庆阳第六中学2021-2022学年度第二学期期中考试题（卷）
高二 数学（文）
班级： 姓名:
命题范围：必修1、2，选修4-4.
注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知函数的定义域，值域，下列选项中，能表示的图象的只可能是（ ）
A． B． C． D．
4. 过点P（2，﹣2）且平行于直线2x+y+1＝0的直线方程为（ ）
A．2x+y﹣2＝0 B．2x﹣y﹣2＝0 C．2x+y﹣6＝0 D．2x+y+2＝0
函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
已知两条直线m，n和平面α，那么下列命题中的真命题为（ ）
A．若m∥n，n α，则m∥α B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m∥n，n α，则m∥α D．若m∥n，m∥α，则n∥α或n α
7. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8. 若一元二次不等式的解集为，则（ ）
A．5 B．6 C． D．1
关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．图象关于y轴对称，且在上是减函数 B．图象关于y轴对称，且在上是增函数
C．图象关于原点对称，且在上是减函数 D．图象关于原点对称，且在上是增函数
10. .则（ ）
A． B． C． D．
11. 如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．① D．②③
12. 已知函数在上单调递减，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
已知直线l斜率的取值范围是，则l的倾斜角的取值范围是 ．
长、宽、高分别为5、4、3的长方体的外接球的表面积是______________．
已知正四棱锥的侧面积为，底面边长为2，则该正四棱锥的高为_________．
经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为____________________.
三、解答题(共6小题，共70分)
17.化简求值(本大题2小题共10分）：
（1）;
（2）
18.(本大题共12分）已知的三个顶点坐标分别是，边AC上的中点为M．
（1）求BM所在直线方程；
（2）求边AB的高所在直线方程．
19.(本大题共12分）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
20.(本大题共12分）已知圆C的方程为，点．
（1）求该圆的圆心坐标及半径；
（2）过点P作圆C的切线，求两条切线的方程.
21.(本大题共12分）已知点直线的参数方程为. 以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与圆相交于M、N两点，求|PM|·|PN|的值.
22.(本大题共12分）已知函数
（1）若为奇函数，求实数的值；
（2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明.高二文科数学参考答案
选择题答案（共12小题，每小题5分，共60分）
D C D A C D， C A C B B C
详解如下：
1、本题考查集合的交集运算。是基础题
解：集合,故，故选：D
2、本题考查函数的图像与不等式的关系。是基础题
解：由图象可知，当时，.故选：C
3、本题考查函数的概念，认识定义域、值域的图像区域。是基础题。.
解：A.根据图像值域为，错误；
B. 根据图像值域为，错误；
C. 根据图像一个有两个与之对应，错误；
D. 任取一个都有唯一的与之对应，且符合定义域、值域要求，正确. 故选：D.
4、本题考查直线方程的求法，考查两直线平行与斜率的关系，是基础题
解：设与直线2x+y+1＝0平行的直线方程为2x+y+m＝0，
代入P（2，﹣2），可得2×2﹣2+m＝0，即m＝﹣2．
∴过点P（2，﹣2）且平行于直线2x+y+1＝0的直线方程为2x+y﹣2＝0．故选：A．
5、本题考查零点定理的应用。是基础题
解：在上是增函数，且，
的零点所在的区间为，故选C.
6、本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
解：由两条直线m，n和平面α，知：
对于A，若m∥n，n α，则m∥α或m α，故A错误；
对于B，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误；
对于C，若m∥n，n α，则m∥α或m α，故C错误；
对于D，若m∥n，m∥α，则由线面平行的性质定理得n∥α或n α，故D正确．
故选：D．
7、本题考查二次函数的图像和性质，考查单调区间和在某区间上单调的区别。是中档题
解：二次函数的对称轴为，抛物线开口向上，
函数在（）上单调递减，
要使在区间上单调递减，
则对称轴，解得：. 故选：C.
8、本题考查3个二次之间的关系和一元二次不等式的解法。是基础题
解：一元二次不等式的解集为
即方程有两个根为
由韦达定理得到
解得 ，故得到. 故选：A.
9、本题考查指数函数的单调性，函数的奇偶性及其图像性质。结合函数的奇偶性及单调性，分析解决实际问题。是中档题
解：函数的定义域为，
因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，
又因为都是上的减函数，所以函数在上是减函数.
故选：C.
