2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册3.9弧长及扇形的面积 同步练习
一、单选题
1．（2018·黄石）如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则 的长为（ ）
A． B． C．2π D．
2．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.8 弧长及扇形的面积（1） 同步练习）如图，一段公路的转弯处是一段圆弧 ，则弧 的展直长度为（ ）
A．3π B．6π C．9π D．12π
3．（2019九上·鄞州期末）如图，半径为3的⊙A的ED与□ABCD的边BC相切于点C，交AB于点E，ED的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交 于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作 交OB于点D．若OA=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． + B． +2 C． + D．2 +
5．（2018九上·柯桥月考）如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB=CG=EF ；弯道为以点O为圆心的一段弧，且 ， ， 所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出. 其间两车到点O的距离y（m）与时间x(s)的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法：①甲车在立交桥上共行驶8s；②从F口出比从G口出多行驶40m；③甲车从F口出，乙车从G口出；④立交桥总长为150m．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①② D．①
6．（2018九上·泰州期中）如图，点A，B，C，D，E，F等分⊙O，分别以点B，D，F为圆心，AF的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（ ）
A． + B． - C． D．
7．（2018七上·南京期中）图案的地砖，要求灰、白两种颜色面积大致相同，那么下面最符合要求的是（ ）．
A． B．
C． D．
8．（2018九上·东台期中）用一张扇形的纸片卷成一个如图所示的圆锥模型，要求圆锥的母线长为6cm，底面圆的直径为8cm，那么这张扇形纸片的圆心角度数是（ ）
A．150° B．180° C．200° D．240°
9．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册第3章 圆的基本性质 单元检测a卷）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O'，B'，连接BB'，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．2 C．2 D．4
10．（人教版七年级数学上册 第三章一元一次方程 单元检测b卷）如图，六位朋友均匀的围坐在圆桌旁聚会．圆桌的半径为80cm，每人离桌边10cm，又后来两位客人，每人向后挪动了相同距离并左右调整位置，使8个人都坐下，每相邻两人之间的距离与原来相邻两人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为xcm．则根据题意，可列方程为（ ）
A．
B．
C．2π（80+10）×8=2π（80+x）×10
D．2π（80﹣x）×10=2π（80+x）×8
二、填空题
11．（2018九上·兴化期中）给一个圆锥形零件的侧面涂漆，零件的尺寸要求如图所示，则需要涂漆的面积为 （结果保留π）.
12．（2018九上·长兴月考）如图．正五边形硬纸片ABCDE在桌面上沿直线l无滑动地翻滚一周，若正五边形ABCDE的外接圈的半径长为3cm，则正五边形的中心O运动的路径长为 cm
13．（2018九上·天台月考）在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=8m.拴住小狗的8m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）.
①如图1，若BC＝2m，则S＝ m2.
②如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变.则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为 m.
14．（2018九上·义乌期中）如图，小明做实验时发现，当三角板中30°角的顶点A在⊙O上移动，三角板的两边与⊙O相交于点P、Q时， 的长度不变．若⊙O的半径为9，则 长为 .
15．（2019九上·鱼台期末）如图，点0为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点0为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=
16．（2018九上·桐乡期中）如图，在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=1.5，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右第一次旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右第二次旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转4次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ．
三、解答题
17．（2019九上·龙湖期末）如图，BD为⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E，连结AB.
（1）求证：AB2=AE·AD；
（2）若AE=2，ED=4，求图中阴影的面积．
18．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求 的长．
19．（2018·淮南模拟）如图是某工件的三视图，求此工件的全面积和体积．
20．（2018九上·天台月考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）
21．（2018九上·杭州期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，CA=3，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D，求弧AD的长。
22．（2018·河北模拟）如图，矩形ABCD中，BC=" 2" ， DC = 4。以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为 。（结果保留π）
23．（2019九上·汕头期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝4.8，求图中阴影部分的面积．
24．（2018九上·宁波期中）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE=OF．
（1）求证：△AFO≌△CEB；
（2）若BE=4，CD = 求：
①⊙O的半径；
②求图中阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD，
∵∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ABD=60°，
∴∠BOD=120°，
∴ 的长= = ，
故答案为：D．
【分析】连接OD，根据圆周角定理得出AOD=2∠ABD=60°，根据邻补角定义得出∠BOD=120°，根据弧长公式即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解： 的展直长度为： =6π（m）．
【分析】题中告知了弧所在扇形的圆心角的度数，扇形的半径，由弧长公式l=即可直接算出答案。
3．【答案】A
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连结AC，如图：
∵OA与边BC相切于点C，
∴AC⊥BC，
∴△ACB为直角三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD=90°，
又∵AC=AD=BC=3，
∴∠BAC=45°，
∴∠BAD=45°+90°=135°，
∴弧ED==.
