高三数学三轮冲刺资料集合与逻辑用语，函数与导数

专题一 集合与常用逻辑用语、函数与导数
考向预测
从近几年的高考趋势看，本专题考查的重点是集合的基本运算、充要条件的判断、函数的基本性质及其应用、函数的零点、导数在研究函数的单调性和极值中的应用、导数在研究方程和不等式中的应用，考查的形式是用选择题或者填空题考查集合、常用逻辑用语、函数性质和导数的几何意义的基础知识和方法，用解答题考查导数在研究函数问题中的综合运用，其中集合和常用逻辑用语的试题难度不大，大部分函数和导数的基础试题难度也不大，但少数函数的试题难度较大，解答题中的导数在函数中的综合应用试题也具有一定的难度．由于该专题的绝大多数内容都是传统的高中数学教学内容，在考查上已经基本稳定(难度稳定、考查重点稳定、考查的分值稳定)。
考题规律
(1)以选择题或者填空题的形式考查集合的基本关系和基本运算，考查中涉及函数的概念、性质、不等式的解、方程的解等问题．
(2)以选择题或者填空题的方式考查逻辑用语的知识，其中重点是充要条件的判断和含有一个量词的命题的否定．
(3)以选择题或者填空题的方式考查基本初等函数及其应用，重点是函数定义域、值域，函数的单调性和奇偶性的应用，指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的应用，函数的零点判断，简单的函数建模，导数的几何意义的应用．
(4)以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值，以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模．
应考策略
(1)集合：集合的基本内容是概念、基本关系和运算，高考考查的重点是集合的运算，其中要特别注意区分集合的含义，即集合表达的究竟是什么，注意数形结合在集合问题中的应用．
(2)常用逻辑用语：该部分的基本内容是四种命题及其关系、充要条件、逻辑联结词和量词，只要把其中的基础知识掌握即可．
(3)基本初等函数和函数的应用：在掌握好基础知识的前提下重点掌握函数性质在实际问题中的综合应用、在判断函数零点中的应用，指数函数、对数函数的图象和性质的应用，数形结合思想的应用．
(4)导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系．由于函数的极值和最值的求解是以函数的单调性为前提的，因此要重点掌握导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类思想的一个主要命题点)，在掌握好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究的训练，这是高考命制压轴题的一个考查点．
第1讲　集合与常用逻辑用语
知识梳理
1．集合
(1)元素的特征：确定性、互异性、无序性。
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．
(3)集合与集合之间的关系：
子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)．
真子集：若A?B，且A≠B，则AB．
空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，??B(B≠?)．
若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．
集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B.
(5)集合的运算：
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，?UA＝{x|x∈U且x?A}
2．四种命题及其关系
(1)四种命题：“若p，则q”的命题，其逆命题是“若q，则p”，否命题是“若p，则q”，逆否命题是“若q，则p”．
(2)四种命题之间的关系：
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；一个命题的逆命题与它的否命题同真同假．
3．充要条件
(1)充要条件：若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p?q，则p，q互为充要条件．
(2)充要条件与集合：设命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p?q等价于A?B，p?q等价于A＝B.
4．逻辑联结词
(1)逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
(2)含有逻辑联结词的命题真假：命题p∨q，只要p，q有一为真，即为真命题，换言之，只有p，q均为假命题时才为假；命题p∧q，只有p，q均为真命题时才为真，换言之，只要p，q有一为假，即为假命题；p和p为一真一假两个互为对立的命题．
(3)或命题和且命题的否定：命题p∨q的否定是(p)∧(q)；命题p∧q的否定是(p)∨(q)．
5．量词
(1)全称量词与存在量词：常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等；常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等；全称量词用符号“?”表示；存在量词用符号“?”表示．
(2)全称命题和特称命题．
(3)含有一个量词的命题的否定：“?x∈M，p(x)”的否定为“?x∈M， p(x)”；“?x∈M，p(x)”的否定为“?x∈M，p(x)”．
题型分析
考点一集合的关系及其运算
命题研究：集合的交、并、补的基本运算常与一次不等式、含绝对值的不等式、一元二次不等式与函数定义域相结合命题.
【例1】? （1）(2012·新课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　)．
A．3 B．6 C．8 D．10
【解析】　列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．
答案　D
（2） (2012·浙江)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(?RB)＝(　　)．
A．(1,4) B． (3,4)
C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)
【解析】　因为?RB＝{x|x＞3或x＜－1}，所以A∩(?RB)＝{x|3＜x＜4}．
答案　B
（3） (2012·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)·(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
【解析】　解不等式得集合A、B，再利用交集建立方程求解．因为|x＋2|＜3，即－5＜x＜1，所以A＝(－5,1)，又A∩B≠?，所以m＜1，B＝(m,2)，由A∩B＝(－1，n)得m＝－1，n＝1.
答案　－1　1
【点评】 集合的交、并、补的运算是高考一种常考的题型，解题时要认真分析题目中给定的条件，求出对应的各个集合对应的元素．
[押题1] 设集合M＝{x|x2＋x－6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝(　　)．
A．[1,2) B．[1,2]
C．(2,3] D．[2,3]
【解析】 [M＝{x|x2＋x－6＜0}＝{x|－3＜x＜2}，由图
知：M∩N＝{x|1≤x＜2}．]
答案：A　
[押题2] 已知A?B，A?C，B＝{1,2,3,5}，C＝{0,2,4,8}，则A可以是(　　)
A．{1,2} B．{2,4}
C．{2} D．{4}
【解析】 由A?B，A?C可知，A中的元素在集B与C中，由于2∈B,2∈C，故正确答案为C.
