苏教版高中数学必修一3.4.2函数模型及其应用
一、单选题
1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：根据题意，函数解析式为 y=1.104x，（x＞0）函数为偶函数，底数1.104＞1，
故答案为：D
【分析】利用指数函数模型得出函数的解析式，即可得出结论。
2．已知函数f(x)=,且f(a)=-3, 则f(6-a)=( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：由题意知：a≤1时，2a-1-2=-3，无解
a＞1时，-log2（a+1）=-3，a=7
f（6-a）=f（-1）=2-1-1-2=-
故答案为：A
【分析】对分段函数求值间题，先根据题中条件确定自变量的范围，确定代入得函数解析式，再代入求解，若不能确定，则需要分类讨论;若是已知函数值求自变量，先根据函数值确定自变量所在的区间，若不能确定，则分类讨论，化为混合组求解.
3．（2018·全国Ⅰ卷文）设函数 ，则满足f(x+1)A．(-∞，-1] B．(0，+∞) C．(-1，0) D．(-∞，0)
【答案】D
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】函数 图象如图：
满足f（x+1）﹤f（2x）
可得： 或
解得：(-∞，0)
故答案为：D
【分析】由分段函数的单调性将函数不等式去掉f（ ），得到关于x的不等式，解不等式求出x的范围.
4．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=（e=2.718...为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0℃的保鲜时间设计192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时.（ ）
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．21小时
【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】由题意： ， ∴ ， e k = 1/ 2 ， 所以x=33时， y= e 33 k + b =( e 11 k )3· e b = x192=24.
【分析】这是一个函数应用题，利用条件可求出参数k、b，但在实际应用中往往是利用整体代换求解（不要总是想把参数求出来）.本题利用整体代换，使问题大大简化.
5．三个变量 ， ， 随着变量 的变化情况如下表：
则关于 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量 随 的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快， 随 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间， 随 的变化符合此规律， 故答案为：C.
【分析】根据题意结合图表的数值利用指数函数、对数函数以及幂函数的单调性即可得出结论。
6．某商店将进价为40元的商品按50元一件销售，一个月恰好卖500件，而价格每提高1元，就会少卖10个，商店为使该商品利润最大，应将每件商品定价为（ ）
A．50元 B．60元 C．70元 D．100元
【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：设销售定价为a元，那么就是提高了（a﹣50）元，则销售件数减少10（a﹣50）个，所以一个月能卖出的个数是[500﹣10（a﹣50）]，每单位商品的利润的是（a﹣40）元，
则一个月的利润y=（a﹣40）[500﹣10（a﹣50）]=﹣10a2+1400a﹣40000=﹣10（a﹣70）2+9000，
∴当a=70时，y取得最大值9000，
∴当定价为70时，能获得最大的利润9000元，
故选：C．
【分析】设售价，利用销售额减去成本等于利润，构建函数，利用配方法，即可求得结论．
7．某医药研究所研发出一种新药，成年人按规定的剂量服用后，据检测，每毫升血液中的含药量y（mg）与时间t（h）之间的关系如图所示．据进一步测定，当每毫升血液中的含药量不少于0.25mg时，治疗疾病有效，则服药一次，治疗疾病有效的时间为（ ）
A．4 h B．4 h C．4 h D．5 h
【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：由已知图象，得y= ，
当0≤t≤1时，令4t≥ ，得 ≤t≤1；
当t＞1时，令（ ）t﹣3≥ ，得1＜t≤5．
综上可知 ≤t≤5，即治疗疾病有效的时间为5﹣ =4 （h）．
故选：C．
【分析】本小题选择分段函数模型解决．先由图得出服药后每毫升血液中的含药量的函数表达式，再利用所得函数式列出不等关系，通过解不等式即可求得服药一次治疗该疾病有效的时间．
8．甲、乙两个工厂2015年1月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加，且每月增长的产值相同；乙厂的产值也逐月增加，且每月增长的百分率相同，已知2016年1月份的产值又相等，则2016年7月份产值（ ）
A．甲厂高 B．乙厂高
C．甲、乙两厂相等 D．甲、乙两厂高低无法确定
【答案】A
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：设甲厂的产值每月增加的产值为 x，x＞0，则n个月的增产的百分率为 ，
则n+1个月的增产的百分率为 ，由于 ＜ ，故甲厂的增长率逐月增大．
由于2016年1月份的产值相等，故2016年1月份之前，甲厂的增长率小于乙厂 的增长率，
2016年1月份之后，甲厂的增长率大于乙厂 的增长率，故2016年7月份产值高的工厂是甲厂．
故选A．
【分析】设甲厂的产值每月增加的产值为 x，则n个月的增产的百分率为 ，甲厂的增长率逐月增大，根据2016年1月份之后，甲厂的增长率大于乙厂 的增长率，从而得出结论．
9．（2018高一上·佛山期末）如图，直线 与单位圆相切于点 ，射线 从 出发，绕着点 逆时针旋转，在旋转的过程中，记 （ ）， 所经过的单位圆 内区域（阴影部分）的面积为 ，记 ，则下列选项判断正确的是（ ）
A．当 时，
B．对任意 ，且 ，都有
C．对任意 ，都有
D．对任意 ，都有
【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】对于 ，当 ，故错误；对于 ，由题可知对于任意 ， 为增函数，所以 与 的正负相同，则 ，故错误；对于 ，由 ，得对于任意 ，都有 ；对于 ，当 时， ，故错误.
