2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册1.3 线段的垂直平分线 同步练习
一、单选题
1．（2018八上·秀洲期中）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连结AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（ ）
A．27 B．14 C．17 D．20
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN垂直平分BC，
∴AD=BD，
又∵△ADC的周长为10，
∴C△ADC=AD+DC+AC=10，
即BD+DC+AC=10，
∴BC+AC=10，
∵AB=7，
∴C△ABC=AB+BC+AC=7+10=17.
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=BD，再由△ADC的周长为10得BC+AC=10，根据三角形周长计算即可得出答案.
2．（2018八上·龙港期中）在 中，∠ACB=90°，斜边 的中垂线 分别交BC，AB于点D，E．已知BD=5，CD=3，则AC的长为（ ）
A．8 B．4 C． D．2
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】∵DE为线段AB的垂直平分线，BD=5，
∴AD=BD=5，
在Rt△ACD中，CD=3，
∴ .
故答案为：B.
【分析】利用垂直平分线的性质，可证得AD=BD，即可求出AD的长，再在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长。
3．（2018八上·天台期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵D为BC中点，∴CD=BD，
又∵∠BDO=∠CDO=90°，∴在△ABD和△ACD中， ，∴△ABD≌△ACD；
∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COE中， ，∴△AOE≌△COE；
在△BOD和△COD中， ，∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中， ，∴△AOC≌△AOB；
所以共有4对全等三角形，故答案为：D．
【分析】根据已知条件，可证得∠ACD=∠ABD，CD=BD，∠AEO=∠CEO，AO=CO，AE=CE，利用SAS可证△BOD≌△COD；利用SSS，可证得△ABD≌△ACD，△AOC≌△AOB，△ABD≌△ACD，继而可得出全等三角形的对数。
4．（2018八上·柯桥期中）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC．则下列四种不同方法的作图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：D选项中作的是AB的中垂线，
∴PA=PB，
∵PB+PC=BC，
∴PA+PC=BC．
故答案为：D．
【分析】根据题中已知条件，可知应该作线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质，可证得结论。
5．（2018八上·慈溪期中）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，则（ ）
A．BE+CF＞EF
B．BE+CF=EF
C．BE+CF＜EF
D．BE+CF与EF的大小关 系不能确定．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，
在△BED与△CGD中，
∵ ，
∴△BED≌△CGD（SAS），
∴CG=BE，ED=DG，
又∵DE⊥DF
∴FD是EG的垂直平分线，
∴FG=EF
∵GC+CF＞FG
∴BE+CF＞EF
故答案为：A．
【分析】延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，易证△BED≌△CGD，利用全等三角形的性质，可证得CG=BE，ED=DG，再证明FD是EG的垂直平分线，就可得出FG=EF，然后根据三角形三边关系定理，可证得结论。
6．（2018八上·无锡期中）联欢会上，A，B，C三名选手站在一个三角形三个顶点上玩抢凳子游戏，在他们中间放个木凳，谁先抢到凳子就获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当位置是△ABC的 （ ）
A．三边中线的交点 B．三边中垂线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故答案为：B．
【分析】分别做出三条边的垂直平分线，交点即为所求。
7．（2018八上·合浦期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，则BD的长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7 cm D．8 cm
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CE所在直线垂直平分线段AD，
∴AC=CD=5cm，∠ACE=∠DCE，∠AEC=90°，
∵CD平分∠BCE，
∴∠ECD=∠BCD，
∴∠ACE=∠DCE=∠BCD，
∵∠ACE+∠DCE+∠BCD=∠ACB=90°
∴∠ACE=∠DCE=∠BCD=30°，
在△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=30°，∴∠A=60°，
在△ABC中，∠A=60°，∠ACB=90°，∴∠B=30°，
∴∠B=∠BCD=30°，
∴BD=CD=5cm.
故答案为：A。
【分析】根据中垂线的性质得出AC=CD=5cm，∠ACE=∠DCE，∠AEC=90°，根据角平分线的定义得出∠ECD=∠BCD，根据等量代换及角的和差即可得出∠ACE=∠DCE=∠BCD=30°，根据三角形的内角和得出∠A=60°，∠B=30°，根据等量代换得出∠B=∠BCD=30°，根据等角对等边得出BD=CD=5cm.
8．（2018八上·合浦期中）如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，则AB，AC，CE的长度关系为（ ）
A．AB>AC=CE B．AB=AC>CE C．AB>AC>CE D．AB=AC=CE
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是线段BC的中垂线，∴AB=AC，∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE，∴AB=AC=CE.
