2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册3.7 切线长定理 同步练习
一、单选题
1．（2019八上·和平期中）如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的角平分线恰相交于一点P，记△APD、△APB、△BPC、△DPC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：四边形ABCD，四个内角平分线交于一点P，则P是该四边形内切圆的圆心，
如图，
可将四边形分成8个三角形，面积分别是a、a、b、b、c、c、d、d，
则S1=a+d，S2=a+b，S3=b+c，S4=c+d，
∴S1+S3=a+b+c+d=S2+S4.
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的性质可知，点P到四边形ABCD各边的距离都相等，即点P是四边形ABCD内切圆的圆心，根据切线的性质即可解答。
2．（2018九上·苏州月考）如图，已知 是⊙ 的直径， ， 和 是圆 的两条切线， ， 为切点，过圆上一点 作⊙ 的切线 ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ， .若 ，则 等于（ ）
A．0.5 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】连接OM，OC，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
∵MA，MC分别为⊙O的切线，
∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，
在Rt△AOM和Rt△COM中，
MA＝MC，OM＝OM，
∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），
∴∠AOM=∠COM= ∠AOC=30°，
在Rt△AOM中，OA= AB=1，∠AOM=30°，
∴tan30°= ，即 ，
解得：AM= ．
故答案为： ．
【分析】连接OM，OC，利用圆周角定理求出∠AOC的度数，根据利用切线长定理可得出MA=MC，再证明Rt△AOM≌Rt△COM，利用全等三角形的性质求出∠AOM的度数，就可求出OA，然后利用解直角三角形求出AM的长。
3．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若BO=6cm，OC=8cm 则BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】D
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°，
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴BC=10cm，
∴BE+CG=BC=10cm，
故答案为：D.
【分析】由切线长定理可知BE=BF、CF=CG、∠OBF=∠EBC、∠OCF=∠GCB，根据两直线平行同旁内角互补易得∠BOC=90°，借助勾股定理可得BC的长，据此即可选择。
4．如图，⊙ 与正方形 的两边 相切，且 与⊙ 相切于点 .若 ， ，则⊙ 的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，作辅助线 .
由题可知 ，
又∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】根据经过圆心垂直于切线的直线必过切点可知M、N是切点，由切线长定理可得DE=DM、AM=AN，借助四边形ABCD是正方形此时易得四边形ANOM是正方形，再由AB、DE长即可求出⊙O的半径。
5．如图， 是四边形 的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：
① ；② ；③ ；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴多边形的每条边都与⊙O相切.
根据切线长定理可知，AF＝AE，BF＝BG，CG＝CH，DE＝DH，即②正确；
∵四边形形状不定，
∴①④无法判定；
又∵AB＋CD＝AF＋BF＋CH＋DH，AD＋BC＝AE＋AD＋BG＋CG；
∴AB＋CD＝AD＋BC，③正确.
故答案为：B.
【分析】由切线长定理可知AF＝AE、BF＝BG、CG＝CH、DE＝DH，借助等式性质逐个即可判断。
6．以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E.则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为（ ）
A．4：5 B．5：6 C．6：7 D．7：8
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：设EF=x，DF=y，则DE=x+y
则在△ADE中根据勾股定理得：（y-x）2+y2=（x+y）2，
∴ADE的周长=12x，直角梯形EBCD周长=14x
∴周长之比为12x：14x=6：7．
故答案为：C．
【分析】由切线长定理可知BE=EF、DF=DC，设EF=x、DF=y，结合正方形性质则可表示出DE、AE、AD的长，在△ADE中根据勾股定理建立x、y的方程，从而找出x、y的数量关系，据此即可解答。
7．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，AC是⊙O的直径，连结AB，BC，OP，则与∠PAB相等的 角(不包括∠PAB本身)有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A. B，
∴PA=PB，OA⊥PA，
∴∠PBA=∠PAB，∠OAP=90°
∴∠PAB+∠BAC=90°
∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90°
∴∠BAC+∠C=90°
∴∠PAB=∠C
∵OP⊥AB
∴∠BAC+∠AOP=90°
∴∠AOP=∠PAB
∴与∠PAB相等的角有：∠C、∠AOP、∠PBA
故答案为：C
【分析】由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线长定理，可得PA=PB，即可得∠PAB=∠PBA，由切线的性质与圆周角定理，可得∠ABC=∠OAP=90°，然后由同角的余角相等，证得∠PAB=∠C，同理可得∠PAB=∠AOP，就可得出答案。
8．下列说法正确的是（ ）
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解 ：A、过圆外任意一点总可以作圆的两条切线，过圆上一点只能做圆的一条切线，过圆内一点不能做圆的切线；故A错误，不符合题意；
B、圆的切线长就是，过圆外一点引圆的一条切线，这点到切点之间的线段的长度就是圆的切线长；故B错误，不符合题意；
C、根据切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；故C是正确的符合题意；
D、过圆外一点所画的圆的切线长取决于点离圆的距离等，故不一定大于圆的半径；故D错误，不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据切线长定理及定义即可一一判断。
9．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm B．15cm
C．10cm D．随直线MN的变化而变化
【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】 如图：
∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm，
∴设E、F分别是⊙O的切点，
故DM=MF，FN=EN，AD=AE，
∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．
故答案为：A．
【分析】 利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．
10．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形的上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D、C、E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（ ）.
