2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册1.2 直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2018八上·秀洲期中）下列命题的逆命题正确的是（ ）
A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的周长相等
C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角都相等
【答案】C
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：A.逆命题：如果两个三角形的面积相等，则它们是全等三角形；是假命题，A不符合题意；
B.逆命题：如果两个三角形的周长相等，则它们是全等三角形；是假命题，B不符合题意；
C.逆命题：如果两个三角形的底角相等，则它们是等腰三角形；是真命题，C符合题意；
D.逆命题：如果两个角相等，则它们是直角；是假命题，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别写出各命题的逆命题，再根据全等三角形的判定，等腰三角形的判定，直角的定义逐一分析即可得出答案.
2．（2018八上·宁波期中）已知直角三角形ABC，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是（ ）.
A．30° B． 40° C．45° D．50°
【答案】B
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：另一个锐角的度数为 ，
故答案为：B.
【分析】由直角三角形的两锐角互余，可得另一个角为 .
3．（2018八上·鄞州期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ △ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ，∠B=30°
∴AB=2AC=6
∵ 点P是BC边上的动点
∴3≤AP≤6
∴AP的长不可能为7
故答案为：D
【分析】利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可求出AB的长，再由点P是BC边上的动点，就可求出AP的取值范围，即可得出结论。
4．（2018八上·义乌期中）在下列条件：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，③∠C=∠A－∠B， ④a∶b∶c=3∶4∶5 中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠B=∠C= ×180°=90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
②∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C= ×180°=75°，故不是直角三角形；故②错误；
③因为∠C=∠A－∠B，则2∠A=180°，∠A=90°，故③正确；
④设a=3x，b=4x，c=5x，a2+b2= =(3x)2+(4x)2=25x2=c2，故④正确.
故答案为：C
【分析】由 ∠A+∠B=∠C 及∠A+∠B+∠C=180°，可以得出∠C=90°； 由∠C=∠A－∠B 及∠A+∠B+∠C=180°，可以得出∠A=90°，由∠A：∠B：∠C=3：4：5及∠A+∠B+∠C=180°，可以得出最大的角∠C=75°，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，可以得出①③ 能确定△ABC是直角三角形 ；由 a∶b∶c=3∶4∶5 ，设a=3x，b=4x，c=5x，根据勾股定理的逆定理可以得出a2+b2= =(3x)2+(4x)2=25x2=c2，故能确定△ABC是直角三角形，综上所述即可得出答案。
5．下列命题中，逆命题不正确的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．直角三角形的两个锐角互余
C．全等三角形对应角相等
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【答案】C
【知识点】逆命题
【解析】【解答】A、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，不符合题意；
B、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，不符合题意；
C、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，符合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题是斜边上的中线等于斜边的一半的三角形是直角三角形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将原命题改写成如果那么的形式，用如果领起的部分是题设，用那么领起的部分是结论，将原命题的题设和结论交换位置，即可得到原命题的逆命题，再根据已有的知识一一判断其真假即可。
6．（2018八上·湖州期中）如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC的顶点都在图中的格点上，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（ ）
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：发现点C所有可能的位置共有9个.理由如下：
由于题中正方形网格中每个小正方形边长均为1，
∴AB=
如图，当AB为斜边时，AB2=AC2+BC2=AD2+BD2=AE2+BE2=10，
∴可作出Rt△ABC、Rt△ABD、Rt△ABE三个直角三角形.
当AB为直角边时，AF2+AB2=BF2=20，
∴可作出Rt△ABF、Rt△ABG两个直角三角形.
若以AB为对称轴，把上述三角形翻折，
可得出Rt△ABC、Rt△ABD、Rt△ABE、Rt△ABF的轴对称图形Rt△ABC′、Rt△ABD′、Rt△ABE′、Rt△ABF′.
综上所述一共能作出9个直角三角形，上述点C，D，E，F，G及C′，D′，E′，F′的位置都可作为题中点C的合适位置.
∴点C的个数为9.
