2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册1.1 等腰三角形 同步练习
一、单选题
1．（2018八下·乐清期末）对于命题“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”．如果用反证法，应先假设（ ）
A．a不平行b B．b不平行c C．a⊥c D．a不平行c
2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（ ）
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
3．（2018八上·秀洲期中）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连结DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2018八上·龙港期中）如图，在△ABC中，∠C=29°，D为边AC上一点，且AB=AD，DB=DC，则∠A的度数为（ ）
A．54° B．58° C．61° D．64°
5．（2018八上·天台期中）如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A，B两点望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则B处到灯塔C的距离为（ ）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．求不出来
6．（2018八上·天台期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，P为AB上的一个动点(不与顶点A重合)，则∠BPC的度数可能是（ ）
A．135° B．85° C．50° D．40°
7．（2018九上·岐山期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．125°
8．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
9．（2018八上·宁波期中）已知等腰三角形的一个内角是70°，则它的顶角的度数是（ ）
A．70° B．40° C．70°或40° D．70°或30°
10．（2018八上·无锡期中）△ABC中，①若AB＝BC＝CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形，上述结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2018八上·天台期中）等腰三角形的周长是18cm，其中一边长为4cm，其他两边分别长为
12．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为
13．（2018八上·秀洲期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=20°，则∠BDC= ．
14．（2018八上·鄞州期中）在 中，AB=AC=13，BC=10，且 ⊥ 于点 ，则
15．（2018八上·宁波期中）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△ACD沿CD折叠，A点恰好落在AB的中点E处，则 B等于 度.
16．如图，过等边△ABC的顶点A作射线．若∠1＝20°，则∠2的度数为 ．
17．（2018·宜宾模拟）将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，若将△ABC向右滚动，则x的值等于 ，数字2012对应的点将与△ABC的顶点 重合．
三、解答题
18．（2018八上·天台期中）如图，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于E，且BD=BE.求证：△ABC是等腰三角形.
19．（2018八上·天台期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC=125°.求∠ACB和∠BAC的度数.
20．（2018八上·天台期中）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使BD=DE．
求证：CD=CE.
21．（2018八上·合浦期中）货轮在海上以每小时6海量的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离。
22．（2018八上·秀洲期中）如图，已知△ABC中，∠B=90 ，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t=2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
23．（2018八上·腾冲期中）如图， ABC是等边三角形，点D是线段AC上的一动点，E在BC的延长线上，且BD＝DE．
（1）如图，若点D为线段AC的中点，求证：AD＝CE；
（2）如图，若点D为线段AC上任意一点，求证：AD＝CE.
24．（2018八上·鄞州期中）定义：如图1，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连结EF，若AE＝CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线．
（1）如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB＝AC＝5，AE ＝2，求逆等线EF的长；
（2）如图2，若等腰直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线；
（3）如图3，边长为6的等边三角形△AOC的边OC与X轴重合，EF是该等边三角形的逆等线．F点的坐标为（5， ）；试求点E的坐标(若需要，本题可以直接应用结论：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．)
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：对于命题“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”．如果用反证法
应先假设a不平行c
故答案为：D
【分析】根据反证法的第一步就是假设结论的反面，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立可知可以作为条件使用的有①②③。
【分析】利用反证法的证题思想，即可得到结论。
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
又∵BD是角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BDC中，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，
∴∠BDC=∠C=72°，
∴BD=BC，
∴△BDC是等腰三角形；
又∵BE=BC，BD=BC，
∴BE=BD，
∴△BDE是等腰三角形；
在△BDC中，
∴∠BDE=∠BED=×（180°-36°）=72°，
∴∠ADE=∠BED-∠A=72°-36°=36°，
∴∠ADE=∠A，
∴AE=DE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中等腰三角形有5个，
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线性质分别求出三角形每个内角的度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中等腰三角形的个数.
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵DB=DC，AB=AD，
∴∠DBC=∠C=29°，∠ABD=∠ADB，
∴∠ADB=∠DBC+∠C=58°，
∴∠ABD=58°．
在△ABD中，∵∠A+∠ADB+∠ABD=180°
∴∠A=64°．
故答案为：D.