故答案为：AB=AC=CE
【分析】过中点且垂直的直线是线段的中垂线，根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出AB=AC，AC=CE，根据等量代换得出AB=AC=CE.
9．（2018八上·衢州月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，∠ABC=60°，
连接CD，BE，DE，由题意可得BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
又∵BE=DE，
∴CE是线段BD的垂直平分线，
∴BF=DF，CE⊥AB，
在Rt△BCF中，∠ABC=60°，
∴BF= ，
∴AF=AB-BF=8-2=6
故答案为B.
【分析】理解题中的作图方式是解题的关键：由“以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D”可得CB=CD；由“再分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F”可得BE=DE，则可得CE是线段BD的垂直平分线，则有AF=AB-BF=AB- .
10．（2018·台湾）如图，坐标平面上，A，B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A，B，C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（ ）
A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：连接AC，
由题意得，BC=OB+OC=9，
∵直线L通过P点且与AB垂直，
∴直线L是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC=9，
在Rt△AOC中，AO= =2 ，
∵a＜0，
∴a=﹣2 ，
故答案为：A．
【分析】连接AC，由已知条件可得OB、OC、BCAC的长，在直角三角形AOC中，由勾股定理可将AC的长用含a的代数式表示，则可得关于a的方程，解方程，根据a＜0可得a的值。
二、填空题
11．（2018八上·灌阳期中）如图，△ABC中，AB = 5，AC = 6，BC = 4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是 ．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：因为AB的垂直平分线交AC于D，由垂直平分线上的点到两端点的距离相等可知AD=BD，所以△BDC的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=6+4=10.
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AD=BD，根据三角形的周长计算方法及等量代换，线段的和差即可算出答案。
12．（2018八上·天台期中）如图所示， ，点 为 内一点，分别作出 点关于 、 的对称点 ， ，连接 交 于 ，交 于 ， ，则 的周长为 ， .
【答案】15；96°
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，
∴PM=P1M，PN=P2N．
∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15．
∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，
∴OA垂直平分PP1，OB垂直平分P P2
∴PM=P1M，PN=P2N．
∴∠PMN=2∠P1，∠PNM=2∠P2，
∵PP1⊥OA,PP2⊥OB,，
∴∠P2PP1=180°-∠AOB=138°,
∴∠P1+∠P2=42°
∴∠MPN=180°-42°×2=96°
故答案为：15,96°.
【分析】利用轴对称的性质，可得到PM=P1M，PN=P2N，就可证得△PMN的周长就等于P1P2的长；利用线段垂直平分线的性质，可证得PM=P1M，PN=P2N，利用等边对等角及三角形的外角的性质，易证∠PMN=2∠P1，∠PNM=2∠P2，再求出∠P1+∠P2的值，然后利用三角形内角和定理就可求出结果。
13．（2018八上·黄石期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AB的垂直平分线EF分別交AC、AB边于E、F点．若点O为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△BOM周长的最小值为 ．
【答案】9
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】连接AO，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点O是BC边的中点，
∴AO⊥BC，
∴S△ABC= BC AO= ×6×AO=18，
解得AO=6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点CB于直线EF的对称点为点A，
∴BM=MA，
∵OM+BM=OM+AM≥OA，
∴AO的长为BM+MO的最小值，
∴△BOM的周长最小值=（BM+MO）+BO=AO+ BC=6+ ×6=6+3=9．
故答案为：9．
【分析】连结AO、AM，由于△ABC是等腰三角形，点O是BC边的中点，故AO⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AO的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，由OM+BM=OM+AM≥OA，可知AO的长为BM+MO的最小值，据此可解。
14．（2018·成都）如图，在矩形 中，按以下步骤作图：①分别以点 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ；②作直线 交 于点 .若 ， ，则矩形的对角线 的长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】连接AE，
根据题意可知MN垂直平分AC
∴AE=CE=3
在Rt△ADE中，AD2=AE2-DE2
AD2=9-4=5
∵AC2=AD2+DC2
AC2=5+25=30
∴AC=
【分析】根据作图，可知MN垂直平分AC，根据垂直平分线的性质，可求出AE的长，再根据勾股定理可求出AD的长，然后再利用勾股定理求出AC即可。
三、解答题
15．（2018八上·泰州期中）两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）
【答案】解：作法：①作∠ECD的平分线CF，
②作线段AB的中垂线MN，
③MN与CF交于点P，则P就是山庄的位置．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】由于 要修建的避暑山庄，到A，B的距离必须相等 ，故山庄需要修建在线段AB的垂直平分线上，山庄到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部 ，故山庄需要修建在 ∠DCE 的角平分线上，综上所述，山庄只需要修建在线段AB的垂直平分线与 ∠DCE 的平分线的交点上即可。
16．（2018八上·惠山期中）尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵桂花树．如图，要求桂花树的位置（视为点P），到花坛的两边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】解：（1）①分别以A、D为圆心，以大于 AD为半径画圆，两圆相交于E、F两点；
②连接EF，则EF即为线段AD的垂直平分线．
（ 2 ）①以B为圆心，以大于任意长为半径画圆，分别交AB、BC为G、H；
②分别以G、H为圆心，以大于 GH为半径画圆，两圆相交于点I，连接BI，则BI即为∠ABC的平分线．
③BI与EF相交于点P，则点P即为所求点．
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据题意，分别作出线段AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是点P的位置。
17．（2018九上·黑龙江月考）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.