故答案为：A
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再分别以当AB为斜边时；当AB为直角边时；若以AB为对称轴，利用勾股定理的逆定理及轴对称的变换，可得出结果。
7．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么在下列各条件中，不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（ ）
A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3
B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°
C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3
D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°
A选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，
符合直角三角形全等的判定条件HL，
∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，
不符合符合直角三角形全等的判定条件，
∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS；
∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA，
∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已经知道∠C＝∠C′＝90°，如果添上AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3，可以利用HL判断出Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；如果添上AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3，可以利用SAS判断出Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；如果添上AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°，可以利用ASA判断Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；添上AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，虽然两个三角形中有三个条件，但三个条件不是对应相等，故不能判断出Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。
8．（2018八上·泰兴月考）如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，将△ACD沿AD所在的直线折叠，点C恰好落在BC的中点E处，则∠B等于（ ）
A．25° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】因为E是直角三角形ABC的中点，所以AE=BE=EC，又因为∠AEC=∠ACE，所以AE=AC=EC，所以，∠C=60°，∠B=30°.
【分析】在直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半，得到AE=BE=EC，得到△AEC是等边三角形，得到∠C=60°，得到∠B=30°.
9．（2018九上·黑龙江月考）若△ABC三边长a，b，c满足 + |b-a-2| + (c-8)2=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得：
解得：
则
∴ 是直角三角形.
故答案为：C．
【分析】根据算术平方根、绝对值和平方的非负性，列方程组求得a、b、c，再运用勾股定理的逆定理判定△ ABC是直角三角形。
10．（2018八上·宁波期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，F是BC边上的中点.若动点E从A点出发以2cm/s的速度沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连结EF.当△BEF是直角三角形时，t的值为（ ）.
A． B．1
C． 或1或 D． 或1或
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=4cm.
∵F是AB的中点，
∴BF=AF= cm.
①当EF⊥BC时，∵∠ABC=60°，
∴∠BEF=30°，
∴BE=2BF=2，
∴AE=AB-BE=4-2=2，
∴t=2÷2=1或t=(4+2)÷2=3(舍)；
②当EF⊥AB时，∵∠ABC=60°，
∴∠BFE=30°，
∴BE= BF= ，
∴AE=AB-BE=4- = ，
∴t= ÷2= 或t=(4+ )÷2= (舍)；
故答案为：C.
【分析】△BEF是直角三角形时，而△BEF中∠ABC=60°，故有EF⊥BC和EF⊥AB这两种情况，由直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半，求出BE的长，则可求出E所运动的距离，注意点E是运动路线是A→B→A，且t(s)(0≤t＜3).
二、填空题
11．（2018八上·龙港期中）命题“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是 ．
【答案】在同一个三角形中，等边对等角
【知识点】逆命题
【解析】【解答】“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是：“在同一个三角形中，等边对等角”.
故答案为：“在同一个三角形中，等边对等角．
【分析】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，就可得出原命题的逆命题。
12．（2018八上·衢州期中）若一个三角形三边长分别为 1.5，2，2.5，则这个三角形一定是 三角形．
【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵=2.25，=4，=6.25，
∴2.25+4=6.25，
即：，
由勾股定理的逆定理可得，边长2.5所对的角是直角，
∴这个三角形一定是直角三角形。
【分析】计算三边的平方，用勾股定理的逆定理即可求解。
13．如图，山坡的倾斜角∠ABC为30°，小明沿山坡BA从山脚B点步行到山顶A共走了100m，则山顶的高度AC是 m．
【答案】50
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得AB=100m，∠C=90°，∠B=30°，
则AC=50m．
故答案为：50
【分析】根据含30°角的直角三角形的边之间的关系即可直接得出AC的长度。
14．（2018八上·柯桥期中）用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b（a＞b），∠B=30°，若这样的三角形能作两个，则a，b间满足的关系式是 ．
【答案】 a＜b＜a
【知识点】含30°角的直角三角形；作图-三角形
【解析】【解答】如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D,
∵∠B=30°,
∴CD= BC= a．
∵AC＞CD,
∴ a＜b,
∴ a＜b＜a．
故答案为： a＜b＜a．
【分析】过点C作CD⊥AB,垂足为D，在Rt△BCD中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可得出CD的长，结合已知，就可求出a、b满足的关系式。
15．（2018八上·无锡期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝50°，CD＝CB，∠ABD＝ ．
【答案】20°
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵∠ABC=90°，∠A=50°，
∴∠C=90°-∠A=90°-50°=40°，
∵CD=CB，
∴∠CBD= （180°-∠C）= （180°-40°）=70°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD，
=90°-70°，
=20°．
故答案为：20°．
【分析】先根据直角三角形的两锐角互余求出∠C,再根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠ABD的度数即可。
16．（2018八上·衢州期中）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB=4 cm，则阴影部分的面积是 cm2
【答案】2
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意知，∠ACB=∠E=，
∴BC∥DE，
∵∠B=，AB=4，
∴AC=AB=4=2，
∵∠D=，
∴∠AFC=∠D=
∴CF=AC=2，
∴阴影部分的面积==2.
