初中数学北师大版八年级上学期 第五章 5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式
一、单选题
1．如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：利用待定系数法分别求出两个一次函数的解析式为： 和 ，则所组成的二元一次方程组为： ，故答案为：C．
【分析】由图知，一条直线过点（0，0）和（2，3）；另一条直线过点（0，2）和点（2，3），用待定系数法可求得两条直线的解析式；则这两条直线的公共点即为这两条直线的解析式所构成的方程组的解。
2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（-1，b），
∴当x=-1时，b=-1+3=2，
∴点A的坐标为（-1，2），
∴关于x、y的方程组 的解是 .
故答案为：C．
【分析】由题意把点A（-1，b）代入解析式y=x+3可求得点A的纵坐标b的值，而点A是直线y=x+3和直线y=mx+n的交点，根据一次函数的图象和二元一次方程组之间的关系可知，联立解两条直线的解析式所构成的方程组所得的x、y的值就是点A的坐标。
3．若直线y＝3x+6与直线y＝2x+4的交点坐标为（a ， b），则解为 的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线y＝3x+6与直线y＝2x+4的交点坐标为（a ， b），
∴解为 的方程组是 ，即 ．
故答案为：C．
【分析】由一次函数的图象与二元一次方程组之间的关系可得，两条直线的交点就是联立解这两条直线的解析式所组成的方程组的解。
4．如图，过点Q（0，3）的一次函数与正比例函数y=2x的图象交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（ ）
A．3x﹣2y+3=0 B．3x﹣2y﹣3=0 C．x﹣y+3=0 D．x+y﹣3=0
【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】设一次函数的解析式为：y=kx+b，
∵点P、Q在y=kx+b的图像上，
∴ ，
解方程组得： ，
所以一次函数的解析式为：y=-x+3，即x+y-3=0，
故答案为：D
【分析】利用待定系数法，由点P、Q的坐标可求出直线PQ的函数解析式，再将函数解析式变形，就可得出答案。
5．函数y=4x﹣2与y=﹣4x﹣2的交点坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（0，2） D．（2，0）
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解方程组 ，得 ，
所以直线y=4x﹣2与y=﹣4x﹣2的交点坐标为（0，﹣2）．
故答案为：B
【分析】解出方程组的x、y的值，即为两直线的交点的坐标。
6．（2018·沙湾模拟）小明用作图象的方法解二元一次方程组时，他作出了相应的两个一次函数的图象，则他解的这个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可知，两条直线的一次项系数都是负数，且一条直线与y轴的交点在y轴的正半轴上，b为正数，另一条直线的与y轴的交点在y轴的负半轴上，b为负数，符合条件的方程组只有D.
故答案为：D.
【分析】由图中两条直线的位置分别判断每条直线的解析式中系数和常数项的正负，依此选择。
二、填空题
7．（2019八下·温岭期末）若已知方程组 的解是 ，则直线y=-kx+b与直线y=x-a的交点坐标是 。
【答案】（-1，-3）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 方程组 的解是
∴ 直线y=kx-b与直线y=-x+a的交点坐,为（-1，3）.
则直线y=-kx+b=-（ kx-b ），直线y=x-a =-（-x+a）
∴ 直线y=-kx+b与直线y=x-a的交点坐标和直线y=kx-b与直线y=-x+a的交点坐标关于x轴对称，
即为 （-1，-3）
故答案为： （-1，-3）
【分析】利用一次函数与二元一次方程组的关系，可知两一次函数的交点坐标就是两函数解析式所组成的方程组的解，再依据坐标轴对称的点的坐标特征 。可得结果。
三、解答题
8．（2018·高安模拟）甲、乙同时出发前往A地，甲、乙两人运动的路程y（米）与运动时间x的函数图象如图所示，根据图象求出发多少分钟后甲追上乙？
【答案】解：由题意设甲的解析式为：y=k1x，则有：120=8k1，解得：k1=15，
所以甲的函数解析式为y=15x，
设乙的解析式为：y=k2x+b，则有： ，解得： ，
所以乙的函数解析式为y=11x+10，
联立得： ，解得： ，
答：2.5分钟后甲追上乙．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【分析】首先根据图像，利用待定系数法，分别求出甲、乙两人运动的路程y（米）与运动时间x的函数解析式，再解联立两函数解析式的方程组，即可得出答案。
四、综合题
9．孝感市委市政府为了贯彻落实国家的“精准扶贫”战略部署，组织相关企业开展扶贫工作，博大公司为此制定了关于帮扶A、B两贫困村的计划．今年3月份决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如表：
目的地 费用 车型 A村（元/辆） B村（元/辆）
大货车 800 900
小货车 400 600
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总运费为y元；
①试求出y与x的函数解析式；
②若运往A村的鱼苗不少于108箱，请你写出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少运费．
【答案】（1）解：设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得：
，
解得： ．
故这15辆车中大货车用8辆，小货车用7辆
（2）解：y＝800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]＝100x+9400（3≤x≤8，且x为整数）．
由题意得：12x+8（10﹣x）≥108，
解得：x≥7，
又∵3≤x≤8，
∴7≤x≤8且为整数，
∵y＝100x+9400，
k＝100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝7时，y最小，