答案：C
考点二四种命题和充要条件的判断
命题研究：四种命题p∧q、p∨q、p及全称命题、特称命题真假的判断，一般命题p和含一个量词的命题p的否定问题是常用逻辑用语的重点，也是高考考查的热点.
【例2】?[2011·山东卷] 已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　)
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
【解析】 否命题是把原命题条件和结论分别否定，也就是分别对a＋b＋c＝3和a2＋b2＋c2≥3进行否定即可A　由于等于的否定是不等于，大于或者等于的否定是小于，故已知命题的否命题是选项A中的命题
答案:A
【点评】 一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于，也不是单纯的小于．
[押题] 设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(　　)
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
【解析】 利用原命题和逆命题之间的关系“如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆命题．即原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p”，故答案为D.
答案：D
【例3】? (2012·辽宁)已知命题p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则p是(　　)．
A．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．?x1，x2∈R， (f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
D．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
【解析】　利用“全称命题的否定是特称命题”求解．命题p的否定为“?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0”．
答案　C
【点评】 (1)“或”“且”连接两个命题，这两个命题的真假确定了“或”命题和“且”命题的真假，其中“或”命题是一真即真，且命题是一假即假，“非”是对一个命题的否定，命题与其“非”命题一真一假；(2)命题的否定和否命题不同，否命题是同时否定命题的条件和结论，而命题的否定仅否定结论，但要修改对应的量词，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
[押题] 下列说法正确的是(　　)．
A．函数f(x)＝ax＋1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(0,1)
B．函数f(x)＝xα(α＜0)在其定义域上是减函数
C．命题“?x∈R，x2＋x＋1＜0”的否定是：“?x∈R，x2＋x＋1＞0”
D．给定命题p、q，若p是假命题，则“p或q”为真命题
【解析】对于选项A，函数f(x)＝ax＋1的图象恒过定点(0,2)，故A错误；对于选项B，当α＝－1时结论错误，故B错误；对于选项C，命题“?x∈R，x2＋x＋1＜0”的否定是：“?x∈R，x2＋x＋1≥0”C错误．故选D.]
答案：D　
【例4】? (2012·山东)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的(　　)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　若函数f(x)＝ax在R上为减函数，则有0＜a＜1；若函数g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数，则有0＜a＜1或1＜a＜2，所以“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件，选A.
答案　A
【点评】 对充分、必要条件的判断或探求要注意以下几点：(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指：A能推出B，且B不能推出A.(2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)要注意转化：如果p是q的充分不必要条件，那么p是q的必要不充分条件，同理，如果p是q的必要不充分条件，那么p是q的充分不必要条件，如果p是q的充要条件，那么p是q的充要条件.
[押题4] 已知α，β的终边在第一象限，则“α＞β ”是“sin α＞sin β ”的(　　)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin 390°＝sin 30°＝＜sin 60°＝，故sin α＞sin β不成立；当sin α＞sin β时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sin α＞sin β ”的既不充分也不必要条件，故选D.
答案：D
规律与方法
1．解答集合有关问题，正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键，其次要注意元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，对于复杂问题，熟练运用数形结合思想，利用韦恩图、数轴、函数的图象来帮助和理解有关集合之间的关系，进行集合运算，从而进一步提高自己的抽象思维与形象思维能力．
2．命题的四种形式是专门对形如“若p，则q”的命题的，这个命题的逆命题、否命题和逆否命题都是形式上的命题，其中含有两组等价的命题，即原命题与其逆否命题，逆命题和否命题，但是一个命题与它的否命题的真假没有必然的联系，但是一个命题与这个命题的否定是互相对立、一真一假的．
3．判断充要条件的主要方法是其定义，在一些问题中也可以根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．
4．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决
定的，解答这类试题首先把其中的基本命题的真假判断
准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．
5．特称命题的否定是全称命题、全称命题的否定是特称命题
经典作业
1.（2011·湖南卷） 设全集U＝M∪N＝{1,2，3,4,5}，M∩?UN＝{2,4}，则N＝(　　)
A．{1,2,3} B．{1,3,5}
C．{1,4,5} D．{2,3,4}
[答案]B　
【解析】 (排除法)由M∩?UN＝{2,4}，说明N中一定不含有元素2,4，故可以排除A、C、D，故选B.
2.(2010·湖北理)设集合A＝{(x，y)|＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案]　A
[解析]　结合椭圆＋＝1的图像及y＝3x的图像可知，共有两个交点，故A∩B子集的个数为4.
3.(2010·安徽理)若集合A＝，则?RA＝(　　)
A．(－∞，0]∪ B.
C．(－∞，0]∪ D.
[答案]　A
[解析]　logx≥，∴0?RA＝(－∞，0]∪(，＋∞)，故选A.
