2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册1.230°，45°，60°角的三角函数值 同步练习
一、单选题
1．（2018·大庆）2cos60°=（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2018·阜宁模拟）在△ABC中，∠C＝90°， ，那么∠B的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．30°或60°
3．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB﹣ |+（2cosA﹣1）2=0，则△ABC是（ ）
A．直角（不等腰）三角形 B．等边三角形
C．等腰（不等边）三角形 D．等腰直角三角形
4．（2018·日照）计算：（ ）﹣1+tan30° sin60°=（ ）
A．﹣ B．2 C． D．
5．（2018·贵阳）如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2018·攀枝花）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2018·绍兴模拟）α为锐角，当 无意义时，sin（α+15°）+cos（α﹣15°）的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2018·沧州模拟）若关于x的方程x2﹣ x+sina=0有两个相等的实数根，则锐角a为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
9．（2018·建邺模拟）若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（ ）
A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜4
10．（2018·嘉兴模拟）小明沿着坡比为1： 的山坡向上走了600m，则他升高了（ ）
A． m B．200 m C．300 m D．200m
二、填空题
11．（2018·淮南模拟）坡角为α=60°，则坡度i= ．
12．（2018九下·江阴期中）如图，∠A＝120°，在边AN上取B，C，使AB＝BC．点P为边AM上一点，将△APB沿PB折叠，使点A落在角内点E处，连接CE，则sin(∠BPE＋∠BCE)＝
13．（2018·西华模拟）关于x的一元二次方程x2－ x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α＝ ．
14．（2018·通城模拟）如图，在矩形ABCD中，把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，则tan∠ADF=
15．因为sin 30°= 210°=- ，所以sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°；因为sin 60°= ，sin 240°=- ，所以sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°；由此猜想、推理知：一般地，当α为锐角时，有sin(180°+α)=-sin α；由此可知sin 225°= .
16．（2018九上·北京期末）规定：sin（－x）＝－sinx，cos（－x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx·cosy＋cosx·siny．据此判断下列等式成立的是 （填序号）．
①cos（－60°）＝—cos60°=
②sin75°＝sin（30°+45°）=sin30°·cos45°+cos30°·sin45°=
③sin2x＝sin（x+x）＝sinx·cosx+cosx·sinx＝2sinx·cosx；
④sin（x－y）＝sinx·cosy－cosx·siny．
三、解答题
17．（2018·毕节）计算：
18．（2018九下·潮阳月考）热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为45°，已知楼高是120m，热气球若要飞越高楼，问至少要继续上升多少米？（结果保留根号）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：A．
【分析】根据60°角的余弦值计算即可．
2．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵ ，
∴∠A=60°.
∵∠C＝90°，
∴∠B=90°-60°=30°.
【分析】根据特殊锐角的三角函数值得出∠A=60°.再根据三角形的内角和即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵|tanB﹣ |+（2cosA﹣1）2=0，
∴tanB= ，2cosA=1，
则∠B=60°，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：B．
【分析】根据绝对值的非负性偶次幂的非负性，由几个数的和为0，则这几个数都为0，即可得出tanB= ，2cosA=1，再根据特殊锐角三角函数值即可得出∠B=60°，∠A=60°，进而根据等边三角形的判定方法得出△ABC是等边三角形。
4．【答案】C
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】（ ）﹣1+tan30° sin60°
=2+
=2+
= ，
故答案为：C．
【分析】根据负指数的意义，特殊锐角三角函数值，分别化简，再根据实数的运算法则，算出答案。
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图，连接BC，
由网格可得AB=BC= ，AC= ，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故答案为：B．
【分析】连接BC，借助方格纸的特点，利用勾股定理算出AC，BC，AB的长，根据勾股定理的逆定理判断出△ABC为等腰直角三角形，根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图所示：过点C作CD⊥y轴于点D．
∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠OAB=90°．
∵∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DCA=∠OAB．又∵∠CDA=∠AOB=90°，∴△CDA∽△AOB，∴ =tan30°，则 ，故y= x+1（x＞0），则选项C符合题意．
故答案为：C
【分析】如图所示：过点C作CD⊥y轴于点D．根据同角的余角相等得出∠DCA=∠OAB吗，然后判断出△CDA∽△AOB，根据相似三角形对应边成比例及正切函数的定义得出 =tan30°，特殊锐角三角函数值，列出方程，从而得出函数关系式，根据所得函数的类型即可作出判断。
7．【答案】A
【知识点】分式有意义的条件；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：根据题意得1-tanα=0
∴α=45°
∴sin（α+15°）+cos（α﹣15°）=
=sin60°+cos30°=+=
故答案为：A
【分析】根据分式无意义，则分母＝0，得出1-tanα=0，求出α，然后将α代入sin（α+15°）+cos（α﹣15°），化简即可。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】根据题意得△=（﹣ ）2﹣4sinα=0，
解得sinα= ，
所以锐角α=30°．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式可得△==0，解得sinα=，根据特殊角的锐角三角函数值可得α=30°．
9．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
∵tan45°=1，tan60°= ，
∴1＜tan55°＜ ，
∴1＜tan55°＜2.
