2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册1.4 解直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·大庆期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，设∠ABC＝α，则下列结论错误的是（ ）
A．BC＝ B．CD＝AD·tanα
C．AC＝AD·cosα D．BD＝AB·cosα
2．（2018九上·楚雄期末）某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sin A= ，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
5．已知在△ABC中，AB=14，BC=13，tanB= ，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，延长CB至点M，在射线BM上截取线段BD，使BD=AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（ ）
A．2 B．2+ C．1+ D．
7．设a、b、c分别为△ABC中∠A，∠B和∠C的对边，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA= ，则AD的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
9．（2018九上·娄星期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（ ）
A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm2
二、填空题
11．（2018八上·广东期中）Rt△ABC中，∠A = 3∠C = 90°，AB = 3，点Q在边AB上且BQ = ，过Q作QF∥BC交AC于点F，点P在线段QF上，过P作PD∥AC交AB于点D，PE∥AB交BC于点E，当P到△ABC的三边的距离之和为3时，PD + PE + PF = .
12．（2018九上·宜兴月考）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是 ．
13．（2018·菏泽）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是 ．
14．（2018·长春）如图，在 ABCD中，AD=7，AB=2 ，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为 ．
15．（2018·眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD= .
16．（2018·正阳模拟）如图，等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是边AB，AC上的点，沿DE所在的直线折叠∠A，使点A的对应点P始终落在边BC上，若△BDP是直角三角形，则AD的长为 ．
三、解答题
17．（2018·高阳模拟）如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．
（1）求∠ACD度数；
（2）当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）
18．（2018·黔西南模拟）已知：如图，AD∥BC，AB=CD，对角线CA平分∠BCD，AD=5，tanB= ，求BC的长．
19．（2018·奉贤模拟）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= ，cot∠ABC= ，点D是AC的中点．
（1）求线段BD的长；
（2）点E在边AB上，且CE=CB，求△ACE的面积．
20．（2018·开封模拟）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）
21．（2018·宜宾模拟）经过江汉平原的沪蓉（上海﹣成都）高速铁路即将动工．工程需要测量汉江某一段的宽度．如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得∠ACB=68°．
（1）求所测之处江的宽度（sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48．）；
（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形．
22．（2018·成都）在 中， ， ， ，过点 作直线 ，将 绕点 顺时针得到 （点 ， 的对应点分别为 ， ）射线 ， 分别交直线 于点 ， .
（1）如图1，当 与 重合时，求 的度数；
（2）如图2，设 与 的交点为 ，当 为 的中点时，求线段 的长；
（3）在旋转过程时，当点 分别在 ， 的延长线上时，试探究四边形 的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形 的最小面积；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，sinα==，即BC=，所以A选项正确；
在三角形ABC中，因为∠B＋∠BAD=∠CAD+∠BAD，所以∠B=∠CAD=α，所以tan∠CAD=tanα=，即CD=AD· tanα，所以B选项正确；
在三角形ACD中，cosα=，即AC=，所以C选项错误，符合题意；
在三角形ABD中，cosα=，即BD=AB·cosα，所以D选项正确。
故答案为：C。
【分析】在三角形中，根据每个选项的要求，求出对应角的正弦、余弦或正切，进行适当的变形即可证明选项的对错。
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°，
∵CD⊥BD，AC=30m，
∴CD=15m，
∵AB=20m，
∴S△ABC= AB×CD= ×20×15=150m2，
∵每平方米售价a元，
∴购买这种草皮的价格为150a元．
故答案为：C.
【分析】作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，求出∠DAC，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB、CD的值，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，然后利用面积乘以草皮每平方米的售价，即可求解。
3．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，若sin A=，则∠A=30°，
所以∠B=90°-∠A=90°-30°=60°。
故答案为：C。
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得∠A=30°，再由∠B=90°-∠A即可求得。
4．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，
则AB=
则3≤AP≤6，AP的长度不可能为7.
