高三数学三轮冲刺数学思想方法

专题二数学思想方法
考向预测
对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，高考命题是通过数学知识的考查，来反映对数学思想方法的理解和掌握程度．四种数学思想方法是每年高考的必考内容，是高考考查的重点，各种题型都有，难度中等偏上．
(1)与函数和方程思想有关的常见题型有：①与不等式、方程有关的最值问题；②建立目标函数，求最值或最优解问题；③在含有多个变量的问题中，选择合适的自变量构造函数解题；④实际应用问题，建立函数关系，利用函数性质、导数、不等式性质等知识解答；⑤利用函数思想解决数列中的问题．(2)与数形结合思想有关的常见题型：①集合间关系利用韦恩图求解；②以数学公式、数学概念的几何意义、函数图象为载体的综合题，如截距、斜率、距离、导数的几何意义，借助图象求解．
(3)与分类与整合思想有关的常见题型：①含有参数的函数性质问题、交点问题；②对由数学概念引起的分类讨论问题，如对指数函数、对数函数的底数的讨论，对一元二次不等式的二次项系数的讨论③由公式定理引起的讨论问题，如绝对值、等比数列前n项和的计算问题．
(4)与转化与化归思想有关的常见题型：①未知转化为已知(复杂转化为简单)；②函数与方程的相互转化；③正与反、一般与特殊的转化，即正难则反、特殊化原则；④空间与平面的相互转化；⑤常量与变量的转化；⑥数与形的转化；⑦相等与不等的相互转化；⑧实际问题与数学模型的转化．
(5)与分类与整合思想有关的常见题型：①含有参数的函数性质问题、交点问题；②对由数学概念引起的分类讨论问题，如对指数函数、对数函数的底数的讨论，对一元二次不等式的二次项系数的讨论③由公式定理引起的讨论问题，如绝对值、等比数列前n项和的计算问题．
(6)与转化与化归思想有关的常见题型：①未知转化为已知(复杂转化为简单)；②函数与方程的相互转化；③正与反、一般与特殊的转化，即正难则反、特殊化原则；④空间与平面的相互转化；⑤常量与变量的转化；⑥数与形的转化；⑦相等与不等的相互转化；⑧实际问题与数学模型的转化．
备考策略
数学思想与方法是通过数学知识体现的，在复习中，要养成利用数学思想分析问题、思考问题、解答问题的习惯意识．
(1)对于函数与方程思想，在解题中要善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数与方程的相互转化的关系是应用函数与方程思想解题的关键．
(2)数形结合的实质是把抽象的数学语言和直观的图象语言结合起来，即将代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析问题时，要注意三点：①理解一些概念与运算法则的几何意义以及曲线的代数特征，对题目中的条件和结论既分析其几何意义，又分析其代数意义；②恰当设参、合理用参，建立关系，由形思数，以数想形，做好数形转化；③确定参数的取值范围，参数的范围决定图形的范围．
(3)分类与整合思想实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．利用好分类与整合思想可以优化解题思路，降低问题难度．复习中要养成分类与整合的习惯，常见的分类情形有：概念分类型，运算需要型，参数变化型，图形变动型．
(4)转化与化归思想是高中数学学习中最基本、最重要的思想方法，它无处不在．比如：解不等式时，将分式不等式转化为整式不等式；处理立体几何问题时，将空间的问题转化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题划归为代数问题；复数问题化归为实数问题等．
第一讲 函数与方程思想和数形结合思想
知识梳理
1．函数与方程思想
(1)函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提取数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决．
(2)方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决．
(3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系．
2．数形结合思想
(1)数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．
(2)数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合思想使某些抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程．
(3)数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野．
题型分析
考点一 构造函数解决函数、不等式、方程问题
【例1】 设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x) +f(x)g'(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是　　　　.?
解析:设F(x)=f(x)g(x),由于f(x),
g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,
得F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),
即F(x)为奇函数.又当x<0时,
F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,
所以x<0时,F(x)为增函数.
因为奇函数在对称区间上的单调性相同,
所以x>0时,F(x)也是增函数.
因为F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3).
所以F(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3)(如图).
点评：善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键.题中就是构建函数F(x)=f(x)g(x),再根据题意明确该函数的性质,然后由不等式的解集与函数的图象间的关系使问题获得解决的.