故答案为：C
【分析】根据题干中所给的已知条件，结合图像选择对应的函数模型进行分析。属于困难题。
10．某厂一月份的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元，设月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．95=15（1+x）2 B．15（1+x）3=95
C．15（1+x）+15（1+x）2=95 D．15+15（1+x）+15（1+x）2=95
【答案】D
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】二月份的产值为：15（1+x），
三月份的产值为：15（1+x）（1+x）=15（1+x）2，
故第一季度总产值为：15+15（1+x）+15（1+x）2=95．
故选D．
【分析】本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
11．幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】幂函数的实际应用
【解析】解答：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M
N ，分别代入y=xα，y=xβ
故选A．
分析：先根据题意结合图形确定M、N的坐标，然后分别代入y=xα，y=xβ求得α，β；最后再求αβ的值即得．
二、填空题
12．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
y2 1 4 9 16 25 36 49 64 …
y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 …
其中，关于x呈指数函数变化的函数是 ．
【答案】
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象可知变量y1呈指数型函数变化，故填y1.
【分析】利用指数函数的特征，即可判断。
13．（2017·南京模拟）设常数k＞1，函数y=f（x）= ，则f（x）在区间[0，2）上的取值范围为 ．
【答案】（﹣1，0]∪（﹣4k，﹣k]
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：当x∈[1，2）时，x﹣1∈[0，1），据此可得： ，
故 ，
据此可得函数f（x）在区间[0，1），[1，2）上单调递减，
当x=1时： ， ，
当x=0时： ，
当x=2时： ，
据此可得f（x）在区间[0，2）上的取值范围为：（﹣1，0]∪（﹣4k，﹣k]．
故答案为：（﹣1，0]∪（﹣4k，﹣k]．
【分析】根据分段函数的定义，求出的解析式，分析可知，在分别的区间内均是单调递减，求出各区间的值域，再取并集
14．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为 元．
【答案】304200
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：设每辆车的月租金定为X元，
则租赁公司的月收益：
Y=（X﹣200）×[100﹣ （X﹣3000）]
=（X﹣200）*（160﹣ ）
=﹣ （X2﹣8200X+1600000）
=﹣ （X2﹣8200X+16810000）+ ×15210000
=﹣（X﹣4100）2+304200
当每辆车的月租金定为4100元时，
租赁公司的月收益最大，最大月收益是304200元．
故答案为：304200．
【分析】设每辆车的月租金定为X元，则租赁公司的月收益：Y=（X﹣200）×[100﹣ （X﹣3000）]，由此能求出结果．
三、解答题
15．（2017高一上·高邮期中）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨．
（1）求y关于x的函数；
（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．
【答案】（1）解：由题意知，x≥0，令5x=5，得x=1；令3x=5，得x= ．
则当0≤x≤1时，
y=（5x+3x）×2.6=20.8x
当1＜x≤ 时，
y=5×2.6+（5x﹣5）×4+3x×2.6=27.8x﹣7，
当x＞ 时，
y=（5+5）×2.6+（5x+3x﹣5﹣5）×4=32x﹣14；
即得y=
（2）解：由于y=f（x）在各段区间上均单增，
当x∈[0，1]时，y≤f（1）=20.8＜34.7；
当x∈（1， ]时，y≤f（ ）≈39.3＞34.7；
令27.8x﹣7=34.7，得x=1.5，
所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=5×2.6+2.5×4=23元
乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=4.5×2.6=11.7元
【知识点】分段函数的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得函数解析式。（2）根据已知选择函数的解析式利用单调性求出答案。
16．（2017高一上·南通开学考）某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入（单位：万元）函数为：R（x）=5x﹣ x2（0≤x≤5），其中x是产品生产的数量（单位：百台）．
（1）将利润表示为产量的函数；
（2）年产量是多少时，企业所得利润最大？
【答案】（1）解：依题意，得：
利润函数G（x）=F（x）﹣R（x）=（5x﹣ x2）﹣（0.5+0.25x）=﹣ x2+4.75x﹣0.5 （其中0≤x≤5）；
（2）利润函数G（x）=﹣ x2+4.75x﹣0.5（其中0≤x≤5），
当x=4.75时，G（x）有最大值；
所以，当年产量为475台时，工厂所得利润最大．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】由题中提供的式子得出利润函数G（x）=F（x）﹣R（x）=（5x﹣ 1 2 x2）﹣（0.5+0.25x）=﹣ 1 2 x2+4.75x﹣0.5 （其中0≤x≤5），根据二次函数的最值，当x取对称轴时开口向下的有最大值。
17．（2017高一上·鞍山期中）某水果店购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价P（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为 ，销售量Q（kg）与时间t（天）的函数关系式为Q=﹣2t+120．
（Ⅰ）该水果店哪一天的销售利润最大？最大利润是多少？
（Ⅱ）为响应政府“精准扶贫”号召，该店决定每销售1kg水果就捐赠n（n∈N）元给“精准扶贫”对象．欲使捐赠后不亏损，且利润随时间t（t∈N）的增大而增大，求捐赠额n的值．