【答案】解：连接DE，CE，设AE=x km，则BE=(50-x) km ，在Rt△ADE中， ，∴在Rt△BCE中， ，∴CE2=102+（50-x）2，又DE=CE，∴202+x2=102+（50-x）2，解得x=22∴收购站E到A站的距离为22km。
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】根据题意，作线段CD的垂直平分线交AB于点E，连接DE、CE。设AE=x km，则BE=(50-x) km ，在Rt△ADE和Rt△BCE中，用勾股定理表示出DE和CE，再根据等量关系DE=CE列方程求解即可。
18．如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC=BC；
（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．
【答案】（1）解：如图，作AB的垂直平分线，交BC于点P，则点P即为所求；
（2）解：如图，①在BC上取点D，过点D作BC的垂线，②在垂线上取点E使DE=DB，连接EC，③作EC的垂直平分线交BC于点F；
∴Rt△DEF即为所求
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等作出AB的垂直平分线，交BC于点P，故BP=PA，根据线段的和差及等量代换由BC=BP+PC=PA+PC得出结论；
（2）在BC上任取一点D，但满足BD＜DC，过点D作BC的垂线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧交垂线于点E，连接EC，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等作出EC的垂直平分线，交CD于点F，故EF=FC，则Rt△DEF即为所求。
19．（2018八上·泗阳期中）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于F，G．
（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长．
（2）若∠BAC=128°，求∠EAG的度数．
【答案】（1）解：∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，∴EB=EA，GA=GC．
∵BC=BE+EG+GC，∴BC=AE+EG+AG=△AEG的周长=10
（2）解：∵∠BAC=128°，∴∠B+∠C=180°－∠BAC=180°－128°=52°．
∵EB=EA，GA=GC，∴∠BAE=∠B，∠GAC=∠C，∴∠EAG=∠BAC－∠BAE－∠GAC=∠BAC－（∠B+∠C）=128°－52°=76°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质，可证得EB=EA，GA=GC，因此求出△AEG的周长就转化为线段BC的长。
（2）根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，再利用等腰三角形的性质，可得出∠BAE=∠B，∠GAC=∠C，因此可得出∠EAG=∠BAC－（∠B+∠C），计算可求解。
20．如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线． 求证：
（1）∠EAD=∠EDA．
（2）DF∥AC．
（3）∠EAC=∠B．
【答案】（1）证明：连接AE∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA；
（2）证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，
∴∠BAD=∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴DF∥AC；
（3）证明：由（1）∠EAD=∠EDA，即∠ADE=∠CAD+∠EAC，
∵∠ADE=∠BAD+∠B，∠BAD=∠CAD，
∴∠EAC=∠B．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接AE，利用线段垂直平分线的性质，可得出AE=DE，再利用等边对等角，可证得结论。
（2）根据垂直平分线的性质，可得出AF=DF，可证∠BAD=∠ADF，再利用角平分线的定义可证∠BAD=∠CAD，可推出∠ADF=∠CAD，然后利用内错角相等，两直线平行，可证得结论。
（3）由（1）∠EAD=∠EDA，即∠ADE=∠CAD+∠EAC，再利用三角形的外角性质，可证得∠ADE=∠BAD+∠B，然后由∠BAD=∠CAD，就可证得结论。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版八年级下册1.3 线段的垂直平分线 同步练习
一、单选题
1．（2018八上·秀洲期中）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连结AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（ ）
A．27 B．14 C．17 D．20
2．（2018八上·龙港期中）在 中，∠ACB=90°，斜边 的中垂线 分别交BC，AB于点D，E．已知BD=5，CD=3，则AC的长为（ ）
A．8 B．4 C． D．2
3．（2018八上·天台期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．（2018八上·柯桥期中）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC．则下列四种不同方法的作图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2018八上·慈溪期中）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，则（ ）
A．BE+CF＞EF
B．BE+CF=EF
C．BE+CF＜EF
D．BE+CF与EF的大小关 系不能确定．
6．（2018八上·无锡期中）联欢会上，A，B，C三名选手站在一个三角形三个顶点上玩抢凳子游戏，在他们中间放个木凳，谁先抢到凳子就获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当位置是△ABC的 （ ）
A．三边中线的交点 B．三边中垂线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
7．（2018八上·合浦期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，则BD的长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7 cm D．8 cm
8．（2018八上·合浦期中）如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，则AB，AC，CE的长度关系为（ ）
A．AB>AC=CE B．AB=AC>CE C．AB>AC>CE D．AB=AC=CE