故答案为D。
【分析】由特殊角的三角函数值可求出AB的长，而AC≤AP≤AB确定AP的取值范围。
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△BCD中，∵tanB= = ，
∴设CD=12x，BD=5x，
∵BC=13，
∴由BC2=BD2+CD2可得132=（5x）2+（12x）2，
解得：x=﹣1（舍）或x=1，
则BD=5，CD=12，
∵AB=14，
∴AD=9，
∴AC= = =15，
∴sinA= = = ，
故答案为：B．
【分析】根据tanB的值建立直角三角形，由勾股定理求出AC的值，再由正弦的定义得到sinA的值的值.
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=BD=2k，∠BAD=∠BDA=15°，BC= k，
∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=75°，
在Rt△ACD中，CD=CB+BD= k+2k，
则tan75°=tan∠CAD= = =2+ ，
故答案为：B
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半和勾股定理，得到各个边之间的关系，再根据三角函数的定义求出tan75°的值.
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作b边上的高AD，
则Rt△ACD中，
AD=AC sinC=bsinC，
△ABC的面积等于 absinC．
故答案为：C．
【分析】如图过点A作b边上的高AD，则在直角三角形ACD中，AD=AC sinC=bsinC，所以△ABC的面积等于 absinC．
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，
∵∠C=90°，AC=BC=6，
∴△ACB为等腰直角三角形，AB= AC=6 ，
∴∠A=45°，
在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，
在Rt△BED中，tan∠DBE= = ，
∴BE=5x，
∴x+5x=6 ，解得x= ，
∴AD= × =2．
故答案为：A．
【分析】由已知条件得到△ACB为等腰直角三角形，根据解直角三角形中正切的定义和勾股定理，求出AD的值.
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，
∴∠EFC+∠AFB=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠EFC=∠BAF，
cos∠BAF= = ，
∴cos∠EFC= ，
故答案为：A.
【分析】根据翻折变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可．
10．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵tan∠C= ，AB=6cm，
∴ = ，
∴BC=8，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
设△PBQ的面积为S，
则S= ×BP×BQ= ×2t×（6﹣t），
S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9，
P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴当t=3时，S有最大值为9，
即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；
故答案为：C．
【分析】根据解直角三角形中正切的定义，求出BC的值，由三角形的面积公式得到二次函数，由顶点式得到最大面积.
11．【答案】
【知识点】二次根式的加减法；平行四边形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】如图所示：过点P作 交AC于点M， 作 交BC于点N，
PE∥AB，QF∥BC，四边形BEPQ是平行四边形，
根据平行四边形的性质得：
∠A = 3∠C = 90°，
根据平行线的性质有
， .
设 ，
则 ，
则 ，
解得：
则 ， ，
∴ .
故答案为：
【分析】过点P作 交AC于点M、 作 交BC于点N，易得四边形BEPQ是平行四边形，∠PEN=∠PQD=60°，PE=BQ，设AD=PM=x，则可用x的代数式表示DQ，进而在Rt△PDQ和Rt△PNE中借助三角函数可表示出PD、PN，从而利用PD+PN+PM=3列出x的方程，据此即可解答。
12．【答案】
【知识点】解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴∠A=90°﹣∠ABC=60°，AB=4，BC=2 ，
∵CA=CA1，
∴△ACA1是等边三角形，AA1=AC=BA1=2，
∴∠BCB1=∠ACA1=60°，
∵CB=CB1，
∴△BCB1是等边三角形，
∴BB1=2 ，BA1=2，∠A1BB1=90°，
∴BD=DB1= ，
∴A1D=
【分析】利用三角形内角和定理可求出∠A=60°，利用解直角三角形可求出AB、BC的长，再根据旋转的性质，易证△ACA1、△BCB1是等边三角形，再求出BA1、BD的长，然后利用勾股定理求出A1D的长。
13．【答案】（2，2 ）
【知识点】位似变换；解直角三角形
【解析】【解答】解：分别过A作AE⊥OB，CF⊥OB，
∵∠OCD=90°，∠AOB=60°，
∴∠ABO=∠CDO=30°，∠OCF=30°，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），
∴D（8，0），则DO=8，
故OC=4，
则FO=2，CF=CO cos30°=4× =2 ，
故点C的坐标是：（2，2 ）．
故答案为：（2，2 ）．
【分析】分别过A作AE⊥OB，CF⊥OB，根据已知可求出∠ABO=∠CDO=30°，∠OCF=30°，再根据△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），求出点D的坐标及OC的长，然后利用解直角三角形求出CF、FO的长，就可得出点C的坐标。
14．【答案】20
【知识点】平移的性质；解直角三角形
【解析】【解答】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，
∵AE⊥BC，AB=2 ，∠B=60°，
∴AE=3，BE= ，
∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，
∴EF=BC=AD=7，
∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6=20，
故答案为：20.