故答案为：B.
【分析】利用特殊角的三角函数值，分别得出tan45°和tan60°的值，就可得出a的取值范围。
10．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，
∵坡度：i=1： ，
∴tan∠A= ，
∴∠A=30°，
=1000m，
∴BE= AB=300（m）．
∴他升高了300m．
故答案为：C
【分析】根据题意画出图形，根据AB的坡度求出∠A的度数，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解。
11．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：坡度i=tanα=tan60°= ．故答案为： ．
【分析】根据坡度就是坡角的正切值，再根据特殊锐角三角函数即可得出答案。
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解 ：∵△APB沿PB折叠，得到△PEB，
∴∠APB=∠BPE，AB=BE，∠BEP=∠A=120 ，
∵AB=BC，
∴BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴∠BPE+∠BCE=∠APB+∠BEC，
∵∠BPE+∠BCE+∠APB+∠BEC=360 ∠A ∠BEP=120 ，
∴∠BPE+∠BCE=60 ，
∴sin(∠BPE＋∠BCE)＝sin60°=
【分析】根据翻折的性质得出∠APB=∠BPE，AB=BE，∠BEP=∠A=120 ，根据等量代换得出BC=BE，根据等边对等角得出∠BEC=∠BCE，从而根据等式的性质得出∠BPE+∠BCE=∠APB+∠BEC，由四边形的内角和得出∠BPE+∠BCE=60 ，根据特殊锐角值得出答案。
13．【答案】30°
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】由题意得b2-4ac=0，即 ，
∴ ，∴α=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据题意可知b2-4ac=0，建立方程求解即可。
14．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，
∴AD=ED=AE，∠ADF=∠EDF= ∠ADE，
∴△DAE的等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADF=30°，
∴tan∠ADF= ，
故答案为： ．
【分析】根据翻折的性质由把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，得出AD=ED=AE，∠ADF=∠EDF= ∠ADE，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△DAE的等边三角形，根据等边三角形的三内角等于60°，得出∠ADF=30°，根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。
15．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin 225°=sin(180°+45°)=-sin 45°= 。
故答案为：.
【分析】根据材料，发现大于180°也有正弦值，将这样的角拆成180°与另一个角的和，此时sin(180°+α)=-sin α。
16．【答案】②③④
【知识点】特殊角的三角函数值；定义新运算
【解析】【解答】：①cos（-60°）=cos60°= ，命题错误；
②sin75°=sin（30°+45°）=sin30° cos45°+cos30° sin45°
× + = ，命题正确；
③sin2x=sinx cosx+cosx sinx=2sinx cosx，命题正确；
④sin（x-y）=sinx cos（-y）+cosx sin（-y）=sinx cosy-cosx siny，命题正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据cos（－x）＝cosx，可知①错误；根据sin（x+y）＝sinx·cosy＋cosx·siny，可对②③④作出判断。即可得出答案。
17．【答案】解：原式=﹣3﹣2 + ﹣1+ ﹣1=﹣5
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据负指数的意义，二次根式的性质，0指数的意义，绝对值的意义，特殊锐角三角函数值，分别化简，再根据实数的运算算出结果。
18．【答案】解:设BD=x米，则CD=（120-x）米因为∠DAC=45°所以AD=CD=（120-x）米∠BAD=30°答：热气球若要飞越高楼，至少要继续上升
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】将实际问题转化为数学问题，可知∠DAC=45°，∠BAD=30°，BC=120，因此设BD=x米，则CD=（120-x）米，在Rt△ADC中，可表示出AD的长，再在Rt△ABD中，利用解直角三角形,建立关于x的方程，求解即可。
1 / 12018-2019学年初中数学浙教版九年级下册1.230°，45°，60°角的三角函数值 同步练习
一、单选题
1．（2018·大庆）2cos60°=（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：A．
【分析】根据60°角的余弦值计算即可．
2．（2018·阜宁模拟）在△ABC中，∠C＝90°， ，那么∠B的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．30°或60°
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵ ，
∴∠A=60°.