【答案】解：（Ⅰ）设利润为y（元），则 ，当t=10时，ymax=1250，即第十天的销售利润最大，最大利润为1250元．（Ⅱ）设捐赠后的利润为W（元）则 = ，令W=f（t），则二次函数f（t）的图象开口向下，对称轴t=2n+10，∵利润随时间t（t∈N）的增大而增大，且捐赠后不亏损，∴ ，解得n=10
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知条件可得到利润y的函数解析式，再利用二次函数配方得出当t=10时，ymax=1250。（Ⅱ）由题意可得 W的函数解析式，把该函数视为关于t的二次函数，由二次函数图象的性质可得出，由题意捐赠后不亏损得出，进而得到n的值。
18．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就减少5件，问他将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所赚的利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：设每件x元出售，利润是y元．
y=（x﹣8）[100﹣（x﹣10）×5]=﹣5x2+190x﹣1200=﹣5（x﹣19）2+605（x＞10），
故当x=19，即每件定为19元时，最大利润为605元
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】日利润=销售量×每件利润．每件利润为x﹣8元，销售量为100﹣5（x﹣10），据此得关系式．
19．（2017高三上·常州开学考）我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）=8+ （千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143﹣|x﹣22|（元）．
（1）求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1≤x≤30，x∈N*）的函数关系；
（2）若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？
【答案】（1）解：依据题意，有p（x）=f （x） g（x）= （1≤x≤30，x∈N*）
=
（2）1°当1≤x≤22，x∈N*时，p（x）=8x+ +976≥2 +976=1152（当且仅当x=11时，等号成立），因此，p（x）min=p（11）=1152（千元）．
2°当22＜x≤30，x∈N*时，p（x）= ．
求导可得p′（x）＜0，所以p（x）= 在（22，30]上单调递减，
于是p（x）min=p（30）=1116（千元）．
又1152＞1116，所以日最低收入为1116千元．
该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（万元），
因803.52万元＞800万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】1、由题意可得 p（x）=f （x） g（x）=，得到分段函数的解析式。
2、若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，选择合适的解析式第一种情况当1≤x≤22，x∈N*时再根据基本不等式求得最小值当且仅当x=11时，等号成立。第二种情况当22＜x≤30，x∈N*时，求导得到p′（x）＜0根据单调性在区间（22，30]上单调递减求得最小值1116千元，又1152＞1116，所以日最低收入为1116千元，再由1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（万元），根据实际情况该村两年内能收回全部投资资金。
20．（2018·上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间 的表达式；讨论 的单调性，并说明其实际意义。
【答案】（1）根据 分段通勤时间可知：当公交群体人的通勤时间少于自驾时间有下列不等式2x+ -90>40(30有x2-65x+900>0，(x-45)(x-20)>0，故x>45或x<20(舍)，综上100>x>45，即45（2）设该地上班族总人数为n，则自驾人数为n·x％，乘公交人数为n·（1-x％），因此人均通勤时间 ，整理得，
则当 ，即 时， 单调递减；
当 时， 单调递增。实际意义：当有32.5％的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短。适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降。
【知识点】分段函数的应用
【解析】【分析】本题主要考查实际应用题的理解，对于实际应用题，注重理解和阅读能力的考查，近几年高考卷加强了对于读题能力的考查。本题主要是讨论现实生活中的出勤问题，结合当前城市治理的热点问题，注意在思考和下结论的时候应该考虑实际情况。
21．（2013·上海理）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣ ）元．
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【答案】（1）解：生产该产品2小时获得的利润为100（5x+1﹣ ）×2=200（5x+1﹣ ）
根据题意，200（5x+1﹣ ）≥3000，即5x2﹣14x﹣3≥0
∴x≥3或x≤﹣
∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；
（2）解：设利润为 y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100（5x+1﹣ ）×
=90000（ ）=9×104[ + ]
∵1≤x≤10，∴x=6时，取得最大利润为 =457500元
故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；（2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润．
22．（2017高三上·烟台期中）某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，1＜x≤12）满足：当1＜x≤4时，y=a（x﹣3）2+ ，（a，b为常数）；当4＜x≤12时，y= ﹣100．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．
（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
（2）若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大．（ ≈2.65）
【答案】（1）解：由题意：
x=2时y=800，∴a+b=800，