A．9 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【知识点】直角梯形；切线长定理
【解析】【解答】根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14．故选D．
【分析】由切线长定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半径，由此可求出梯形的周长．
二、填空题
11．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为 ．
【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：根据切线长定理，AP=AC，BP=BD，
所以BP=5-3=2，
所以BD=2.
故答案为：2.
【分析】由切线长定理可知AP=AC、BP=BD，再结合条件即可解答。
12．已知等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，则△ABC的内切圆半径为 cm．
【答案】
【知识点】勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=AC=13cm，BC=10cm，
∴BD=5cm，
∴AD=12cm，
根据切线长定理，AE=AB﹣BE=AB﹣BD=13﹣5=8，
设△ABC的内切圆半径为r，
∴AO=12﹣r，
∴（12﹣r）2﹣r2=64，
解得r= ，
故答案为： ．
【分析】根据切线长定理，求出AE的长度，再根据△AEO为直角三角形，利用勾股定理求出半径。
13．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，点C是劣弧AB上一点，过C的切线交PA，PB于M，N.若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PMN的周长为 .
【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接PO，
因为，PA，PB是⊙O的切线，∠P＝60°
所以，∠APO= ∠P=30°，PA=PB，
所以，OP=2OA=2×2=4，
所以，在直角三角形APO中，PA= ，
又因为MN与⊙O相切，
所以，MC=MA，NC=NB，
所以△PMN的周长=PA+PB=4 .
故答案为：4 .
【分析】连接PO，由切线长定理可知PA=PB、∠APO= ∠P=30°，由切线性质有∠PAO=90°，从而可得OP=2OA=4、PA=2，又由切线长定理知MC=MA、NC=NB，据此即可求解。
14．（2018·白云模拟）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上， ，若量出 ，则圆形螺母的外直径是 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形；切线长定理
【解析】【解答】解：设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接 ，如图所示：
分别为圆O的切线，
为 的平分线， ，又 ，
，
在 中， ，
，即 ，
，
则圆形螺母的直径为 ．
故答案为： ．
【分析】设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接 OD ， OE ， OA ，根据切线的性质可得AO 为 平分∠ DAB ，OD ⊥ AC ， OD ⊥ AC ，由∠ CAB = 60 ° 得到∠ OAE = ∠ OAD = ∠ DAB = 60 °，由锐角三角函数求出OD的长，从而求出圆形螺母的直径.