故答案为：A.
【分析】连结AC，根据切线性质得AC⊥BC，由平行四边形性质和平行线性质得∠ACB=∠CAD=90°，由角的运算可得∠BAD=135°，根据弧长公式计算即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解： 连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴EO=2OC，
∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE= = ，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
= ﹣ ﹣（ ﹣ ）
=4π﹣π﹣ +2
= +2
故答案为：B．
【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO=30°，从而求出△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，阴影部分的面积=扇形AOB的面积-扇形COD的面积-S扇形AEC即可求出.
5．【答案】B
【知识点】弧长的计算；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由已知可知。甲先出出口；乙车从F口出；甲车从G口出，故③错误；
甲车走完所用的时间为：5-3=2s，走完所用的时间为4s，走完AB所用的时间为3s，
∵均以10m/s的速度行驶，AB=CG=EF
∴走完AB、CG、EF的时间都是3s，
∴甲车在立交桥上共行驶5+3=8s ，故①正确；
∴从F出口比从G出口多行驶10×2×2=40m，故②正确；
∴立交桥的总长为：10×8+40+10×3=150m，故④正确；
∴正确的序号为： ①②④
故答案为：B
【分析】由已知条件可知甲先出出口；乙车从F口出；甲车从G口出，可对③作出判断；再求出甲车走完所用的时间及，走完所用的时间，走完AB所用的时间，再由均以10m/s的速度行驶，可得出AB=CG=EF，就可求出甲车再立交桥上共行驶的时间，可对①作出判断；从而可求出从F出口比从G出口多行驶的路程，可对②作出判断；然后算出立交桥的总长，可对④作出判断，综上所述，可得出正确答案的序号。
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H，
∵点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点，
∴∠AOB=60°，又OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=1，∠ABO=60°，
∴OH= = ，
∴“三叶轮”图案的面积=（ - ×1× ）×6=π- ，
故答案为：B．
【分析】连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H，由图可知，“三叶轮”图案的面积=6（60°的圆心角所对的扇形的面积-△AOB的面积）。根据六等分圆易知△AOB是等边三角形，扇形OAB的半径为1，由勾股定理可求OH的长，代入计算即可求出答案。
7．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】设正方形边长为2a，则：
A、灰色区域面积=正方形面积－圆的面积= ，白色区域面积=圆面积= ，两者相差很大；
B、灰色区域面积=正方形面积－圆的面积= ，白色区域面积=圆面积= ，两者相差很大；
C、色区域面积=正方形面积－圆的面积= ，白色区域面积=圆面积= ，两者相差很大；
D、灰色区域面积=半圆的面积－正方形面积= ，白色区域面积=正方形面积－灰色区域面积= ，两者比较接近．
故答案为：D．
【分析】由扇形面积=、圆的面积=，结合图形计算即可判断求解。
8．【答案】D
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】∵底面圆的直径为8cm，
∴圆锥的底面周长为8πcm，
设圆锥的侧面展开图的圆心角为
∴
解得： ，
故答案为：D.
【分析】先求出底面周长，根据圆锥的底面周长就是其侧面展开图的弧长可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，OO′=OA，
∴点O′在⊙O上，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B-（S扇形O′OB-S△OO′B）=
= .
故答案为：C
【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得出∠OAO′=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△OAO′是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AOO′=60°，OO′=OA，从而得出点O′在⊙O上，进而判断出△OO′B是等边三角形，根据等边三角形的性质及周角的定义得出∠B′O′B=120°，根据三角形的内角和及等边对等角得出∠O′B′B=∠O′BB′=30°，从而得出三角形OB′B是含30°角的直角三角形，进而可以算出BB'的长，然后根据图中阴影部分的面积=S△B′O′B-（S扇形O′OB-S△OO′B）=S△OBB'-S扇形O'OB即可算出答案。
10．【答案】A
【知识点】解一元一次方程；弧长的计算
【解析】【解答】解：设每人向后挪动的距离为xcm，应首先明确弧长公式：l= ．
六位朋友每相邻两人之间的弧长所对的圆心角度数为60°，半径为（80+10）cm，即l= ；
八位朋友每相邻两人之间的弧长所对的圆心角度数为45°，半径为80+10+x，即l= ．
根据距离相等可列方程为 ，
故答案为：A．
【分析】根据题意表示出6位朋友与8位朋友围坐时的半径，利用弧长公式，列出方程。
11．【答案】72
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】12÷2=6cm，
π×6×12=72 （cm2）.