又∵x=3时y=150，∴b=300，可得a=500
∴y=
（2）解：由题意：
f（x）=y（x﹣1）= ，
当1＜x≤4时，
f（x）=500（x﹣3）2（x﹣1）+300=500x3﹣3500x2+7500x﹣4200，
f'（x）=500（3x﹣5）（x﹣3），
∴由f′（x）＞0，得 ＜x＜3，
∴f（x）在（1， ），（3，4）上递增，在（ ，3）上递减，
∵f（ ）= +450＜f（4）=1800，
∴当x=4时时有最大值，f（4）=1800
当4＜x≤12时，
f（x）=（ ﹣100）（x﹣1）=2900﹣（100x+ ）≤2900﹣400 ≈1840，
当且仅当100x= ，即x=2 ≈5.3时取等号，
∴x=5.3时有最大值1840，
∵1800＜1840，
∴当x=5.3时f（x）有最大值1840
即当销售价格为5.3元的值，使店铺所获利润最大
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件代入函数解析式得到两个方程组即可解出未知数的值，得到函数的方程。（2）利用导数求函数的最值，构造了一个不改变函数增减性的函数来化简计算，在得出函数增减区间后应注意结合定义区间来求解实际问题的最值问题。
23．某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）结合图，求k与a的值；
（2）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）；
（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？
【答案】解：（1）由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点（1，4），所以k=4，
其解析式为y=4t，0≤t≤1；
当t≥1时，函数的解析式为y=，
此时M（1，4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4=，解得a=3；
（2）由（1）知，f（t）=；
（3）由（2）知，令f（t）≥0.5，即
∴．
答：（1）k=4，a=3；（2）函数关系式为f（t）=；（3）服药一次治疗有效的时间范围为 ．
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，由于两段函数均过M（1，4），故我们可将M点代入函数的解析式，即可求出参数值；
（2）利用（1）的结论，即可得到函数的解析式．
（3）构造不等式f（t）≥0.25，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即服药一次治疗有效的时间范围．
24．某林场去年年末有森林木材量为a，木材以每年25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x．从今年起，为了实现到第20年年末木材的存有量达到4a的目标，则x的最大值是多少？（取lg2=0.30）
【答案】解：∵去年年末有森林木材量为a，木材以每年25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，∴第20年末木材存有量为==由题设，可得解得x=所以每年砍伐的量最大值是 ．
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【分析】根据每年木材的存量=原有的量+增长的量﹣砍伐的量，即可建立方程，从而可得结论．
25．某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y=k at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后在过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）
【答案】解：（1）当0≤t＜1时，y=8t；
当t≥1时，把A（1，8）、B（7，1）代入y=kat，得，解得，
故
（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则，解得t=5，即第一次服药后5h后服第二次药，也即上午11：00服药；
（3）第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：
含第二次服药量为：
所以此时两次服药剩余的量为
故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由图象知，0≤t＜1时函数的解析式是一个线段，再结合函数y=k at（t≥1，a＞0，k，a是常数）即可得到函数的解析式；
（2）根据（1）中所求出的解析式建立不等式y≥2，解此不等式计算出第二次吃药的时间即可；
（3）根据所求出的函数解析式分别计算出两次吃药的剩余量，两者的和即为病人血液中的含药量．
1 / 1苏教版高中数学必修一3.4.2函数模型及其应用
一、单选题
1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数f(x)=,且f(a)=-3, 则f(6-a)=( )
A． B． C． D．
3．（2018·全国Ⅰ卷文）设函数 ，则满足f(x+1)A．(-∞，-1] B．(0，+∞) C．(-1，0) D．(-∞，0)
4．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=（e=2.718...为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0℃的保鲜时间设计192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时.（ ）
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．21小时
5．三个变量 ， ， 随着变量 的变化情况如下表：
则关于 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
6．某商店将进价为40元的商品按50元一件销售，一个月恰好卖500件，而价格每提高1元，就会少卖10个，商店为使该商品利润最大，应将每件商品定价为（ ）
A．50元 B．60元 C．70元 D．100元
7．某医药研究所研发出一种新药，成年人按规定的剂量服用后，据检测，每毫升血液中的含药量y（mg）与时间t（h）之间的关系如图所示．据进一步测定，当每毫升血液中的含药量不少于0.25mg时，治疗疾病有效，则服药一次，治疗疾病有效的时间为（ ）
A．4 h B．4 h C．4 h D．5 h
8．甲、乙两个工厂2015年1月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加，且每月增长的产值相同；乙厂的产值也逐月增加，且每月增长的百分率相同，已知2016年1月份的产值又相等，则2016年7月份产值（ ）