15．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为 ．
【答案】52
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵一圆内切于四边形ABCD
∴AD+BC=DC+AB=10+16=26
∴四边形ABCD的周长为：2（DC+AB）=2×26=52
故答案为：52
【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等，就可得出AD+BC=DC+AB，就可求出四边形ABCD的周长。
16．（2018·成华模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE= ．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：由题意易知四边形AEIB是矩形，设AE=BI=x，
由切线长定理可知，ED=EH，FC=FH，
∵B、F关于EI对称，
∴IF=BI=x，ED=EH=8－x，FC=FH=8－2x，EF=16-3x，
在Rt△EFI中，∴ ，
解得：x=6－ 或x=6+ (舍去)，
∴AE=6－ ．
【分析】由已知条件可知四边形AEIB是矩形，设AE=BI=x，根据切线长定理可得出ED=EH，FC=FH，再由B、F关于EI对称，用含x的代数式分别表示出IF、ED、FH、EF的长，再在Rt△EFI中，利用勾股定理建立关于x的方程，求出符合题意的x的值，就可得出AE的长。
三、解答题
17．（2018九上·东台期中）如图所示，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=80°，点C是⊙O上不同于A、B的任意一点，求∠ACB的度数．
【答案】解：连接OA、OB，在AB弧上任取一点C，连接AC、BC． ∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠OAP=∠OBP=90°． ∵∠APB=80°，在四边形OAPB中，可得∠AOB=100°． 分两种情况讨论： ①若C点在劣弧AB上，则∠ACB=130°； ②若C点在优弧AB上，则∠ACB=50°．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】
连接OA、OB，在AB弧上任取一点C，连接AC、BC ，
分两种情况讨论： ①若C点在劣弧AB上； ②若C点在优弧AB上；用圆内接四边形的对角互补即可求解。
18．如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，求⊙O的半径.
【答案】解：连接OD、OE，∵⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，∴AF=AD，BE=BF，CE=CD，OD⊥AD，OE⊥BC，∵∠ACB=90°，∴四边形ODCE是正方形，设OD=r，则CD=CE=r，∵BC=3，∴BE=BF=3-r，∵AB=5，AC=4，∴AF=AB+BF=5+3-r，AD=AC+CD=4+r，∴5+3-r=4+r，r=2，则⊙O的半径是2．
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】连接OD、OE，由切线长定理可知AF=AD、BE=BF、CE=CD，同时根据圆的切线垂直于经过切点的半径，可得OD⊥AD、OE⊥BC，结合∠ACB=90°易得四边形ODCE是正方形，设⊙O的半径为r，由前面的推理即可建立r的方程，据此解答即可。
19．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根，求△PCD的周长．
【答案】解：∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根，
∴PA+PB=m，PA PB=m-1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，
∴PA=PB= ，
即 =m-1，
即m2-4m+4=0，
解得：m=2，
∴PA=PB=1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴AD=ED，BC=EC，
∴△PCD的周长为：PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系；切线长定理
【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系可用m的式子表示PA、PB，再根据方程根的意义代入方程即可求出m，从而可得PA、PB长，最后利用切线长定理即可解答。
20．如图，☉O与四边形ABCD的四边都相切.若∠AOB=70°，求∠COD的度数.
【答案】解：∵☉O为四边形ABCD的内切圆，∴∠OAB=∠OAD，∠ODA=∠ODC，∠OCD=∠OCB，∠OBC=∠OBA.∴∠OAB+∠OBA+∠ODC+∠OCD=∠OAD+∠OBC+∠ODA+∠OCB=180°.∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°.∴∠COD=180°-∠AOB=110°
