上海市青浦区复旦五浦汇实验学校2021-2022学年八年级(下)期中数学试卷
一.选择题(本题共10小题,共20分)
在实数范围内,方程的实数根的个数是
A. B. C. D.
下列方程中,有实数根的是
A. B.
C. D.
一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的倍,则该多边形的边数是
A. B. C. D.
已知下列关于、的方程,说法正确的是
A. 是二项方程
B. 是分式方程
C. 是无理方程
D. 是二元二次方程组
等腰梯形的两底之差等于腰长,则腰与下底的夹角为
A. B. C. D.
今日,上海疫情防控形势严峻,某工厂计划生产套防护服,由于工人加班加点,实际每天比计划多制作,结果比原计划提前天完成任务.设原计划每天制作套防护服,则可列方程为
A. B.
C. D.
如图,在菱形中,,,则菱形的面积为
A.
B.
C.
D.
下列命题中,错误的是
A. 有两个角相等的梯形是等腰梯形
B. 顺次联结矩形各边中点所成四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
已知在四边形中,,对角线与相交于点,那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是
A. , B. ,
C. , D. ,
如图,点是正方形的对角线上一点,于点,于点,连接给出下列五个结论:;;一定是等腰三角形;;其中有正确结论的个数是
个
B. 个
C. 个
D. 个
二.填空题(本题共10小题,共30分)
正十边形的对角线条数为______.
方程的解是______.
用换元法解方程时,如果设,那么原方程可以化为关于的整式方程______.
如果方程无实数解,那么的取值范围是______.
已知关于的分式方程的解不大于,则的取值范围是______.
四边形是正方形,在直线上取一点,使得,则的度数是______度.
一个多边形截去一个角后,形成的新多边形的内角和是,则原多边形的边数是______.
如图,在中,,,,为斜边上一动点,过点分别作于点,作于点,则线段的最小值为______.
如图,在 ,,,、点从点出发沿边运动到点,点从点出发沿边向点运动,点运动速度为,点运动速度为,它们同时出发,同时这运动,经过______时,.
如图,在矩形中,,,点为射线上一个动点,把沿直线折叠,当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时,则的长为______.
三.解答题(本题共6小题,共50分)
解方程:.
解方程组:
甲乙两人分别从相距公里的、两地同时出发,相向而行,小时相遇,相遇后两人用原来的速度继续前进,甲到达地比已到达地快小时分钟,则甲乙两人的速度分别是多少?
已知:如图,在平行四边形中,点、、、分别在边、、、上,,.
求证:四边形是平行四边形;
当,且时,求证:四边形是矩形.
已知:如图,平面直角坐标系中有一个等腰梯形,且,,点在轴正半轴上,点、在轴上点在点的左侧,点在第一象限,,,梯形的高为,双曲线经过点,直线经过、两点.
求点、、、的坐标;
求双曲线和直线的解析式;
点在双曲线上,点在轴上,如果四边形是平行四边形,求点的坐标.
如图,在菱形中,,,点是上一点,点在射线上,且,联结,设.
当点、在边上运动时,的大小是否会变化?若不变,请求出度数,若变化,请说明理由.
若,求的值.
当在线段上时,设,求关于的函数关系式及其定义域.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:,
,
,
即方程的实数根的个数是,
故选:.
先移项得出,再根据四次方根的定义求出方程的解即可.
本题考查了解高次方程,能求出是解此题的关键.
2.【答案】
【解析】解:、,
,
方程没有实数根,
故A错误;
B、去分母得,,
检验当时,,
原方程无解,
方程没有实数根,
故B错误;
C、,,,,
,
方程没有实数根,
故C错误;
D、原方程两边同时平方得,
整理得:,
解得:,,
检验:是原方程的解,不是原方程的解,
方程有实数根,
故D正确.
故选:.
根据二次根式的性质可以判断;根据解分式方程的方法和分式方程有意义的条件可以判断;根据解一元二次方程的方法可以判定;根据二次根式的性质可以判断.
本题主要考查解方程,关键是要牢记各种方程的求解方法及根的判别式,一元二次方程有实数根的条件是,分式方程的分母不能为,二次根式具有双重非负性.
3.【答案】
【解析】解:设外角为,则相邻的内角为,
由题意得,,
,
多边形的外角和为,
,
所以这个多边形的边数为.
故选:.
设出外角的度数,表示出内角的度数,根据一个内角与它相邻的外角互补列出方程,解方程得到答案.
本题考查了多边形的外角和定理:边形的外角和为,解决本题的关键是熟记多边形的外角和为.
4.【答案】
【解析】解:方程的左边是二次多项式,不能说是二项方程,故本选项不符合题意;
B.方程的分母中不含未知数,不是分式方程,故本选项不符合题意;
C.方程中根号内不含未知数,不是无理方程,故本选项不符合题意;
D.是二元二次方程组,故本选项符合题意;
故选:.