A．甲厂高 B．乙厂高
C．甲、乙两厂相等 D．甲、乙两厂高低无法确定
9．（2018高一上·佛山期末）如图，直线 与单位圆相切于点 ，射线 从 出发，绕着点 逆时针旋转，在旋转的过程中，记 （ ）， 所经过的单位圆 内区域（阴影部分）的面积为 ，记 ，则下列选项判断正确的是（ ）
A．当 时，
B．对任意 ，且 ，都有
C．对任意 ，都有
D．对任意 ，都有
10．某厂一月份的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元，设月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．95=15（1+x）2 B．15（1+x）3=95
C．15（1+x）+15（1+x）2=95 D．15+15（1+x）+15（1+x）2=95
11．幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题
12．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
y2 1 4 9 16 25 36 49 64 …
y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 …
其中，关于x呈指数函数变化的函数是 ．
13．（2017·南京模拟）设常数k＞1，函数y=f（x）= ，则f（x）在区间[0，2）上的取值范围为 ．
14．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为 元．
三、解答题
15．（2017高一上·高邮期中）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨．
（1）求y关于x的函数；
（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．
16．（2017高一上·南通开学考）某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入（单位：万元）函数为：R（x）=5x﹣ x2（0≤x≤5），其中x是产品生产的数量（单位：百台）．
（1）将利润表示为产量的函数；
（2）年产量是多少时，企业所得利润最大？
17．（2017高一上·鞍山期中）某水果店购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价P（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为 ，销售量Q（kg）与时间t（天）的函数关系式为Q=﹣2t+120．
（Ⅰ）该水果店哪一天的销售利润最大？最大利润是多少？
（Ⅱ）为响应政府“精准扶贫”号召，该店决定每销售1kg水果就捐赠n（n∈N）元给“精准扶贫”对象．欲使捐赠后不亏损，且利润随时间t（t∈N）的增大而增大，求捐赠额n的值．
18．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就减少5件，问他将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所赚的利润最大？最大利润是多少？
19．（2017高三上·常州开学考）我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）=8+ （千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143﹣|x﹣22|（元）．
（1）求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1≤x≤30，x∈N*）的函数关系；
（2）若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？
20．（2018·上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间 的表达式；讨论 的单调性，并说明其实际意义。
21．（2013·上海理）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣ ）元．
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
22．（2017高三上·烟台期中）某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，1＜x≤12）满足：当1＜x≤4时，y=a（x﹣3）2+ ，（a，b为常数）；当4＜x≤12时，y= ﹣100．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．
（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
（2）若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大．（ ≈2.65）
23．某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）结合图，求k与a的值；
（2）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）；
（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？
24．某林场去年年末有森林木材量为a，木材以每年25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x．从今年起，为了实现到第20年年末木材的存有量达到4a的目标，则x的最大值是多少？（取lg2=0.30）
25．某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y=k at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后在过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：根据题意，函数解析式为 y=1.104x，（x＞0）函数为偶函数，底数1.104＞1，
故答案为：D
【分析】利用指数函数模型得出函数的解析式，即可得出结论。
2．【答案】A
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：由题意知：a≤1时，2a-1-2=-3，无解
a＞1时，-log2（a+1）=-3，a=7
f（6-a）=f（-1）=2-1-1-2=-
故答案为：A
【分析】对分段函数求值间题，先根据题中条件确定自变量的范围，确定代入得函数解析式，再代入求解，若不能确定，则需要分类讨论;若是已知函数值求自变量，先根据函数值确定自变量所在的区间，若不能确定，则分类讨论，化为混合组求解.