【知识点】三角形内角和定理；切线长定理
【解析】【分析】根据切线长定理得出∠OAB=∠OAD，∠ODA=∠ODC，∠OCD=∠OCB，∠OBC=∠OBA.根据等式的性质得出∠OAB+∠OBA+∠ODC+∠OCD=∠OAD+∠OBC+∠ODA+∠OCB=180°.根据三角形的内角和及等式的性质得出∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°.从而得出答案。
21．（2018·北京）如图， 是 的直径，过 外一点 作 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ， ，若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵ 、 与 相切于 、 ．∴ ， 平分 ．在等腰 中， ， 平分 ．
∴ 于 ，即
（2）解：连接 、 ．∵∴
∴
同理：
∴ ．
在等腰 中， ．
∴ ．
∵ 与 相切于 ．∴ ．
∴ ．
在 中， ，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线长定理得出PC=PD ， OP平分∠CPD ．然后根据等腰三角形的三线合一得出OP⊥CD；
（2）连接OC ，OD ．根据等边对等角得出∠OAD=∠ODA=50 °，根据三角形的内角和得出∠AOD的度数， 同理 ∠BOC=40 °，根据平角的定义得出∠COD的度数，根据根据等角三角形的三线合一得出∠DOQ= ∠COD=30 ° ．根据切线的性质得出∠ODP=90° ．在Rt△ODP中，然后利用余弦函数即可得出OP的长，
22．（2018·方城模拟）如图，已知⊙O与等腰△ABD的两腰AB、AD分别相切于点E、F，连接AO并延长到点C，使OC=AO，连接CD、CB．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若AB=4cm，填空：
①当⊙O的半径为 cm时，△ABD为等边三角形；
②当⊙O的半径为 cm时，四边形ABCD为正方形．
【答案】（1）解：四边形ABCD是菱形，理由如下：∵AB、AD分别相切于点E、F，
∴∠EAO=∠FAO，
∴OD=OB，
∵AO=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴ ABCD是菱形
（2）；2
【知识点】等边三角形的性质；菱形的判定；正方形的性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：（2）①当⊙O的半径为时，△ABD为等边三角形；
连接OE，∵AD切⊙O于点E，
∴OE⊥AD，
∵△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=AD=4，
∴∠DAO=30°，
∴OD= BD=2，AO=2 ，
∴OE= AO= ，
∴当⊙O的半径为 时，△ABD为等边三角形；
故答案为： ；
②当⊙O的半径为2cm时，四边形ABCD为正方形；
如图，∴∠DAO=∠ADO=45°，
∵AD=AB=4，
∴OA=OD=2 ，
由（2）知，OE⊥AD，
∴OE=AE=2，
∴当⊙O的半径为2cm时，四边形ABCD为正方形；
故答案为：2．
【分析】（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：连接OE，OF，根据切线长定理得出∠EAO=∠FAO，根据等腰三角形的三线合一得出OD=OB，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得出 ABCD是菱形；
（2）①当⊙O的半径为 时，△ABD为等边三角形；连接OE，根据切线的性质得出OE⊥AD，根据等边三角形的性质得出BD=AB=AD=4，∠DAO=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出OD，OA的长，进而得出OE的长；②当⊙O的半径为2cm时，四边形ABCD为正方形，根据正方形的性质得出∠DAO=∠ADO=45°，根据等腰直角三角形的性质得出OA=OD=2，OE=AE=2。
23．综合题
（1）如图，四边形ABCD是☉O的外切四边形，切点分别为E，F，G，H，说明AB+CD与BC+AD的大小关系.
（2）如图，四边形ABCD的三边切☉O于F，G，H，说明AB+CD与BC+AD的大小关系.
（3）如图，四边形ABCD的三边切☉O于F，G，H，说明AB+CD与BC+AD的大小关系.
【答案】（1）解 ：由切线长定理，
得AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH，
∴AB+CD=AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH=BC+AD，即AB+CD=BC+AD.
（2）过点B作☉O的切线，交AD于点M，切点为E.由(1)可知BM+CD=BC+MD.∵AB
即AB+CD（3）过点A作☉O的切线，交CB的延长线于点M，切点为E.由(1)知AM+CD=AD+MC.∵AB+BM>AM，∴AB+BM+AM+CD>AM+AD+MC，
∴AB+CD>AD+MC-BM，即AB+CD>BC+AD.