【押题】：设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B；
【解析】：，则方程与同解，故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样，必须且只须或，因为，故必有由此得.不妨设，则.所以，比较系数得，故.，由此知，故答案为B。
【例2】（2012高考浙江）设a大于0，b大于0.
A．若2a+2a=2b+3b，则a＞b B．若2a+2a=2b+3b，则a＞b
C．若2a-2a=2b-3b，则a＞b D．若2a-2a=ab-3b，则a＜b
【答案】A；
【解析】若，必有．构造函数：，则恒成立，故有函数在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．故选A。
点评：当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决。当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决。
【押题】关于x的方程cos2x-sin x+a=0在(0,]上有解,求a的取值范围.
【解析】:原方程可化为a=sin2x+sin x-1,方程有解,
当且仅当a属于函数y=sin2x+sin x-1的值域,
而y=sin2x+sin x-1=(sin x+)2-,
∵x∈(0,],
∴sin x∈(0,1].
可求得值域为(-1,1],即a的取值范围是(-1,1].
考点二 利用函数与方程思想解决数列问题
【例3】 等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=25,S9=S17,问数列的前多少项和最大?
【解析】法一:由S9=S17得9a1+d=17a1+d,
又a1=25,∴d=-2.
∴Sn=25n+(-2)=-(n-13)2+169
∴前13项和最大.
法二:Sn=n2+(a1-)n(易知d<0),Sn的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点,由S9=S17得最高点的横坐标为=13,即前13项和最大.
【点评】本题可以转化为数列前n项和的最值问题,显然要运用函数思想,而在求Sn的表达式时,则要运用方程思想.
【押题】已知数列{an}(n∈N*)是首项为1的等差数列,其公差d>0,且a3,a7+2,3a9成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求f(n)=的最大值.
【解析】:(1)由题意,得an=1+(n-1)d,
∴a3=1+2d,a7=1+6d,a9=1+8d,
∵a3,a7+2,3a9成等比数列,
∴(3+6d)2=3(1+2d)(1+8d),
由d>0,得d=1,∴an=n.
(2)∵an=n,∴Sn=,
∴f(n)===≤=.
当且仅当n=,即n=6时, f(n)max=.
考点三 利用函数与方程思想解决解析几何问题
【例4】 已知椭圆的中心E在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A(-2,0),B(2,0),C(1,)三点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若椭圆E的左、右焦点分别为F、H,过点H的直线l:x=my+1与椭圆E交于M、N两点,则△FMN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线l的方程;若不存在,请说明理由.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),不妨令y1>0,y2<0,如图,设△FMN内切圆的半径为R,则
S△FMN=(|MN|+|MF|+|NF|)R
=[(|MF|+|MH|)+(|NF|+|NH|)]R=4R,
当S△FMN最大时,R也最大,△FMN内切圆的面积也最大,
又∵S△FMN=|FH|·|y1|+|FH|·|y2|,
|FH|=2c=2,
得(3m2+4)y2+6my-9=0,
点评本题考查圆锥曲线(椭圆)的定义、标准方程及其与直线、圆的位置关系,主要考查数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的应用,及推理运算能力.对于第(2)问,由椭圆的定义知△FMN的周长为定值8,若设△FMN的内切圆的圆心为I,则可将△FMN分为△MNI、△MFI、△NFI,这三个三角形的高均为R,于是S△FMN=S△MNI+S△MFI+S△NFI
= ×8×R=4R,内切圆的面积最大时,必有S△MFN最大,问题转化为求S△FMN的最大值即可,关于S△FMN的最大值我们利用导数的方法进行求解.
【押题】平面直角坐标系中,已知直线l:x=4,定点F(1,0),动点P(x,y)到直线l的距离是到定点F的距离的2倍.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)若M为轨迹C上的点,以M为圆心,MF长为半径作圆M,若过点E(-1,0)可作圆M的两条切线EA,EB(A,B为切点),求四边形EAMB面积的最大值.
【解析】(1)设点P到l的距离为d,依题意得d=2|PF|,
即x0>0,
又因为M(x0,y0)为轨迹C上的点,所以0而|MF|==|x0-4|,
所以,1≤|MF|<2,即1≤r<2.