3．【答案】D
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】函数 图象如图：
满足f（x+1）﹤f（2x）
可得： 或
解得：(-∞，0)
故答案为：D
【分析】由分段函数的单调性将函数不等式去掉f（ ），得到关于x的不等式，解不等式求出x的范围.
4．【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】由题意： ， ∴ ， e k = 1/ 2 ， 所以x=33时， y= e 33 k + b =( e 11 k )3· e b = x192=24.
【分析】这是一个函数应用题，利用条件可求出参数k、b，但在实际应用中往往是利用整体代换求解（不要总是想把参数求出来）.本题利用整体代换，使问题大大简化.
5．【答案】C
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量 随 的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快， 随 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间， 随 的变化符合此规律， 故答案为：C.
【分析】根据题意结合图表的数值利用指数函数、对数函数以及幂函数的单调性即可得出结论。
6．【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：设销售定价为a元，那么就是提高了（a﹣50）元，则销售件数减少10（a﹣50）个，所以一个月能卖出的个数是[500﹣10（a﹣50）]，每单位商品的利润的是（a﹣40）元，
则一个月的利润y=（a﹣40）[500﹣10（a﹣50）]=﹣10a2+1400a﹣40000=﹣10（a﹣70）2+9000，
∴当a=70时，y取得最大值9000，
∴当定价为70时，能获得最大的利润9000元，
故选：C．
【分析】设售价，利用销售额减去成本等于利润，构建函数，利用配方法，即可求得结论．
7．【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：由已知图象，得y= ，
当0≤t≤1时，令4t≥ ，得 ≤t≤1；
当t＞1时，令（ ）t﹣3≥ ，得1＜t≤5．
综上可知 ≤t≤5，即治疗疾病有效的时间为5﹣ =4 （h）．
故选：C．
【分析】本小题选择分段函数模型解决．先由图得出服药后每毫升血液中的含药量的函数表达式，再利用所得函数式列出不等关系，通过解不等式即可求得服药一次治疗该疾病有效的时间．
8．【答案】A
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：设甲厂的产值每月增加的产值为 x，x＞0，则n个月的增产的百分率为 ，
则n+1个月的增产的百分率为 ，由于 ＜ ，故甲厂的增长率逐月增大．
由于2016年1月份的产值相等，故2016年1月份之前，甲厂的增长率小于乙厂 的增长率，
2016年1月份之后，甲厂的增长率大于乙厂 的增长率，故2016年7月份产值高的工厂是甲厂．
故选A．
【分析】设甲厂的产值每月增加的产值为 x，则n个月的增产的百分率为 ，甲厂的增长率逐月增大，根据2016年1月份之后，甲厂的增长率大于乙厂 的增长率，从而得出结论．
9．【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】对于 ，当 ，故错误；对于 ，由题可知对于任意 ， 为增函数，所以 与 的正负相同，则 ，故错误；对于 ，由 ，得对于任意 ，都有 ；对于 ，当 时， ，故错误.
故答案为：C
【分析】根据题干中所给的已知条件，结合图像选择对应的函数模型进行分析。属于困难题。
10．【答案】D
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】二月份的产值为：15（1+x），
三月份的产值为：15（1+x）（1+x）=15（1+x）2，
故第一季度总产值为：15+15（1+x）+15（1+x）2=95．
故选D．
【分析】本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
11．【答案】A
【知识点】幂函数的实际应用
【解析】解答：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M
N ，分别代入y=xα，y=xβ
故选A．
分析：先根据题意结合图形确定M、N的坐标，然后分别代入y=xα，y=xβ求得α，β；最后再求αβ的值即得．
12．【答案】
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象可知变量y1呈指数型函数变化，故填y1.