【分析】根据题意可知当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，在Rt△ABE中，利用解直角三角形或勾股定理求出AE、BE的长，再根据平移的性质求出EF=BC=AD，就可求出四边形AEFD的周长。
15．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接BE交CF于点G（如图），
∵四边形BCEF是边长为1的正方形，
∴BE=CF= ，BE⊥CF，
∴BG=EG=CG=FG= ，
又∵BF∥AC，
∴△BFO∽△ACO，
∴ ，
∴CO=3FO，
∴FO=OG= CG= ，
在Rt△BGO中，
∴tan∠BOG= =2，
又∵∠AOD=∠BOG，
∴tan∠AOD=2.
故答案为：2.
【分析】连接BE交CF于点G（如图），根据勾股定理得BE=CF= ，再由正方形的性质得BE⊥CF，BG=EG=CG=FG= ，又根据相似三角形的判定得△BFO∽△ACO，由相似三角形的性质得 ，从而得FO=OG= CG= ，在Rt△BGO中根据正切的定义得tan∠BOG= =2，根据对顶角相等从而得出答案.
16．【答案】4 ﹣6或3﹣
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
由折叠的性质可知，AD=DP，
设AD=DP=x，则BD=2-x，
当∠DPB=90°时， =sinB= ，即 ，
解得，x=4 -6，
当∠BDP=90°时， =tanB= ，即 ，
解得，x=3- ，
故答案为：4 -6或3- ．
【分析】设出AD=x，从而用x表示DP与DB的长，再对可能的直角进行分类，从而分情况利用三角函数列方程求得x的值即可.
17．【答案】（1）解：延长AC交ON于点E，如图，
∵AC⊥ON，
∴∠OEC=90°，
在Rt△OEC中，
∵∠O=25°，
∴∠OCE=65°，
∴∠ACB=∠OCE=65°，
∴∠ACD=90°﹣∠ACB=25°
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，
在Rt△ABC中，∵cos∠ACB= ，
∴BC=AC cos65°=5×0.42=2.1，
∴AD=BC=2.1
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）在矩形ABCD中可知∠DCB=90°，要求∠ACD度数，只需求出∠ACB的度数，延长AC交ON于点E，在Rt△OEC∠O=25°，AC⊥ON，可求出∠OCE=65°，再利用对顶角相等可求∠ACD度数。（2）已知∠ACD度数，AC=5，在Rt△ADC中，只需选择∠ACD的正弦值代入即可求出。
18．【答案】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，如下图所示，
∵AC平分∠BCD，
∴∠1=∠2.
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.
∴AD=DC.∵AD=5，AB=DC，
∴AD=DC=AB=5.
过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F.
∴
在Rt△AEB中，
设AE=3x，则BE=4x.
∵AB=5，
∴
∴x=1(负值舍去).
∴AE=3，BE=4.同理可得FC=4.
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF.
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形。
∴EF=AD=5.
∴BC=13.