9．（2018八上·衢州月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（2018·台湾）如图，坐标平面上，A，B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A，B，C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（ ）
A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7
二、填空题
11．（2018八上·灌阳期中）如图，△ABC中，AB = 5，AC = 6，BC = 4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是 ．
12．（2018八上·天台期中）如图所示， ，点 为 内一点，分别作出 点关于 、 的对称点 ， ，连接 交 于 ，交 于 ， ，则 的周长为 ， .
13．（2018八上·黄石期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AB的垂直平分线EF分別交AC、AB边于E、F点．若点O为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△BOM周长的最小值为 ．
14．（2018·成都）如图，在矩形 中，按以下步骤作图：①分别以点 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ；②作直线 交 于点 .若 ， ，则矩形的对角线 的长为 ．
三、解答题
15．（2018八上·泰州期中）两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）
16．（2018八上·惠山期中）尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵桂花树．如图，要求桂花树的位置（视为点P），到花坛的两边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．
17．（2018九上·黑龙江月考）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.
18．如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC=BC；
（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．
19．（2018八上·泗阳期中）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于F，G．
（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长．
（2）若∠BAC=128°，求∠EAG的度数．
20．如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线． 求证：
（1）∠EAD=∠EDA．
（2）DF∥AC．
（3）∠EAC=∠B．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN垂直平分BC，
∴AD=BD，
又∵△ADC的周长为10，
∴C△ADC=AD+DC+AC=10，
即BD+DC+AC=10，
∴BC+AC=10，
∵AB=7，
∴C△ABC=AB+BC+AC=7+10=17.
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=BD，再由△ADC的周长为10得BC+AC=10，根据三角形周长计算即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】∵DE为线段AB的垂直平分线，BD=5，
∴AD=BD=5，
在Rt△ACD中，CD=3，
∴ .
故答案为：B.
【分析】利用垂直平分线的性质，可证得AD=BD，即可求出AD的长，再在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长。
3．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵D为BC中点，∴CD=BD，
又∵∠BDO=∠CDO=90°，∴在△ABD和△ACD中， ，∴△ABD≌△ACD；
∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COE中， ，∴△AOE≌△COE；
在△BOD和△COD中， ，∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中， ，∴△AOC≌△AOB；
所以共有4对全等三角形，故答案为：D．
【分析】根据已知条件，可证得∠ACD=∠ABD，CD=BD，∠AEO=∠CEO，AO=CO，AE=CE，利用SAS可证△BOD≌△COD；利用SSS，可证得△ABD≌△ACD，△AOC≌△AOB，△ABD≌△ACD，继而可得出全等三角形的对数。
4．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：D选项中作的是AB的中垂线，
∴PA=PB，
∵PB+PC=BC，
∴PA+PC=BC．
故答案为：D．
【分析】根据题中已知条件，可知应该作线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质，可证得结论。
5．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，
在△BED与△CGD中，
∵ ，
∴△BED≌△CGD（SAS），
∴CG=BE，ED=DG，
又∵DE⊥DF
∴FD是EG的垂直平分线，
∴FG=EF
∵GC+CF＞FG
∴BE+CF＞EF
故答案为：A．
【分析】延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，易证△BED≌△CGD，利用全等三角形的性质，可证得CG=BE，ED=DG，再证明FD是EG的垂直平分线，就可得出FG=EF，然后根据三角形三边关系定理，可证得结论。
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故答案为：B．
【分析】分别做出三条边的垂直平分线，交点即为所求。
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CE所在直线垂直平分线段AD，
∴AC=CD=5cm，∠ACE=∠DCE，∠AEC=90°，
∵CD平分∠BCE，
∴∠ECD=∠BCD，
∴∠ACE=∠DCE=∠BCD，
∵∠ACE+∠DCE+∠BCD=∠ACB=90°
∴∠ACE=∠DCE=∠BCD=30°，
在△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=30°，∴∠A=60°，
在△ABC中，∠A=60°，∠ACB=90°，∴∠B=30°，
∴∠B=∠BCD=30°，
∴BD=CD=5cm.