【分析】根据直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得AC的值，再根据同垂直于一条直线的两条直线互相平行可得BC∥DE，由平行线的性质可得∠AFC=∠D=，根据等腰直角三角形的性质可得CF=AC，则阴影部分的面积=可求解。
17．（2018·湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为 ，此时正方形EFGH的面积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为 时，正方形EFGH的面积的所有可能值是 （不包括5）．
【答案】9或13或49
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①当DG= ，CG=2 时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG= ，可得正方形EFGH的面积为13．
②当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为49；
③当DG=7，CG=4时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=3，可得正方形EFGH的面积为9.
故答案为：9或13或49．
【分析】以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，需分类讨论：①当DG= 13 ，CG=2 13 时；②当DG=8，CG=1时；③当DG=7，CG=4时；分别根据勾股定理的逆定理判断满足DG2+CG2=CD2，此时HG=，根据正方形的面积公式即可得出答案。
三、解答题
18．（2018八上·天台期中）如图，△ABC中，AB=AC，D点在BC上，∠1=30°，且∠4=60°，
求证：
（1）AD=BD；
（2）CD=2BD．
【答案】（1）证明：∵∠4=60°，∠1=30°，
∴∠ABD=∠4-∠1=60°-30°=30°=∠1．
∴BD=AD
（2）证明：∵∠ABD=30°，
又∵AB=AC，
∴∠C=∠ABD=30°，
∴∠2=180°-∠4-∠C=180°-60°-30°=90°，
∵∠C=30°，
∴CD=2AD=2BD
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）利用三角形的外角性质，求出∠ABD度数，就可证得∠ABD=∠1，利用等角对等边，就可证得结论。
（2）利用等边对等角，可证得 ∠C=∠ABD，再在△ADC中利用三角形内角和定理求出∠2的度数，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得结论。
19．如图，在△ABC中，∠BAC=∠ABC，点P在AB上，如果AD⊥CP，BE⊥CP的延长线，垂足分别为D，E，且BE=CD.
（1）试探求这个图形中还有哪些相等的线段，并给出证明；
（2）试确定△ABC的形状.
【答案】（1）解：图中相等的线段还有AC=BC，CE=AD.证明：∵∠BAC=∠ABC，∴AC=BC.∵AD⊥CP，BE⊥CP，
∴∠ADC=∠BEC=90°.
又∵BE=CD，
∴Rt△BCE≌Rt△CAD(HL).
∴CE=AD 。
（2）解：△ABC为等腰直角三角形，理由如下 ：∵△BCE≌△CAD，
∴∠EBC=∠ACD.
∵∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，即∠ACB=90°.又AC=BC ，
∴△ABC为等腰直角三角形 。
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定
【解析】【分析】 （1）图中相等的线段还有AC=BC，CE=AD. 根据等角对等边得出AC=BC，根据垂直的定义得出∠ADC=∠BEC=90°，然后利用HL判断出Rt△BCE≌Rt△CAD ，根据全等三角形对应边相等得出CE=AD ；
（2）△ABC为等腰直角三角形，理由如下 ：根据全等三角形对应角相等得出∠EBC=∠ACD ，根据直角三角形两锐角互余得出∠EBC+∠BCE=90°，根据等量代换得出∠ACD+∠BCE=90°，即∠ACB=90°，又AC=BC ，从而得出结论△ABC为等腰直角三角形 。
20．（2018八上·慈溪期中）如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
【答案】解：连接BD
在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，
在△CBD中，CD2=132，BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，
∴∠DBC=90°，
S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC= AD·AB+ DB· BC= ×4×3+ ×5×12=36
所以需费用36×200=7200（元）
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连接BD，利用勾股定理，在Rt△ABD中，求出BD的长，再利用勾股定理的逆定理证明△BDC是直角三角形，然后根据四边形ABCD的面积等于△BAD的面积加上△DBC的面积，再用四边形的面积乘以单价，即可求出结果。
21．如图，对角线AB把四边形ACBE分为△ABC和△ABE两部分，如果△ABC中BC边上的高和△ABE中BE边上的高相等，且AC＝AE.