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】 作梯形的两条高，构造了一个矩形和两个直角三角形．根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ACD，即CD=AD=5．再根据锐角三角函数的概念得到AE：BE，结合勾股定理得到BE：AB=3：5，从而求得BE的长，再进一步计算出CF和EF的长即可求解。
19．【答案】（1）解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= ，cot∠ABC= ，∴AC= ，∵点D是AC的中点，
∴CD= AC= ，
∴Rt△BCD中，BD= =
（2）解：如图，过C作CH⊥AB于H，∵BC= ，cot∠ABC= ，
∴CH= ，BH=1，
∵CE=CB，
∴EH=BH=1，
∵∠ACB=90°，BC= ，AC= ，
∴AB=3，
∴AE=3﹣2=1，
∴△ACE的面积= ×AE×CH= ×1× = ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，cot∠ABC=，所以可得AC= ，由题意可得CD= AC= ；在Rt△BCD中，由勾股定理可得BD=；
（2）过C作CH⊥AB于H，在直角三角形BCH中，cot∠ABC=，所以CH= ，BH=1，所以根据等腰三角形三线合一可得EH=BH=1，在直角三角形ABC中，用勾股定理易得AB=3，所以AE=3﹣2=1，△ACE的面积=×AE×CH=.
20．【答案】解：∵BN∥ED，∴∠NBD=∠BDE=37°，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴BE=DE tan∠BDE≈18.75（cm），如图，过C作AE的垂线，垂足为F，∵∠FCA=∠CAM=45°，∴AF=FC=25cm，∵CD∥AE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD=EF，∵AE=AB+EB=35.75（cm），∴CD=EF=AE-AF≈10.8（cm），答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由BN∥ED可得∠NBD=∠BDE=37°，在直角三角形BED中已知一边一角可求BE的长。（2）过C作AE的垂线，垂足为F，则四边形CDEF为矩形，根据矩形的性质可得CD=EF，CF=DE=25cm，由已知条件可得Rt△AFC是等腰直角三角形，再求出AE和AF的长，即可求出CD的长。
21．【答案】（1）解：在Rt△BAC中，∠ACB=68°，
∴AB=AC tan68°≈100×2.48=248（米）
答：所测之处江的宽度约为248米
（2）解：
①延长BA至C，测得AC做记录；②从C沿平行于河岸的方向走到D，测得CD，做记录；③测AE，做记录．根据△BAE∽△BCD，得到比例线段，从而解答
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△BAC中，用∠ACB的余切可得AB=AC tan68°≈100×2.48=248；
（2）用相似三角形的性质求解。即①延长BA至C，测得AC做记录；②从C沿平行于河岸的方向走到D，测得CD，做记录；③测AE，做记录．根据△BAE∽△BCD，得到比例线段，即可求解。
22．【答案】（1）由旋转的性质得： .
， ， ， ， ， .
（2） 为 的中点， .由旋转的性质得： ， . ， .
， ， .
（3） ， 最小， 即最小， .法一：（几何法）取 中点 ，则 . .当 最小时， 最小， ，即 与 重合时， 最小.
， ， ， .
法二：（代数法）设 ， .由射影定理得： ， 当 最小，即 最小，
.
当 时，“ ”成立， .