故答案为：72 .
【分析】根据圆锥的侧面积等于底面周长与母线长乘积的一半即可算出答案。
12．【答案】6π
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解： 正五边形硬纸片ABCDE在桌面上沿直线l无滑动地翻滚一周
∴ 正五边形的中心O就是以正五边形的半径为半径旋转360°
∴ 正五边形的中心O运动的路径长为：
故答案为：
【分析】根据题意可知正五边形的中心O就是以正五边形的半径为半径旋转360°，利用弧长公式可求解。
13．【答案】58；2
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】①如图1可知，小狗的活动范围是以A为圆心2为半径的圆，以C为圆心6为半径的圆，以B为圆心8为半径的面积和。的的圆的面积和
∴S=
=58
故答案为：58
②如图2，设BC为x，则DC=8-x
S=
=
∵a=
∴当x=2时即BC=2，S最小值=52
故答案为：2
【分析】①画出图形，如图1可知，小狗的活动范围是以A为圆心2为半径的圆，以C为圆心（8-x）为半径的圆，以B为圆心8为半径的面积和。的的圆的面积和，再根据扇形的面积公式及圆的面积公式求出面积和即可。
②画出图形，如图1可知，小狗的活动范围是以A为圆心x为半径的圆，以C为圆心8-x为半径的圆，以B为圆心8为半径的的圆的面积和。再根据扇形的面积公式及圆的面积公式求出面积和即可。
14．【答案】3π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连结OP、OQ（如图），
∵∠A=30°，
∴∠POQ=2∠A=60°，
∵⊙O的半径为9，
∴弧长PQ===3π.
故答案为：3π.
【分析】连结OP、OQ，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，再由弧长公式计算即可.
15．【答案】：2
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连结OA，
∵M为AF中点，
∴OM⊥AF，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠AOM=30°，
设AM=a，
∴AB=AO=2a，OM=a，
∵正六边形中心角为60°，
∴∠MON=120°，
∴扇形MON的弧长为：=a=2r1，
∴r1=a，
同理：扇形DEF的弧长为：=a=2r2，
∴r2=a，
∴r1：r2=a：a=：2.
故答案为：：2.
【分析】连结OA，根据题意得OM⊥AF，由正六边形性质得∠AOM=30°，设AM=a，根据勾股定理和直角三角形性质得AB=AO=2a，OM=a，由弧长公式分别计算出扇形MON、DEF的弧长，得出它们的半径，从而得出答案.
16．【答案】3π
【知识点】弧长的计算；探索图形规律
【解析】【解答】解：转动一次A的路线长是： =π，
转动第二次的路线长是： π，
转动第三次的路线长是： π，
转动第四次的路线长是：0，
转动五次A的路线长是： =π，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：π+ π+ π=3π，
故答案为：3π.
【分析】根据旋转的性质和扇形的弧长公式求出每次转动的路线长，再相加即可得出答案.，
17．【答案】（1）证明：∵点A是劣弧BC的中点，
∴ =
∴∠ABC=∠ADB．
又∵∠BAD=∠EAB，∴△ABE∽△ADB．
∴
∴AB2=AE AD
（2）解：连结OA
∵AE=2，ED=4，
由(1)可知
∴AB2=AE AD，
∴AB2=AE AD=AE(AE+ED)=2×6=12．
∴AB= (舍负)．
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°．
在Rt△ABD中，BD=
∴OB= ．
∴OA=OB=AB=
∴△AOB为等边三角形
∴∠AOB=60°．
S阴影=S扇形AOB-S△AOB=
【知识点】扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由弧的中点可知，
= ，由圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得
∠ABC=∠ADB．又∠BAD与∠EAB是同一个角，故根据两组角对应相等的两个三角形相似即可得证；
（2）由（1）中结论可求出AB，根据勾股定理可求出BD，由等边三角形可判断出∠AOB=60°，利用弓形面积=扇形面积-三角形面积即可。
18．【答案】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED
（2）解： ∵OC⊥AD，
∴ ，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ADB=90°，再根据平行线的性质得出∠AEO=90°，根据垂径定理证明即可；
（2）利用垂径定理可求出 ∠AOC=72°， 然后根据弧长公式解答即可.