4. (2011·济南高三期中)设集合S＝{x||x－2|>3}，T＝{x|aA．－3C．a≤－3或a≥－1 D．a<－3或a>－1
[答案]　A
[解析]　S＝{x|x>5或x<－1}，
∵S∪T＝R，∴，∴－35. (2010·湖南理)下列命题中的假命题是(　　)
A．?x∈R,2x－1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0
C．?x∈R，lgx<1 D．?x∈R，tanx＝2
[答案]　B
[解析]　对于B选项，x＝1时，(x－1)2＝0，故不正确．
6. (2010·山东)设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的(　　)．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析]　a1＜a2且a1＞0，则a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，则数列{an}递增；反之亦然．
7. (人教A版教材习题改编)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}，则m＝________.
[答案]　2　
[解析]　A∪B＝{1,3，m}∪{3,4}＝{1,2,3,4}，
∴2∈{1,3，m}，∴m＝2.
8. (2010·安徽文)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________．
[答案]　对?x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.
[解析]　该题考查命题的否定．注意特称命题的否定是全称命题．
9. 已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－lnx－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax－8－6a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(－∞，－4]∪
[解析]　命题p：a≤x2－lnx在[1,2]上恒成立，
令f(x)＝x2－lnx，f′(x)＝x－＝，
当10，∴f(x)min＝f(1)＝，
∴a≤.命题q：Δ＝4a2－4(－8－6a)≥0，∴a≥－2或a≤－4，综上，a的取值范围为(－∞，－4]∪.
10. (2011·广东联考)设集合A＝{x|x2<4}，B＝.
(1)求集合A∩B；
(2)若不等式2x2＋ax＋b<0的解集是B，求a，b的值．
[解析]　A＝{x|x2<4}＝{x|－2B＝＝＝{x|－3(1)A∩B＝{x|－2(2)∵2x2＋ax＋b<0的解集为B＝{x|－3∴－3和1为方程2x2＋ax＋b＝0的两根，
∴∴a＝4，b＝－6.
11. 设p：≤，q：关于x的不等式x2－4x＋m2≤0的解集是空集，试确定实数m的取值范围，使得p∨q为真命题，p∧q为假命题．
[解析]　≤化为≤0，∴0≤m<3.
∵不等式x2－4x＋m2≤0的解集为?，∴Δ＝16－4m2<0，∴m<－2或m>2.
∵p∨q真，p∧q假，∴p与q有且仅有一个为真．
当p成立而q不成立时，0≤m≤2.
当p不成立而q成立时，m<－2或m≥3.
综上所述，m∈(－∞，－2)∪[0,2]∪[3，＋∞)．
12. 已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，若命题p是真命题、命题q是假命题，求a的取值范围．
[解析]　∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根
∴
∴|x1－x2|＝＝
∴当m∈[－1,1]时，|x1－x2|max＝3.
由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立，可得：a2－5a－3≥3
∴a≥6或a≤－1`
∴命题p为真命题时a≥6或a≤－1
命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解
①当a>0时，显然有解
②当a＝0时，2x－1>0有解
③当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解
∴Δ＝4＋4a>0，∴－1从而命题p：不等式ax2＋2x－1>0有解时a>－1
又命题q是假命题，∴a≤－1
故命题p是真命题且命题q是假命题时
a的取值范围为a≤－1.
第二讲函数、基本初等函数的图象与性质
知识梳理
1．函数的概念及其表示
(1)函数包含对应关系、定义域和值域三要素．
(2)函数的表示法有图象法、列表法和解析式法．
2．函数的性质
(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．
(2)奇偶性：偶函数图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．奇偶性是函数在定义域上的整体性质．
(3)周期性：对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则称f(x)为周期函数，T是它的一个周期．周期性是函数在定义域上的整体性质．
3．函数的图象
(1)指数函数、对数函数、幂函数、一次函数、二次函数等初等函数的图象可以使用描点法作出．
(2)函数的图象变换主要是平移变换、伸缩变换和对称变换．
4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(注意根据图象记忆性质)
(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质分01两种情况，注意两种情况的公共性质．
(2)对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质分01两种情况，注意两种情况的公共性质，在对数计算中要特别注意对数恒等式和对数的换底公式．
(3)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况，只需掌握α＝－1,1，，2,3时幂函数的图象和性质即可．
题型分析
考点一考查函数的定义域、值域与分段函数
命题研究：1.函数的定义域和值域，一般和一次不等式、一元二次不等式、指数不等式、对数不等式的求解相结合.,2.对函数解析式的考查常考查分段函数求值.
【例1】（1）? (2012·江苏)函数f(x)＝的定义域为________．
解析　由1－2log6x≥0得，log6x≤，解得0＜x≤.
答案　(0，]
（2）(2010·重庆文)函数y＝的值域是(　　)
A．[0，＋∞) B．[0,4]
C．[0,4) D．(0,4)
[答案]　C
[解析]　本题考查函数的值域的求法以及换元的方法．
令u＝16－4x，则y＝，u≥0，
因为4x>0，－4x<0，所以0≤16－4x<16
∴y＝∈[0,4)，故选C.
点评：函数定义域、值域是高考常考的题型，求函数定义域的主要依据是(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.
而此题抓住对数对数的真数要大于零，同时二次根式要大于或等于零；求值域主要利用换元法，但一定要注意新元的定义域是换元部分的值域。
【例2】? (2012·江西)若函数f(x)＝则f(f(10))＝(　　)．
A．lg 101 B．2 C．1 D．0
解析　f(10)＝lg10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝1＋1＝2.