【知识点】三角形三边关系；切线长定理
【解析】【分析】（1）由切线长定理，得AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH，根据等式的性质得出：AB+CD=AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH=BC+AD，从而得出结论；
（2）过点B作☉O的切线，交AD于点M，切点为E.由(1)可知BM+CD=BC+MD，根据三角形三边之间的关系得出AB（3）过点A作☉O的切线，交CB的延长线于点M，切点为E.由(1)知AM+CD=AD+MC.根据三角形三边之间的关系得出AB+BM>AM，故AB+BM+AM+CD>AM+AD+MC，进而得出AB+CD>AD+MC-BM，即可得出结论。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册3.7 切线长定理 同步练习
一、单选题
1．（2019八上·和平期中）如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的角平分线恰相交于一点P，记△APD、△APB、△BPC、△DPC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则有（ ）
A． B．
C． D．
2．（2018九上·苏州月考）如图，已知 是⊙ 的直径， ， 和 是圆 的两条切线， ， 为切点，过圆上一点 作⊙ 的切线 ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ， .若 ，则 等于（ ）
A．0.5 B．1 C． D．
3．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若BO=6cm，OC=8cm 则BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
4．如图，⊙ 与正方形 的两边 相切，且 与⊙ 相切于点 .若 ， ，则⊙ 的半径为（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 是四边形 的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：
① ；② ；③ ；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E.则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为（ ）
A．4：5 B．5：6 C．6：7 D．7：8
7．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，AC是⊙O的直径，连结AB，BC，OP，则与∠PAB相等的 角(不包括∠PAB本身)有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列说法正确的是（ ）
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
9．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm B．15cm
C．10cm D．随直线MN的变化而变化
10．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形的上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D、C、E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（ ）.
A．9 B．10 C．12 D．14
二、填空题
11．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为 ．
12．已知等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，则△ABC的内切圆半径为 cm．
13．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，点C是劣弧AB上一点，过C的切线交PA，PB于M，N.若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PMN的周长为 .
14．（2018·白云模拟）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上， ，若量出 ，则圆形螺母的外直径是 ．
15．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为 ．
16．（2018·成华模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE= ．
三、解答题
17．（2018九上·东台期中）如图所示，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=80°，点C是⊙O上不同于A、B的任意一点，求∠ACB的度数．
18．如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，求⊙O的半径.
19．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根，求△PCD的周长．
20．如图，☉O与四边形ABCD的四边都相切.若∠AOB=70°，求∠COD的度数.
21．（2018·北京）如图， 是 的直径，过 外一点 作 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ， ，若 ， ， ，求 的长．
22．（2018·方城模拟）如图，已知⊙O与等腰△ABD的两腰AB、AD分别相切于点E、F，连接AO并延长到点C，使OC=AO，连接CD、CB．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若AB=4cm，填空：
①当⊙O的半径为 cm时，△ABD为等边三角形；
②当⊙O的半径为 cm时，四边形ABCD为正方形．
23．综合题
（1）如图，四边形ABCD是☉O的外切四边形，切点分别为E，F，G，H，说明AB+CD与BC+AD的大小关系.
（2）如图，四边形ABCD的三边切☉O于F，G，H，说明AB+CD与BC+AD的大小关系.
（3）如图，四边形ABCD的三边切☉O于F，G，H，说明AB+CD与BC+AD的大小关系.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：四边形ABCD，四个内角平分线交于一点P，则P是该四边形内切圆的圆心，
如图，
可将四边形分成8个三角形，面积分别是a、a、b、b、c、c、d、d，
则S1=a+d，S2=a+b，S3=b+c，S4=c+d，
∴S1+S3=a+b+c+d=S2+S4.
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的性质可知，点P到四边形ABCD各边的距离都相等，即点P是四边形ABCD内切圆的圆心，根据切线的性质即可解答。
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】连接OM，OC，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
∵MA，MC分别为⊙O的切线，
∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，
在Rt△AOM和Rt△COM中，
MA＝MC，OM＝OM，
∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），
∴∠AOM=∠COM= ∠AOC=30°，
在Rt△AOM中，OA= AB=1，∠AOM=30°，
∴tan30°= ，即 ，
解得：AM= ．
故答案为： ．
【分析】连接OM，OC，利用圆周角定理求出∠AOC的度数，根据利用切线长定理可得出MA=MC，再证明Rt△AOM≌Rt△COM，利用全等三角形的性质求出∠AOM的度数，就可求出OA，然后利用解直角三角形求出AM的长。
3．【答案】D
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°，
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴BC=10cm，
∴BE+CG=BC=10cm，
故答案为：D.
【分析】由切线长定理可知BE=BF、CF=CG、∠OBF=∠EBC、∠OCF=∠GCB，根据两直线平行同旁内角互补易得∠BOC=90°，借助勾股定理可得BC的长，据此即可选择。
4．【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，作辅助线 .