19．【答案】解：如图示，此工件的实物是一底面直径为 ，高为 的圆锥。此圆锥的底面积为 圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的半径为 扇形的弧长为 所以其侧面积为 故此圆锥的全面积为 此圆锥的体积为 所以此工件的全面积为 ，体积为
【知识点】勾股定理；弧长的计算；扇形面积的计算；圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【分析】根据三视图可知 ：此工件的实物是一底面直径为 d = 20 c m ，高为 h = 30 c m 的圆锥。根据勾股定理算出圆锥的侧面展开图扇形的半径为 r 1，根据圆的面积公式，弧长公式，扇形的面积公式算出此圆锥的底面积为 S 1，侧面展开的扇形的弧长为 l，侧面展开扇形的面积为 S2，故，由圆锥的全面积为 S = S 1 + S 2 ，圆锥的体积为 V = S 1 h得出答案。
20．【答案】（1）解： 如图，∴△A1B1C1就是所求作的图形
（2）解： 如上图，△A2B2C2就是所求作的图形；
∵BC22=22+32=13
∴ 线段BC旋转过程中所扫过的面积为：
【知识点】扇形面积的计算；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1。
（2）利用旋转的性质将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2；线段BC旋转过程中所扫过的图形是扇形，利用勾股定理求出此扇形的半径BC的长，再利用扇形的面积公式计算可求解。
21．【答案】解、连接CD，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，
∴∠A= 180 ° -90°-25°= 65 ° ，
∵CD=CA，
∴∠ADC=∠DAC= 65 ° ，
∠ACD= 180 ° - 65 ° - 65 ° = 50 ° ，
∴弧AD=== .
【知识点】三角形内角和定理；弧长的计算
【解析】【分析】连接CD，用三角形内角和定理可求得∠A的度数，再根据等边对等角可求得∠ADC的度数，则圆心角ACD的度数可求解，根据弧长=可求解。
22．【答案】解：连接OE．
阴影部分的面积=S△BCD-（S正方形OBCE-S扇形OBE）=1/2×2×4-（2×2-1/4π×2×2）=π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】连接OE，由已知的图像可得阴影部分的面积=三角形BCD的面积-(正方形OBCE的面积-扇形OBE的面积）=24-（22-）=。
23．【答案】（1）解：直线DE与⊙O相切．理由如下：
连接OE、OD，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
在△AOE和△DOE中
，
∴△AOE≌△DOE，
∴∠ODE＝∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴DE为⊙O的切线
（2）解：∵点E是AC的中点，
∴AE＝ AC＝2.4，
∵∠AOD＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴图中阴影部分的面积＝2 ×2×2.4﹣ ＝4.8﹣ π．
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由AC是⊙O的切线可知 ∠OAC＝90° ，E、O分别是AC、AB中点可知OE是中位线，从而可得出 ∠1＝∠2 ，再通过SAS可证明 △AOE≌△DOE ，得出 ∠ODE＝∠OAE＝90°，OA⊥AE，最后根据切线的判定定理即可得证。
（2）阴影部分面积可看成是四边形AEDO的面积减去扇形AOD的面积，通过计算可求。
24．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴ ，
∴∠A=∠DCB，
∵OF⊥AC，
∴∠AFO=∠CEB，
∵BE=OF，
∴△AFO≌△CEB（AAS），
（2）解：①∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD
∴ CE = CD=
设 OC=r，则 OE=r－4
∴ r2 = (r - 4)2 +
∴r=8.
②连结 OD，
∵ OE =4= ，
∴∠COB=60°，
∴∠COD=120°，
，
，
.
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)在△AFO与△CEB中，已知BE=OF， ∠AFO=∠CEB=90°，则需要再找一对角或一对边相等；由直径AB⊥CD，则 （垂径定理），则∠A=∠DCB，即可证得；（2）①在Rt△OCE中，由勾股定理可知 ，由垂径定理可求出CE即可；
②由（1）所证△AFO≌△CEB，则 ，分别求出 和 即可.