答案　B
点评：分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，如本例中，需分x≤1和x＞1，同时它也是复合函数，先算出f(10)的值，然后再算出f(f(10))＝f(1)的值。
[押题1] 函数f(x)＝ln(x2－3x＋2)的定义域为________．
解析　由x2－3x＋2＞0得x＞2或x＜1.
答案　(－∞，1)∪(2，＋∞)
[押题2] 已知函数f(x)＝则f(log23)＝(　　)．
A．1 B. C. D.
答案：D　[因为log23＜4，所以f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log26)，同理得f(log26)＝f(log26＋1)＝f(log212)＝f(log224)，而log224＞log216＝4，所以f(log23)＝log224＝2－log224＝.]
考点二考查函数的奇偶性、单调性与周期性
命题研究：1.函数的奇偶性，一般和含参的函数相结合，涉及函数的奇偶性的判断，函数图象的对称性，以及与其有关的综合计算.,2.函数的单调性，一般考查单调性的判定，单调区间的探求、单调性的应用等.
【例3】（1）? (2012·重庆)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的(　　)．
A．既不充分也不必要的条件
B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件
D．充要条件
解析　由题意可知函数在[0,1]上是增函数，在[－1,0]上是减函数，在[3,4]上也是减函数；反之也成立，选D.
答案　D
（2）? (2012·上海)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
解析　利用复合函数的单调性的判定法则，结合函数图象求解．因为y＝eu是R上的增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，只需u＝|x－a|在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a≤1.
答案　(－∞，1]
（3）? (特例法)(2012·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．
解析　因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，从而＝－a＋1,3a＋2b＝－2.①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，故b＝－2a.②
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
答案　－10
【点评】 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性，以及函数图象的对称性，另外奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称，这是函数奇偶性的重要特征．
[押题1] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，当x∈时，f(x)＝log(1－x)，则f(2 011)＋f(2 013)＝(　　)．
A．1 B．2 C．－1 D．－2
答案：A　[由已知得，f(2 011)＋f(2 013)＝f(670×3＋1)＋f(671×3)＝f(1)＋f(0)＝－f(－1)＝1.]
[押题2] 设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)是偶函数，则a＝________.
解析　根据偶函数定义，有f(－x)＝f(x)，
即(－x＋1)(－x＋a)＝(x＋1)(x＋a)．
取特殊值， x＝1，则(－1＋1)(－1＋a)＝(1＋1)(1＋a)，
解得a＝－1.
答案　－1
[押题3]函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)＝x＋1，则函数f(x)在(1,2)上的解析式为(　　)
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x－3
C．f(x)＝1－x D．f(x)＝x＋1
　【解析】 ∵x∈(0,1)时，f(x)＝x＋1，f(x)是以2为周期的偶函数，∴当x∈(1,2)时，(x－2)∈(－1,0)，(2－x)∈(0,1)，f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝2－x＋1＝3－x，选择A.
答案：A
考点三基本初等函数图象的性质及其应用(指数函数与对数函数)
命题研究：指数、对数函数主要考查图象、性质、恒过定点以及比较大小等问题.
【例4】? (构造法)(2012·浙江)设a＞0，b＞0.(　　)．
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b
B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b
C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b
D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b
解析　若2a＋2a＝2b＋3b，必有2a＋2a＞2b＋2b.构造函数：f(x)＝2x＋2x，则f′(x)＝2x·ln 2＋2＞0恒成立，故有函数f(x)＝2x＋2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立，其余选项用同样方法排除．
答案　A
点评：此类题构建函数，利用单调性判断根的大小。
【例5】? (排除法)(2012·全国)已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，则(　　)．
A．x＜y＜z B．z＜x＜y
C．z＜y＜x D．y＜z＜x
解析　因为ln π＞ln e＝1，log5 2＜log5 5＝1，所以x＞y，故排除A、B；又因为log5 2＜log5＝，e－＝＞，所以z＞y，故排除C，选D.
答案　D
点评：一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比较大小，同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决．
[押题1] 已知a＝log0.70.9，b＝log1.10.7，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系为(　　)．
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
解析　[因为b＝log1.10.7＜log1.11＝0,0＝log0.71＜log0.70.9＜log0.70.7＝1，所以0＜a＜1，c＝1.10.9＞1.10＝1.所以b＜a＜c.]
答案： C
[押题2] 已知函数f(x)＝若f(x0)＞3，则x0的取值范围是(　　)．
A．(8，＋∞) B．(－∞，0)∪(8，＋∞)
C．(0,8) D．(－∞，0)∪(0,8)
解析 [若x0≤0，得3x0＋1＞3，∴x0＋1＞1，x0＞0.此时无解．若x0＞0，得log2x0＞3，∴x0＞8.综上所述，x0＞8.]
答案： A　
规律与方法
1．要善于根据已知函数满足的关系推证函数的周期性，如①已知函数f(x)满足对任意x有f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则可得f(x＋2a)＝－f(x＋a)＝f(x)，即可推知2a是这个函数的一个周期；②已知函数f(x)满足对任意x都有f(x＋a)＝，f(x＋a)＝－(a≠0)，同样可推知2a为其周期．
2．如果函数f(x)满足对任意x都有f(a＋x)＝f(b－x)，则这个函数图象本身是一个轴对称图形，关于直线x＝对称，反之亦然；如果函数f(x)满足对任意x都有f(a＋x)＝－f(b－x)，则这个函数图象本身是一个中心对称图形，对称中心是，反之亦然．注意这个结论中b＝a的情况．
经典作业
1. (2009·福建理)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是(　　)
A．f(x)＝　　　　　　　 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
[答案]　A
[解析]　本小题主要考查函数的单调性等基础知识．
由题意得函数f(x)是减函数，在四个选项中，只有A符合，故选A.