【知识点】三角形的面积；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得出 ，根据已知易证m∥AC，得出∠A'BC是直角，利用特殊角的三角函数值，可求出∠A'CB的度数，就可求出结果。
（2）根据中点的定义及性质的性质，可证得∠A=∠A'CM，利用解直角三角形求出PB和BQ的长，再根据PQ=PB+BQ，计算即可解答。
（3）根据已知得出四边形FA'B'Q的面积最小，则△PCQ的面积最小，可表示出△PCQ的面积，利用几何法取 中点 ，则 ，得出PQ=2CG，当CG最小时，则PQ最小根据垂线段最短，求出CG的值，从而可求出PQ的最小值，就可求出四边形FA'B'Q面积的最小值。也可以利用代数式解答此题。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册1.4 解直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·大庆期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，设∠ABC＝α，则下列结论错误的是（ ）
A．BC＝ B．CD＝AD·tanα
C．AC＝AD·cosα D．BD＝AB·cosα
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，sinα==，即BC=，所以A选项正确；
在三角形ABC中，因为∠B＋∠BAD=∠CAD+∠BAD，所以∠B=∠CAD=α，所以tan∠CAD=tanα=，即CD=AD· tanα，所以B选项正确；
在三角形ACD中，cosα=，即AC=，所以C选项错误，符合题意；
在三角形ABD中，cosα=，即BD=AB·cosα，所以D选项正确。
故答案为：C。
【分析】在三角形中，根据每个选项的要求，求出对应角的正弦、余弦或正切，进行适当的变形即可证明选项的对错。
2．（2018九上·楚雄期末）某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°，
∵CD⊥BD，AC=30m，
∴CD=15m，
∵AB=20m，
∴S△ABC= AB×CD= ×20×15=150m2，
∵每平方米售价a元，
∴购买这种草皮的价格为150a元．
故答案为：C.
【分析】作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，求出∠DAC，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB、CD的值，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，然后利用面积乘以草皮每平方米的售价，即可求解。
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sin A= ，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，若sin A=，则∠A=30°，
所以∠B=90°-∠A=90°-30°=60°。
故答案为：C。
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得∠A=30°，再由∠B=90°-∠A即可求得。
4．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，
则AB=
则3≤AP≤6，AP的长度不可能为7.
故答案为D。
【分析】由特殊角的三角函数值可求出AB的长，而AC≤AP≤AB确定AP的取值范围。
5．已知在△ABC中，AB=14，BC=13，tanB= ，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△BCD中，∵tanB= = ，
∴设CD=12x，BD=5x，
∵BC=13，
∴由BC2=BD2+CD2可得132=（5x）2+（12x）2，
解得：x=﹣1（舍）或x=1，
则BD=5，CD=12，
∵AB=14，
∴AD=9，
∴AC= = =15，
∴sinA= = = ，
故答案为：B．
【分析】根据tanB的值建立直角三角形，由勾股定理求出AC的值，再由正弦的定义得到sinA的值的值.
6．如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，延长CB至点M，在射线BM上截取线段BD，使BD=AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（ ）
A．2 B．2+ C．1+ D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=BD=2k，∠BAD=∠BDA=15°，BC= k，
∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=75°，
在Rt△ACD中，CD=CB+BD= k+2k，
则tan75°=tan∠CAD= = =2+ ，
故答案为：B
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半和勾股定理，得到各个边之间的关系，再根据三角函数的定义求出tan75°的值.
7．设a、b、c分别为△ABC中∠A，∠B和∠C的对边，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作b边上的高AD，
则Rt△ACD中，
AD=AC sinC=bsinC，
△ABC的面积等于 absinC．
故答案为：C．
【分析】如图过点A作b边上的高AD，则在直角三角形ACD中，AD=AC sinC=bsinC，所以△ABC的面积等于 absinC．
8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA= ，则AD的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，
∵∠C=90°，AC=BC=6，
∴△ACB为等腰直角三角形，AB= AC=6 ，
∴∠A=45°，
在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，
在Rt△BED中，tan∠DBE= = ，
∴BE=5x，
∴x+5x=6 ，解得x= ，
∴AD= × =2．
故答案为：A．
【分析】由已知条件得到△ACB为等腰直角三角形，根据解直角三角形中正切的定义和勾股定理，求出AD的值.
9．（2018九上·娄星期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，
∴∠EFC+∠AFB=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠EFC=∠BAF，
cos∠BAF= = ，
∴cos∠EFC= ，
故答案为：A.