【分析】利用等边对等角，就可证得∠DBC=∠C=29°，∠ABD=∠ADB，再利用三角形外角性质求出∠ADB的度数，就可得出∠ABD的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠A的度数。
5．【答案】C
【知识点】钟面角、方位角；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠NAC=42°，∠NBC=84°，
∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=42°，
∴∠NAC=∠ACB，
∴BC=BA=15×（10-8）=15×2=30．
答：海岛B与灯塔C相距30海里．
故答案为：C．
【分析】根据三角形外角的性质，求出∠ACB的度数，就可证得∠NAC=∠ACB，利用等角对等边，可证得BC=BA，利用船的速度和时间，就可求出AB的长
6．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=50°，
∴∠A=180°-50°×2=80°，
∵∠BPC=∠A+∠ACP，
∴∠BPC＞∠A，
∴∠BPC＞80°，
故答案为：B．
【分析】利用等边对等角及三角形内角和定理求出∠A的度数，再利用三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，即可得出∠BPC的取值范围，就可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：因为ABCD是正方形，∴AB=AD,∠BAD=90°，∵三角形ADE是等边三角形，∴AE=AD,∠EAD=60°，∴∠BAE=150°，AB=AE,∴∠AEB=15°.
故答案为：B
【分析】根据正方形的性质得出AB=AD,∠BAD=90°，根据等边三角形的性质得出AE=AD,∠EAD=60°，故∠BAE=150°，AB=AE，根据等边对等角及三角形的内角和即可求出∠AEB的度数。
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：根据轴对称的性质可知，OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°，
∴△P1OP2是等边三角形．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称的性质可得角的度数和边的关系，从而确定三角形的形状.
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一个内角是70°，
∴分两种情况讨论：
①当顶角为70°；
②当底角为70°时，顶角为 .
综上所述，顶角的度数为70°或40°
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质可知底角相等，则内角可以是顶角也可以是底角；根据三角形内角和即可求出.
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】①三边相等的三角形是等边三角形，正确；
②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形，正确；
③有三条对称轴的三角形是等边三角形，正确；
④有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确；则正确的有4个，
故答案为：D．
【分析】根据等边三角形的定义及性质：有三个角相等的三角形是等边三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；即可解答此题。
11．【答案】7cm,7cm
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰为4时，另一腰也为4，则底为18-2×4=10，
∵4+4=8＜10，
∴这样的三边不能构成三角形．
当底为4时，腰为（18-4）÷2=7，
∵0＜7＜7+4=11，
∴以4，7，7为边能构成三角形．
故答案为：7cm，7cm.
【分析】由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论，可得出其它两边的长。
12．【答案】③①②
【知识点】反证法
【解析】【解答】由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②
【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。所以正确顺序的序号排列③①②。
13．【答案】40°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
又∵∠A=20°，
∴∠DCA=∠A=20°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=40°.
故答案为：40°.
【分析】在Rt△ABC中，根据斜边上的中线等于斜边的一半得CD=AD，再由等腰三角形的性质得∠DCA=∠A=20°，根据三角形外角性质即可求得答案.
14．【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=AC，AD⊥BC
∴BD=BC=×10=5，∠ADB=90°
在Rt△ADB中，AD
故答案为：12
【分析】根据题意画出图形，利用等腰三角形三线合一的性质，求出BD的长，再根据勾股定理求出AD的长。
15．【答案】30
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由折叠可得CE=CA，
在Rt△ABC中∵点E是斜边AB的中点，
∴CE=BE=AE，
∴CE=CA=AE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠CAE=60°，
∴∠B=30°，
故答案为：30
【分析】由折叠可得CE=CA，又由斜边上的中线是斜边的一半可得CE= =AE，则可证△ACE是等边三角形，可得∠CAE=60°，即可求得.
16．【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠3=180°-60°-20°=100°，
∴∠2=∠3=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据等边三角形的性质可知∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠3=∠2的度数.
