沪科版数学八年级下册 17.5 一元二次方程的应用 教案

一元二次方程的应用（图形问题）教学设计
课题：一元二次方程的应用（图形问题）
教学目标：
1、掌握列一元二次方程解实际问题的基本方法，并能根据问题的实际意义，检验结果的合理性；
2、经历将图形的实际问题转化为一元二次方程来解决的过程，感受图形中数量关系的演变与方程模型演变的对应关系；
3、经历同一问题的不同解法的合作探究过程，培养学生开放性思维习惯及合作交流的意识，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。
4、通过“实际问题－数学建模－求解－解释与应用” 的问题研究过程，让学生感受方程模型在解决实际问题中的应用价值，激发学生学习数学的热情．
教学重点：根据图形蕴含的长度和面积间的数量关系列一元二次方程并求解．
(
32
20
围墙
单位：米
感恩林
)教学难点：能从不同的角度理解图形中的等量关系及图形中数量关系的演变与方程模型演变的对应关系．
教学过程：
情景引入
展示校园风景图片，以学校感恩林为问题背景，
激发学生爱护环境、热爱校园的情感．
问题探究
问题一、在感恩林中修筑同样宽的两条互相垂直的小路，余下的部分种花草树木，要使种植面积为540m2，小路的宽应为多少米？
引导学生独立思考，鼓励学生用不同的方法列出方程并解答．
(
32
20
x
x
2
x
)从实际问题中抽象出数学模型-----列方程解应用题，对照思考过程总结并强化列方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答．
解：设小路的宽为xm．
方法一、32×20-32x -（20-x）x=540
方法二、32×20-32x -20x+x2=540
方法三、（32-x）（20-x）=540
……
解得x1=2，x2=50 ．
经检验 x=50 不合题意，舍去． ∴x=2．
答：小路宽为2m．
归纳：根据实际问题背景，抓住图形和数量之间的对应关系，可以从不同的角度出发，列出不同的一元二次方程解题．揭示课题．
（2）拓展一：方案改进： (如图)在感恩林中修筑两条小路，仍使种植面积为540m2，如果其中只有一条路与一边垂直，另一条路的两边保持平行，出入口处水平宽度与垂直小路相同，如何求宽度x？（只列方程，不求解）
方法一、转化为两条互相垂直小路的情形．
方法二、将四块种植面积拼到一起，形成一个完整的矩形．
（3）拓展二：请同学们课后继续思考，不局限于路的形状和方向，是否能设计出更美观更有创意的两条小路？课后将方案配图写成数学小论文上交．
（4）练习：一位细心的同学提出，为方便浇水,建议修三条宽相等的小路（两条纵向，一条横向）,其余部分种花草，若使每一块种植地面积都为95m2，
求小路的宽
问题二、因常有各方来宾到我校参观,学校决定在感恩林东南角划出一块60m2的矩形试验地，准备种植兰草，初种期间需围上一圈铁丝网加以保护，而现有铁丝网总长为32m，应如何规划,既达到要求,又可将铁丝网全用上？
（1）分析并提出数学问题：求面积为60m2，周长为32m的矩形的长与宽．
(
32
20
围墙
单位：米
感恩林
) 等量关系为：长+宽=16，长×宽=60
解法一：设矩形一边为xm，另一边为（16-x）m．
据题意：x（16-x）=60，
解得：x1=6，x2=10
当x=6时，16-x=10；x=10时，16-x=6
答：矩形的一边为6m，另一边为10m．
解法二（拓展）：利用根与系数的关系来解．
（2）问题延伸：引导学生讨论用这段铁丝能围成的矩形面积的范围。
分解问题层次：①32m的铁丝网能围住更大的矩形地吗？
②32m的铁丝网能围住70m2的矩形地吗？
③用这段铁丝网能围成的最大矩形面积是多少？
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－
2
x
围墙
18
m
x
A
B
C
D
)（3）问题解决：现兰草种植成功，需另围建一个120m2的长方形种植地，仍用这段32m的铁丝网，请你设计方案，充分利用一切地形条件，解决这个难题．
（4）*预备练习：如上图，要在某一边上留一2宽的门，则垂直于墙的一边长为多少？
三、课堂小结：
回顾解决问题的过程，谈一谈有哪些感想和收获．
平面图形有两个要素：长与宽或底与高，它们的长短影响面积的大小，它们的变化左右着图形的变化，只要能把握这一点，我们就不难从两个要素的变化中寻找到我们想要的数量关系，建立合适的方程解决问题．
四、作业布置：
（1）P58/2，P62/3， （2）关于小路设计方案的数学小论文
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