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册3.9弧长及扇形的面积 同步练习
一、单选题
1．（2018·黄石）如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则 的长为（ ）
A． B． C．2π D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD，
∵∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ABD=60°，
∴∠BOD=120°，
∴ 的长= = ，
故答案为：D．
【分析】连接OD，根据圆周角定理得出AOD=2∠ABD=60°，根据邻补角定义得出∠BOD=120°，根据弧长公式即可得出答案。
2．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.8 弧长及扇形的面积（1） 同步练习）如图，一段公路的转弯处是一段圆弧 ，则弧 的展直长度为（ ）
A．3π B．6π C．9π D．12π
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解： 的展直长度为： =6π（m）．
【分析】题中告知了弧所在扇形的圆心角的度数，扇形的半径，由弧长公式l=即可直接算出答案。
3．（2019九上·鄞州期末）如图，半径为3的⊙A的ED与□ABCD的边BC相切于点C，交AB于点E，ED的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连结AC，如图：
∵OA与边BC相切于点C，
∴AC⊥BC，
∴△ACB为直角三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD=90°，
又∵AC=AD=BC=3，
∴∠BAC=45°，
∴∠BAD=45°+90°=135°，
∴弧ED==.
故答案为：A.
【分析】连结AC，根据切线性质得AC⊥BC，由平行四边形性质和平行线性质得∠ACB=∠CAD=90°，由角的运算可得∠BAD=135°，根据弧长公式计算即可得出答案.
4．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交 于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作 交OB于点D．若OA=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． + B． +2 C． + D．2 +
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解： 连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴EO=2OC，
∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE= = ，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
= ﹣ ﹣（ ﹣ ）
=4π﹣π﹣ +2
= +2
故答案为：B．
【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO=30°，从而求出△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，阴影部分的面积=扇形AOB的面积-扇形COD的面积-S扇形AEC即可求出.
5．（2018九上·柯桥月考）如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB=CG=EF ；弯道为以点O为圆心的一段弧，且 ， ， 所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出. 其间两车到点O的距离y（m）与时间x(s)的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法：①甲车在立交桥上共行驶8s；②从F口出比从G口出多行驶40m；③甲车从F口出，乙车从G口出；④立交桥总长为150m．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①② D．①
【答案】B
【知识点】弧长的计算；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由已知可知。甲先出出口；乙车从F口出；甲车从G口出，故③错误；
甲车走完所用的时间为：5-3=2s，走完所用的时间为4s，走完AB所用的时间为3s，
∵均以10m/s的速度行驶，AB=CG=EF
∴走完AB、CG、EF的时间都是3s，
∴甲车在立交桥上共行驶5+3=8s ，故①正确；
∴从F出口比从G出口多行驶10×2×2=40m，故②正确；
∴立交桥的总长为：10×8+40+10×3=150m，故④正确；
∴正确的序号为： ①②④
故答案为：B
【分析】由已知条件可知甲先出出口；乙车从F口出；甲车从G口出，可对③作出判断；再求出甲车走完所用的时间及，走完所用的时间，走完AB所用的时间，再由均以10m/s的速度行驶，可得出AB=CG=EF，就可求出甲车再立交桥上共行驶的时间，可对①作出判断；从而可求出从F出口比从G出口多行驶的路程，可对②作出判断；然后算出立交桥的总长，可对④作出判断，综上所述，可得出正确答案的序号。
6．（2018九上·泰州期中）如图，点A，B，C，D，E，F等分⊙O，分别以点B，D，F为圆心，AF的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（ ）
A． + B． - C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H，
∵点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点，
∴∠AOB=60°，又OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=1，∠ABO=60°，
∴OH= = ，
∴“三叶轮”图案的面积=（ - ×1× ）×6=π- ，
故答案为：B．
【分析】连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H，由图可知，“三叶轮”图案的面积=6（60°的圆心角所对的扇形的面积-△AOB的面积）。根据六等分圆易知△AOB是等边三角形，扇形OAB的半径为1，由勾股定理可求OH的长，代入计算即可求出答案。
7．（2018七上·南京期中）图案的地砖，要求灰、白两种颜色面积大致相同，那么下面最符合要求的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】设正方形边长为2a，则：
A、灰色区域面积=正方形面积－圆的面积= ，白色区域面积=圆面积= ，两者相差很大；
B、灰色区域面积=正方形面积－圆的面积= ，白色区域面积=圆面积= ，两者相差很大；
C、色区域面积=正方形面积－圆的面积= ，白色区域面积=圆面积= ，两者相差很大；
D、灰色区域面积=半圆的面积－正方形面积= ，白色区域面积=正方形面积－灰色区域面积= ，两者比较接近．
故答案为：D．
【分析】由扇形面积=、圆的面积=，结合图形计算即可判断求解。
8．（2018九上·东台期中）用一张扇形的纸片卷成一个如图所示的圆锥模型，要求圆锥的母线长为6cm，底面圆的直径为8cm，那么这张扇形纸片的圆心角度数是（ ）
A．150° B．180° C．200° D．240°
【答案】D
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】∵底面圆的直径为8cm，
∴圆锥的底面周长为8πcm，
设圆锥的侧面展开图的圆心角为
∴
解得： ，
故答案为：D.