由(1)知,E(-1,0)为椭圆的左焦点,连接ME,
根据椭圆定义知,|ME|+|MF|=4,
所以|ME|=4-r,而|MB|=|MF|=r,
考点四 数形结合思想在不等式中的应用
【例5】 当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2(A)(2,3] (B)[4,+∞)
(C)(1,2] (D)[2,4)
【解析】: 设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为如图所示的抛物线.要使对一切x∈(1,2),y11,并且只需当x=2时,logax≥1,∴a≤2,∴1【点评】利用数形结合解不等式问题,其关键是构造函数,如:(x-1)2【押题】设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式的解集为　　　　.?
【解析】∵f(x)为奇函数,
∴f(x)-f(-x)=2f(x),
画出y=2f(x)的大致图象,
如图,则f(x)与x异号的区间
如图中阴影所示,∴解集为(-1,0)∪(0,1).
答案:(-1,0)∪(0,1)
考点五 数形结合思想在函数与方程中的应用
【例6】 设x0是函数f(x)=-logb|x|的一个零点,其中01,则有(　　)
(A)x0∈(-1,1)
(B)x0∈(0,b)
(C)x0∈(-b,-1)∪(1,b)
(D)x0∈(-b,-1)∪(0,1)
【解析】:f(x)的零点也就是函数p(x)=和q(x)=logb|x|的两图象的交点.易知p(x),q(x)是偶函数,交点也关于y轴对称,画出它们的图象,如图.由图可知交点
x0∈(-b,-1)∪(1,b).故选C.
【点评】用数形结合思想处理方程问题,即把方程的根的问题看作两个函数图象的交点的问题.本题考查了指数、对数函数的图象和函数零点的知识,关键是借助函数与方程之间的联系,利用数形结合求解.
考点六 数形结合思想在解析几何中的应用
【例7】 已知定点M(3,)与抛物线y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到此抛物线的准线的距离为d2,求当d1+d2取最小值时点P的坐标.
解:由抛物线y2=2x,知其焦点F(,0).连接PF,
则d1+d2可转化为|MP|+|PF|.
由图可知当M,P,F三点共线(点P在线段MF上)时,|MP|+|PF|取最小值.
∴所求点P的坐标为(2,2).
∴所求点P的坐标为(2,2).
【点评】解决有关圆锥曲线的问题时,运用定义可以使数与形之间实现巧妙的互化,既能减少运算量,也能使解题思路简捷直观.如果使用常规方法,设P(2t2,2t),则d1=,d2=2t2+,此时对最小值的求解过程复杂而且烦琐,用一般方法难以求解.但是,如果用数学定义来解题,将d2转化为点P到焦点F的距离.便能简捷可行,且运算量极小,能起到事半功倍的效果.
【押题】已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案：D；
【解析】如图所示：设PA=PB=,∠APO=,则∠APB=，PO=，，
===，令，则，即，由是实数，所以
，，解得或.故.此时.
方法总结
1．在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当试题与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量．
2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．
3．在数学中，函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都涉及以形助数的思想，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．
4．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过对数的分析计算达到解题的目的．
第二讲分类与整合思想与化归与转化思想
知识梳理
1．分类与整合思想
在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况；解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的．当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究．这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想．
2．化归与转化思想
在解决一些问题时人们的眼光并不单单落在结论上，而时常是去寻觅、追溯一些熟知的结果，由此将问题化难为易，化繁为简，化大为小，各个击破，最终达到解决问题的目的，这种解决问题的思想就是化归与转化思想．
考点一 分类与整合思想
【例1】．（2012高考真题四川理5）函数的图象可能是（ ）
解析：D；当时单调递增，，故A不正确；因为恒不过点，所以B不正确；当时单调递减，，故C不正确 ；D正确.
点评：含有参数的函数的综合问题（本例是函数图像）历来就是高中数学的重点和难点之一。求解此类问题的关键一点就是紧扣对称轴，依此来展开有条理性的分类讨论。
【例2】．（2012高考真题安徽理19）设。
（I）求在上的最小值；
（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。
解析：（I）设；则，
①当时，在上是增函数，
得：当时，的最小值为。
②当时，，
当且仅当时，的最小值为。
（II），
由题意得：。
点评：本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。
例5．（2011山东理22）已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.
（Ⅰ）证明和均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.
