2023年高考一轮复习第二节　平面向量基本定理及坐标表示 教案(word版含答案)

第二节　平面向量基本定理及坐标表示
教学目标：
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)平面向量运算的坐标表示
坐标表示
和(差)、数乘 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ为实数)
任一向量的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝
(2)平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则向量a，b共线的充要条件为x1y2－x2y1＝0.
(1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
(3)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(，)).
(4)a∥b的充要条件不能表示为＝，因为x2，y2有可能为0.
(5)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
1．(人教A版必修第二册P29·例4改编)已知a＝(3,6)，b＝(x，y)，若a＋3b＝0，则b＝(　 )
A．(1,2) B．(－1，－2)
C．(－1,2) D．(1，－2)
答案：B
2.(人教B版必修第二册P155·例5改编)如图，＝2，＝a， ＝b，＝c，下列等式中成立的是(　 )
A．c＝b－a B．c＝a－b
C．c＝2a－b　　 D．c＝2b－a
答案：B
3．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________.
答案：
4．(湘教版必修第二册P29·T5改编)已知向量＝(1，－2)，＝(2，－3)，＝(3，t)，若A，B，C三点共线，则实数t＝________.
解析：因为＝(1，－2)，＝(2，－3)，＝(3，t)，所以＝－＝(2，－3)－(1，－2)＝(1，－1)，＝－＝(3，t)－(1，－2)＝(2，t＋2)，又A，B，C三点共线，所以向量与向量共线，所以t＋2＋2＝0，解得t＝－4.
答案：－4
5.如图，矩形ABCD中，点P在矩形边上运动，若＝2，＝λ＋μ，则λ2＋μ2的值为________．
解析：由题意＝＋＝＋＝＋，又＝λ＋μ，∴∴λ2＋μ2＝.
答案：
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点　平面向量的坐标运算　
[题点全训]
1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　 )
A．(－2,4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(－3，－7)
解析：选B　在平行四边形ABCD中， ＝(2,4)，＝(1,3)，所以＝－＝(－1，－1)，所以＝＋＝(－3，－5)．
2．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　 )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
解析：选A　设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，∴从而C(－4，－2)，＝(－4－3，－2－2)＝(－7，－4)．
3.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　 )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选D　以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)，∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，则解得
∴＝4.
4．已知向量a＝(m,2)，b＝(1,1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|，则实数m＝________.
解析：∵向量a＝(m,2)，b＝(1,1)，∴a＋b＝(m＋1,3)．∵|a＋b|＝|a|＋|b|，∴＝＋，解得m＝2.
答案：2
[一“点”就过]
利用向量的坐标运算解题时，首先利用加、减、数乘运算法则进行运算，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，转化为方程(组)进行求解．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　平面向量基本定理及其应用　
[典例]　(1)(2021·蚌埠模拟)已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设＝a，＝b，则＝(　 )
A.a＋b B．a＋b
C.a－b D．－a＋b
(2)如图，在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　 )
A. B．－ C．2 D．－2
[解析]　(1)∵AD为边BC上的中线，∴＝－＝－，又BE为边AC上的中线，∴＝＋＝＋＝＋，∴a＝－，b＝＋，∴＝a＋b.
(2)因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得＝t＝t(－)(0≤t≤1)．因为M是线段AD的中点，所以＝(＋)＝(－＋t－t)＝－(t＋1)＋t.又＝λ＋μ，所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，所以λ＋μ＝－.
[答案]　(1)B　(2)B
[方法技巧]
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．　　
[针对训练]
1.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝＋，则实数m的值为(　 )
A. B． C．1 D．3
解析：选A　因为＝＋＝m＋，设＝t，而＝＋＝＋t(＋)＝＋teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))＝(1－t) ＋t，所以m＝1－t且＝，故m＝1－t＝1－＝.
2．在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，E为AD的靠近D的三等分点，CE与BD交于F，则＝(　 )
A．－a－b B．－a＋b
C．－a－b D.a－b
解析：选A　如图，在AD上取G点，使得AG＝GE＝ED，在BC上由左到右取K，H，使得BK＝KH＝HC，连接AK，GH，则AK∥GH∥EC，因为DE∥BC且DE＝BC，所以DF＝DB(相似比)，所以＝＋＝－a＋(a－b)＝－a－b.
重难点(二)　平面向量共线的坐标表示　
[典例]　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(m，－1)，若c∥(2a＋b)，则m等于(　 )
A．－2 B．－1 C．－ D.