2. 函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是(　　)
A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
[答案]　A
[解析]　由已知易得即x>3，又0<0.5<1，
∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．
3. 函数f(x)在(a，b)和(c，d)都是增函数，若x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，且x1A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．无法确定
[答案]　D
[解析]　由于(a，b)和(c，d)不一定是连续的区间，所以不能根据单调性来判断f(x1)，f(x2)的大小关系．
4. 函数f(x)＝的最大值为(　　)
A. B.
C. D．1
[答案]　B
[解析]　∵x≥0，当x＝0时，y＝0不是函数的最大值．当x>0时，f(x)＝＝，而＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，∴f(x)≤.
5. (2010·天津文)设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝，则f(x)的值域是(　　)
A.∪(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C. D.∪(2，＋∞)
[答案]　D
[解析]　本题考查了分段函数值域的求解．
由题意可知f(x)＝
1°当x<－1或x>2时，f(x)＝x2＋x＋2＝2＋
由函数的图可得f(x)∈(2，＋∞)．
2°当－1≤x≤2时，f(x)＝x2－x－2＝2－，
故当x＝时，f(x)min＝f＝－，
当x＝－1时，f(x)max＝f(－1)＝0，
∴f(x)∈.
综上所述，该分段函数的值域为∪(2，＋∞)．
6. 定义在R上的函数f(x)的图像关于x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有(　　)
A．fC．f[答案]　B
[解析]　∵f(x)的图像关于x＝1对称，
∴f＝f，f＝f.
又∵x≥1时，f(x)＝3x－1为增函数，且<<，
∴f7、若函数y＝log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)是增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，4]　　　　　　　　 B．(－4,4]
C．(－∞，－4)∪[2，＋∞) D．(－4,2)
[答案]　B
[解析]　本题考查含参数的函数的讨论及复合函数的应用．由题知：y＝log2x为单调增函数，y＝log2(x2－ax＋3a)的单调增区间为y＝x2－ax＋3a的增区间的一个子区间，由y＝x2－ax＋3a?y′＝2x－a，又在[2，＋∞)是单调增函数，即在x∈[2，＋∞)，2x－a＞0恒成立，即只需2×2－a＞0即可?a＜4，又y＝x2－ax＋3a在x∈[2，＋∞)上恒大于0，则22－2a＋3a＞0?a＞－4，综上可得：－4＜a<4，当a＝4时同样成立．故选B.
[点评]　本题还可以根据二次函数的对称轴讨论求解．欲满足题中条件，只需≤2，且22－a×2＋3a＞0?a≤4且a＞－4即－4＜a≤4.
8、(2010·湖北文)函数y＝的定义域为(　　)
A. B.
C．(1，＋∞) D.∪(1，＋∞)
[答案]　A
[解析]　本题主要考查函数的定义域，解不等式等知识．
log0.5(4x－3)>0＝log0.51，∴0<4x－3<1，
∴9、(2011·广东茂名一模)设f(x)＝则f[f(2)]的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　C
[解析]　∵f(2)＝log3(22－1)＝1，又f(1)＝2·e0＝2，∴f[f(2)]＝2.
10、函数y＝＋的定义域为(　　)
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
[答案]　C
[解析]　由y＝＋得，，
∴，∴x≥1或x＝0，
∴{x|x≥1}∪{0}．
11、已知f(x)＝，定义fn(x)＝f(fn－1(x))，其中f1(x)＝f(x)，则f2012＝________.
[答案]　
[解析]　依次计算：f1＝，f2＝，
f3＝，f4＝，f5＝，f6＝，
f7＝，可知fn的最小正周期为6，
即得fn＋6＝fn，所以f2012＝f2＝.
[点评]　该题考查分段函数的知识，解题的关键是发现函数具有周期性，再将f2012转化为f2即可．
12、已知f(0)＝1，f(a－b)＝f(a)－b(2a－b＋1)，则f(x)＝________.
[答案]　x2＋x＋1
[解析]　令a＝0，则f(－b)＝f(0)－b(－b＋1)＝1＋b(b－1)＝b2－b＋1
再令－b＝x，即得：f(x)＝x2＋x＋1.
[点评]　赋值法的关键环节是“赋值”，赋值的方法灵活多样，既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生，又要考虑所给关系式的结构特点．
如本题另解：令b＝a，则1＝f(0)＝f(a)－a(2a－a＋1)
＝f(a)－a(a＋1)＝f(a)－a2－a，
∴f(a)＝a2＋a＋1，∴f(x)＝x2＋x＋1.
13、(2011·苏州模拟)函数y＝的值域是________．
[答案]　∪[1，＋∞)
[解析]　由y＝，得cosx＝，且cosx≠－.