（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以
因为在椭圆上，因此 ①
又因为所以 ②
由①、②得此时
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为由题意知m，将其代入，得，
其中即 …………（*）
又
所以
因为点O到直线的距离为
所以
又整理得且符合（*）式，
此时
综上所述，结论成立。
II）（1）当直线的斜率不存在时，由（I）知因此
（2）当直线的斜率存在时，由（I）知
所以

所以，当且仅当时，等号成立.
综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为
III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得21世纪教育网
证明：假设存在，
由（I）得
因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G。
点评：处理直线与圆锥曲线的位置关系时，待定直线方程需要考虑斜率不存在这种情况，分类讨论。
【例4】（2012高考真题湖北理18）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.
（Ⅰ）求等差数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.
解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，
由题意得 解得或
所以由等差数列通项公式可得
，或.
故，或。
（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；
当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.
故
记数列的前项和为.
当时，；当时，；
当时，

. 当时，满足此式.
综上，
点评：数列中的含参问题是一个需要牢记的分类推理过程，书写格式相对严格、规范。
【押题1】已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0）。求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。
?解析：如图，设直线MN切圆O于N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=λ|MQ|}(其中λ>0) ，
∵圆半径|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2－1，
设点M的坐标为（x，y），则，
整理得：，
经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程。
当λ=1时，方程化为 ，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点；
当λ≠1时，方程化为，它表示圆，该圆圆心的坐标为 ，半径为。
【押题2】设等比数列{an}的公比是q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3，…)．
(1)求q的取值范围；
(2)设bn＝an＋2－an＋1，{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．
【解析】 (1)由{an}是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0，当q＝1时，Sn＝na1>0；当q≠1时，Sn＝>0，即>0(n＝1,2,3，…)，则有或解得－11.综上，q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．
(2)由bn＝an＋2－an＋1＝an，得Tn＝Sn，∴Tn－Sn＝Sn＝Sn(q－2)．又Sn>0且－10，
则当－12时，Tn－Sn>0，即Tn>Sn；当－【押题3】已知函数f(x)＝lnx－ax＋(0【解析】 f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)．　
令f′(x)＝0，得ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝－1.
(1)若0x1.当0－1时，f′(x)<0；当10.故此时函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，，单调递增区间是；
(2)若a＝，x1＝x2，此时f′(x)≤0恒成立，且在x＝处f′(x)＝0，故此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
(3)若1时，f′(x)<0；当－10.故此时函数f(x)的单调递减区间是0，－1，(1，＋∞)，单调递增区间是－1,1.
综上所述：当0考点二 化归与转化思想
【例1】（2012高考江苏5）函数的定义域为 ▲ ．
解析：根据二次根式和对数函数有意义的条件，得：
。
点评：函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式；还有函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．
【例2】（1）（2012高考真题重庆理2）不等式的解集为（ ）
A. B. C. D. 对
解析：A；原不等式等价于或，即或，所以不等式的解为，选A.
（2）（2011江苏14）设集合, , 若 则实数m的取值范围是___________；
（2）解析：当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间；
，因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有 。
.又因为。
点评：本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。构造函数解题是数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而达到解题目的。
【例3】（2010辽宁理数，16）已知数列满足则的最小值为__________.
【答案】
【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n
所以
设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时有最小值。
又因为，，所以，的最小值为.
点评：数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数。
【例4】（1）如果，三棱锥P—ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P—ABC的体积。
分析：如视P为顶点，△ABC为底面，则无论是S△ABC以及高h都不好求．如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境．
解析：如图，连结EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD．这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以
VP－ABC=VP－ECD+VA－ECD=S△ECD?AE+S△ECD?PE=S△ECD ?PA
=?BC·ED·PA=。
点评：辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解。
（2）如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。（83年全国高考）
分析：由三垂线定理容易证明SC⊥AB，再在平面SDNC中利用平面几何知识证明SC⊥DM。
证明：由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射影，
∴ AB⊥SC。
∵ AB⊥SC、AB⊥CD
∴ AB⊥平面SDNC
∴ ∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角
由已知得∠MDC＝∠NSC
又∵ ∠DCM＝∠SCN
∴ △DCM≌△SCM
∴ ∠DMC＝∠SNC＝Rt∠
即 SC⊥DM
所以SC⊥截面MAB。
点评：立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。
【例5】（1）设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围。
分析：设k＝x＋y，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。
解析：由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。
设k＝x＋y，则y＝k－x，代入已知等式得：x－6x＋2k＝0 ，
即k＝－x＋3x，其对称轴为x＝3。
由0≤x≤2得k∈[0,4]。
所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
另解：数形结合法（转化为解析几何问题）：
由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x＋y的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x＋y＝k，代入椭圆中消y得x－6x＋2k＝0。由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
再解：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）
由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，设，则
x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα
＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4]
所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
点评：此题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。
【押题1】(1)已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1，若函数g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，则实数a的取值范围是________．
(2)若抛物线y＝x2＋4ax＋3－4a，y＝x2＋(a－1)x＋a2，y＝x2＋2ax－2a中至少有一条与x轴相交，则实数a的取值范围是________．
【解析】 (1)g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x－a.g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x2＋4x＝a在区间(－1,1)上有解，等价于a的取值范围是函数y＝3x2＋4x在区间(－1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是.故所求的a的取值范围是.