故答案为：A。
【分析】根据中垂线的性质得出AC=CD=5cm，∠ACE=∠DCE，∠AEC=90°，根据角平分线的定义得出∠ECD=∠BCD，根据等量代换及角的和差即可得出∠ACE=∠DCE=∠BCD=30°，根据三角形的内角和得出∠A=60°，∠B=30°，根据等量代换得出∠B=∠BCD=30°，根据等角对等边得出BD=CD=5cm.
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是线段BC的中垂线，∴AB=AC，∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE，∴AB=AC=CE.
故答案为：AB=AC=CE
【分析】过中点且垂直的直线是线段的中垂线，根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出AB=AC，AC=CE，根据等量代换得出AB=AC=CE.
9．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，∠ABC=60°，
连接CD，BE，DE，由题意可得BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
又∵BE=DE，
∴CE是线段BD的垂直平分线，
∴BF=DF，CE⊥AB，
在Rt△BCF中，∠ABC=60°，
∴BF= ，
∴AF=AB-BF=8-2=6
故答案为B.
【分析】理解题中的作图方式是解题的关键：由“以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D”可得CB=CD；由“再分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F”可得BE=DE，则可得CE是线段BD的垂直平分线，则有AF=AB-BF=AB- .
10．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：连接AC，
由题意得，BC=OB+OC=9，
∵直线L通过P点且与AB垂直，
∴直线L是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC=9，
在Rt△AOC中，AO= =2 ，
∵a＜0，
∴a=﹣2 ，
故答案为：A．
【分析】连接AC，由已知条件可得OB、OC、BCAC的长，在直角三角形AOC中，由勾股定理可将AC的长用含a的代数式表示，则可得关于a的方程，解方程，根据a＜0可得a的值。
11．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：因为AB的垂直平分线交AC于D，由垂直平分线上的点到两端点的距离相等可知AD=BD，所以△BDC的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=6+4=10.
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AD=BD，根据三角形的周长计算方法及等量代换，线段的和差即可算出答案。
12．【答案】15；96°
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，
∴PM=P1M，PN=P2N．
∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15．
∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，
∴OA垂直平分PP1，OB垂直平分P P2
∴PM=P1M，PN=P2N．
∴∠PMN=2∠P1，∠PNM=2∠P2，
∵PP1⊥OA,PP2⊥OB,，
∴∠P2PP1=180°-∠AOB=138°,
∴∠P1+∠P2=42°
∴∠MPN=180°-42°×2=96°
故答案为：15,96°.