17．【答案】﹣3；C
【知识点】等边三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，
∴﹣4﹣（2x+1）=2x+1﹣（x﹣3）；
∴﹣3x=9，
x=﹣3．
故A表示的数为：x﹣3=﹣3﹣3=﹣6，
点B表示的数为：2x+1=2×（﹣3）+1=﹣5，
即等边三角形ABC边长为1，
数字2012对应的点与﹣4的距离为：2012+4=2016，
∵2016÷3=672，C从出发到2012点滚动672周，
∴数字2012对应的点将与△ABC的顶点C重合．
故答案为：﹣3，C．
【分析】根据等边三角形的性质可得﹣4﹣（2x+1）=2x+1﹣（x﹣3），解得x=﹣3，所以A表示的数为：x﹣3=﹣3﹣3=﹣6，点B表示的数为：2x+1=2×（﹣3）+1=﹣5，所以等边三角形ABC边长为1，则数字2012对应的点与﹣4的距离=2012+4=2016，而2016÷3=672，所以C从出发到2012点滚动672周，所以数字2012对应的点将与△ABC的顶点C重合。
18．【答案】解：∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED，
又∵∠BED＝∠CEF，∴∠BDE＝∠CEF，
又∵DF⊥AC，∴∠A+∠BDF＝90°，∠C+∠CEF＝90°∴∠A＝∠C，
∴AB＝BC(等角对等边)，∴△ABC是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用等边对等角，可得出 ∠BDE＝∠BED， 再证明 ∠BDE＝∠CEF， 然后利用等角的余角相等可证得∠A=∠C，从而可得出AB=BC，就可证得结论。
19．【答案】解：∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∵∠ADC=125°，
∴∠CDE=55°，
∴∠DCE=90°﹣∠CDE=35°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCE=70°，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180﹣（∠B+∠ACB）=40°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得出 AE⊥BC ，由∠ADC=125° 求出∠DCE的度数，再根据角平分线的定义，可得出∠ACB=2∠DCE，求出∠ACB，利用等腰三角形的性质求出∠B、∠ACB的度数，然后求出∠BAC即可。
20．【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，点D是AC的中点∠ABC=∠ACB=60°，BD平分∠ABC∠DBC=∠ABC=30°∵BD=DE∴∠DBC=∠E= 30°∵∠ACB=60°=∠E+∠EDC∴∠EDC=60°-30°=30°∴∠E=∠EDC∴CD=CE
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】利用等边三角形三线合一的性质，可求出∠DBC的度数及∠ACB的度数，根据已知BD=DE求出∠E的度数，然后根据三角形外角的性质，求出∠EDC，就可证得∠E=∠EDC，利用等角对等边，可证得结论。
21．【答案】解：依题意，得 海里， 显然 ∴△ABC是等边三角形，∴ 海里.答：货轮到达C处时与灯塔A的距离为30海里.
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据路程等于速度乘以时间得出BC的长，根据平角的定义得出∠CBA=60°，根据题意∠BCA=40°+20°=60°。根据两个角是60°的三角形是等边三角形得出：△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出AC=BC=30 海里。
22．【答案】（1）解：依题可得，
∵t=2，
∴AP=2cm，BQ=2×2=4cm，
∵AB=8cm，BC=6cm，
∴BP=AB-AP=8-2=6（cm），
∵∠B=90°，
∴PQ==2（cm）.
答：当t=2秒时，PQ长为2cm.
（2）解： 依题可得，
AP=t（cm），BQ=2t（cm），
∵AB=8cm，
∴BP=AB-AP=8-t（cm），
又∵△PBQ是等腰三角形，∠B=90°，
∴BP=BQ，
即8-t=2t，
解得：t=.
答：出发秒时，△PBQ是等腰三角形.
（3）解： 依题可得：BC+CQ=2t（cm），①当BC=CQ时（如图1），∵BC=6，∴CQ=6，∴BQ=BC+CQ=12（cm），∴2t=12，解得：t=6；②当CQ=BQ时（如图2），∴∠C=∠CBQ，∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠ABQ=∠A，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ，∵AB=8，BC=6，∴AC==10（cm），∴CQ=AQ=5cm，∴BC+CQ=6+5=11（cm），∴2t=11，解得：t=5.5；③当BC=BQ时（如图3），过点B作BE⊥AC于点E，∴BE==4.8（cm），∴CE==3.6（cm），∴CQ=2CE=7.2（cm），∴BC+CQ=6+7.2=13.2（cm），∴2t=13.2，解得：t=6.6；综上所述：当t为6秒或5.5秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据题意分别求出AP=2cm，BQ=4cm，BP=6cm，在Rt△PBQ中，利用勾股定理求得PQ长.