(2)在△ABC中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC交于点M，则点M的坐标为________．
[解析]　(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴2a＋b＝(4,2)，又c＝(m，－1)，c∥(2a＋b)，∴2m＋4＝0，解得m＝－2，故选A.
(2)因为点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，所以点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，))，同理点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，)).设M的坐标为(x，y)，则＝(x，y－5)，而＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－))，因为A，M，D三点共线，所以与共线，所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20，而＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－))，＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－0，3－))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，))，因为C，M，B三点共线，所以与共线，所以x－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－))＝0，即7x－16y＝－20.由得所以点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(，2)).
[答案]　(1)A　(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(，2))
[方法技巧]
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．　　
[针对训练]
1．设向量＝(1，－2)，＝(2m，－1)，＝(－2n,0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为(　 )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
解析：选A　由题意易知，∥，其中＝－＝(2m－1,1)，＝－＝(－2n－1,2)，
所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，解得2m＋1＋2n＝1.又2m＋1＋2n≥2，当且仅当2m＋1＝2n，即m＋1＝n时取等号，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3.
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________.
解析：因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，结合余弦定理知，cos C＝＝，又0°答案：60°
在向量问题中想不到应用坐标法解题
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[典例]　在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　 )
A．3 B．2 C. D．2
[解题观摩]　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝.因为P在圆C上，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋cos θ，2＋sin θ)).又＝(1,0)，＝(0,2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)，所以λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.
[答案]　A
本题先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出λ＋μ的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了用坐标法解决问题的优势．通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后结合三角函数、解析几何或函数等知识进行求解，凸显了向量的代数特征．　　
[针对训练]
给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的取值范围为(　 )
A．(1,2] B．[1,2] C．[1,2) D．[－2,2]
解析：选B　由题意，以O为原点，OA为x轴的正方向，建立如图所示的坐标系，设C(cos θ，sin θ)，0°≤θ≤120°可得A(1,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－，))，由＝x(1,0)＋yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－，))得，x－y＝cos θ，y＝sin θ，从而x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin(θ＋30°)，又0°≤θ≤120°，所以30°≤θ＋30°≤150°，所以1≤2sin(θ＋30°)≤2，故x＋y的范围为[1,2]，故选B.
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽视两向量作为基底的条件)已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为(　 )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
解析：选D　当e1∥e2时，a∥e1，又b＝2e1，所以b∥e1，又e1≠0，故a与b共线；当λ＝0时，a＝e1，又b＝2e1，e1≠0，故a与b共线．
2．(忽视向量共线的充要条件)已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的(　 )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　若m＝－3，则a＝(9，－9)＝9b，故a∥b；若a∥b，则－m2－(－9)×1＝0，解得m＝3或m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件．
3.(混淆基底的选择)如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　 )
A. B．－
C．1 D．－1
解析：选A　因为E为DC的中点，所以＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋，即＝－＋，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.
4．(求点的坐标时，忽视分类讨论)设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为(　 )
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1)
解析：选C　∵A(2,0)，B(4,2)，∴＝(2,2)，∵点P在直线AB上，且||＝2||，∴＝2或＝－2，故＝(1,1)或＝(－1，－1)，故P点坐标为(3,1)或(1，－1)，故选C.
二、融会贯通应用创新题
5．(结合新定义问题)若a，β是一组基底，向量γ＝xa＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底a，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为(　 )
A．(2,0)　 B．(0，－2)　　C．(－2,0)　　D．(0,2)
解析：选D　∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，∴解得∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．
6．(创新命题情境)奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·＋SB·＋SC·＝0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．设O为三角形ABC内一点，且满足：＋2＋3＝3＋2＋，则＝(　 )
A. B． C. D.
解析：选D　∵O为三角形ABC内一点，且满足＋2＋3＝3＋2＋，∴＋2＋3＝3(－)＋2(－)＋(－) 3＋＋2＝0，∵SA·＋SB·＋SC·＝0，∴＝＝＝.
7.(创新考查方式)如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合，若＝x＋y，则x＝________，y ＝________.
解析：过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，过点A作AF⊥BE于点F(图略)，由∠ACD＝45°，∠BCA＝90°，得∠BCE＝45°，则CE＝BE.设CE＝BE＝mCD(m＞0)，则AF＝ED＝(m＋1)CD，BF＝BE－EF＝(m－1)CD，AB＝2AC＝2CD.由AF2＋BF2＝AB2可得[(m＋1)CD]2＋[(m－1)CD]2＝(2CD)2，解得m＝，故＝＋＝(1＋)＋ .　