【分析】先求出底面周长，根据圆锥的底面周长就是其侧面展开图的弧长可求出答案.
9．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册第3章 圆的基本性质 单元检测a卷）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O'，B'，连接BB'，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，OO′=OA，
∴点O′在⊙O上，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B-（S扇形O′OB-S△OO′B）=
= .
故答案为：C
【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得出∠OAO′=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△OAO′是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AOO′=60°，OO′=OA，从而得出点O′在⊙O上，进而判断出△OO′B是等边三角形，根据等边三角形的性质及周角的定义得出∠B′O′B=120°，根据三角形的内角和及等边对等角得出∠O′B′B=∠O′BB′=30°，从而得出三角形OB′B是含30°角的直角三角形，进而可以算出BB'的长，然后根据图中阴影部分的面积=S△B′O′B-（S扇形O′OB-S△OO′B）=S△OBB'-S扇形O'OB即可算出答案。
10．（人教版七年级数学上册 第三章一元一次方程 单元检测b卷）如图，六位朋友均匀的围坐在圆桌旁聚会．圆桌的半径为80cm，每人离桌边10cm，又后来两位客人，每人向后挪动了相同距离并左右调整位置，使8个人都坐下，每相邻两人之间的距离与原来相邻两人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为xcm．则根据题意，可列方程为（ ）
A．
B．
C．2π（80+10）×8=2π（80+x）×10
D．2π（80﹣x）×10=2π（80+x）×8
【答案】A
【知识点】解一元一次方程；弧长的计算
【解析】【解答】解：设每人向后挪动的距离为xcm，应首先明确弧长公式：l= ．
六位朋友每相邻两人之间的弧长所对的圆心角度数为60°，半径为（80+10）cm，即l= ；
八位朋友每相邻两人之间的弧长所对的圆心角度数为45°，半径为80+10+x，即l= ．
根据距离相等可列方程为 ，
故答案为：A．
【分析】根据题意表示出6位朋友与8位朋友围坐时的半径，利用弧长公式，列出方程。
二、填空题
11．（2018九上·兴化期中）给一个圆锥形零件的侧面涂漆，零件的尺寸要求如图所示，则需要涂漆的面积为 （结果保留π）.
【答案】72
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】12÷2=6cm，
π×6×12=72 （cm2）.
故答案为：72 .
【分析】根据圆锥的侧面积等于底面周长与母线长乘积的一半即可算出答案。
12．（2018九上·长兴月考）如图．正五边形硬纸片ABCDE在桌面上沿直线l无滑动地翻滚一周，若正五边形ABCDE的外接圈的半径长为3cm，则正五边形的中心O运动的路径长为 cm
【答案】6π
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解： 正五边形硬纸片ABCDE在桌面上沿直线l无滑动地翻滚一周
∴ 正五边形的中心O就是以正五边形的半径为半径旋转360°
∴ 正五边形的中心O运动的路径长为：
故答案为：
【分析】根据题意可知正五边形的中心O就是以正五边形的半径为半径旋转360°，利用弧长公式可求解。
13．（2018九上·天台月考）在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=8m.拴住小狗的8m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）.
①如图1，若BC＝2m，则S＝ m2.
②如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变.则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为 m.