∵∠C＝90°，
∴∠B=90°-60°=30°.
【分析】根据特殊锐角的三角函数值得出∠A=60°.再根据三角形的内角和即可得出答案。
3．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB﹣ |+（2cosA﹣1）2=0，则△ABC是（ ）
A．直角（不等腰）三角形 B．等边三角形
C．等腰（不等边）三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵|tanB﹣ |+（2cosA﹣1）2=0，
∴tanB= ，2cosA=1，
则∠B=60°，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：B．
【分析】根据绝对值的非负性偶次幂的非负性，由几个数的和为0，则这几个数都为0，即可得出tanB= ，2cosA=1，再根据特殊锐角三角函数值即可得出∠B=60°，∠A=60°，进而根据等边三角形的判定方法得出△ABC是等边三角形。
4．（2018·日照）计算：（ ）﹣1+tan30° sin60°=（ ）
A．﹣ B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】（ ）﹣1+tan30° sin60°
=2+
=2+
= ，
故答案为：C．
【分析】根据负指数的意义，特殊锐角三角函数值，分别化简，再根据实数的运算法则，算出答案。
5．（2018·贵阳）如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图，连接BC，
由网格可得AB=BC= ，AC= ，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故答案为：B．
【分析】连接BC，借助方格纸的特点，利用勾股定理算出AC，BC，AB的长，根据勾股定理的逆定理判断出△ABC为等腰直角三角形，根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。
6．（2018·攀枝花）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图所示：过点C作CD⊥y轴于点D．
∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠OAB=90°．
∵∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DCA=∠OAB．又∵∠CDA=∠AOB=90°，∴△CDA∽△AOB，∴ =tan30°，则 ，故y= x+1（x＞0），则选项C符合题意．
故答案为：C
【分析】如图所示：过点C作CD⊥y轴于点D．根据同角的余角相等得出∠DCA=∠OAB吗，然后判断出△CDA∽△AOB，根据相似三角形对应边成比例及正切函数的定义得出 =tan30°，特殊锐角三角函数值，列出方程，从而得出函数关系式，根据所得函数的类型即可作出判断。
7．（2018·绍兴模拟）α为锐角，当 无意义时，sin（α+15°）+cos（α﹣15°）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：根据题意得1-tanα=0
∴α=45°
∴sin（α+15°）+cos（α﹣15°）=
=sin60°+cos30°=+=
故答案为：A
【分析】根据分式无意义，则分母＝0，得出1-tanα=0，求出α，然后将α代入sin（α+15°）+cos（α﹣15°），化简即可。
8．（2018·沧州模拟）若关于x的方程x2﹣ x+sina=0有两个相等的实数根，则锐角a为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】根据题意得△=（﹣ ）2﹣4sinα=0，
解得sinα= ，
所以锐角α=30°．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式可得△==0，解得sinα=，根据特殊角的锐角三角函数值可得α=30°．
9．（2018·建邺模拟）若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（ ）
A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜4
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
∵tan45°=1，tan60°= ，
∴1＜tan55°＜ ，
∴1＜tan55°＜2.
故答案为：B.