(2)若三条抛物线均不与x轴相交，则解得－【押题2】(1)若cos＝2sin，则sin(α－2π)·
sin(α－π)－sinsin＝________.
(2)函数f(x)＝sinx＋cosx＋sin2x的最小值是________．
【解析】 (1)已知条件即sinα＝2cosα，求解目标即cos2α－sin2α.已知条件转化为tanα＝2，求解目标转化为＝，把已知代入得求解结果是－.
(2)令t＝sinx＋cosx，则t2＝1＋sin2x，且t∈.此时函数化为y＝t＋t2－1＝2－，故当t＝－时，所求函数的最小值为－.
【押题3】已知f(x)是二次函数，f′(x)是它的导函数，且对任意的x∈R，f′(x)＝f(x＋1)＋x2恒成立．若t>0，曲线C：y＝f(x)在点P(t，f(t))处的切线为l，l与坐标轴围成的三角形面积为S(t)．求S(t)的最小值
【解析】 设f(x)＝ax2＋bx＋c(其中a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c.
由已知，得2ax＋b＝(a＋1)x2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c，
∴解之，得∴f(x)＝－x2＋1.
所以P(t,1－t2)，切线l的斜率k＝f′(t)＝－2t，
∴切线l的方程为y－(1－t2)＝－2t(x－t)，即y＝－2tx＋t2＋1.
从而l与x轴的交点为A，l与y轴的交点为B(0，t2＋1)，
∴S(t)＝(其中t>0)．∴S′(t)＝，
当0时，S′(t)>0，S(t)是增函数．∴[S(t)]min＝S＝.
方法总结
1．分类讨论的几种情况：
(1)由数学的概念、图形的位置等引发的分类讨论：数学中的概念有些就是分类的，如绝对值的概念、直线的斜率的概念等，如果试题中涉及这些概念，就要进行分类讨论．
(2)由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论：一些数学定理和公式是分类的，不同的情况下公式的形式有所不同，如数列的通项与前n项和的关系，等比数列的求和公式等，试题中涉及这些时，就需要分类讨论．
(3)由参数变化引发的分类讨论：当要解决的问题中涉及参数时，由于参数在不同范围内取值时，问题的发展方向不同，这就要把参数范围划分为几个部分进行分类解决．
(4)问题的具体情况引发的分类讨论：有些数学问题本身就要分情况解决，如概率计算中要根据要求分类求出基本事件的个数，这种情况下就需要分类讨论．
2．化归与转化思想的几种情况：
(1)化为已知：当所解决的问题和我们已经掌握的问题有关系时，把所解决的问题化为已知问题，是化归的基本形式之一．
(2)化难为易：化难为易是解决数学问题的基本思想，当我们遇到的问题是崭新的，解决起来困难时，就要把这个问题化为我们熟悉的问题，熟悉的问题我们有解决的方法，就是容易的问题，这是化难为易的一个方面；当我们所面临的问题正面解决较为困难时，从其反面考虑，也是化难为易的一个方面．
(3)化繁为简：在一些问题中，已知条件或是求解结论比较繁，这时就可以先化这些较繁的已知或者结论为简单的情况，再解决问题．有时把问题中的某个部分看做一个整体，进行换元，这种方法也是化繁为简的转化思想的体现．
(4)化大为小：在解答综合性试题时，一个问题往往是由几个问题组成的，整个问题的结论，是通过这一系列的小问题得出的，这种情况下，就可以把所要解决的问题转化为几个小问题进行解决，这就是化大为小．