（2）根据题意分别求出AP=t（cm），BQ=2t（cm），BP=8-t（cm），再由△PBQ是等腰直角三角形，列出方程8-t=2t，解之即可.
（3）根据题意可知BC+CQ=2t，再由△BCQ为等腰三角形可分三种情况讨论：
①当BC=CQ时（图1），由BQ=BC+CQ=12，解之即可得t；
②当CQ=BQ时（图2），由等腰三角形的性质和等角的余角相等可得∠ABQ=∠A，从而
可得 CQ=AQ，根据勾股定理求得AC=10，即可得BC+CQ=11，解之即可得t；
③当BC=BQ时（图3），过点B作BE⊥AC于点E，根据三角形面积求得BE=4.8cm，由勾股定理和等腰三角形性质求得CQ=2CE=7.2cm，从而可得BC+CQ=13.2cm，解之即可得t.
23．【答案】（1）证明：如图，
∵点D为等边三角形△ABC边AC的中点，
∴BD平分∠ABC，AD=DC
∴∠DBE=30°，
∵BD=DE，
∴∠E=∠DBE=30°，
∵∠DCE=180°-∠ACB=120°，
∴∠CDE=180°-120°-30°=30°，
∴∠CDE=∠E =30°∴DC=CE
∴AD=CE
（2）证明：作DF∥AB，可得△DFC是等边三角形，
∴DC=CF
∴AC-DC=BC-CF ∴AD=BF
在△BDF和△EDC中，
∴△BDF≌△EDC，（AAS）
∴BF=CE，
∴AD=CE．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三线合一得出AD=DC ，故∠DBE=30° ，根据等边对等角得出 ∠E=∠DBE=30°， 根据三角形的内角和及等量代换得出 ∠CDE=∠E =30°，根据等角对等边得出DC=CE ；
（2） 作DF∥AB，可得△DFC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出 DC=CF ， 根据等式的性质得出 AD=BF ，然后利用AAS判断出 △BDF≌△EDC， 根据全等三角形的对应边相等得出 BF=CE ，故 AD=CE 。
24．【答案】（1）解： ∵EF是等腰△ABC的逆等线
∴CF=AE=2
∵AB=AC=5
∴AF=3
∵EF⊥AB
∴EF=
∴ 逆等线EF的长为
（2）解： 连接AD，在等腰Rt△ABC中，点D为底边上的中点
∴AD=CD，∠ADC=90°
∵DE=DF，∠EDF=90°
∴∠EDA=90°-∠ADF=∠FDC
在△EDA和△FDC中
∴△EDA≌△FDC（SAS）
∴AE=CF
∴EF是等腰△ABC的逆等线
（3）解： 如图3，作AG⊥OC于点G，FH⊥OC于点H，EM⊥AG于点M，FD⊥OC于点D
∴EM=HG，EH=MG
∵EF是等边△AOC的逆等线
∴AE=CF，∠EAM=∠DFC=30°
∠AEM=∠FDC=90°
在△AEM和△FDC中
∠EAM=∠DFC ∠AEM=∠FDC AE=CF
∴△AEM≌△FDC（AAS）
∴EM=DC，AM=DF
∵点F（5，）
∴FD=AM=，OD=5
∵等边△OAC的边长为6
∴DC=OC-OD=6-5=1=EM=HG
在Rt△AOG中，AG=
∴EH=MG=AG-AM=
∵OH=OG-HG=3-1=2
∴点E（2，）
【知识点】坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据逆等线的性质就可求出CF，AE，再求出AF，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理就可求出EF的长。
（2）连接AD，利用SAS证明△EDA≌△EDC，利用全等三角形的性质，就可证得结论。
（3）作AG⊥OC于点G，FH⊥OC于点H，EM⊥AG于点M，FD⊥OC于点D，易证EM=HG，EH=MG，由EF是等边△AOC的逆等线，可知AE=CF，∠EAM=∠DFC=30°，利用AAS证明△AEM≌△FDC，利用全等三角形的性质可证得EM=DC，AM=DF，由点F的坐标，就可得出FD=AM=，OD=5，就可求出HG的长，从而得出OH的长，再利用勾股定理求出AG的长，然后求出EH的长，就可得出点E的坐标。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版八年级下册1.1 等腰三角形 同步练习
一、单选题
1．（2018八下·乐清期末）对于命题“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”．如果用反证法，应先假设（ ）
A．a不平行b B．b不平行c C．a⊥c D．a不平行c
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：对于命题“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”．如果用反证法
应先假设a不平行c
故答案为：D
【分析】根据反证法的第一步就是假设结论的反面，即可得出答案。
2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（ ）
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立可知可以作为条件使用的有①②③。
【分析】利用反证法的证题思想，即可得到结论。
3．（2018八上·秀洲期中）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连结DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
又∵BD是角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BDC中，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，
∴∠BDC=∠C=72°，
∴BD=BC，
∴△BDC是等腰三角形；
又∵BE=BC，BD=BC，
∴BE=BD，
∴△BDE是等腰三角形；
在△BDC中，
∴∠BDE=∠BED=×（180°-36°）=72°，
∴∠ADE=∠BED-∠A=72°-36°=36°，
∴∠ADE=∠A，
∴AE=DE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中等腰三角形有5个，
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线性质分别求出三角形每个内角的度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中等腰三角形的个数.