【分析】利用指数函数的特征，即可判断。
13．【答案】（﹣1，0]∪（﹣4k，﹣k]
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：当x∈[1，2）时，x﹣1∈[0，1），据此可得： ，
故 ，
据此可得函数f（x）在区间[0，1），[1，2）上单调递减，
当x=1时： ， ，
当x=0时： ，
当x=2时： ，
据此可得f（x）在区间[0，2）上的取值范围为：（﹣1，0]∪（﹣4k，﹣k]．
故答案为：（﹣1，0]∪（﹣4k，﹣k]．
【分析】根据分段函数的定义，求出的解析式，分析可知，在分别的区间内均是单调递减，求出各区间的值域，再取并集
14．【答案】304200
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：设每辆车的月租金定为X元，
则租赁公司的月收益：
Y=（X﹣200）×[100﹣ （X﹣3000）]
=（X﹣200）*（160﹣ ）
=﹣ （X2﹣8200X+1600000）
=﹣ （X2﹣8200X+16810000）+ ×15210000
=﹣（X﹣4100）2+304200
当每辆车的月租金定为4100元时，
租赁公司的月收益最大，最大月收益是304200元．
故答案为：304200．
【分析】设每辆车的月租金定为X元，则租赁公司的月收益：Y=（X﹣200）×[100﹣ （X﹣3000）]，由此能求出结果．
15．【答案】（1）解：由题意知，x≥0，令5x=5，得x=1；令3x=5，得x= ．
则当0≤x≤1时，
y=（5x+3x）×2.6=20.8x
当1＜x≤ 时，
y=5×2.6+（5x﹣5）×4+3x×2.6=27.8x﹣7，
当x＞ 时，
y=（5+5）×2.6+（5x+3x﹣5﹣5）×4=32x﹣14；
即得y=
（2）解：由于y=f（x）在各段区间上均单增，
当x∈[0，1]时，y≤f（1）=20.8＜34.7；
当x∈（1， ]时，y≤f（ ）≈39.3＞34.7；
令27.8x﹣7=34.7，得x=1.5，
所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=5×2.6+2.5×4=23元
乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=4.5×2.6=11.7元
【知识点】分段函数的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得函数解析式。（2）根据已知选择函数的解析式利用单调性求出答案。
16．【答案】（1）解：依题意，得：
利润函数G（x）=F（x）﹣R（x）=（5x﹣ x2）﹣（0.5+0.25x）=﹣ x2+4.75x﹣0.5 （其中0≤x≤5）；
（2）利润函数G（x）=﹣ x2+4.75x﹣0.5（其中0≤x≤5），
当x=4.75时，G（x）有最大值；
所以，当年产量为475台时，工厂所得利润最大．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】由题中提供的式子得出利润函数G（x）=F（x）﹣R（x）=（5x﹣ 1 2 x2）﹣（0.5+0.25x）=﹣ 1 2 x2+4.75x﹣0.5 （其中0≤x≤5），根据二次函数的最值，当x取对称轴时开口向下的有最大值。
17．【答案】解：（Ⅰ）设利润为y（元），则 ，当t=10时，ymax=1250，即第十天的销售利润最大，最大利润为1250元．（Ⅱ）设捐赠后的利润为W（元）则 = ，令W=f（t），则二次函数f（t）的图象开口向下，对称轴t=2n+10，∵利润随时间t（t∈N）的增大而增大，且捐赠后不亏损，∴ ，解得n=10
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知条件可得到利润y的函数解析式，再利用二次函数配方得出当t=10时，ymax=1250。（Ⅱ）由题意可得 W的函数解析式，把该函数视为关于t的二次函数，由二次函数图象的性质可得出，由题意捐赠后不亏损得出，进而得到n的值。
18．【答案】解：设每件x元出售，利润是y元．
y=（x﹣8）[100﹣（x﹣10）×5]=﹣5x2+190x﹣1200=﹣5（x﹣19）2+605（x＞10），
故当x=19，即每件定为19元时，最大利润为605元
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】日利润=销售量×每件利润．每件利润为x﹣8元，销售量为100﹣5（x﹣10），据此得关系式．
19．【答案】（1）解：依据题意，有p（x）=f （x） g（x）= （1≤x≤30，x∈N*）
=
（2）1°当1≤x≤22，x∈N*时，p（x）=8x+ +976≥2 +976=1152（当且仅当x=11时，等号成立），因此，p（x）min=p（11）=1152（千元）．
2°当22＜x≤30，x∈N*时，p（x）= ．
求导可得p′（x）＜0，所以p（x）= 在（22，30]上单调递减，
于是p（x）min=p（30）=1116（千元）．
又1152＞1116，所以日最低收入为1116千元．
该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（万元），
因803.52万元＞800万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】1、由题意可得 p（x）=f （x） g（x）=，得到分段函数的解析式。
2、若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，选择合适的解析式第一种情况当1≤x≤22，x∈N*时再根据基本不等式求得最小值当且仅当x=11时，等号成立。第二种情况当22＜x≤30，x∈N*时，求导得到p′（x）＜0根据单调性在区间（22，30]上单调递减求得最小值1116千元，又1152＞1116，所以日最低收入为1116千元，再由1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（万元），根据实际情况该村两年内能收回全部投资资金。