∵－1≤cosx≤1，∴－1≤≤1，
且≠－，解得y≤或y≥1，
∴原函数的值域为∪[1，＋∞)．
14、(2011·南通检测)已知函数f(x)＝sinx＋5x，x∈(－1,1)．如果f(1－a)＋f(1－a2)<0，则a的取值范围是______．
[答案]　1[解析]　∵f(x)为奇函数，且在(－1,1)上是增函数．
f(1－a)＋f(1－a2)<0，即f(1－a)∴解之得115、(理)函数f(x)的定义域为R，且满足下面两个条件：①存在x1≠x2，使f(x1)≠f(x2)；②对任意的x、y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．
(1)求f(0)；
(2)证明对任意的x、y∈R，f(x)>0恒成立．
[解析]　(1)∵f(0＋0)＝f(0)·f(0)，∴f(0)＝0或f(0)＝1.若f(0)＝0，则存在x≠0，使对任意的x∈R有f(x＋0)＝f(x)·f(0)＝0，即f(x)＝0，与条件矛盾，
∴f(0)＝1.
(2)f(x)＝f＝2≥0，若存在x0使f(x0)＝0，则对任意的x∈R，f(x)＝f[(x－x0)＋x0]＝f(x0)·f(x－x0)＝0，与条件矛盾，∴f(x)>0恒成立．
16、已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
(2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．
[解析]　(1)证明：设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0.
f(x2)－f(x1)＝(－)－(－)
＝－＝>0
∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．
(2)解：f(x)在[，2]上的值域是[，2]，
又f(x)在[，2]上单调递增，
∴f()＝，f(2)＝2.
∴，∴a＝.
第三讲函数与方程及函数与导数的应用
知识梳理
1．函数的零点
方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的定义可知，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
2．二分法
二分法求函数零点的一般步骤：
第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε；
第二步：求区间[a，b]的中点c；
第三步：计算f(c)：
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；
(4)判断是否达到精度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
3．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
4．函数的单调性与导数
函数的导数大于零的不等式的解区间是函数的单调递增区间，函数的导数小于零的不等式的解区间是函数的单调递减区间．如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上不小(大)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y＝x＋sinx.
5．闭区间上函数的最值
在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者．
考点一 函数的零点与方程的根
命题研究：1.以初等函数为载体求函数零点的个数或判断零点所在的区间.
2.以初等函数为载体考查两图象的交点与方程的解的关系.
【例1】（1）? (2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析　法一　因为f(0)＝1＋0－2＝－1，
f(1)＝2＋1－2＝1，即f(0)·f(1)＜0，
且函数f(x)在(0,1)内连续不断，故f(x)在(0,1)内的零点个数是1.
法二　设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，可知B正确．
答案　B
（2）? (2012·天津)已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
解析　去掉绝对值转化为分段函数后，作出图象利用数形结合的方法求解．因为函数y＝＝根据图象易知，函数y＝kx－2的图象恒过点(0，－2)，所以两个函数图象有两个交点时，0＜k＜1或1＜k＜4.
答案　(0,1)∪(1,4)
(3)? (2012·福建)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f (x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R) 恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．
解析　f(x)＝(2x－1)*(x－1)
＝
即f(x)＝
如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，则0＜m＜.不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x1，x2，x3.
当x＞0时，－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0，∴x2＋x3＝1，
∴0＜x2x3＜2，即0＜x2x3＜；
当x＜0时，由得x＝，
∴＜x1＜0，∴0＜－x1＜.
∴0＜－x1x2x3＜，∴＜x1x2x3＜0.
答案　
【点评】考查了零点定理的应用，解决问题的关键在于方程解的问题转化成对应函数图象的交点；这两道题都属于函数零点(方程的根)的确定问题．总结一下函数零点常见的类型有：(1)零点或零点存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．
【押题1】 已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－logx，h(x)＝log2x－的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　)．
A．x1＞x2＞x3 B．x2＞x1＞x3
C．x1＞x3＞x2 D．x3＞x2＞x1
答案： D　[由f(x)＝x＋2x＝0，得－x＝2x，则其零点x1＜0；由g(x)＝x－logx＝0，得x＝logx，则其零点0＜x2＜1；由h(x)＝log2x－＝0，得＝log2x，则其零点x3＞1.因此x1＜x2＜x3.]
[押题2] 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
答案： 解析　函数f(x)的图象如图所示，函数f(x)＝－x2－2x(x≤0)的最大值是1，故只要0＜m＜1即可使方程f(x)＝m有三个相异的实数根，即函数g(x)＝f(x)－m有3个零点．
答案　(0,1)
考点二 二分法求方程的近似解
【例2】用二分法求方程lnx＝在区间[1,2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是________．
【分析】 只要计算三个点x＝1,1.5,2的函数值，然后根据函数
零点的存在定理进行判断即可．
[1.5,2]　【解析】 令f(x)＝lnx－，f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2－＝
ln>ln1＝0，f(1.5)＝ln1.5－＝(ln1.53－2)，因为1.53＝3.375，
e2>4>1.53，故f(1.5)＝(ln1.53－2)<(lne2－2)＝0，f(1.5)f(2)<0，
所以下一个有根区间是[1.5,2]．
【点评】 用二分法求方程近似解时，每一次取中点后，下一个有根区间的判断原则是：若中点函数值为零，则这个中点就是方程的解，若中点函数值不等于零，则下一个有根区间是和这个中点函数值异号的区间．在用二分法求方程的近似解时，有时需要根据精度确定近似解，看下面变式．
【押题1】若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.4375)≈0.162
f(1.40625)≈－0.054
　　那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为(　　)
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
　【解析】 由于f(1.375)≈－0.260<0，f(1.4375)≈0.162>0，且|1.4375－1.375|＝0.0625<0.1，所以函数正数零点为x≈1.4375≈1.4，故选C.