【分析】利用特殊角的三角函数值，分别得出tan45°和tan60°的值，就可得出a的取值范围。
10．（2018·嘉兴模拟）小明沿着坡比为1： 的山坡向上走了600m，则他升高了（ ）
A． m B．200 m C．300 m D．200m
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，
∵坡度：i=1： ，
∴tan∠A= ，
∴∠A=30°，
=1000m，
∴BE= AB=300（m）．
∴他升高了300m．
故答案为：C
【分析】根据题意画出图形，根据AB的坡度求出∠A的度数，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解。
二、填空题
11．（2018·淮南模拟）坡角为α=60°，则坡度i= ．
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：坡度i=tanα=tan60°= ．故答案为： ．
【分析】根据坡度就是坡角的正切值，再根据特殊锐角三角函数即可得出答案。
12．（2018九下·江阴期中）如图，∠A＝120°，在边AN上取B，C，使AB＝BC．点P为边AM上一点，将△APB沿PB折叠，使点A落在角内点E处，连接CE，则sin(∠BPE＋∠BCE)＝
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解 ：∵△APB沿PB折叠，得到△PEB，
∴∠APB=∠BPE，AB=BE，∠BEP=∠A=120 ，
∵AB=BC，
∴BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴∠BPE+∠BCE=∠APB+∠BEC，
∵∠BPE+∠BCE+∠APB+∠BEC=360 ∠A ∠BEP=120 ，
∴∠BPE+∠BCE=60 ，
∴sin(∠BPE＋∠BCE)＝sin60°=
【分析】根据翻折的性质得出∠APB=∠BPE，AB=BE，∠BEP=∠A=120 ，根据等量代换得出BC=BE，根据等边对等角得出∠BEC=∠BCE，从而根据等式的性质得出∠BPE+∠BCE=∠APB+∠BEC，由四边形的内角和得出∠BPE+∠BCE=60 ，根据特殊锐角值得出答案。
13．（2018·西华模拟）关于x的一元二次方程x2－ x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α＝ ．
【答案】30°
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】由题意得b2-4ac=0，即 ，
∴ ，∴α=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据题意可知b2-4ac=0，建立方程求解即可。
14．（2018·通城模拟）如图，在矩形ABCD中，把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，则tan∠ADF=
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，
∴AD=ED=AE，∠ADF=∠EDF= ∠ADE，
∴△DAE的等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADF=30°，
∴tan∠ADF= ，
故答案为： ．
【分析】根据翻折的性质由把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，得出AD=ED=AE，∠ADF=∠EDF= ∠ADE，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△DAE的等边三角形，根据等边三角形的三内角等于60°，得出∠ADF=30°，根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。
15．因为sin 30°= 210°=- ，所以sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°；因为sin 60°= ，sin 240°=- ，所以sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°；由此猜想、推理知：一般地，当α为锐角时，有sin(180°+α)=-sin α；由此可知sin 225°= .
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin 225°=sin(180°+45°)=-sin 45°= 。
故答案为：.
【分析】根据材料，发现大于180°也有正弦值，将这样的角拆成180°与另一个角的和，此时sin(180°+α)=-sin α。
16．（2018九上·北京期末）规定：sin（－x）＝－sinx，cos（－x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx·cosy＋cosx·siny．据此判断下列等式成立的是 （填序号）．
①cos（－60°）＝—cos60°=
②sin75°＝sin（30°+45°）=sin30°·cos45°+cos30°·sin45°=
③sin2x＝sin（x+x）＝sinx·cosx+cosx·sinx＝2sinx·cosx；
④sin（x－y）＝sinx·cosy－cosx·siny．
【答案】②③④
【知识点】特殊角的三角函数值；定义新运算
【解析】【解答】：①cos（-60°）=cos60°= ，命题错误；
②sin75°=sin（30°+45°）=sin30° cos45°+cos30° sin45°
× + = ，命题正确；
③sin2x=sinx cosx+cosx sinx=2sinx cosx，命题正确；
④sin（x-y）=sinx cos（-y）+cosx sin（-y）=sinx cosy-cosx siny，命题正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据cos（－x）＝cosx，可知①错误；根据sin（x+y）＝sinx·cosy＋cosx·siny，可对②③④作出判断。即可得出答案。
三、解答题
17．（2018·毕节）计算：
【答案】解：原式=﹣3﹣2 + ﹣1+ ﹣1=﹣5
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据负指数的意义，二次根式的性质，0指数的意义，绝对值的意义，特殊锐角三角函数值，分别化简，再根据实数的运算算出结果。
18．（2018九下·潮阳月考）热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为45°，已知楼高是120m，热气球若要飞越高楼，问至少要继续上升多少米？（结果保留根号）
【答案】解:设BD=x米，则CD=（120-x）米因为∠DAC=45°所以AD=CD=（120-x）米∠BAD=30°答：热气球若要飞越高楼，至少要继续上升
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】将实际问题转化为数学问题，可知∠DAC=45°，∠BAD=30°，BC=120，因此设BD=x米，则CD=（120-x）米，在Rt△ADC中，可表示出AD的长，再在Rt△ABD中，利用解直角三角形,建立关于x的方程，求解即可。
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