2023年高考一轮复习第一节　平面向量的概念及线性运算 教案(word版含答案)

第五章 平面向量及其应用、复数
第一节　平面向量的概念及线性运算
教学目标：
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.
4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.
5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量
长度(模) 向量的大小叫做向量的长度(或称模) 记作|a|或||
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a的单位向量为±
平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量) 0与任一向量平行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求两向量的差(即求a与b的相反向量－b的和的运算) a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ a；λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.注意两向量共线包括同向或反向共线．
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
(2)O为△ABC重心的充要条件为＋＋＝0.
(3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则＋＝2.
(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
(5)解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
1.(人教A版必修第二册P4·例2改编)如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与共线的向量有(　 )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：C
2．(苏教版必修第二册P19·习题T3改编)(多选)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，＝a，＝b.下列命题中正确的是(　 )
A．＝a＋b B．＝－a＋b
C．＝－a－b D．＋＋＝0
答案：ABCD
3．(人教B版必修第二册P150·T3改编)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.
答案：
4．已知＝－＋，则＝________.
答案：
5．若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD的形状是________．
答案：等腰梯形
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点　平面向量的概念　
[题点全训]
1．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　 )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
解析：选C　因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A、B、D；当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．
2．给出下列四个命题：
①∥，就是所在的直线与所在的直线平行；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是(　 )
A．②③ B．①② C．③④ D．②④
解析：选A　①不正确．所在的直线与所在的直线可能重合；②正确．∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，∥且，方向相同，因此＝；③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c；④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③，故选A.
3.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　 )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
解析：选D　根据相等向量的定义，分析可得与不平行，与不平行，所以＝，＝均错误，与平行，但方向相反也不相等，只有与方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以＝.
[一“点”就过]
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．
(4)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　平面向量的线性运算　
[典例]　(1)(多选)在△ABC中，E，F分别是边BC和AC上的中点，P是AE与BF的交点，则有(　 )
A．＝＋　 B．＝2
C．＝＋ D．＝＋
(2)(2022·杭州高三期末)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若＝m＋n，则＝________.
[解析]　(1)如图，根据三角形中线性质和平行四边形法则知，＝＋＝＋＝＋(－)＝(＋)，A正确；因为EF是中位线，所以＝－2，B错误；设G为AB的中点，根据三角形重心性质知，CP＝2PG，所以＝＝×(＋)＝(＋)，所以C正确，D错误．
(2)由AD为BC边上的中线，E为AD的中点，可得，＝＋＝－(＋)＋＝－，所以m＝，n＝－，所以＝－3.
[答案]　(1)AC　(2)－3
[方法技巧]
向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．　　
[针对训练]
1．(2020·新高考全国Ⅱ卷)若D为△ABC的边AB的中点，则＝(　 )
A．2－ B．2－
C．2＋ D．2＋
解析：选A　∵D为△ABC的边AB的中点，∴＝(＋)，∴＝2－.故选A.
2．在△ABC中，＝，＝，且＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　 )
A．1　　　B.　　　C．－　　　D．－1
解析：选C　由题意在△ABC中，＝，＝，根据向量的线性运算法则，可得＝＋＝＋＝－＋(－)＝－＋，又由＝λ＋μ，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝－＋＝－.
重难点(二)　共线向量定理及其应用　
[典例]　设e1，e2是两个不共线的非零向量．
(1)若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试求实数k的值，使向量ke1＋e2和e1＋ke2共线．
[解]　(1)证明：∵＝＋＝2e1＋8e2＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)＝5，∴∥，又有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)设ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，化为(k－λ)e1＋(1－λk)e2＝0，∴解得k＝±1.
[方法技巧]　利用共线向量定理解题的策略
证明三点共线 当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线 ， 共线
含参共线问题 利用a∥b a＝λb(b≠0) x1y2－x2y1＝0构造含有参数的方程(组)，解方程(组)得到参数的值．若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0
三点共线的应用 ＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1
[针对训练]
1．已知a，b是不共线的非零向量，若(2a－kb)∥(a＋2b)，则实数k＝(　 )
A．－4 B．1 C．－1 D．2
解析：选A　由(2a－kb)∥(a＋2b)可知存在实数λ，使得2a－kb＝λ(a＋2b)＝λa＋2λb，所以从而可得k＝－4.
2．(2022·临沂模拟)已知向量a，b且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　 )
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
解析：选A　由＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，可得＝＋＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，所以A，B，D共线，所以A正确；B、C、D显然不正确．
3．在△ABC中，D在线段BC上，且＝2，＝λ，＝μ，λ，μ均为非零常数，若N，D，M三点共线，则＋＝________.