（1）在原图上画出△ABC中BC边上的高AD与△ABE中BE边上的高AF；
（2）请你猜想BC与BE的数量关系并证明．
【答案】（1）解：画出高AD，AF，如图所示．
（2）解：猜想：BC＝BE.证明如下：∵AD⊥BC，AF⊥BE，∴△ACD，△AEF，△ABD，△ABF都是直角三角形．在Rt△ACD和Rt△AEF中，∴Rt△ACD≌Rt△AEF(HL)．
∴CD＝EF(全等三角形的对应边相等)．
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF(全等三角形的对应边相等)．
∴BD－CD＝BF－EF(等式的性质)，即BC＝BE
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）分别过点A向BC，BE所在的直线引垂线，垂直于BC，BE的延长线于点D，F，则AD，AF就是所求的高线；
（2）猜想：BC＝BE.证明如下：首先利用HL判断出Rt△ACD≌Rt△AEF，根据全等三角形对应边相等得出CD＝EF，再利用HL判断出Rt△ABD≌Rt△ABF，根据全等三角形对应边相等得出BD＝BF，根据等式的性质，由等量减去等量差相等得出结论BC＝BE。
22．如图所示，在△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠BCD=90°，
∵∠1=∠B，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB
（2）解：∵S△ABC= AB CD= AC BC，
∴CD= = =4.8
【知识点】三角形的面积；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）先由∠ACB=90°，得出∠1+∠BCD=90°，而∠1=∠B，等量代换得到∠B+∠BCD=90°，再根据三角形内角和定理求出∠BDC=90°，根据垂直的定义即可证明CD⊥AB；（2）根据三角形的面积公式可得S△ABC= AB CD= AC BC，那么CD= ，将数值代入计算即可求解．
23．（2018·福建模拟）边长为6的等边△ABC中，点P从点A出发沿射线AB方向移动，同时点Q从点B出发，以相同的速度沿射线BC方向移动，连接AQ、CP，直线AQ、CP相交于点D．
（1）如图①，当点P、Q分别在边AB、BC上时，
①连接PQ，当△BPQ是直角三角形时，AP等于 ；
②∠CDQ的大小是否随P，Q的运动而变化？如果不会，请求出∠CDQ的度数；如果会，请说明理由；
（2）当P、Q分别在边AB、BC的延长线上时，在图②中画出点D，并直接写出∠CDQ的度数．
【答案】（1）2或4；解：∠CDQ的大小不变∵P、Q用时出发，速度相同，所以AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴BA=AC，∠B=∠CAP=60°，在△ABQ和△CAP中，BA=AC，∠B=∠APC，BQ=AP，∴△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CDQ=∠DAC+∠ACP=∠DAC+∠BAQ=∠CAB=60°；
（2）解：如图4，∠CDQ=120°，理由如下：∵△ABC是等边三角形，
∴BA=AC，∠ABC=∠CAP=60°，
在△ABQ和△CAP中，BA=AC，∠ABQ=∠CAP，BQ=AP，
∴△ABQ≌△CAP，
∴∠Q=∠P，
∵∠P+∠BCP=60°，∴∠Q+∠DCQ=60°，∴∠CDQ=120°．
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如图3，连接PQ，
①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
由题意得，AP=BQ，
当∠PQB=90°时，BQ= BP，即AP= （6﹣AP）
解得，AP=2，
当∠QPB=90°时，BQ=2BP，即AP=2（6﹣AP）
解得，AP=4，
综上所述，当AP=2或4时，△BPQ是直角三角形，
故答案为：2或4；
【分析】（1）①连接PQ，由等边三角形的性质可得∠B=60°，则分两种情况：当∠PQB=90°时，根据直角三角形中，30度角所对的直角边等关于斜边的一半可得BQ= BP=AP=AB-AP，将AB=6代入计算即可求解；当∠QPB=90°时，同理可求解；
（2）由等边三角形的性质可得BA=AC，∠ABC=∠CAP=60°，由题意用边角边可证△ABQ≌△CAP，则∠Q=∠P，由三角形的外角的性质可得∠ADP=∠ABC，再根据邻补角的性质即可解。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版八年级下册1.2 直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2018八上·秀洲期中）下列命题的逆命题正确的是（ ）
A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的周长相等
C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角都相等
2．（2018八上·宁波期中）已知直角三角形ABC，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是（ ）.