4．（2018八上·龙港期中）如图，在△ABC中，∠C=29°，D为边AC上一点，且AB=AD，DB=DC，则∠A的度数为（ ）
A．54° B．58° C．61° D．64°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵DB=DC，AB=AD，
∴∠DBC=∠C=29°，∠ABD=∠ADB，
∴∠ADB=∠DBC+∠C=58°，
∴∠ABD=58°．
在△ABD中，∵∠A+∠ADB+∠ABD=180°
∴∠A=64°．
故答案为：D.
【分析】利用等边对等角，就可证得∠DBC=∠C=29°，∠ABD=∠ADB，再利用三角形外角性质求出∠ADB的度数，就可得出∠ABD的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠A的度数。
5．（2018八上·天台期中）如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A，B两点望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则B处到灯塔C的距离为（ ）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．求不出来
【答案】C
【知识点】钟面角、方位角；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠NAC=42°，∠NBC=84°，
∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=42°，
∴∠NAC=∠ACB，
∴BC=BA=15×（10-8）=15×2=30．
答：海岛B与灯塔C相距30海里．
故答案为：C．
【分析】根据三角形外角的性质，求出∠ACB的度数，就可证得∠NAC=∠ACB，利用等角对等边，可证得BC=BA，利用船的速度和时间，就可求出AB的长
6．（2018八上·天台期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，P为AB上的一个动点(不与顶点A重合)，则∠BPC的度数可能是（ ）
A．135° B．85° C．50° D．40°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=50°，
∴∠A=180°-50°×2=80°，
∵∠BPC=∠A+∠ACP，
∴∠BPC＞∠A，
∴∠BPC＞80°，
故答案为：B．
【分析】利用等边对等角及三角形内角和定理求出∠A的度数，再利用三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，即可得出∠BPC的取值范围，就可得出答案。
7．（2018九上·岐山期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．125°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：因为ABCD是正方形，∴AB=AD,∠BAD=90°，∵三角形ADE是等边三角形，∴AE=AD,∠EAD=60°，∴∠BAE=150°，AB=AE,∴∠AEB=15°.
故答案为：B
【分析】根据正方形的性质得出AB=AD,∠BAD=90°，根据等边三角形的性质得出AE=AD,∠EAD=60°，故∠BAE=150°，AB=AE，根据等边对等角及三角形的内角和即可求出∠AEB的度数。
8．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：根据轴对称的性质可知，OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°，
∴△P1OP2是等边三角形．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称的性质可得角的度数和边的关系，从而确定三角形的形状.
9．（2018八上·宁波期中）已知等腰三角形的一个内角是70°，则它的顶角的度数是（ ）
A．70° B．40° C．70°或40° D．70°或30°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一个内角是70°，
∴分两种情况讨论：
①当顶角为70°；
②当底角为70°时，顶角为 .
综上所述，顶角的度数为70°或40°
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质可知底角相等，则内角可以是顶角也可以是底角；根据三角形内角和即可求出.