最小值为y＝100×7+9400＝10100（元）．
答：使总运费最少的调配方案是：7辆大货车、3辆小货车前往A村；1辆大货车、4辆小货车前往B村．最少运费为10100元
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；一次函数的实际应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）等量关系为：大货车的数量+小货车的数量=15；12×大货车的数量+8×小货车的数量=152.设未知数，列方程组求解即可。
（2）①根据题意列出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围；②根据运往A村的鱼苗不少于108箱，求出x的取值范围，再根据一次函数的性质，就可求出总运费最少的货车调配方案及最小运费。
10．（2017七下·台山期末）如图，在直角坐标系中，点C在直线AB上，点A、B的坐标分别是（－1，0），（1，2），点C的横坐标为2，过点B作 轴于D，过点C作 轴于E，直线BE与y轴交于点F．
（1）若 ， ，求 （用 ， 表示）；
（2）已知直线AB上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程 的解（同学们可以用点A、 的坐标进行检验），直线BE上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程 的解，求点C、F的坐标；
（3）解方程组 ，比较该方程组的解与两条直线的交点B的坐标，你得出什么结论？
【答案】（1）解：∵ 轴， 轴，∴BD∥CE∥OF，
∴ ， ，
∴
（2）解：∵点C的横坐标为2，
把 代入方程 ，
解得 ，
∴点C的坐标为（2，3）.
∵点F在y轴上，
∴点F的横坐标为0，
把 代入
，解得 ，
∴点F的坐标是（0，4）.
（3）解：方程组 的解是 .∵点B的坐标是（1，2），
∴直线AB与直线BE的交点坐标就是方程组 的解.
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质得∠DBE =∠OFE = α ， ∠ABD = ∠ACE = β，所以∠ABE= α + β.
（2）利用C点的横坐标和直线AB上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程x-y=-1的解和确定C点的纵坐标；利用点F的横坐标为0和直线BE上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程2x+y=4的解可确定点F的纵坐标.
（3）可得到结论：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.
1 / 1初中数学北师大版八年级上学期 第五章 5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式
一、单选题
1．如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
3．若直线y＝3x+6与直线y＝2x+4的交点坐标为（a ， b），则解为 的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，过点Q（0，3）的一次函数与正比例函数y=2x的图象交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（ ）
A．3x﹣2y+3=0 B．3x﹣2y﹣3=0 C．x﹣y+3=0 D．x+y﹣3=0
5．函数y=4x﹣2与y=﹣4x﹣2的交点坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（0，2） D．（2，0）
6．（2018·沙湾模拟）小明用作图象的方法解二元一次方程组时，他作出了相应的两个一次函数的图象，则他解的这个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（2019八下·温岭期末）若已知方程组 的解是 ，则直线y=-kx+b与直线y=x-a的交点坐标是 。
三、解答题
8．（2018·高安模拟）甲、乙同时出发前往A地，甲、乙两人运动的路程y（米）与运动时间x的函数图象如图所示，根据图象求出发多少分钟后甲追上乙？
四、综合题
9．孝感市委市政府为了贯彻落实国家的“精准扶贫”战略部署，组织相关企业开展扶贫工作，博大公司为此制定了关于帮扶A、B两贫困村的计划．今年3月份决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如表：
目的地 费用 车型 A村（元/辆） B村（元/辆）
大货车 800 900
小货车 400 600
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总运费为y元；
①试求出y与x的函数解析式；
②若运往A村的鱼苗不少于108箱，请你写出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少运费．
10．（2017七下·台山期末）如图，在直角坐标系中，点C在直线AB上，点A、B的坐标分别是（－1，0），（1，2），点C的横坐标为2，过点B作 轴于D，过点C作 轴于E，直线BE与y轴交于点F．
（1）若 ， ，求 （用 ， 表示）；
（2）已知直线AB上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程 的解（同学们可以用点A、 的坐标进行检验），直线BE上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程 的解，求点C、F的坐标；
（3）解方程组 ，比较该方程组的解与两条直线的交点B的坐标，你得出什么结论？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：利用待定系数法分别求出两个一次函数的解析式为： 和 ，则所组成的二元一次方程组为： ，故答案为：C．
【分析】由图知，一条直线过点（0，0）和（2，3）；另一条直线过点（0，2）和点（2，3），用待定系数法可求得两条直线的解析式；则这两条直线的公共点即为这两条直线的解析式所构成的方程组的解。
2．【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（-1，b），
∴当x=-1时，b=-1+3=2，
∴点A的坐标为（-1，2），
∴关于x、y的方程组 的解是 .
