，相同字母的指数也相同列出方程，，求出，的值，再代入代数式计算即可．
本题考查同类项的定义．同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
13.【答案】
【解析】解：点是线段的黄金分割点，且，
，
，
又，
，
故答案为：．
根据黄金分割的定义，可得，进而得出，代入的长即可得出的长．
本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
14.【答案】
【解析】解：因为，，所以；
因为两角重叠，则，．
故的度数是度．
故答案为：．
根据两直线平行，同旁内角互补及三角板的特征进行做题．
本题考查了平行线的性质，三角板的知识，是基础题，熟记性质是解题的关键．
15.【答案】且
【解析】解：去分母得：，
解得：，
且，
且，
解得：且，
故答案为：且．
根据题意及分式方程有意义得出不等式组，解不等式组即可得出答案．
本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，由题意及分式方程有意义得出不等式组是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接，在上取点，使，
则有，
又，
∽，
，
，
．
要使最小，只要最小，
当点，，在同一条直线时，最小，
即：最小值为，
在中，，，
，
的最小值为．
连接，在上取点，使，则有，因为，所以∽，所以，推出，所以，要使最小，只要最小，当点，，在同一条直线时，最小，即：最小值为，求出即可．
此题主要考查轴对称最短问题、勾股定理，相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型
17.【答案】解：
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18.【答案】解：，
解得：，
解得，
则不等式组的解集为．
【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：原式
，
，、时原式无意义，
将代入，
原式
．
【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分，化简后将原式有意义的的值代入计算即可．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，将分式化简．
20.【答案】解：设甲种排球的进价为元只，则乙种排球的进价为元只，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲种排球的进价为元只，乙种排球的进价为元只．
设该校原计划购进甲种排球只，乙种排球只，
依题意得：，
解得：．
答：该校原计划购进甲种排球只，乙种排球只．
【解析】设甲种排球的进价为元只，则乙种排球的进价为元只，利用数量总价单价，结合用元购进甲种排球的件数与用元购进乙种排球的件数相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出甲种排球的进价，再将其代入中即可求出乙种排球的进价；
设该校原计划购进甲种排球只，乙种排球只，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
21.【答案】解：点为的中点，，
，
把代入得，
反比例函数解析式为，
，
点的横坐标为，
当时，，即，
的面积；
∽，
，即，解得，
，
点坐标为
【解析】先利用点为的中点得到，再利用待定系数法确定反比例函数解析式为，接着利用点的横坐标为得到，然后根据三角形面积公式求解；
根据相似三角形的性质，利用相似比可求出，然后计算出的长，从而得到点坐标．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形多边形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了反比例函数图象上的点的坐标特征．
22.【答案】解：作交于点，交于点，如图所示，
由题意可得，米，，，米，，
，
，
，
，
设米，则米，
，
，
，
解得，，
答：塔顶到地面的距离约是米．
【解析】作交于点，交于点，然后根据题意和锐角三角函数可以求得塔顶到地面的距离．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
23.【答案】解：型号轿车的销售量为辆，
统计图补充完整为：
型号轿车销售的成交率为；
型号轿车销售的成交率为；
型号轿车销售的成交率为；
而型号轿车销售的成交率为；
所以种型号的轿车销售情况最好；
抽到型号轿车发票的概率．
【解析】先利用扇形统计图计算出型号轿车的展销量，然后用它的展销量乘以得到型号轿车销售量，再补全条形统计图；
分别计算出四种型号轿车销售的成交率，然后进行判断；
利用概率公式直接计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
24.【答案】证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
与相切；
解：如图，连接，过点作于点，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，
，
，
是等边三角形，
，
．
【解析】连接，由条件知，证出，可得，证明，即，则与相切．
连接，过点作于点，求出，的长，再求出的长，得出是等边三角形，则，可求出扇形的面积．
本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，扇形面积的计算等知识，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握圆的有关性质．
25.【答案】证明：如图，，
．
又，
．
即．
又，
．
．
的周长不变为定值．
证明：如图，过作，垂足为．
由知，
在和中，
≌．
，．
又，
．
又，，
≌．
．
的周长为：．
如图，过作，垂足为，则．
又为折痕，
．
，
．
又，
≌．
．
在中，．
解得，．
．
又折叠的性质得出四边形与四边形全等，
．
即：．
配方得，，
当时，有最小值．
【解析】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．
根据翻折变换的性质得出，进而利用平行线的性质得出即可得出答案；
首先证明≌，进而得出≌，即可得出；
利用已知得出≌，进而利用在中，，利用二次函数的最值求出即可．
26.【答案】或
【解析】解：抛物线的顶点的坐标为，
抛物线的解析式：，
把代入解析式，得，
解得．
抛物线的解析式为：．
如图，连接，过点作轴于点，
由知抛物线的解析式为：，
令，得，解得或，
，，
，
，
，；
，，
，，
，．
，
；
．
直线把四边形的面积为和两部分；
直线，当时，，
直线过定点，
设直线与轴交于点，
或，即或，
或，
或，
把点的坐标代入直线得，或，
解得或．
故答案为：或．
存在，理由如下：
分情况讨论，
当为平行四边形的边时，
当点在轴下方时，如图所示，此时，，
点的纵坐标为，
令，解得舍去或，
，
当点在轴上方时，如图所示，此时，
设，
点先向右移动个单位，再向上平移个单位到点，
点先向右移动个单位，再向上平移个单位到点，
，
令，解得或．
，．
当为对角线时，如图所示，此时，
．
综上可知，符合题意的点的坐标为，，．
设抛物线的顶点式，再将点的坐标代入解析式即可；
连接，过点作轴于点，由此可得，进而可得，根据三角形函数的定义可求出的值；
先算出四边形的面积，又直线的过定点，则直线把四边形的分成四边形和三角形，设直线交轴于点，由此可得的面积为或；
分情况讨论，当为平行四边形的边时，当为对角线时，分别求解即可．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，平行四边形的性质，利用平移的性质解决问题是解本题的关键．
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