答案：C
考点三 导数的集合意义与运算
命题研究：重点考查利用导数的几何意义解决有关曲线的切线问题.
【例3】? (2010·全国Ⅱ)若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝(　　)．
A．64 B．32 C．16 D．8
解析　求导得y′＝－x－(x＞0)，所以曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线l的斜率k＝y′|x＝a＝－a－，由点斜式得切线l的方程为y－a－＝－a－(x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的截距分别为3a，a－，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝×3a×a－＝a＝18，解得a＝64.
答案　A
【点评】 考查导数的几何意义，求曲线切线方程的步骤是：(1)求出函数y＝f(x)在x＝x0时的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；(2)在已知切点坐标P(x0，f(x0))和切线斜率的条件下，求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
注意：(1)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x＝x0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．
[押题1] 如果曲线y＝x4－x在点P处的切线垂直于直线y＝－x，那么点P的坐标为________．
解析　由y′＝4x3－1，得4x3－1＝3，
解得x＝1，此时点P的坐标为(1,0)．
答案　(1,0)
[押题2]曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为(　　)
A．1 B．2 C．e D.
【解析】 y′＝ex，故所求切线斜率k＝ex|x＝0＝e0＝1.故选A.
答案：A
考点四：导数与函数的运用
命题研究：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)利用导数研究不等式恒成立与证明等问题；(3)以函数为载体的建模问题．
【例4】? (2011·江西)设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；
(2)当0＜a＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－，求f(x)在该区间上的最大值．
解析： (1)由f′(x)＝－x2＋x＋2a
＝－2＋＋2a，
当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.
令＋2a＞0，得a＞－.
所以，当a＞－时，f(x)在上存在单调递增区间．
即f(x)在上存在单调递增区间时，a的取值范围为.
(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝，
x2＝.
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，
所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)，
又f(4)－f(1)＝－＋6a＜0，即f(4)＜f(1)．
所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－.
得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.
点评：一般地，在闭区间[a，b]上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，在开区间(a，b)内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上单调递增，则f(a)是最小值，f(b)是最大值；反之，则f(a)是最大值，f(b)是最小值．
【例5】? (2012·湖南)已知函数f(x)＝ex－ax，其中a＞0.
(1)若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；
(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＝k成立．
解析：(1)f′(x)＝ex－a，令f′(x)＝0得x＝ln a.
当x＜ln a时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln a时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，故当x＝ln a时，f(x)取最小值f(ln a)＝a－aln a.
于是对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，当且仅当a－aln a≥1.①
令g(t)＝t－tln t，则g′(t)＝－ln t.
当0＜t＜1时，g′(t)＞0，g(t)单调递增；当t＞1时，g′(t)＜0，g(t)单调递减．
故当t＝1时，g(t)取最大值g(1)＝1.因此，当且仅当a＝1时，①式成立．
综上所述，a的取值集合为{1}．
(2)由题意知，k＝＝－a，
令φ(x)＝f′(x)－k＝ex－，则
φ(x1)＝－[ex2－x1－(x2－x1)－1]，
φ(x2)＝[ex1－x2－(x1－x2)－1]．
令F(t)＝et－t－1，则F′(t)＝et－1.
当t＜0时，F′(t)＜0，F(t)单调递减；当t＞0时，F′(t)＞0，F(t)单调递增．
故当t≠0时，F(t)＞F(0)＝0，即et－t－1＞0.
从而ex2－x1－(x2－x1)－1＞0，ex1－x2－(x1－x2)－1＞0.
又＞0，＞0，
所以φ(x1)＜0，φ(x2)＞0.
因为函数y＝φ(x)在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x0∈(x1，x2)，使φ(x0)＝0，即f′(x0)＝k成立．
点评：在函数的解答题中有一类是利用导数研究不等式和方程，常见的类型是研究在某个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在某个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基本初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决．使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数．
[押题] 已知f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e]，g(x)＝，其中e是自然常数，a∈R.
(1)讨论a＝1时，f(x)的单调性和极值；
(2)求证：在(1)的条件下，f(x)＞g(x)＋；
(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
(1)解　由题知当a＝1时，f′(x)＝1－＝，
因为当0＜x＜1时，f ′(x)＜0，此时f(x)单调递减；
当1＜x＜e时，f ′(x)＞0，此时f(x)单调递增．
所以f(x)的极小值为f(1)＝1.
(2)证明　因为f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e]上的最小值为1.
令h(x)＝g(x)＋＝＋，h′(x)＝，
当0＜x＜e时，h′(x)＞0，h(x)在(0，e]上单调递增，
所以h(x)max＝h(e)＝＋＜＋＝1＝f(x)min，
所以在(1)的条件下，f(x)＞g(x)＋.
(3)解　假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x(x∈(0，e])有最小值3，f ′(x)＝a－＝.
①当a≤0时，因为x∈(0，e]，所以f ′(x)＜0，
而f(x)在(0，e]上单调递减，
所以f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，
此时无满足条件的a；
②当0＜＜e时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)min＝f＝1＋ln a＝3，a＝e2，满足条件；
③当≥e时，因为x∈(0，e]，所以f ′(x)＜0，
所以f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，
此时无满足条件的a.