方程的左边是二次多项式,即可判断选项A;根据分式方程的定义即可判断选项B;根据无理方程的定义即可判断选项C;根据二元二次方程组的定义即可判断选项D.
本题考查了高次方程组的定义,分式方程的定义,无理方程的定义等知识点,分母中含有未知数的方程,叫分式方程,根号内含有未知数的方程,叫无理方程.
5.【答案】
【解析】解:如图,过点作,交于点.
,
,
是等边三角形,
,
腰与下底的夹角为.
故选:.
过点作,可知是等边三角形,从而得到腰与下底的夹角的度数.
此题考查等腰梯形的性质及梯形中常见的辅助线的作法;解题的关键是根据题意画出图形,证出各边之间的关系即可.
6.【答案】
【解析】解:设原计划每天制作套防护服,
可列方程为:,
故选:.
设原计划每天制作套防护服,则实际每天制作为,根据结果比原计划提前天完成任务,列出方程即可.
本题考查了由实际问题抽象出分式方程,关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列出方程.
7.【答案】
【解析】解:四边形是菱形,
,,,
,
,
,
,
,
即,
,
.
故选:.
由菱形的性质得,,,再由勾股定理得,然后求出,则,得,即可得出答案.
此题考查菱形的性质、勾股定理等知识,熟记菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半是解题的关键.
8.【答案】
【解析】解:、有两个角相等的梯形可能是等腰梯形,也可能是直角梯形,故错误,符合题意;
B、顺次联结矩形各边中点所成四边形是菱形,正确,不符合题意;
C、对角线相等的平行四边形是矩形,正确,不符合题意;
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形,正确,不符合题意.
故选:.
利用等腰梯形的判定方法、菱形及矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项.
考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解等腰梯形的判定方法、菱形及矩形的判定方法,难度不大.
9.【答案】
【解析】解:、,,无法得出四边形是平行四边形,故无法判断四边形是矩形.故错误;
B、,
,
,
,
得出四边形是平行四边形,
,
四边形是矩形.故正确;
C、,,
,,
,
,
,
,
,
四边形是菱形,无法判断四边形是矩形.故错误;
D、,可无法判断四边形是矩形,故错误;
故选:.
根据矩形的判定方法,一一判断即可解决问题.
本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键,记住对角线相等的平行四边形是矩形,有一个角是度的平行四边形是矩形,有三个角是度的四边形是矩形,属于中考常考题型.
10.【答案】
【解析】解:延长交于点,延长交于点.
四边形是正方形.
又,,
四边形是正方形,,
,
在与中,
,
≌,
,故正确;
与中,,
,故正确;
是上任意一点,因而是等腰三角形和不一定成立,故错误;
故正确的是:.
故选:.
可以证明≌,即可证得是正确的,根据三角形的内角和定理即可判断正确;根据的任意性可以判断的正确性.
本题主要考查了正方形的性质,正确证明≌,以及理解的任意性是解决本题的关键.
11.【答案】条
【解析】解:根据题意,十边形有个顶点,先选一个,再从和它不相邻的个中再选一个,即可构成一条对角线,考虑重复问题,则十边形的对角线的条数为条.
故答案为:条.
需要分三步:第一步,先选一个;第二步再再从和它不相邻的个中再选一个;第三步,除掉重复的,根据分步乘法原理可求解.
本题考查多边形的对角线,注意其中对角线的重复问题是解题的关键.
12.【答案】
【解析】解:,
,且,
解得,且,
.
故答案为:.
因为可以得出,且,由此求得原方程的解即可.
此题考查解无理方程,注意被开方数必须大于或等于,求此类方程的解必须满足这一条件.
13.【答案】
【解析】解析,
,
设,则,
原方程可化为,
.
故答案为:.
先换元,再去分母.
本题考查用换元法解分式方程,找到原方程中各部分与的关系是求解本题的关键.
14.【答案】
【解析】解:,
,
的结果是非负数,
当时,方程无实数解,
即,
故答案为:.
先移项,再根据算术平方根的性质得出即可.
本题考查了无理方程和算术平方根的性质,能根据算术平方根的性质得出是解此题的关键.
15.【答案】且
【解析】解:,
,
,
,
方程的解不大于,
,
,
,
,
,
,
的取值范围为:且,
故答案为:且.
先求解分式方程可得,再由题意可得,有由,得,求出的范围即可.
本题考查分式方程的解,熟练掌握分式方程的解法,注意分式方程增根的情况是解题的关键.
16.【答案】或
【解析】解:如图,分两种情况画图:
四边形是正方形,
,
,
;
,
.
则的度数是或度.
故答案为:或.
分两种情况画图,根据正方形的性质和等腰三角形的性质即可解决问题.
本题考查了正方形的性质,等腰三角形的性质,解决本题的关键是掌握正方形的性质.
17.【答案】,或
【解析】解:多边形的内角和可以表示成且是整数,一个多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加了一条,也可能不变或减少了一条,
根据解得:,
则多边形的边数是,或.