【分析】利用轴对称的性质，可得到PM=P1M，PN=P2N，就可证得△PMN的周长就等于P1P2的长；利用线段垂直平分线的性质，可证得PM=P1M，PN=P2N，利用等边对等角及三角形的外角的性质，易证∠PMN=2∠P1，∠PNM=2∠P2，再求出∠P1+∠P2的值，然后利用三角形内角和定理就可求出结果。
13．【答案】9
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】连接AO，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点O是BC边的中点，
∴AO⊥BC，
∴S△ABC= BC AO= ×6×AO=18，
解得AO=6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点CB于直线EF的对称点为点A，
∴BM=MA，
∵OM+BM=OM+AM≥OA，
∴AO的长为BM+MO的最小值，
∴△BOM的周长最小值=（BM+MO）+BO=AO+ BC=6+ ×6=6+3=9．
故答案为：9．
【分析】连结AO、AM，由于△ABC是等腰三角形，点O是BC边的中点，故AO⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AO的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，由OM+BM=OM+AM≥OA，可知AO的长为BM+MO的最小值，据此可解。
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】连接AE，
根据题意可知MN垂直平分AC
∴AE=CE=3
在Rt△ADE中，AD2=AE2-DE2
AD2=9-4=5
∵AC2=AD2+DC2
AC2=5+25=30
∴AC=
【分析】根据作图，可知MN垂直平分AC，根据垂直平分线的性质，可求出AE的长，再根据勾股定理可求出AD的长，然后再利用勾股定理求出AC即可。
15．【答案】解：作法：①作∠ECD的平分线CF，
②作线段AB的中垂线MN，
③MN与CF交于点P，则P就是山庄的位置．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】由于 要修建的避暑山庄，到A，B的距离必须相等 ，故山庄需要修建在线段AB的垂直平分线上，山庄到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部 ，故山庄需要修建在 ∠DCE 的角平分线上，综上所述，山庄只需要修建在线段AB的垂直平分线与 ∠DCE 的平分线的交点上即可。
16．【答案】解：（1）①分别以A、D为圆心，以大于 AD为半径画圆，两圆相交于E、F两点；
②连接EF，则EF即为线段AD的垂直平分线．
（ 2 ）①以B为圆心，以大于任意长为半径画圆，分别交AB、BC为G、H；
②分别以G、H为圆心，以大于 GH为半径画圆，两圆相交于点I，连接BI，则BI即为∠ABC的平分线．
③BI与EF相交于点P，则点P即为所求点．
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据题意，分别作出线段AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是点P的位置。
17．【答案】解：连接DE，CE，设AE=x km，则BE=(50-x) km ，在Rt△ADE中， ，∴在Rt△BCE中， ，∴CE2=102+（50-x）2，又DE=CE，∴202+x2=102+（50-x）2，解得x=22∴收购站E到A站的距离为22km。
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】根据题意，作线段CD的垂直平分线交AB于点E，连接DE、CE。设AE=x km，则BE=(50-x) km ，在Rt△ADE和Rt△BCE中，用勾股定理表示出DE和CE，再根据等量关系DE=CE列方程求解即可。
18．【答案】（1）解：如图，作AB的垂直平分线，交BC于点P，则点P即为所求；
（2）解：如图，①在BC上取点D，过点D作BC的垂线，②在垂线上取点E使DE=DB，连接EC，③作EC的垂直平分线交BC于点F；
∴Rt△DEF即为所求
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等作出AB的垂直平分线，交BC于点P，故BP=PA，根据线段的和差及等量代换由BC=BP+PC=PA+PC得出结论；
（2）在BC上任取一点D，但满足BD＜DC，过点D作BC的垂线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧交垂线于点E，连接EC，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等作出EC的垂直平分线，交CD于点F，故EF=FC，则Rt△DEF即为所求。
19．【答案】（1）解：∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，∴EB=EA，GA=GC．
∵BC=BE+EG+GC，∴BC=AE+EG+AG=△AEG的周长=10
（2）解：∵∠BAC=128°，∴∠B+∠C=180°－∠BAC=180°－128°=52°．
∵EB=EA，GA=GC，∴∠BAE=∠B，∠GAC=∠C，∴∠EAG=∠BAC－∠BAE－∠GAC=∠BAC－（∠B+∠C）=128°－52°=76°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质，可证得EB=EA，GA=GC，因此求出△AEG的周长就转化为线段BC的长。
（2）根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，再利用等腰三角形的性质，可得出∠BAE=∠B，∠GAC=∠C，因此可得出∠EAG=∠BAC－（∠B+∠C），计算可求解。
20．【答案】（1）证明：连接AE∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA；
（2）证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，
∴∠BAD=∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴DF∥AC；
（3）证明：由（1）∠EAD=∠EDA，即∠ADE=∠CAD+∠EAC，
∵∠ADE=∠BAD+∠B，∠BAD=∠CAD，
∴∠EAC=∠B．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接AE，利用线段垂直平分线的性质，可得出AE=DE，再利用等边对等角，可证得结论。
（2）根据垂直平分线的性质，可得出AF=DF，可证∠BAD=∠ADF，再利用角平分线的定义可证∠BAD=∠CAD，可推出∠ADF=∠CAD，然后利用内错角相等，两直线平行，可证得结论。
（3）由（1）∠EAD=∠EDA，即∠ADE=∠CAD+∠EAC，再利用三角形的外角性质，可证得∠ADE=∠BAD+∠B，然后由∠BAD=∠CAD，就可证得结论。
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