答案：1＋　
8．(体现开放探究)已知点A(1,3)，B(4，－1)，写出一个与向量共线的向量坐标为________．
解析：因为A(1,3)，B(4，－1)，所以＝(3，－4)，所以与向量共线的向量的坐标可以是(3λ，－4λ)，λ∈R.
答案：(3λ，－4λ)，λ∈R(答案不唯一)
9．(体现开放探究)对于n个向量a1，a2，a3，…，an，若存在n个不全为0的实数k1，k2，k3，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋k3a3＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，a3，…，an是线性相关的．按此规定，能使向量a1＝(1,0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,2)线性相关的实数k1，k2，k3的值依次为________(只需写出一组值即可)．
解析：因为向量a1＝(1,0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,2)是线性相关的，所以k1a1＋k2a2＋k3a3＝0，即k1(1,0)＋k2(1，－1)＋k3(2,2)＝0，即(k1＋k2＋2k3，－k2＋2k3)＝0，所以不妨令k2＝2，则k3＝1，k1＝－4.所以能使向量a1，a2，a3线性相关的实数k1，k2，k3的值依次可以为－4,2,1.
答案：－4,2,1(答案不唯一)
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　 )
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
解析：选A　由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，
所以解得所以c＝(－23，－12)．
2．(多选)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1,3)，则下列向量与2a＋b平行的是(　 )
A. B．(1，－3)
C．(1，－2) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－))
解析：选AD　因为a＝(2，－1)，b＝(－1,3)，所以2a＋b＝(3,1)，故若向量(x，y)满足3y－x＝0，则该向量与2a＋b平行．检验易知A、D符合题意．
3．已知向量a＝(2,3)，b＝(1,1)，向量ma＋nb与2a－3b共线，则＝(　 )
A. B． C．－ D．－
解析：选C　由题意可知：a和b不共线，所以a和b可以作为一组基底，而ma＋nb与2a－3b共线，所以＝＝－，故选C.
4．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设＝a，＝b，则＝(　 )
A.a＋b B．a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选B　如图所示，＝＝(eq \o(,\s\up7(―→))－eq \o(,\s\up7(―→)))＝(－)，eq \o(,\s\up7(―→))＝eq \o(,\s\up7(―→))－eq \o(,\s\up7(―→))＝＋，则＝eq \o(,\s\up7(―→))＋＝(＋)＋(－)＝＋＝a＋b.
5．已知|eq \o(,\s\up7(―→))|＝1，|eq \o(,\s\up7(―→))|＝，eq \o(,\s\up7(―→))⊥eq \o(,\s\up7(―→))， 点C在线段AB上，∠AOC＝30°.设eq \o(,\s\up7(―→))＝meq \o(,\s\up7(―→))＋neq \o(,\s\up7(―→)) (m，n∈R)，则等于(　 )
A. B．3 C. D.
解析：选B　如图，由已知|eq \o(,\s\up7(―→))|＝1，|eq \o(,\s\up7(―→))|＝，eq \o(,\s\up7(―→))⊥eq \o(,\s\up7(―→))，可得AB＝2，∠A＝60°，因为点C在线段AB上，∠AOC＝30°，所以OC⊥AB，过点C作CD⊥OA，垂足为点D，则OD＝，CD＝，所以eq \o(,\s\up7(―→))＝eq \o(,\s\up7(―→))，eq \o(,\s\up7(―→))＝eq \o(,\s\up7(―→))，
即eq \o(,\s\up7(―→))＝eq \o(,\s\up7(―→))＋eq \o(,\s\up7(―→))，所以＝3.
6．(2021·青岛模拟)已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，则|2a＋3b|＝________.
解析：∵2a＋3b＝(2,2)＋(－3,3)＝(－1,5)，∴|2a＋3b|＝＝.
答案：
7．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)， ＝(1,5)，则＝________.
解析：＝－＝(－3,2)，
因为Q是AC的中点，
所以＝2＝(－6,4)，＝＋＝(－2,7)，
因为＝2，所以＝3＝(－6,21)．
答案：(－6,21)
8.(2022·南京高三开学考试)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若＝x＋，则x＝________.
解析：如图所示，连接AE，因为F为DE的中点，所以＝(＋)，而＝＋＝＋＝＋，
所以＝(＋)＝(＋＋)＝＋，又＝x＋，所以x＝.
答案：
9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，解得k＝－.