解析：∵＝2，∴＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∵＝λ，＝μ，∴＝，＝，∴＝＋，若N，D，M三点共线，则＋＝1，∴＋＝3.
答案：3
不能通过确定线段比来确定面积比
利用向量的线性运算求三角形等平面图形的面积比问题要结合图形，利用化归的数学思想方法，把面积比问题转化为线段比来解决．
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[典例]　若点G是△ABC的重心，点M，N分别在AB，AC上，且满足＝x＋y，其中x＋y＝1.若＝，则△AMN与△ABC的面积之比为________．
[解析]　
设BC的中点为D，则＝＝×(＋)＝(＋)，因为＝，所以＝，所以＝＋，因为＝x＋y，所以x＝，因为x＋y＝1，所以y＝，所以＝，所以＝，所以＝＝＝＝.
[答案]　
注意到△AMN与△ABC有公共的顶点A，利用三角形的面积公式S＝bcsin A可把面积比问题转化为求线段比，由条件及向量的线性运算，用，表示出，求出x，y，得到M，N的位置，从而可得到答案．　　
[针对训练]
(2022·浙江高一期中)若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋.则△ABM与△ABC的面积之比为(　 )
A. B． C. D.
解析：选A　∵＝＋，∴＋＝＋，即(－)＝(－) ＝，即＝，
∴＝，如图，故△ABM与△ABC同高且底的比为1∶4，∴S△ABM∶S△ABC＝1∶4.
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽视零向量及参数为0致误)(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是(　 )
A．m(a－b)＝ma－mb　 B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n
解析：选AB　C错误，例如m＝0；D错误，例如a＝0；A，B是数乘运算的分配律，正确．
2．(混淆实数与向量的运算律)已知矩形ABCD，||＝1，||＝2，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝(　 )
A．3＋ B．4 C．2 D．3＋2
解析：选B　由向量加法的三角形法则得|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋＋|＝2||＝4.
3．(不能灵活应用常用结论致误)在△ABC所在平面中，点O满足＋＋＝0，则＝(　 )
A.＋ B．－
C.＋ D.＋
解析：选A　如图，由＋＋＝0，易知O为△ABC的重心，∴＝＝(＋)＝(＋)＝＋.
4．(忽视向量共线的方向性)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为(　 )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或－
解析：选B　由于c与d反向共线，则存在实数k使得c＝kd(k<0)，则有λa＋b＝ka＋(2λ－1)kb，所以整理可得2λ2－λ－1＝0，因为λ<0，解得λ＝－.
二、融会贯通应用创新题
5.(借助数学文化)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝(　 )
A.a＋b B．a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选C　由题得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)＋ ))，解得＝＋，即＝a＋b，故选C.
6.(渗透“五育”教育)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝，则(　 )
A．＝＋
B．＝＋
C．＝＋
D．＝＋
解析：选A　设AP＝a，因为＝，所以PT＝a，CP＝a，CA＝a，所以＝，＝＝－，
因为＝＋，所以＝＋，所以＝·＋＝＋.
7．(创新命题形式)已知向量＝a，＝b，P1，P2，…，Pn－1(n∈N，n＞1)是线段AB上依次从A到B排列的n等分点，若5＝xa＋yb，则x＋y＝________，1＋2＋…＋n－1＝________(a＋b)．
解析：由三点共线的结论知x＋y＝1；由题知1＋2＋…＋n－1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋(b－a)))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋(b－a)))＋…＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋(b－a)))＝(n－1)a＋(b－a)＝(a＋b)．
答案：1　
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　 )
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a
解析：选B　对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，A错误；由λ2＞0可知B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定，C错误；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小，D错误．
2．(多选)已知A，B，C是三个不同的点，＝a－b，＝2a－3b，＝3a－5b，则下列结论正确的是(　 )
A．＝2 B．＝
C．＝3 D．A，B，C三点共线
解析：选ABD　由题可得＝－＝a－2b，＝－＝2a－4b，＝－＝a－2b，∴＝2，故A正确；＝，故B正确；＝2，故C错误；由＝2可得∥，A为公共点，故A，B，C三点共线，故D正确．
3．(2022·成都高三期末)已知在△ABC中，点D在BC边上，且＝3，则(　 )
A．＝＋ B．＝＋
C．＝＋ D．＝＋
解析：选B　如图，＝＋，因为＝3，所以＝＝(－)，所以＝＋＝＋(－)＝＋，故选B.