10．（2018八上·无锡期中）△ABC中，①若AB＝BC＝CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形，上述结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】①三边相等的三角形是等边三角形，正确；
②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形，正确；
③有三条对称轴的三角形是等边三角形，正确；
④有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确；则正确的有4个，
故答案为：D．
【分析】根据等边三角形的定义及性质：有三个角相等的三角形是等边三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；即可解答此题。
二、填空题
11．（2018八上·天台期中）等腰三角形的周长是18cm，其中一边长为4cm，其他两边分别长为
【答案】7cm,7cm
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰为4时，另一腰也为4，则底为18-2×4=10，
∵4+4=8＜10，
∴这样的三边不能构成三角形．
当底为4时，腰为（18-4）÷2=7，
∵0＜7＜7+4=11，
∴以4，7，7为边能构成三角形．
故答案为：7cm，7cm.
【分析】由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论，可得出其它两边的长。
12．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为
【答案】③①②
【知识点】反证法
【解析】【解答】由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②
【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。所以正确顺序的序号排列③①②。
13．（2018八上·秀洲期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=20°，则∠BDC= ．
【答案】40°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
又∵∠A=20°，
∴∠DCA=∠A=20°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=40°.
故答案为：40°.
【分析】在Rt△ABC中，根据斜边上的中线等于斜边的一半得CD=AD，再由等腰三角形的性质得∠DCA=∠A=20°，根据三角形外角性质即可求得答案.
14．（2018八上·鄞州期中）在 中，AB=AC=13，BC=10，且 ⊥ 于点 ，则
【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=AC，AD⊥BC
∴BD=BC=×10=5，∠ADB=90°
在Rt△ADB中，AD
故答案为：12
【分析】根据题意画出图形，利用等腰三角形三线合一的性质，求出BD的长，再根据勾股定理求出AD的长。
15．（2018八上·宁波期中）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△ACD沿CD折叠，A点恰好落在AB的中点E处，则 B等于 度.
【答案】30
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由折叠可得CE=CA，
在Rt△ABC中∵点E是斜边AB的中点，
∴CE=BE=AE，
∴CE=CA=AE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠CAE=60°，
∴∠B=30°，
故答案为：30
【分析】由折叠可得CE=CA，又由斜边上的中线是斜边的一半可得CE= =AE，则可证△ACE是等边三角形，可得∠CAE=60°，即可求得.
16．如图，过等边△ABC的顶点A作射线．若∠1＝20°，则∠2的度数为 ．
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠3=180°-60°-20°=100°，
∴∠2=∠3=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据等边三角形的性质可知∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠3=∠2的度数.
17．（2018·宜宾模拟）将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，若将△ABC向右滚动，则x的值等于 ，数字2012对应的点将与△ABC的顶点 重合．
【答案】﹣3；C
【知识点】等边三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，
∴﹣4﹣（2x+1）=2x+1﹣（x﹣3）；
∴﹣3x=9，
x=﹣3．
故A表示的数为：x﹣3=﹣3﹣3=﹣6，
点B表示的数为：2x+1=2×（﹣3）+1=﹣5，
即等边三角形ABC边长为1，
数字2012对应的点与﹣4的距离为：2012+4=2016，
∵2016÷3=672，C从出发到2012点滚动672周，
∴数字2012对应的点将与△ABC的顶点C重合．
故答案为：﹣3，C．
【分析】根据等边三角形的性质可得﹣4﹣（2x+1）=2x+1﹣（x﹣3），解得x=﹣3，所以A表示的数为：x﹣3=﹣3﹣3=﹣6，点B表示的数为：2x+1=2×（﹣3）+1=﹣5，所以等边三角形ABC边长为1，则数字2012对应的点与﹣4的距离=2012+4=2016，而2016÷3=672，所以C从出发到2012点滚动672周，所以数字2012对应的点将与△ABC的顶点C重合。
三、解答题
18．（2018八上·天台期中）如图，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于E，且BD=BE.求证：△ABC是等腰三角形.
【答案】解：∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED，
又∵∠BED＝∠CEF，∴∠BDE＝∠CEF，
又∵DF⊥AC，∴∠A+∠BDF＝90°，∠C+∠CEF＝90°∴∠A＝∠C，
∴AB＝BC(等角对等边)，∴△ABC是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用等边对等角，可得出 ∠BDE＝∠BED， 再证明 ∠BDE＝∠CEF， 然后利用等角的余角相等可证得∠A=∠C，从而可得出AB=BC，就可证得结论。
19．（2018八上·天台期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC=125°.求∠ACB和∠BAC的度数.