综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.
规律与方法
1．求曲线的切线方程时，其关键点是切点坐标，这个点既在曲线上也在切线上，在这个点处函数的导数值就是切线的斜率．在解决曲线的切线问题时要抓住切点这个关键．求解切线问题时要注意求的是曲线上某点处的切线问题，还是曲线的过某个点的切线问题．
2．函数的单调性是使用导数研究函数问题的根本，函数的单调递增区间和单调递减区间的分界点就是函数的极值点．在含有字母参数的函数中讨论函数的单调性就是根据函数的极值点把函数的定义域进行分段，在各段上研究函数的导数的符号，确定函数的单调性，也确定了函数的极值点，这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本原则．
3．使用导数的方法研究不等式问题的基本方法是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值，利用特殊点的函数值和整个区间上的函数值的比较得到不等式，注意在一些问题中对函数的解析式进行适当的变换再构造函数．
4．使用导数的方法研究方程的根的分布，其基本思想是构造函数后，使用数形结合方法，即先通过“数”的计算得到函数的单调区间和极值，再使用“形”的直观得到方程根的分布
情况。
经典作业
1. (2010·全国卷Ⅱ文)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则
(　　)
A．a＝1，b＝1　　　　　　　 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
[答案]　A
[解析]　本题考查了导数的概念、运算以及导数的几何意义．
y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，
将(0，b)代入切线方程得b＝1.
2. (2011·安徽淮南模拟)若函数f(x)＝x3－f′(－1)x2＋x＋5，则f′(1)的值为(　　)
A．2 B．－2
C．6 D．－6
[答案]　C
[解析]　∵f(x)＝x3－f′(－1)x2＋x＋5，
∴f′(x)＝x2－2f′(－1)x＋1，
∴f′(－1)＝(－1)2－2f′(－1)(－1)＋1，
解得f′(－1)＝－2.
∴f′(x)＝x2＋4x＋1，∴f′(1)＝6.
3. (2009·安徽理)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是(　　)
A．y＝2x－1 B．y＝x
C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3
[答案]　A
[解析]　本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式．
∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，
∴f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4，
∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，
∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.
4. (2010·山东文)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　)
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
[答案]　C
[解析]　本题考查了导数的应用及求导运算．
∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，得x＝9时；当x∈(0,9)时，y′>0，x∈(9，＋∞)，y′<0.y先增后减，∴x＝9时函数取最大值，选C.
5. (2011·西安模拟)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)
A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3 B．－3C．－2[答案]　B
[解析]　因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－26. (2010·天津文)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[答案]　C
[解析]　解法一：本题考查了函数的零点定理和导数．
∵f′(x)＝ex＋1>0，∴函数f(x)＝ex＋x－2在R上单调递增，
又∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，即f(0)f(1)<0，
∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．
7. (2011·山东临沂)已知函数f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4，其中g(x)是定义域为R的函数，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根(　　)
A．(0,1)　　 B．(1,2)　　 C．(2,3)　　 D．(2,4)
[答案]　B
[解析]　∵f(1)＝0×g(x)－1<0，f(2)＝0×g(x)＋2>0，故在(1,2)上必有实根．
8. (2010·浙江理)设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是(　　)
A．[－4，－2] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[2,4]
[答案]　A
[解析]　本题判断f(x)＝0在区间内是否成立，即4sin(2x＋1)＝x是否有解．如图：
显然在[2,4]内曲线y＝4sin(2x＋1)，当x＝π－时，y＝4，而曲线y＝x，当x＝π－<4，有交点，故选A.
9. 已知方程f(x)＝0在(1,2)内有唯一解，用二分法求方程的近似解时，若要使精确度为0.1，则使用二分法的最多次数为________．
[答案]　4
[解析]　每一次使用二分法，区间长度为原区间长度的，设n次后达到精确度，则只需<0.1，即n≥4.
10. (2011·广州综测)若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(－2,2)
[解析]　f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．
当x<－1时，f′(x)>0；当－1当x>1时，f′(x)>0.所以当x＝－1时函数f(x)有极大值，当x＝1时函数f(x)有极小值．要使函数f(x)有3个不同的零点，只需满足解得－211. 设直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．
[答案]　ln2－1
[解析]　由已知条件可得k＝(lnx)′＝＝，得切点的横坐标x＝2，切点坐标为(2，ln2)，由点(2，ln2)在切线y＝x＋b上可得b＝ln2－1.
12(2011·广州模拟)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
[解析]　∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，
∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0，即m>2或m<－2时，
t2＋mt＋1＝0有两正根或两负根，
f(x)有两个零点或无零点不合题意．
∴这种情况不可能．
综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
13)(2010·江西文)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
[分析]　本题考查了导数的运算及应用，先求导，再由导函数确定a的值及范围．
[解析]　(1)f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a，令f′(x)＝0，
18x2＋6(a＋2)x＋2a＝0的两根为x1，x2，
则x1x2＝＝1，∴a＝9.
(2)由f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a，开口向上，
△＝36(a＋2)2－8×18a＝36(a2＋4)>0恒成立，
∴18x2＋6(a＋2)x＋2a＝0有两不等根，故不存在a使f(x)单调，因为f(x)一定存在两个极值点．