【分析】根据翻折变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可．
10．如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（ ）
A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm2
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵tan∠C= ，AB=6cm，
∴ = ，
∴BC=8，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
设△PBQ的面积为S，
则S= ×BP×BQ= ×2t×（6﹣t），
S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9，
P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴当t=3时，S有最大值为9，
即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；
故答案为：C．
【分析】根据解直角三角形中正切的定义，求出BC的值，由三角形的面积公式得到二次函数，由顶点式得到最大面积.
二、填空题
11．（2018八上·广东期中）Rt△ABC中，∠A = 3∠C = 90°，AB = 3，点Q在边AB上且BQ = ，过Q作QF∥BC交AC于点F，点P在线段QF上，过P作PD∥AC交AB于点D，PE∥AB交BC于点E，当P到△ABC的三边的距离之和为3时，PD + PE + PF = .
【答案】
【知识点】二次根式的加减法；平行四边形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】如图所示：过点P作 交AC于点M， 作 交BC于点N，
PE∥AB，QF∥BC，四边形BEPQ是平行四边形，
根据平行四边形的性质得：
∠A = 3∠C = 90°，
根据平行线的性质有
， .
设 ，
则 ，
则 ，
解得：
则 ， ，
∴ .
故答案为：
【分析】过点P作 交AC于点M、 作 交BC于点N，易得四边形BEPQ是平行四边形，∠PEN=∠PQD=60°，PE=BQ，设AD=PM=x，则可用x的代数式表示DQ，进而在Rt△PDQ和Rt△PNE中借助三角函数可表示出PD、PN，从而利用PD+PN+PM=3列出x的方程，据此即可解答。
12．（2018九上·宜兴月考）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴∠A=90°﹣∠ABC=60°，AB=4，BC=2 ，
∵CA=CA1，
∴△ACA1是等边三角形，AA1=AC=BA1=2，
∴∠BCB1=∠ACA1=60°，
∵CB=CB1，
∴△BCB1是等边三角形，
∴BB1=2 ，BA1=2，∠A1BB1=90°，
∴BD=DB1= ，
∴A1D=
【分析】利用三角形内角和定理可求出∠A=60°，利用解直角三角形可求出AB、BC的长，再根据旋转的性质，易证△ACA1、△BCB1是等边三角形，再求出BA1、BD的长，然后利用勾股定理求出A1D的长。
13．（2018·菏泽）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是 ．
【答案】（2，2 ）
【知识点】位似变换；解直角三角形
【解析】【解答】解：分别过A作AE⊥OB，CF⊥OB，
∵∠OCD=90°，∠AOB=60°，
∴∠ABO=∠CDO=30°，∠OCF=30°，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），
∴D（8，0），则DO=8，
故OC=4，
则FO=2，CF=CO cos30°=4× =2 ，
故点C的坐标是：（2，2 ）．
故答案为：（2，2 ）．
【分析】分别过A作AE⊥OB，CF⊥OB，根据已知可求出∠ABO=∠CDO=30°，∠OCF=30°，再根据△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），求出点D的坐标及OC的长，然后利用解直角三角形求出CF、FO的长，就可得出点C的坐标。
14．（2018·长春）如图，在 ABCD中，AD=7，AB=2 ，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为 ．
【答案】20
【知识点】平移的性质；解直角三角形
【解析】【解答】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，
∵AE⊥BC，AB=2 ，∠B=60°，
∴AE=3，BE= ，
∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，
∴EF=BC=AD=7，
∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6=20，
故答案为：20.
【分析】根据题意可知当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，在Rt△ABE中，利用解直角三角形或勾股定理求出AE、BE的长，再根据平移的性质求出EF=BC=AD，就可求出四边形AEFD的周长。
15．（2018·眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD= .
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接BE交CF于点G（如图），
∵四边形BCEF是边长为1的正方形，
∴BE=CF= ，BE⊥CF，
∴BG=EG=CG=FG= ，
又∵BF∥AC，
∴△BFO∽△ACO，
∴ ，
∴CO=3FO，
∴FO=OG= CG= ，
在Rt△BGO中，
∴tan∠BOG= =2，
又∵∠AOD=∠BOG，
∴tan∠AOD=2.