【答案】解：∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∵∠ADC=125°，
∴∠CDE=55°，
∴∠DCE=90°﹣∠CDE=35°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCE=70°，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180﹣（∠B+∠ACB）=40°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得出 AE⊥BC ，由∠ADC=125° 求出∠DCE的度数，再根据角平分线的定义，可得出∠ACB=2∠DCE，求出∠ACB，利用等腰三角形的性质求出∠B、∠ACB的度数，然后求出∠BAC即可。
20．（2018八上·天台期中）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使BD=DE．
求证：CD=CE.
【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，点D是AC的中点∠ABC=∠ACB=60°，BD平分∠ABC∠DBC=∠ABC=30°∵BD=DE∴∠DBC=∠E= 30°∵∠ACB=60°=∠E+∠EDC∴∠EDC=60°-30°=30°∴∠E=∠EDC∴CD=CE
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】利用等边三角形三线合一的性质，可求出∠DBC的度数及∠ACB的度数，根据已知BD=DE求出∠E的度数，然后根据三角形外角的性质，求出∠EDC，就可证得∠E=∠EDC，利用等角对等边，可证得结论。
21．（2018八上·合浦期中）货轮在海上以每小时6海量的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离。
【答案】解：依题意，得 海里， 显然 ∴△ABC是等边三角形，∴ 海里.答：货轮到达C处时与灯塔A的距离为30海里.
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据路程等于速度乘以时间得出BC的长，根据平角的定义得出∠CBA=60°，根据题意∠BCA=40°+20°=60°。根据两个角是60°的三角形是等边三角形得出：△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出AC=BC=30 海里。
22．（2018八上·秀洲期中）如图，已知△ABC中，∠B=90 ，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t=2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【答案】（1）解：依题可得，
∵t=2，
∴AP=2cm，BQ=2×2=4cm，
∵AB=8cm，BC=6cm，
∴BP=AB-AP=8-2=6（cm），
∵∠B=90°，
∴PQ==2（cm）.
答：当t=2秒时，PQ长为2cm.
（2）解： 依题可得，
AP=t（cm），BQ=2t（cm），
∵AB=8cm，
∴BP=AB-AP=8-t（cm），
又∵△PBQ是等腰三角形，∠B=90°，
∴BP=BQ，
即8-t=2t，
解得：t=.
答：出发秒时，△PBQ是等腰三角形.
（3）解： 依题可得：BC+CQ=2t（cm），①当BC=CQ时（如图1），∵BC=6，∴CQ=6，∴BQ=BC+CQ=12（cm），∴2t=12，解得：t=6；②当CQ=BQ时（如图2），∴∠C=∠CBQ，∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠ABQ=∠A，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ，∵AB=8，BC=6，∴AC==10（cm），∴CQ=AQ=5cm，∴BC+CQ=6+5=11（cm），∴2t=11，解得：t=5.5；③当BC=BQ时（如图3），过点B作BE⊥AC于点E，∴BE==4.8（cm），∴CE==3.6（cm），∴CQ=2CE=7.2（cm），∴BC+CQ=6+7.2=13.2（cm），∴2t=13.2，解得：t=6.6；综上所述：当t为6秒或5.5秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据题意分别求出AP=2cm，BQ=4cm，BP=6cm，在Rt△PBQ中，利用勾股定理求得PQ长.
（2）根据题意分别求出AP=t（cm），BQ=2t（cm），BP=8-t（cm），再由△PBQ是等腰直角三角形，列出方程8-t=2t，解之即可.
（3）根据题意可知BC+CQ=2t，再由△BCQ为等腰三角形可分三种情况讨论：
①当BC=CQ时（图1），由BQ=BC+CQ=12，解之即可得t；
②当CQ=BQ时（图2），由等腰三角形的性质和等角的余角相等可得∠ABQ=∠A，从而
可得 CQ=AQ，根据勾股定理求得AC=10，即可得BC+CQ=11，解之即可得t；
③当BC=BQ时（图3），过点B作BE⊥AC于点E，根据三角形面积求得BE=4.8cm，由勾股定理和等腰三角形性质求得CQ=2CE=7.2cm，从而可得BC+CQ=13.2cm，解之即可得t.