4．已知a，b是两个不共线的向量，且向量b＋ma，a－3b共线，则实数m的值为(　 )
A．3 B．－3 C. D．－
解析：选D　设b＋ma＝k(a－3b)，即b＋ma＝ka－3kb，则解得
5.(2022·成都一模)如图，在△ABC中，D为线段BC上异于B，C的任意一点，E为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　 )
A. B． C. D.
解析：选B　在△ABC中，，不共线，点D在BC上，则∥，存在唯一实数t使＝t －＝t(－) ＝t＋(1－t) ，因为E为AD的中点，＝＝＋，而＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.
6．若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝8，则|a＋b|的最小值为________．
解析：当a与b共线且反向时|a＋b|的最小值为5.
答案：5
7．设M是△ABC所在平面上的一点，＋＋＝0，D是AC的中点，t＝，则实数t的值为________．
解析：因为D是AC的中点，所以＋＝2，又因为＋＋＝0，所以＋(＋)＝＋＝0，即＝，又因为t＝，所以t＝.
答案：
8．在△ABC中，G为重心，E，F，D分别是AB，BC，AC边的中点，则＋＋＝________.
解析：因为＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋，又因为G为重心，所以＋＝2＝－，所以＋＋＝＋＋＝－＋＝0.
答案：0
9．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
解：(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵＝2e1－8e2，∴＝2.又与有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)由(1)可知＝e1－4e2，∵＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，∴＝λ (λ∈R)，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，∴解得k＝12.
10.如图，在三角形OAB中，点D在线段OB上，且OD＝2DB，延长BA到C，使BA＝AC.设＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，；
(2)设向量n＝＋，求证：n∥，并求eq \f(|n|,||)的值．
解：(1)因为A为BC的中点，所以＝(＋)，所以＝2－＝2a－b，＝－＝－＝2a－b.
(2)证明：由(1)得＝2a－b，＝2a－b，所以n＝＋＝a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－b))＝a－b＝(2a－b)＝，所以n∥，eq \f(|n|,||)＝.
二、重点难点培优训练
1．(2022·珠海一模)(多选)在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ (λ，μ为正实数)，则下列结论正确的是(　 )
A．λμ的最小值为16 B．λμ的最大值为
C.＋的最大值为16 D.＋的最小值为4
解析：选BD　因为D为AC上一点且满足＝，所以＝4，因为＝λ＋μ，所以＝λ＋4μ，因为P为BD上一点，所以B，P，D三点共线，则有λ＋4μ＝1，由基本不等式可得1＝λ＋4μ≥2＝4，解得λμ≤，当且仅当λ＝4μ＝时取等号，故λμ的最大值为，故选项A错误，选项B正确；＋＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))(λ＋4μ)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当λ＝4μ＝时取等号，故＋的最小值为4，故选项C错误，选项D正确．故选B、D.
2．(2022·武汉模拟)设D为△ABC的边AB的中点，P为△ABC内一点，且满足＝＋，则＝(　 )
A. B． C. D.
解析：选A　因为D为△ABC的边AB的中点，所以S△ABC＝2S△ADC，又因为P为△ABC内一点，且满足＝＋，所以－＝，即＝，即|DP|＝|BC|且DP∥BC，因为S△ABC＝|AB||BC|sin B，S△APD＝|AD||DP|sin B＝×|AB|×|BC|sin B＝×|AB||BC|sin B＝S△ABC，所以＝＝.
3．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________．
解析：因为＝＋，所以3＝2＋，即2－2＝－，所以2＝.
即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，
又因为A，M，Q三点共线，设＝λ.
所以＝－＝λ－＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2) ))－＝＋，又＝t＝t(－)＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－ ))＝－t.
故解得故t的值是.
答案：
4.如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.
(1)试用向量a，b表示；
(2)过点M作直线EF，分别交线段AC，BD于点E，F.记＝λa，＝μb，求证：＋为定值．
解：(1)由A，M，D三点共线，可设＝m，则＝m＋(1－m) ＝ma＋b，由B，M，C三点共线，可设＝n，则＝n＋(1－n)＝a＋(1－n)b，∴解得∴＝a＋b.
(2)证明：∵E，M，F三点共线，设＝k，则＝k＋(1－k) ＝kλa＋(1－k)μb，由(1)知kλ＝，(1－k)μ＝，∴＝7k，＝7－7k，∴＋＝7，为定值．