由题可知 ，
又∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】根据经过圆心垂直于切线的直线必过切点可知M、N是切点，由切线长定理可得DE=DM、AM=AN，借助四边形ABCD是正方形此时易得四边形ANOM是正方形，再由AB、DE长即可求出⊙O的半径。
5．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴多边形的每条边都与⊙O相切.
根据切线长定理可知，AF＝AE，BF＝BG，CG＝CH，DE＝DH，即②正确；
∵四边形形状不定，
∴①④无法判定；
又∵AB＋CD＝AF＋BF＋CH＋DH，AD＋BC＝AE＋AD＋BG＋CG；
∴AB＋CD＝AD＋BC，③正确.
故答案为：B.
【分析】由切线长定理可知AF＝AE、BF＝BG、CG＝CH、DE＝DH，借助等式性质逐个即可判断。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：设EF=x，DF=y，则DE=x+y
则在△ADE中根据勾股定理得：（y-x）2+y2=（x+y）2，
∴ADE的周长=12x，直角梯形EBCD周长=14x
∴周长之比为12x：14x=6：7．
故答案为：C．
【分析】由切线长定理可知BE=EF、DF=DC，设EF=x、DF=y，结合正方形性质则可表示出DE、AE、AD的长，在△ADE中根据勾股定理建立x、y的方程，从而找出x、y的数量关系，据此即可解答。
7．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A. B，
∴PA=PB，OA⊥PA，
∴∠PBA=∠PAB，∠OAP=90°
∴∠PAB+∠BAC=90°
∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90°
∴∠BAC+∠C=90°
∴∠PAB=∠C
∵OP⊥AB
∴∠BAC+∠AOP=90°
∴∠AOP=∠PAB
∴与∠PAB相等的角有：∠C、∠AOP、∠PBA
故答案为：C
【分析】由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线长定理，可得PA=PB，即可得∠PAB=∠PBA，由切线的性质与圆周角定理，可得∠ABC=∠OAP=90°，然后由同角的余角相等，证得∠PAB=∠C，同理可得∠PAB=∠AOP，就可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解 ：A、过圆外任意一点总可以作圆的两条切线，过圆上一点只能做圆的一条切线，过圆内一点不能做圆的切线；故A错误，不符合题意；
B、圆的切线长就是，过圆外一点引圆的一条切线，这点到切点之间的线段的长度就是圆的切线长；故B错误，不符合题意；
C、根据切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；故C是正确的符合题意；
D、过圆外一点所画的圆的切线长取决于点离圆的距离等，故不一定大于圆的半径；故D错误，不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据切线长定理及定义即可一一判断。
9．【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】 如图：
∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm，
∴设E、F分别是⊙O的切点，
故DM=MF，FN=EN，AD=AE，
∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．
故答案为：A．
【分析】 利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．
10．【答案】D
【知识点】直角梯形；切线长定理
【解析】【解答】根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14．故选D．
【分析】由切线长定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半径，由此可求出梯形的周长．
11．【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：根据切线长定理，AP=AC，BP=BD，
所以BP=5-3=2，
所以BD=2.
故答案为：2.
【分析】由切线长定理可知AP=AC、BP=BD，再结合条件即可解答。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=AC=13cm，BC=10cm，
∴BD=5cm，
∴AD=12cm，
根据切线长定理，AE=AB﹣BE=AB﹣BD=13﹣5=8，
设△ABC的内切圆半径为r，
∴AO=12﹣r，
∴（12﹣r）2﹣r2=64，
解得r= ，
故答案为： ．
【分析】根据切线长定理，求出AE的长度，再根据△AEO为直角三角形，利用勾股定理求出半径。
13．【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接PO，
因为，PA，PB是⊙O的切线，∠P＝60°
所以，∠APO= ∠P=30°，PA=PB，
所以，OP=2OA=2×2=4，
所以，在直角三角形APO中，PA= ，
又因为MN与⊙O相切，
所以，MC=MA，NC=NB，
所以△PMN的周长=PA+PB=4 .
故答案为：4 .