故答案为：2.
【分析】连接BE交CF于点G（如图），根据勾股定理得BE=CF= ，再由正方形的性质得BE⊥CF，BG=EG=CG=FG= ，又根据相似三角形的判定得△BFO∽△ACO，由相似三角形的性质得 ，从而得FO=OG= CG= ，在Rt△BGO中根据正切的定义得tan∠BOG= =2，根据对顶角相等从而得出答案.
16．（2018·正阳模拟）如图，等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是边AB，AC上的点，沿DE所在的直线折叠∠A，使点A的对应点P始终落在边BC上，若△BDP是直角三角形，则AD的长为 ．
【答案】4 ﹣6或3﹣
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
由折叠的性质可知，AD=DP，
设AD=DP=x，则BD=2-x，
当∠DPB=90°时， =sinB= ，即 ，
解得，x=4 -6，
当∠BDP=90°时， =tanB= ，即 ，
解得，x=3- ，
故答案为：4 -6或3- ．
【分析】设出AD=x，从而用x表示DP与DB的长，再对可能的直角进行分类，从而分情况利用三角函数列方程求得x的值即可.
三、解答题
17．（2018·高阳模拟）如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．
（1）求∠ACD度数；
（2）当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）
【答案】（1）解：延长AC交ON于点E，如图，
∵AC⊥ON，
∴∠OEC=90°，
在Rt△OEC中，
∵∠O=25°，
∴∠OCE=65°，
∴∠ACB=∠OCE=65°，
∴∠ACD=90°﹣∠ACB=25°
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，
在Rt△ABC中，∵cos∠ACB= ，
∴BC=AC cos65°=5×0.42=2.1，
∴AD=BC=2.1
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）在矩形ABCD中可知∠DCB=90°，要求∠ACD度数，只需求出∠ACB的度数，延长AC交ON于点E，在Rt△OEC∠O=25°，AC⊥ON，可求出∠OCE=65°，再利用对顶角相等可求∠ACD度数。（2）已知∠ACD度数，AC=5，在Rt△ADC中，只需选择∠ACD的正弦值代入即可求出。
18．（2018·黔西南模拟）已知：如图，AD∥BC，AB=CD，对角线CA平分∠BCD，AD=5，tanB= ，求BC的长．
【答案】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，如下图所示，
∵AC平分∠BCD，
∴∠1=∠2.
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.
∴AD=DC.∵AD=5，AB=DC，
∴AD=DC=AB=5.
过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F.
∴
在Rt△AEB中，
设AE=3x，则BE=4x.
∵AB=5，
∴
∴x=1(负值舍去).
∴AE=3，BE=4.同理可得FC=4.
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF.
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形。
∴EF=AD=5.
∴BC=13.
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】 作梯形的两条高，构造了一个矩形和两个直角三角形．根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ACD，即CD=AD=5．再根据锐角三角函数的概念得到AE：BE，结合勾股定理得到BE：AB=3：5，从而求得BE的长，再进一步计算出CF和EF的长即可求解。
19．（2018·奉贤模拟）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= ，cot∠ABC= ，点D是AC的中点．
（1）求线段BD的长；
（2）点E在边AB上，且CE=CB，求△ACE的面积．
【答案】（1）解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= ，cot∠ABC= ，∴AC= ，∵点D是AC的中点，
∴CD= AC= ，
∴Rt△BCD中，BD= =
（2）解：如图，过C作CH⊥AB于H，∵BC= ，cot∠ABC= ，
∴CH= ，BH=1，
∵CE=CB，
∴EH=BH=1，
∵∠ACB=90°，BC= ，AC= ，
∴AB=3，
∴AE=3﹣2=1，
∴△ACE的面积= ×AE×CH= ×1× = ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，cot∠ABC=，所以可得AC= ，由题意可得CD= AC= ；在Rt△BCD中，由勾股定理可得BD=；
（2）过C作CH⊥AB于H，在直角三角形BCH中，cot∠ABC=，所以CH= ，BH=1，所以根据等腰三角形三线合一可得EH=BH=1，在直角三角形ABC中，用勾股定理易得AB=3，所以AE=3﹣2=1，△ACE的面积=×AE×CH=.