A．30° B． 40° C．45° D．50°
3．（2018八上·鄞州期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
4．（2018八上·义乌期中）在下列条件：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，③∠C=∠A－∠B， ④a∶b∶c=3∶4∶5 中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列命题中，逆命题不正确的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．直角三角形的两个锐角互余
C．全等三角形对应角相等
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
6．（2018八上·湖州期中）如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC的顶点都在图中的格点上，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（ ）
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
7．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么在下列各条件中，不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（ ）
A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3
B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°
C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3
D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
8．（2018八上·泰兴月考）如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，将△ACD沿AD所在的直线折叠，点C恰好落在BC的中点E处，则∠B等于（ ）
A．25° B．30° C．45° D．60°
9．（2018九上·黑龙江月考）若△ABC三边长a，b，c满足 + |b-a-2| + (c-8)2=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
10．（2018八上·宁波期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，F是BC边上的中点.若动点E从A点出发以2cm/s的速度沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连结EF.当△BEF是直角三角形时，t的值为（ ）.
A． B．1
C． 或1或 D． 或1或
二、填空题
11．（2018八上·龙港期中）命题“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是 ．
12．（2018八上·衢州期中）若一个三角形三边长分别为 1.5，2，2.5，则这个三角形一定是 三角形．
13．如图，山坡的倾斜角∠ABC为30°，小明沿山坡BA从山脚B点步行到山顶A共走了100m，则山顶的高度AC是 m．
14．（2018八上·柯桥期中）用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b（a＞b），∠B=30°，若这样的三角形能作两个，则a，b间满足的关系式是 ．
15．（2018八上·无锡期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝50°，CD＝CB，∠ABD＝ ．
16．（2018八上·衢州期中）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB=4 cm，则阴影部分的面积是 cm2
17．（2018·湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为 ，此时正方形EFGH的面积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为 时，正方形EFGH的面积的所有可能值是 （不包括5）．
三、解答题
18．（2018八上·天台期中）如图，△ABC中，AB=AC，D点在BC上，∠1=30°，且∠4=60°，
求证：
（1）AD=BD；
（2）CD=2BD．
19．如图，在△ABC中，∠BAC=∠ABC，点P在AB上，如果AD⊥CP，BE⊥CP的延长线，垂足分别为D，E，且BE=CD.
（1）试探求这个图形中还有哪些相等的线段，并给出证明；
（2）试确定△ABC的形状.
20．（2018八上·慈溪期中）如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
21．如图，对角线AB把四边形ACBE分为△ABC和△ABE两部分，如果△ABC中BC边上的高和△ABE中BE边上的高相等，且AC＝AE.
（1）在原图上画出△ABC中BC边上的高AD与△ABE中BE边上的高AF；
（2）请你猜想BC与BE的数量关系并证明．
22．如图所示，在△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．
23．（2018·福建模拟）边长为6的等边△ABC中，点P从点A出发沿射线AB方向移动，同时点Q从点B出发，以相同的速度沿射线BC方向移动，连接AQ、CP，直线AQ、CP相交于点D．
（1）如图①，当点P、Q分别在边AB、BC上时，
①连接PQ，当△BPQ是直角三角形时，AP等于 ；
②∠CDQ的大小是否随P，Q的运动而变化？如果不会，请求出∠CDQ的度数；如果会，请说明理由；
（2）当P、Q分别在边AB、BC的延长线上时，在图②中画出点D，并直接写出∠CDQ的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：A.逆命题：如果两个三角形的面积相等，则它们是全等三角形；是假命题，A不符合题意；
B.逆命题：如果两个三角形的周长相等，则它们是全等三角形；是假命题，B不符合题意；
C.逆命题：如果两个三角形的底角相等，则它们是等腰三角形；是真命题，C符合题意；
D.逆命题：如果两个角相等，则它们是直角；是假命题，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别写出各命题的逆命题，再根据全等三角形的判定，等腰三角形的判定，直角的定义逐一分析即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：另一个锐角的度数为 ，
故答案为：B.
【分析】由直角三角形的两锐角互余，可得另一个角为 .