20．【答案】（1）根据 分段通勤时间可知：当公交群体人的通勤时间少于自驾时间有下列不等式2x+ -90>40(30有x2-65x+900>0，(x-45)(x-20)>0，故x>45或x<20(舍)，综上100>x>45，即45（2）设该地上班族总人数为n，则自驾人数为n·x％，乘公交人数为n·（1-x％），因此人均通勤时间 ，整理得，
则当 ，即 时， 单调递减；
当 时， 单调递增。实际意义：当有32.5％的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短。适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降。
【知识点】分段函数的应用
【解析】【分析】本题主要考查实际应用题的理解，对于实际应用题，注重理解和阅读能力的考查，近几年高考卷加强了对于读题能力的考查。本题主要是讨论现实生活中的出勤问题，结合当前城市治理的热点问题，注意在思考和下结论的时候应该考虑实际情况。
21．【答案】（1）解：生产该产品2小时获得的利润为100（5x+1﹣ ）×2=200（5x+1﹣ ）
根据题意，200（5x+1﹣ ）≥3000，即5x2﹣14x﹣3≥0
∴x≥3或x≤﹣
∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；
（2）解：设利润为 y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100（5x+1﹣ ）×
=90000（ ）=9×104[ + ]
∵1≤x≤10，∴x=6时，取得最大利润为 =457500元
故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；（2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润．
22．【答案】（1）解：由题意：
x=2时y=800，∴a+b=800，
又∵x=3时y=150，∴b=300，可得a=500
∴y=
（2）解：由题意：
f（x）=y（x﹣1）= ，
当1＜x≤4时，
f（x）=500（x﹣3）2（x﹣1）+300=500x3﹣3500x2+7500x﹣4200，
f'（x）=500（3x﹣5）（x﹣3），
∴由f′（x）＞0，得 ＜x＜3，
∴f（x）在（1， ），（3，4）上递增，在（ ，3）上递减，
∵f（ ）= +450＜f（4）=1800，
∴当x=4时时有最大值，f（4）=1800
当4＜x≤12时，
f（x）=（ ﹣100）（x﹣1）=2900﹣（100x+ ）≤2900﹣400 ≈1840，
当且仅当100x= ，即x=2 ≈5.3时取等号，
∴x=5.3时有最大值1840，
∵1800＜1840，
∴当x=5.3时f（x）有最大值1840
即当销售价格为5.3元的值，使店铺所获利润最大
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件代入函数解析式得到两个方程组即可解出未知数的值，得到函数的方程。（2）利用导数求函数的最值，构造了一个不改变函数增减性的函数来化简计算，在得出函数增减区间后应注意结合定义区间来求解实际问题的最值问题。
23．【答案】解：（1）由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点（1，4），所以k=4，
其解析式为y=4t，0≤t≤1；
当t≥1时，函数的解析式为y=，
此时M（1，4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4=，解得a=3；
（2）由（1）知，f（t）=；
（3）由（2）知，令f（t）≥0.5，即
∴．
答：（1）k=4，a=3；（2）函数关系式为f（t）=；（3）服药一次治疗有效的时间范围为 ．
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，由于两段函数均过M（1，4），故我们可将M点代入函数的解析式，即可求出参数值；
（2）利用（1）的结论，即可得到函数的解析式．
（3）构造不等式f（t）≥0.25，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即服药一次治疗有效的时间范围．
24．【答案】解：∵去年年末有森林木材量为a，木材以每年25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，∴第20年末木材存有量为==由题设，可得解得x=所以每年砍伐的量最大值是 ．
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【分析】根据每年木材的存量=原有的量+增长的量﹣砍伐的量，即可建立方程，从而可得结论．
25．【答案】解：（1）当0≤t＜1时，y=8t；
当t≥1时，把A（1，8）、B（7，1）代入y=kat，得，解得，
故
（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则，解得t=5，即第一次服药后5h后服第二次药，也即上午11：00服药；
（3）第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：
含第二次服药量为：
所以此时两次服药剩余的量为
故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由图象知，0≤t＜1时函数的解析式是一个线段，再结合函数y=k at（t≥1，a＞0，k，a是常数）即可得到函数的解析式；
（2）根据（1）中所求出的解析式建立不等式y≥2，解此不等式计算出第二次吃药的时间即可；
（3）根据所求出的函数解析式分别计算出两次吃药的剩余量，两者的和即为病人血液中的含药量．
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