【分析】连接PO，由切线长定理可知PA=PB、∠APO= ∠P=30°，由切线性质有∠PAO=90°，从而可得OP=2OA=4、PA=2，又由切线长定理知MC=MA、NC=NB，据此即可求解。
14．【答案】
【知识点】解直角三角形；切线长定理
【解析】【解答】解：设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接 ，如图所示：
分别为圆O的切线，
为 的平分线， ，又 ，
，
在 中， ，
，即 ，
，
则圆形螺母的直径为 ．
故答案为： ．
【分析】设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接 OD ， OE ， OA ，根据切线的性质可得AO 为 平分∠ DAB ，OD ⊥ AC ， OD ⊥ AC ，由∠ CAB = 60 ° 得到∠ OAE = ∠ OAD = ∠ DAB = 60 °，由锐角三角函数求出OD的长，从而求出圆形螺母的直径.
15．【答案】52
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵一圆内切于四边形ABCD
∴AD+BC=DC+AB=10+16=26
∴四边形ABCD的周长为：2（DC+AB）=2×26=52
故答案为：52
【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等，就可得出AD+BC=DC+AB，就可求出四边形ABCD的周长。
16．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：由题意易知四边形AEIB是矩形，设AE=BI=x，
由切线长定理可知，ED=EH，FC=FH，
∵B、F关于EI对称，
∴IF=BI=x，ED=EH=8－x，FC=FH=8－2x，EF=16-3x，
在Rt△EFI中，∴ ，
解得：x=6－ 或x=6+ (舍去)，
∴AE=6－ ．
【分析】由已知条件可知四边形AEIB是矩形，设AE=BI=x，根据切线长定理可得出ED=EH，FC=FH，再由B、F关于EI对称，用含x的代数式分别表示出IF、ED、FH、EF的长，再在Rt△EFI中，利用勾股定理建立关于x的方程，求出符合题意的x的值，就可得出AE的长。
17．【答案】解：连接OA、OB，在AB弧上任取一点C，连接AC、BC． ∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠OAP=∠OBP=90°． ∵∠APB=80°，在四边形OAPB中，可得∠AOB=100°． 分两种情况讨论： ①若C点在劣弧AB上，则∠ACB=130°； ②若C点在优弧AB上，则∠ACB=50°．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】
连接OA、OB，在AB弧上任取一点C，连接AC、BC ，
分两种情况讨论： ①若C点在劣弧AB上； ②若C点在优弧AB上；用圆内接四边形的对角互补即可求解。
18．【答案】解：连接OD、OE，∵⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，∴AF=AD，BE=BF，CE=CD，OD⊥AD，OE⊥BC，∵∠ACB=90°，∴四边形ODCE是正方形，设OD=r，则CD=CE=r，∵BC=3，∴BE=BF=3-r，∵AB=5，AC=4，∴AF=AB+BF=5+3-r，AD=AC+CD=4+r，∴5+3-r=4+r，r=2，则⊙O的半径是2．
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】连接OD、OE，由切线长定理可知AF=AD、BE=BF、CE=CD，同时根据圆的切线垂直于经过切点的半径，可得OD⊥AD、OE⊥BC，结合∠ACB=90°易得四边形ODCE是正方形，设⊙O的半径为r，由前面的推理即可建立r的方程，据此解答即可。
19．【答案】解：∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根，
∴PA+PB=m，PA PB=m-1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，
∴PA=PB= ，
即 =m-1，
即m2-4m+4=0，
解得：m=2，
∴PA=PB=1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴AD=ED，BC=EC，
∴△PCD的周长为：PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系；切线长定理
【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系可用m的式子表示PA、PB，再根据方程根的意义代入方程即可求出m，从而可得PA、PB长，最后利用切线长定理即可解答。
20．【答案】解：∵☉O为四边形ABCD的内切圆，∴∠OAB=∠OAD，∠ODA=∠ODC，∠OCD=∠OCB，∠OBC=∠OBA.∴∠OAB+∠OBA+∠ODC+∠OCD=∠OAD+∠OBC+∠ODA+∠OCB=180°.∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°.∴∠COD=180°-∠AOB=110°