20．（2018·开封模拟）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）
【答案】解：∵BN∥ED，∴∠NBD=∠BDE=37°，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴BE=DE tan∠BDE≈18.75（cm），如图，过C作AE的垂线，垂足为F，∵∠FCA=∠CAM=45°，∴AF=FC=25cm，∵CD∥AE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD=EF，∵AE=AB+EB=35.75（cm），∴CD=EF=AE-AF≈10.8（cm），答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由BN∥ED可得∠NBD=∠BDE=37°，在直角三角形BED中已知一边一角可求BE的长。（2）过C作AE的垂线，垂足为F，则四边形CDEF为矩形，根据矩形的性质可得CD=EF，CF=DE=25cm，由已知条件可得Rt△AFC是等腰直角三角形，再求出AE和AF的长，即可求出CD的长。
21．（2018·宜宾模拟）经过江汉平原的沪蓉（上海﹣成都）高速铁路即将动工．工程需要测量汉江某一段的宽度．如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得∠ACB=68°．
（1）求所测之处江的宽度（sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48．）；
（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形．
【答案】（1）解：在Rt△BAC中，∠ACB=68°，
∴AB=AC tan68°≈100×2.48=248（米）
答：所测之处江的宽度约为248米
（2）解：
①延长BA至C，测得AC做记录；②从C沿平行于河岸的方向走到D，测得CD，做记录；③测AE，做记录．根据△BAE∽△BCD，得到比例线段，从而解答
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△BAC中，用∠ACB的余切可得AB=AC tan68°≈100×2.48=248；
（2）用相似三角形的性质求解。即①延长BA至C，测得AC做记录；②从C沿平行于河岸的方向走到D，测得CD，做记录；③测AE，做记录．根据△BAE∽△BCD，得到比例线段，即可求解。
22．（2018·成都）在 中， ， ， ，过点 作直线 ，将 绕点 顺时针得到 （点 ， 的对应点分别为 ， ）射线 ， 分别交直线 于点 ， .
（1）如图1，当 与 重合时，求 的度数；
（2）如图2，设 与 的交点为 ，当 为 的中点时，求线段 的长；
（3）在旋转过程时，当点 分别在 ， 的延长线上时，试探究四边形 的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形 的最小面积；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）由旋转的性质得： .
， ， ， ， ， .
（2） 为 的中点， .由旋转的性质得： ， . ， .
， ， .
（3） ， 最小， 即最小， .法一：（几何法）取 中点 ，则 . .当 最小时， 最小， ，即 与 重合时， 最小.
， ， ， .
法二：（代数法）设 ， .由射影定理得： ， 当 最小，即 最小，
.
当 时，“ ”成立， .
【知识点】三角形的面积；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得出 ，根据已知易证m∥AC，得出∠A'BC是直角，利用特殊角的三角函数值，可求出∠A'CB的度数，就可求出结果。
（2）根据中点的定义及性质的性质，可证得∠A=∠A'CM，利用解直角三角形求出PB和BQ的长，再根据PQ=PB+BQ，计算即可解答。
（3）根据已知得出四边形FA'B'Q的面积最小，则△PCQ的面积最小，可表示出△PCQ的面积，利用几何法取 中点 ，则 ，得出PQ=2CG，当CG最小时，则PQ最小根据垂线段最短，求出CG的值，从而可求出PQ的最小值，就可求出四边形FA'B'Q面积的最小值。也可以利用代数式解答此题。
1 / 1