23．（2018八上·腾冲期中）如图， ABC是等边三角形，点D是线段AC上的一动点，E在BC的延长线上，且BD＝DE．
（1）如图，若点D为线段AC的中点，求证：AD＝CE；
（2）如图，若点D为线段AC上任意一点，求证：AD＝CE.
【答案】（1）证明：如图，
∵点D为等边三角形△ABC边AC的中点，
∴BD平分∠ABC，AD=DC
∴∠DBE=30°，
∵BD=DE，
∴∠E=∠DBE=30°，
∵∠DCE=180°-∠ACB=120°，
∴∠CDE=180°-120°-30°=30°，
∴∠CDE=∠E =30°∴DC=CE
∴AD=CE
（2）证明：作DF∥AB，可得△DFC是等边三角形，
∴DC=CF
∴AC-DC=BC-CF ∴AD=BF
在△BDF和△EDC中，
∴△BDF≌△EDC，（AAS）
∴BF=CE，
∴AD=CE．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三线合一得出AD=DC ，故∠DBE=30° ，根据等边对等角得出 ∠E=∠DBE=30°， 根据三角形的内角和及等量代换得出 ∠CDE=∠E =30°，根据等角对等边得出DC=CE ；
（2） 作DF∥AB，可得△DFC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出 DC=CF ， 根据等式的性质得出 AD=BF ，然后利用AAS判断出 △BDF≌△EDC， 根据全等三角形的对应边相等得出 BF=CE ，故 AD=CE 。
24．（2018八上·鄞州期中）定义：如图1，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连结EF，若AE＝CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线．
（1）如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB＝AC＝5，AE ＝2，求逆等线EF的长；
（2）如图2，若等腰直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线；
（3）如图3，边长为6的等边三角形△AOC的边OC与X轴重合，EF是该等边三角形的逆等线．F点的坐标为（5， ）；试求点E的坐标(若需要，本题可以直接应用结论：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．)
【答案】（1）解： ∵EF是等腰△ABC的逆等线
∴CF=AE=2
∵AB=AC=5
∴AF=3
∵EF⊥AB
∴EF=
∴ 逆等线EF的长为
（2）解： 连接AD，在等腰Rt△ABC中，点D为底边上的中点
∴AD=CD，∠ADC=90°
∵DE=DF，∠EDF=90°
∴∠EDA=90°-∠ADF=∠FDC
在△EDA和△FDC中
∴△EDA≌△FDC（SAS）
∴AE=CF
∴EF是等腰△ABC的逆等线
（3）解： 如图3，作AG⊥OC于点G，FH⊥OC于点H，EM⊥AG于点M，FD⊥OC于点D
∴EM=HG，EH=MG
∵EF是等边△AOC的逆等线
∴AE=CF，∠EAM=∠DFC=30°
∠AEM=∠FDC=90°
在△AEM和△FDC中
∠EAM=∠DFC ∠AEM=∠FDC AE=CF
∴△AEM≌△FDC（AAS）
∴EM=DC，AM=DF
∵点F（5，）
∴FD=AM=，OD=5
∵等边△OAC的边长为6
∴DC=OC-OD=6-5=1=EM=HG
在Rt△AOG中，AG=
∴EH=MG=AG-AM=
∵OH=OG-HG=3-1=2
∴点E（2，）
【知识点】坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据逆等线的性质就可求出CF，AE，再求出AF，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理就可求出EF的长。
（2）连接AD，利用SAS证明△EDA≌△EDC，利用全等三角形的性质，就可证得结论。
（3）作AG⊥OC于点G，FH⊥OC于点H，EM⊥AG于点M，FD⊥OC于点D，易证EM=HG，EH=MG，由EF是等边△AOC的逆等线，可知AE=CF，∠EAM=∠DFC=30°，利用AAS证明△AEM≌△FDC，利用全等三角形的性质可证得EM=DC，AM=DF，由点F的坐标，就可得出FD=AM=，OD=5，就可求出HG的长，从而得出OH的长，再利用勾股定理求出AG的长，然后求出EH的长，就可得出点E的坐标。
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