【答案】58；2
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】①如图1可知，小狗的活动范围是以A为圆心2为半径的圆，以C为圆心6为半径的圆，以B为圆心8为半径的面积和。的的圆的面积和
∴S=
=58
故答案为：58
②如图2，设BC为x，则DC=8-x
S=
=
∵a=
∴当x=2时即BC=2，S最小值=52
故答案为：2
【分析】①画出图形，如图1可知，小狗的活动范围是以A为圆心2为半径的圆，以C为圆心（8-x）为半径的圆，以B为圆心8为半径的面积和。的的圆的面积和，再根据扇形的面积公式及圆的面积公式求出面积和即可。
②画出图形，如图1可知，小狗的活动范围是以A为圆心x为半径的圆，以C为圆心8-x为半径的圆，以B为圆心8为半径的的圆的面积和。再根据扇形的面积公式及圆的面积公式求出面积和即可。
14．（2018九上·义乌期中）如图，小明做实验时发现，当三角板中30°角的顶点A在⊙O上移动，三角板的两边与⊙O相交于点P、Q时， 的长度不变．若⊙O的半径为9，则 长为 .
【答案】3π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连结OP、OQ（如图），
∵∠A=30°，
∴∠POQ=2∠A=60°，
∵⊙O的半径为9，
∴弧长PQ===3π.
故答案为：3π.
【分析】连结OP、OQ，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，再由弧长公式计算即可.
15．（2019九上·鱼台期末）如图，点0为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点0为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=
【答案】：2
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连结OA，
∵M为AF中点，
∴OM⊥AF，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠AOM=30°，
设AM=a，
∴AB=AO=2a，OM=a，
∵正六边形中心角为60°，
∴∠MON=120°，
∴扇形MON的弧长为：=a=2r1，
∴r1=a，
同理：扇形DEF的弧长为：=a=2r2，
∴r2=a，
∴r1：r2=a：a=：2.
故答案为：：2.
【分析】连结OA，根据题意得OM⊥AF，由正六边形性质得∠AOM=30°，设AM=a，根据勾股定理和直角三角形性质得AB=AO=2a，OM=a，由弧长公式分别计算出扇形MON、DEF的弧长，得出它们的半径，从而得出答案.
16．（2018九上·桐乡期中）如图，在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=1.5，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右第一次旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右第二次旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转4次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ．
【答案】3π
【知识点】弧长的计算；探索图形规律
【解析】【解答】解：转动一次A的路线长是： =π，
转动第二次的路线长是： π，
转动第三次的路线长是： π，
转动第四次的路线长是：0，
转动五次A的路线长是： =π，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：π+ π+ π=3π，
故答案为：3π.
【分析】根据旋转的性质和扇形的弧长公式求出每次转动的路线长，再相加即可得出答案.，
三、解答题
17．（2019九上·龙湖期末）如图，BD为⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E，连结AB.
（1）求证：AB2=AE·AD；
（2）若AE=2，ED=4，求图中阴影的面积．
【答案】（1）证明：∵点A是劣弧BC的中点，
∴ =
∴∠ABC=∠ADB．
又∵∠BAD=∠EAB，∴△ABE∽△ADB．
∴
∴AB2=AE AD
（2）解：连结OA
∵AE=2，ED=4，
由(1)可知
∴AB2=AE AD，
∴AB2=AE AD=AE(AE+ED)=2×6=12．
∴AB= (舍负)．
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°．
在Rt△ABD中，BD=
∴OB= ．
∴OA=OB=AB=
∴△AOB为等边三角形
∴∠AOB=60°．
S阴影=S扇形AOB-S△AOB=
【知识点】扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由弧的中点可知，
= ，由圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得
∠ABC=∠ADB．又∠BAD与∠EAB是同一个角，故根据两组角对应相等的两个三角形相似即可得证；
（2）由（1）中结论可求出AB，根据勾股定理可求出BD，由等边三角形可判断出∠AOB=60°，利用弓形面积=扇形面积-三角形面积即可。
18．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求 的长．
【答案】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED
（2）解： ∵OC⊥AD，
∴ ，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ADB=90°，再根据平行线的性质得出∠AEO=90°，根据垂径定理证明即可；
（2）利用垂径定理可求出 ∠AOC=72°， 然后根据弧长公式解答即可.