3．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ △ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ，∠B=30°
∴AB=2AC=6
∵ 点P是BC边上的动点
∴3≤AP≤6
∴AP的长不可能为7
故答案为：D
【分析】利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可求出AB的长，再由点P是BC边上的动点，就可求出AP的取值范围，即可得出结论。
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠B=∠C= ×180°=90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
②∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C= ×180°=75°，故不是直角三角形；故②错误；
③因为∠C=∠A－∠B，则2∠A=180°，∠A=90°，故③正确；
④设a=3x，b=4x，c=5x，a2+b2= =(3x)2+(4x)2=25x2=c2，故④正确.
故答案为：C
【分析】由 ∠A+∠B=∠C 及∠A+∠B+∠C=180°，可以得出∠C=90°； 由∠C=∠A－∠B 及∠A+∠B+∠C=180°，可以得出∠A=90°，由∠A：∠B：∠C=3：4：5及∠A+∠B+∠C=180°，可以得出最大的角∠C=75°，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，可以得出①③ 能确定△ABC是直角三角形 ；由 a∶b∶c=3∶4∶5 ，设a=3x，b=4x，c=5x，根据勾股定理的逆定理可以得出a2+b2= =(3x)2+(4x)2=25x2=c2，故能确定△ABC是直角三角形，综上所述即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】逆命题
【解析】【解答】A、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，不符合题意；
B、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，不符合题意；
C、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，符合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题是斜边上的中线等于斜边的一半的三角形是直角三角形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将原命题改写成如果那么的形式，用如果领起的部分是题设，用那么领起的部分是结论，将原命题的题设和结论交换位置，即可得到原命题的逆命题，再根据已有的知识一一判断其真假即可。
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：发现点C所有可能的位置共有9个.理由如下：
由于题中正方形网格中每个小正方形边长均为1，
∴AB=
如图，当AB为斜边时，AB2=AC2+BC2=AD2+BD2=AE2+BE2=10，
∴可作出Rt△ABC、Rt△ABD、Rt△ABE三个直角三角形.
当AB为直角边时，AF2+AB2=BF2=20，
∴可作出Rt△ABF、Rt△ABG两个直角三角形.
若以AB为对称轴，把上述三角形翻折，
可得出Rt△ABC、Rt△ABD、Rt△ABE、Rt△ABF的轴对称图形Rt△ABC′、Rt△ABD′、Rt△ABE′、Rt△ABF′.
综上所述一共能作出9个直角三角形，上述点C，D，E，F，G及C′，D′，E′，F′的位置都可作为题中点C的合适位置.
∴点C的个数为9.
故答案为：A
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再分别以当AB为斜边时；当AB为直角边时；若以AB为对称轴，利用勾股定理的逆定理及轴对称的变换，可得出结果。
7．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°
A选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，
符合直角三角形全等的判定条件HL，
∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，
不符合符合直角三角形全等的判定条件，
∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS；
∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA，
∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已经知道∠C＝∠C′＝90°，如果添上AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3，可以利用HL判断出Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；如果添上AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3，可以利用SAS判断出Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；如果添上AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°，可以利用ASA判断Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；添上AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，虽然两个三角形中有三个条件，但三个条件不是对应相等，故不能判断出Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】因为E是直角三角形ABC的中点，所以AE=BE=EC，又因为∠AEC=∠ACE，所以AE=AC=EC，所以，∠C=60°，∠B=30°.
【分析】在直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半，得到AE=BE=EC，得到△AEC是等边三角形，得到∠C=60°，得到∠B=30°.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得：
解得：
则
∴ 是直角三角形.
故答案为：C．
【分析】根据算术平方根、绝对值和平方的非负性，列方程组求得a、b、c，再运用勾股定理的逆定理判定△ ABC是直角三角形。
10．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=4cm.
∵F是AB的中点，
∴BF=AF= cm.
①当EF⊥BC时，∵∠ABC=60°，
∴∠BEF=30°，
∴BE=2BF=2，
∴AE=AB-BE=4-2=2，
∴t=2÷2=1或t=(4+2)÷2=3(舍)；
②当EF⊥AB时，∵∠ABC=60°，
∴∠BFE=30°，
∴BE= BF= ，
∴AE=AB-BE=4- = ，
∴t= ÷2= 或t=(4+ )÷2= (舍)；
故答案为：C.