(2)＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C三点共线，∴∥.∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝.
10.如图，在直角梯形ABCD中，||＝2，∠CDA＝，＝2，∠B为直角，E为AB的中点，＝λ (λ∈R，0≤λ≤1)．
(1)当λ＝时，用向量，表示向量；
(2)求||的最小值，并指出相应的实数λ的值．
解：(1)当λ＝时，＝，∴＝(＋)＝[(－)＋(＋)]＝－＋＋ ＝＋.
(2)∵＝(＋)＝[(－)＋(＋)]＝－λ＋(1－λ) ＋＝＋(1－2λ) ＝＋，易知||＝||＝2，∴||2＝2＋2＋(1－2λ) ·＝4λ2－7λ＋＝4λ－2＋，∵0≤λ≤1，∴当λ＝时，||2有最小值，即||有最小值.
二、重点难点培优训练
1．(多选)在等边三角形ABC中，＝，＝2，AD与BE交于点F，则下列结论正确的是(　 )
A．＝(＋) B．＝＋
C．＝ D．＝＋
解析：选AC　如图，∵＝，∴D为BC的中点，∴＝(＋)，∴A正确；∵＝2，∴＝＝(－)，∴＝＋＝＋(－)＝＋，∴B错误；设＝λ＝＋＝＋，∵B，F，E三点共线，∴＋＝1，解得λ＝，∴＝，∴C正确；＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－＝＋，∴D错误．
2．(2022·揭阳联考)在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2||＋||＝1，设＝x＋y，则2x＋3y的最小值为(　 )
A．48 B．49 C．50 D．51
解析：选B　如图，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)．设M(m,0)，N(0，n)，因为2||＋||＝1，所以2m＋n＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤m≤，0≤n≤1)).因为＝x＋y＝＋，所以x＝，y＝，所以2x＋3y＝＋＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))(2m＋n)＝25＋＋≥25＋24＝49，当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号，故选B.
3.(2022·常州模拟)(多选)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为AB，AC上的动点，设＝λ，＝μ，其中λ，μ∈(0,1)，则下列说法正确的是(　 )
A．若||＝||，则λ＋μ＝1
B．若λ＝μ，则与不共线
C．若λ＋μ＝1，记三角形AEF的面积为S，则S的最大值为
D．若λ2＋μ2＝1，且M，N分别是EF，BC边的中点，则|MN|的最小值为－1
解析：选ACD　对于A中，因为＝λ，＝μ，且||＝||，可得μ2||2＝(1－λ)2||2，所以μ2＝(1－λ)2，其中λ，μ∈(0,1)，所以μ＝1－λ，即λ＋μ＝1，所以A正确；对于B中，当λ＝μ时，＝－＝μ－λ＝μ(－)＝μ，可得与为共线向量，所以B不正确；对于C中，△AEF的面积为S＝||·||＝|λ|·|μ|＝2λμ，又由λ＋μ＝1，可得λμ≤2＝，所以S＝2λμ≤，当且仅当λ＝μ＝时，等号成立，所以C正确；对于D中，如图所示，以A为原点，以AB，AC分别为x，y轴建立直角坐标系，可得A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)，则＝λ＝(2λ，0)，＝μ＝(0,2μ)，可得E(2λ，0)，F(0,2μ)，因为M，N分别是EF，BC边的中点，所以M(λ，μ)，N(1,1)，又因为λ2＋μ2＝1，可得点M在单位圆上，|AM|＝1，所以|MN|≥|AN|－|AM|＝－1，当且仅当A，M，N三点共线时，等号成立，所以|MN|的最小值为－1，所以D正确．
4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，c)，n＝(1－2cos A,2cos C－1)，m∥n.
(1)若b＝5，求a＋c的值；
(2)若tan＝，且角A是△ABC中最大内角，求角A的大小．
解：(1)因为m∥n a(2cos C－1)＝c(1－2cos A)，所以2sin Acos C－sin A＝sin C－2sin Ccos A，可得2sin Acos C＋2sin Ccos A＝2sin(A＋C)＝sin C＋sin A，即sin A＋sin C＝2sin B，由正弦定理得a＋c＝2b＝10.
(2)tan＝ tan B＝，sin B＝，cos B＝，因为sin A＋sin C＝2sin B＝sin A＋sin(π－A－B)，代入数据得2sin A＋cos A＝2，又sin2A＋cos2A＝1，解得cos A＝或cos A＝0，由于A是最大角，所以A＝.