【知识点】三角形内角和定理；切线长定理
【解析】【分析】根据切线长定理得出∠OAB=∠OAD，∠ODA=∠ODC，∠OCD=∠OCB，∠OBC=∠OBA.根据等式的性质得出∠OAB+∠OBA+∠ODC+∠OCD=∠OAD+∠OBC+∠ODA+∠OCB=180°.根据三角形的内角和及等式的性质得出∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°.从而得出答案。
21．【答案】（1）证明：∵ 、 与 相切于 、 ．∴ ， 平分 ．在等腰 中， ， 平分 ．
∴ 于 ，即
（2）解：连接 、 ．∵∴
∴
同理：
∴ ．
在等腰 中， ．
∴ ．
∵ 与 相切于 ．∴ ．
∴ ．
在 中， ，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线长定理得出PC=PD ， OP平分∠CPD ．然后根据等腰三角形的三线合一得出OP⊥CD；
（2）连接OC ，OD ．根据等边对等角得出∠OAD=∠ODA=50 °，根据三角形的内角和得出∠AOD的度数， 同理 ∠BOC=40 °，根据平角的定义得出∠COD的度数，根据根据等角三角形的三线合一得出∠DOQ= ∠COD=30 ° ．根据切线的性质得出∠ODP=90° ．在Rt△ODP中，然后利用余弦函数即可得出OP的长，
22．【答案】（1）解：四边形ABCD是菱形，理由如下：∵AB、AD分别相切于点E、F，
∴∠EAO=∠FAO，
∴OD=OB，
∵AO=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴ ABCD是菱形
（2）；2
【知识点】等边三角形的性质；菱形的判定；正方形的性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：（2）①当⊙O的半径为时，△ABD为等边三角形；
连接OE，∵AD切⊙O于点E，
∴OE⊥AD，
∵△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=AD=4，
∴∠DAO=30°，
∴OD= BD=2，AO=2 ，
∴OE= AO= ，
∴当⊙O的半径为 时，△ABD为等边三角形；
故答案为： ；
②当⊙O的半径为2cm时，四边形ABCD为正方形；
如图，∴∠DAO=∠ADO=45°，
∵AD=AB=4，
∴OA=OD=2 ，
由（2）知，OE⊥AD，
∴OE=AE=2，
∴当⊙O的半径为2cm时，四边形ABCD为正方形；
故答案为：2．
【分析】（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：连接OE，OF，根据切线长定理得出∠EAO=∠FAO，根据等腰三角形的三线合一得出OD=OB，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得出 ABCD是菱形；
（2）①当⊙O的半径为 时，△ABD为等边三角形；连接OE，根据切线的性质得出OE⊥AD，根据等边三角形的性质得出BD=AB=AD=4，∠DAO=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出OD，OA的长，进而得出OE的长；②当⊙O的半径为2cm时，四边形ABCD为正方形，根据正方形的性质得出∠DAO=∠ADO=45°，根据等腰直角三角形的性质得出OA=OD=2，OE=AE=2。
23．【答案】（1）解 ：由切线长定理，
得AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH，
∴AB+CD=AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH=BC+AD，即AB+CD=BC+AD.
（2）过点B作☉O的切线，交AD于点M，切点为E.由(1)可知BM+CD=BC+MD.∵AB即AB+CD（3）过点A作☉O的切线，交CB的延长线于点M，切点为E.由(1)知AM+CD=AD+MC.∵AB+BM>AM，∴AB+BM+AM+CD>AM+AD+MC，
∴AB+CD>AD+MC-BM，即AB+CD>BC+AD.
【知识点】三角形三边关系；切线长定理
【解析】【分析】（1）由切线长定理，得AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH，根据等式的性质得出：AB+CD=AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH=BC+AD，从而得出结论；
（2）过点B作☉O的切线，交AD于点M，切点为E.由(1)可知BM+CD=BC+MD，根据三角形三边之间的关系得出AB（3）过点A作☉O的切线，交CB的延长线于点M，切点为E.由(1)知AM+CD=AD+MC.根据三角形三边之间的关系得出AB+BM>AM，故AB+BM+AM+CD>AM+AD+MC，进而得出AB+CD>AD+MC-BM，即可得出结论。
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