【分析】△BEF是直角三角形时，而△BEF中∠ABC=60°，故有EF⊥BC和EF⊥AB这两种情况，由直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半，求出BE的长，则可求出E所运动的距离，注意点E是运动路线是A→B→A，且t(s)(0≤t＜3).
11．【答案】在同一个三角形中，等边对等角
【知识点】逆命题
【解析】【解答】“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是：“在同一个三角形中，等边对等角”.
故答案为：“在同一个三角形中，等边对等角．
【分析】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，就可得出原命题的逆命题。
12．【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵=2.25，=4，=6.25，
∴2.25+4=6.25，
即：，
由勾股定理的逆定理可得，边长2.5所对的角是直角，
∴这个三角形一定是直角三角形。
【分析】计算三边的平方，用勾股定理的逆定理即可求解。
13．【答案】50
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得AB=100m，∠C=90°，∠B=30°，
则AC=50m．
故答案为：50
【分析】根据含30°角的直角三角形的边之间的关系即可直接得出AC的长度。
14．【答案】 a＜b＜a
【知识点】含30°角的直角三角形；作图-三角形
【解析】【解答】如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D,
∵∠B=30°,
∴CD= BC= a．
∵AC＞CD,
∴ a＜b,
∴ a＜b＜a．
故答案为： a＜b＜a．
【分析】过点C作CD⊥AB,垂足为D，在Rt△BCD中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可得出CD的长，结合已知，就可求出a、b满足的关系式。
15．【答案】20°
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵∠ABC=90°，∠A=50°，
∴∠C=90°-∠A=90°-50°=40°，
∵CD=CB，
∴∠CBD= （180°-∠C）= （180°-40°）=70°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD，
=90°-70°，
=20°．
故答案为：20°．
【分析】先根据直角三角形的两锐角互余求出∠C,再根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠ABD的度数即可。
16．【答案】2
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意知，∠ACB=∠E=，
∴BC∥DE，
∵∠B=，AB=4，
∴AC=AB=4=2，
∵∠D=，
∴∠AFC=∠D=
∴CF=AC=2，
∴阴影部分的面积==2.
【分析】根据直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得AC的值，再根据同垂直于一条直线的两条直线互相平行可得BC∥DE，由平行线的性质可得∠AFC=∠D=，根据等腰直角三角形的性质可得CF=AC，则阴影部分的面积=可求解。
17．【答案】9或13或49
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①当DG= ，CG=2 时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG= ，可得正方形EFGH的面积为13．
②当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为49；
③当DG=7，CG=4时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=3，可得正方形EFGH的面积为9.
故答案为：9或13或49．
【分析】以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，需分类讨论：①当DG= 13 ，CG=2 13 时；②当DG=8，CG=1时；③当DG=7，CG=4时；分别根据勾股定理的逆定理判断满足DG2+CG2=CD2，此时HG=，根据正方形的面积公式即可得出答案。
18．【答案】（1）证明：∵∠4=60°，∠1=30°，
∴∠ABD=∠4-∠1=60°-30°=30°=∠1．
∴BD=AD
（2）证明：∵∠ABD=30°，
又∵AB=AC，
∴∠C=∠ABD=30°，
∴∠2=180°-∠4-∠C=180°-60°-30°=90°，
∵∠C=30°，
∴CD=2AD=2BD
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）利用三角形的外角性质，求出∠ABD度数，就可证得∠ABD=∠1，利用等角对等边，就可证得结论。
（2）利用等边对等角，可证得 ∠C=∠ABD，再在△ADC中利用三角形内角和定理求出∠2的度数，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得结论。
19．【答案】（1）解：图中相等的线段还有AC=BC，CE=AD.证明：∵∠BAC=∠ABC，∴AC=BC.∵AD⊥CP，BE⊥CP，
∴∠ADC=∠BEC=90°.
又∵BE=CD，
∴Rt△BCE≌Rt△CAD(HL).
∴CE=AD 。
（2）解：△ABC为等腰直角三角形，理由如下 ：∵△BCE≌△CAD，
∴∠EBC=∠ACD.