故答案为：C．
【分析】由题意把点A（-1，b）代入解析式y=x+3可求得点A的纵坐标b的值，而点A是直线y=x+3和直线y=mx+n的交点，根据一次函数的图象和二元一次方程组之间的关系可知，联立解两条直线的解析式所构成的方程组所得的x、y的值就是点A的坐标。
3．【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线y＝3x+6与直线y＝2x+4的交点坐标为（a ， b），
∴解为 的方程组是 ，即 ．
故答案为：C．
【分析】由一次函数的图象与二元一次方程组之间的关系可得，两条直线的交点就是联立解这两条直线的解析式所组成的方程组的解。
4．【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】设一次函数的解析式为：y=kx+b，
∵点P、Q在y=kx+b的图像上，
∴ ，
解方程组得： ，
所以一次函数的解析式为：y=-x+3，即x+y-3=0，
故答案为：D
【分析】利用待定系数法，由点P、Q的坐标可求出直线PQ的函数解析式，再将函数解析式变形，就可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解方程组 ，得 ，
所以直线y=4x﹣2与y=﹣4x﹣2的交点坐标为（0，﹣2）．
故答案为：B
【分析】解出方程组的x、y的值，即为两直线的交点的坐标。
6．【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可知，两条直线的一次项系数都是负数，且一条直线与y轴的交点在y轴的正半轴上，b为正数，另一条直线的与y轴的交点在y轴的负半轴上，b为负数，符合条件的方程组只有D.
故答案为：D.
【分析】由图中两条直线的位置分别判断每条直线的解析式中系数和常数项的正负，依此选择。
7．【答案】（-1，-3）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 方程组 的解是
∴ 直线y=kx-b与直线y=-x+a的交点坐,为（-1，3）.
则直线y=-kx+b=-（ kx-b ），直线y=x-a =-（-x+a）
∴ 直线y=-kx+b与直线y=x-a的交点坐标和直线y=kx-b与直线y=-x+a的交点坐标关于x轴对称，
即为 （-1，-3）
故答案为： （-1，-3）
【分析】利用一次函数与二元一次方程组的关系，可知两一次函数的交点坐标就是两函数解析式所组成的方程组的解，再依据坐标轴对称的点的坐标特征 。可得结果。
8．【答案】解：由题意设甲的解析式为：y=k1x，则有：120=8k1，解得：k1=15，
所以甲的函数解析式为y=15x，
设乙的解析式为：y=k2x+b，则有： ，解得： ，
所以乙的函数解析式为y=11x+10，
联立得： ，解得： ，
答：2.5分钟后甲追上乙．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【分析】首先根据图像，利用待定系数法，分别求出甲、乙两人运动的路程y（米）与运动时间x的函数解析式，再解联立两函数解析式的方程组，即可得出答案。
9．【答案】（1）解：设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得：
，
解得： ．
故这15辆车中大货车用8辆，小货车用7辆
（2）解：y＝800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]＝100x+9400（3≤x≤8，且x为整数）．
由题意得：12x+8（10﹣x）≥108，
解得：x≥7，
又∵3≤x≤8，
∴7≤x≤8且为整数，
∵y＝100x+9400，
k＝100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝7时，y最小，
最小值为y＝100×7+9400＝10100（元）．
答：使总运费最少的调配方案是：7辆大货车、3辆小货车前往A村；1辆大货车、4辆小货车前往B村．最少运费为10100元
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；一次函数的实际应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）等量关系为：大货车的数量+小货车的数量=15；12×大货车的数量+8×小货车的数量=152.设未知数，列方程组求解即可。
（2）①根据题意列出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围；②根据运往A村的鱼苗不少于108箱，求出x的取值范围，再根据一次函数的性质，就可求出总运费最少的货车调配方案及最小运费。
10．【答案】（1）解：∵ 轴， 轴，∴BD∥CE∥OF，
∴ ， ，
∴
（2）解：∵点C的横坐标为2，
把 代入方程 ，
解得 ，
∴点C的坐标为（2，3）.
∵点F在y轴上，
∴点F的横坐标为0，
把 代入
，解得 ，
∴点F的坐标是（0，4）.
（3）解：方程组 的解是 .∵点B的坐标是（1，2），
∴直线AB与直线BE的交点坐标就是方程组 的解.
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质得∠DBE =∠OFE = α ， ∠ABD = ∠ACE = β，所以∠ABE= α + β.
（2）利用C点的横坐标和直线AB上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程x-y=-1的解和确定C点的纵坐标；利用点F的横坐标为0和直线BE上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程2x+y=4的解可确定点F的纵坐标.
（3）可得到结论：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.
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