故答案为,或.
因为一个多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加了一条,也可能不变或减少了一条,根据多边形的内角和即可解决问题.
本题主要考查了多边形的内角和公式,注意要分情况进行讨论,避免漏解.
18.【答案】
【解析】解:连接,如图所示:
,,
,
,
四边形是矩形,
,
,,,
,
当时,最短,此时的面积,
的最小值,
线段的最小值为,
故答案为:.
连接,先证明四边形是矩形,得出,当垂直是最短,再由三角形的面积关系求出的最小值,即可得出结果.
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法;熟练掌握矩形的判定与性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.
19.【答案】或
【解析】解:如图,过点作于,
,,,
,
设经过时,,
当四边形是平行四边形时,
,
,
,
当四边形是等腰梯形,
,
,
综上所述:经过或时,,
故答案为或.
分两种情况:四边形是平行四边形;四边形是等腰梯形;根据长度之间的等量关系列出方程求解即可.
本题考查了平行四边形的性质,平行四边形的对边相等;以及等腰梯形两腰相等的性质.
20.【答案】或
【解析】解:分两种情况:
如图,当点在矩形内部时,
点在的垂直平分线上,
;
,
由勾股定理得,
,
设为,则,,
在中,由勾股定理得:,
,
即的长为.
如图,当点在矩形外部时,
同的方法可得,
,
设为,则,,
在中,由勾股定理得:,
,
即的长为.
综上所述,点刚好落在线段的垂直平分线上时,的长为或
故答案为:或.
分两种情况讨论:点在矩形内部;点在矩形外部,分别根据折叠的性质以及勾股定理,列方程进行计算求解,即可得到的长.
本题以折叠问题为背景,主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等几何知识的综合应用;解决问题的关键利用直角三角形,运用勾股定理列方程求解.
21.【答案】解:两边平方,得分
整理,得分
解得,分
经检验:是增根,是原方程的根.分
原方程的根是.
【解析】把方程两边平方去根号后求解.
本题主要考查解无理方程,解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法,本题用了平方法,注意最后要把求得的的值进行检验.
22.【答案】解:
由,得,
或;
由,得,
或.
由,,,组成方程组,
得,,,.
,,,.
所以原方程组的解为:,,,.
【解析】把原方程组中的两个方程都转化为二元一次方程,再重新组成新的二元一次方程组,求解即可.
本题考查了高次方程、二元一次方程组的解法.把高次方程转化为二元一次方程组是解决本题的关键.
23.【答案】解:设甲的速度是公里小时,则乙的速度为公里小时,
根据题意得:,
去分母化为整式方程得:,
解得或,
经检验,和都是原方程的解,但不符合题意,舍去,
,
,
答:甲的速度是公里小时,则乙的速度为公里小时.
【解析】设甲的速度是公里小时,则乙的速度为公里小时,根据到达地比已到达地快小时分钟可得,解出方程检验即可得答案.
本题考查分式方程的应用,解题的关键是读懂题意,找到等量关系列方程.
24.【答案】证明:四边形是平行四边形,
,,,,
,,且,
在和中,
≌,
,
同理可得,
四边形是平行四边形;
,
,,
,
,
,
,,
,,
,
,
平行四边形是矩形.
【解析】利用全等三角形的性质可得,,可得结论;
由等腰三角形的性质可得,,可求,可得结论.
本题考查了矩形的判定,平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键.
25.【答案】解:如图,过点作轴于点.
四边形是等腰梯形,且,,轴,
四边形是矩形,
,,,
在和中,
,
≌.
,
,,,;
双曲线经过点,
.
双曲线的解析式为:,
直线经过、两点,
得:,
解得:.
直线的解析式为:;
如图,四边形是平行四边形.
且.
点在轴上,
过点作轴的垂线与双曲线的交点即为点.
点的坐标为,
.
,
,
点的坐标为
【解析】首先过点作轴于点,由,,易得四边形是矩形,证得≌,又由,,梯形的高为,即可求得答案;
由双曲线过点,直线过点,,直接利用待定系数法求解即可求得答案;
由四边形是平行四边形,可得点的横坐标为,继而求得点的坐标,又由,求得答案.
此题属于反比例函数综合题.考查了待定系数求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识.注意准确作出辅助线是解此题的关键.
26.【答案】解:如图,
连接,
四边形是菱形,
,,,,
,,
,
,
,,
,
设,
,
,
在中,
,
,
在中,
,
,
,
,
;
在和中,
,
,
,
,
,
,
,
;
如图,
作于,,
,
,
,
,
在中,
,
在中,
同理可得:,
,
【解析】连接,设,可表示出,,,,,进而计算求得,从而求得结果;
可推出,进而求得结果;
作于,,在中表示出,进而表示出,进一步表示出,从而求得结果.
本题考查了菱形性质,直角三角形性质,等腰三角形判定和性质等知识,解决问题的关键是设角,通过计算寻找角的数量关系.
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