∵∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，即∠ACB=90°.又AC=BC ，
∴△ABC为等腰直角三角形 。
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定
【解析】【分析】 （1）图中相等的线段还有AC=BC，CE=AD. 根据等角对等边得出AC=BC，根据垂直的定义得出∠ADC=∠BEC=90°，然后利用HL判断出Rt△BCE≌Rt△CAD ，根据全等三角形对应边相等得出CE=AD ；
（2）△ABC为等腰直角三角形，理由如下 ：根据全等三角形对应角相等得出∠EBC=∠ACD ，根据直角三角形两锐角互余得出∠EBC+∠BCE=90°，根据等量代换得出∠ACD+∠BCE=90°，即∠ACB=90°，又AC=BC ，从而得出结论△ABC为等腰直角三角形 。
20．【答案】解：连接BD
在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，
在△CBD中，CD2=132，BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，
∴∠DBC=90°，
S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC= AD·AB+ DB· BC= ×4×3+ ×5×12=36
所以需费用36×200=7200（元）
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连接BD，利用勾股定理，在Rt△ABD中，求出BD的长，再利用勾股定理的逆定理证明△BDC是直角三角形，然后根据四边形ABCD的面积等于△BAD的面积加上△DBC的面积，再用四边形的面积乘以单价，即可求出结果。
21．【答案】（1）解：画出高AD，AF，如图所示．
（2）解：猜想：BC＝BE.证明如下：∵AD⊥BC，AF⊥BE，∴△ACD，△AEF，△ABD，△ABF都是直角三角形．在Rt△ACD和Rt△AEF中，∴Rt△ACD≌Rt△AEF(HL)．
∴CD＝EF(全等三角形的对应边相等)．
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF(全等三角形的对应边相等)．
∴BD－CD＝BF－EF(等式的性质)，即BC＝BE
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）分别过点A向BC，BE所在的直线引垂线，垂直于BC，BE的延长线于点D，F，则AD，AF就是所求的高线；
（2）猜想：BC＝BE.证明如下：首先利用HL判断出Rt△ACD≌Rt△AEF，根据全等三角形对应边相等得出CD＝EF，再利用HL判断出Rt△ABD≌Rt△ABF，根据全等三角形对应边相等得出BD＝BF，根据等式的性质，由等量减去等量差相等得出结论BC＝BE。
22．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠BCD=90°，
∵∠1=∠B，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB
（2）解：∵S△ABC= AB CD= AC BC，
∴CD= = =4.8
【知识点】三角形的面积；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）先由∠ACB=90°，得出∠1+∠BCD=90°，而∠1=∠B，等量代换得到∠B+∠BCD=90°，再根据三角形内角和定理求出∠BDC=90°，根据垂直的定义即可证明CD⊥AB；（2）根据三角形的面积公式可得S△ABC= AB CD= AC BC，那么CD= ，将数值代入计算即可求解．
23．【答案】（1）2或4；解：∠CDQ的大小不变∵P、Q用时出发，速度相同，所以AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴BA=AC，∠B=∠CAP=60°，在△ABQ和△CAP中，BA=AC，∠B=∠APC，BQ=AP，∴△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CDQ=∠DAC+∠ACP=∠DAC+∠BAQ=∠CAB=60°；
（2）解：如图4，∠CDQ=120°，理由如下：∵△ABC是等边三角形，
∴BA=AC，∠ABC=∠CAP=60°，
在△ABQ和△CAP中，BA=AC，∠ABQ=∠CAP，BQ=AP，
∴△ABQ≌△CAP，
∴∠Q=∠P，
∵∠P+∠BCP=60°，∴∠Q+∠DCQ=60°，∴∠CDQ=120°．
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如图3，连接PQ，
①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
由题意得，AP=BQ，
当∠PQB=90°时，BQ= BP，即AP= （6﹣AP）
解得，AP=2，
当∠QPB=90°时，BQ=2BP，即AP=2（6﹣AP）
解得，AP=4，
综上所述，当AP=2或4时，△BPQ是直角三角形，
故答案为：2或4；
【分析】（1）①连接PQ，由等边三角形的性质可得∠B=60°，则分两种情况：当∠PQB=90°时，根据直角三角形中，30度角所对的直角边等关于斜边的一半可得BQ= BP=AP=AB-AP，将AB=6代入计算即可求解；当∠QPB=90°时，同理可求解；
（2）由等边三角形的性质可得BA=AC，∠ABC=∠CAP=60°，由题意用边角边可证△ABQ≌△CAP，则∠Q=∠P，由三角形的外角的性质可得∠ADP=∠ABC，再根据邻补角的性质即可解。
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