10、本题考查指数函数、对数函数的单调性，考查利用图像进行估值的能力。是基础题
解：，∴．
故选B
11、本题考查了线线垂直、线面垂直、线面平行的判定，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．是中档题
解：∵PA⊥圆O所在的平面，BC 圆O所在的平面，
∴PA⊥BC
而BC⊥AC，PA∩AC＝A
∴BC⊥面PAC，而PC 面PAC
∴BC⊥PC，故①正确；
∵点M为线段PB的中点，点O为AB的中点
∴OM∥PA，而OM 面PAC，PA 面PAC
∴OM∥平面APC，故②正确；
∵BC⊥面PAC，∴③正确． 故选：B．
12、本题考查了复合函数的单调性、对数函数的定义域等综合知识。是拔高题
解：设则是减函数，又在上是减函数， 在上是增函数， 且，恒成立，解得：，故答案选C.
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13、答案：[0，）∪（，π）
本题考查了直线方程的倾斜角与斜率问题，是中档题
解：直线l斜率的取值范围是，
则l的倾斜角θ满足tanθ＜1，其中θ∈[0，π），
所以θ的取值范围是[0，）∪（，π）．
故答案为：[0，）∪（，π）．
答案：50π
本题考查长方体外接球的直径与长方体三个维度之间的关系，考查求的表面积公式，考查空间想象能力。是基础题
解：因为长方体外接球的直径恰为长方体的体对角线，所以
，
15、答案：1
本题考查正四棱锥的性质及侧面积公式，.考查分析问题及空间想象能力。是基础题
解：如图所示：
设正四棱锥的斜高，设该正四棱锥的高，
因为正四棱锥的侧面积为，底面边长为2，
所以有，
由勾股定理可知：，
故答案为：1
16、答案：x＋2y－7＝0
本题考查两直线的位置关系和垂直的充要条件，考查运算能力。是中档题
解：由得
∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．
∵所求直线与直线2x－y－1＝0垂直
∴斜率 代入点斜式可得所求直线方程为x＋2y－7＝0
三、解答题(共6小题，共70分)
17、本题考查指数、对数的运算性质及换底公式，考查学生的观察能力和运算能力。是基础题
（1）解：=
=
=
=
（2）
18、本题主要考查了直线方程的求解，考查了直线垂直时斜率关系的应用，属于基础题．
解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，2），C（0，-2）
∴边AC上的中点M（﹣1，﹣1），kBM1，
∴直线BM所在直线方程为：y+1＝x+1即x﹣y＝0．
（2）∵kAB，
∴边AB上的高所在直线的斜率为﹣2，
∴边AB的高所在直线方程为：y+2＝﹣2x，即2x+y+2＝0．
本题考查空间中的线线平行、线面平行的判定，线线垂直、线面垂直的判定与性质。考查空间想象能力和逻辑推理能力。是中档题
【详解】
（1）证：连接交于点，连接
∵底面是菱形
∴为的中点
∵点为的中点
∴
∵平面，且平面
∴平面
（2）证：
∵底面是菱形
∴
∵平面
∴
∵，∴平面
平面，
∴
20、本题考查圆的方程，直线的方程，以及直线与圆的位置关系。考查分析问题的能力和运算能力。属于中档题．
解：（1）由圆的方程为x2+y2﹣4x﹣12＝0，
则（x﹣2）2+y2＝16
故圆心C（2，0），半径r＝4．.........................................4分
因为直线过点，且与圆C相切，则切线的斜率k存在，圆心C到切线的距离d等于半径
设切线的斜率为k，则切线的方程是y-0=k(x-10), 即 kx-y-10k=0
因此，所求切线方程是.............12分
21、本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化；考查学生对参数几何意义的理解，考查观察能力、分析问题的能力和运算能力。第一问是中档题，第二问是拔高题。
解：（1）由得直线l的普通方程是
由 化简得 即为曲线C的直角坐标方程
（2）将直线的参数方程代入圆c方程得
设点M、N对应的参数为 ，由韦达定理得
，∴。
22、本题考查函数的奇偶性、单调性及其定义、指数函数的性质。考查分析问题能力、运算能力及综合应用能力。属于拔高题。
解（1）为奇函数,
即：........................3分
经验证时，有，满足为奇函数.........6分
（2）函数在上单调递增.证明如下：设任意，
，
在上单调递增.................12分