19．（2018·淮南模拟）如图是某工件的三视图，求此工件的全面积和体积．
【答案】解：如图示，此工件的实物是一底面直径为 ，高为 的圆锥。此圆锥的底面积为 圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的半径为 扇形的弧长为 所以其侧面积为 故此圆锥的全面积为 此圆锥的体积为 所以此工件的全面积为 ，体积为
【知识点】勾股定理；弧长的计算；扇形面积的计算；圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【分析】根据三视图可知 ：此工件的实物是一底面直径为 d = 20 c m ，高为 h = 30 c m 的圆锥。根据勾股定理算出圆锥的侧面展开图扇形的半径为 r 1，根据圆的面积公式，弧长公式，扇形的面积公式算出此圆锥的底面积为 S 1，侧面展开的扇形的弧长为 l，侧面展开扇形的面积为 S2，故，由圆锥的全面积为 S = S 1 + S 2 ，圆锥的体积为 V = S 1 h得出答案。
20．（2018九上·天台月考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）
【答案】（1）解： 如图，∴△A1B1C1就是所求作的图形
（2）解： 如上图，△A2B2C2就是所求作的图形；
∵BC22=22+32=13
∴ 线段BC旋转过程中所扫过的面积为：
【知识点】扇形面积的计算；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1。
（2）利用旋转的性质将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2；线段BC旋转过程中所扫过的图形是扇形，利用勾股定理求出此扇形的半径BC的长，再利用扇形的面积公式计算可求解。
21．（2018九上·杭州期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，CA=3，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D，求弧AD的长。
【答案】解、连接CD，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，
∴∠A= 180 ° -90°-25°= 65 ° ，
∵CD=CA，
∴∠ADC=∠DAC= 65 ° ，
∠ACD= 180 ° - 65 ° - 65 ° = 50 ° ，
∴弧AD=== .
【知识点】三角形内角和定理；弧长的计算
【解析】【分析】连接CD，用三角形内角和定理可求得∠A的度数，再根据等边对等角可求得∠ADC的度数，则圆心角ACD的度数可求解，根据弧长=可求解。
22．（2018·河北模拟）如图，矩形ABCD中，BC=" 2" ， DC = 4。以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为 。（结果保留π）
【答案】解：连接OE．
阴影部分的面积=S△BCD-（S正方形OBCE-S扇形OBE）=1/2×2×4-（2×2-1/4π×2×2）=π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】连接OE，由已知的图像可得阴影部分的面积=三角形BCD的面积-(正方形OBCE的面积-扇形OBE的面积）=24-（22-）=。
23．（2019九上·汕头期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝4.8，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：直线DE与⊙O相切．理由如下：
连接OE、OD，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
在△AOE和△DOE中
，
∴△AOE≌△DOE，
∴∠ODE＝∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴DE为⊙O的切线
（2）解：∵点E是AC的中点，
∴AE＝ AC＝2.4，
∵∠AOD＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴图中阴影部分的面积＝2 ×2×2.4﹣ ＝4.8﹣ π．
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由AC是⊙O的切线可知 ∠OAC＝90° ，E、O分别是AC、AB中点可知OE是中位线，从而可得出 ∠1＝∠2 ，再通过SAS可证明 △AOE≌△DOE ，得出 ∠ODE＝∠OAE＝90°，OA⊥AE，最后根据切线的判定定理即可得证。
（2）阴影部分面积可看成是四边形AEDO的面积减去扇形AOD的面积，通过计算可求。
24．（2018九上·宁波期中）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE=OF．
（1）求证：△AFO≌△CEB；
（2）若BE=4，CD = 求：
①⊙O的半径；
②求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴ ，
∴∠A=∠DCB，
∵OF⊥AC，
∴∠AFO=∠CEB，
∵BE=OF，
∴△AFO≌△CEB（AAS），
（2）解：①∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD
∴ CE = CD=
设 OC=r，则 OE=r－4
∴ r2 = (r - 4)2 +
∴r=8.
②连结 OD，
∵ OE =4= ，
∴∠COB=60°，
∴∠COD=120°，
，
，
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【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)在△AFO与△CEB中，已知BE=OF， ∠AFO=∠CEB=90°，则需要再找一对角或一对边相等；由直径AB⊥CD，则 （垂径定理），则∠A=∠DCB，即可证得；（2）①在Rt△OCE中，由勾股定理可知 ，由垂径定理可求出CE即可；
②由（1）所证△AFO≌△CEB，则 ，分别求出 和 即可.
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